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各名校期末压轴题模拟训练 1
（范围：第16-20章）
一．选择题（共14小题）
1．已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：20乙从B地出
发骑自行车到A地，甲乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系
如图所示．由上图中的信息可知，乙到达A地的时间为（ ）
A．8：30 B．8：35 C．8：40 D．8：45
【答案】C
【解答】解：因为甲60分走完全程4千米，所以甲的速度是4千米/时，
由图中看出两人在走了2千米时相遇，那么甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5﹣ ）
小时，
所以乙的速度为：2÷ ＝12，所以乙走完全程需要时间为：4÷12＝ （时）＝20分，此
时的时间应加上乙先前迟出发的20分，现在的时间为8点40．
故选：C．
2．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1
小时爬上山顶．游客爬山所用时间t与山高h间的函数关系用图形表示是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，先用1小时爬了2千米，是经过（0，0）到（1，1）的线段，
休息0.5小时，高度不变，是平行于t轴的线段，
用3小时爬上山顶，是经过（1.5，1），（2.5，3）的线段．
只有D选项符合．
故选：D．
3．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足
为F，则DF的长为（ ）
A．2 +2 B．5﹣ C．3﹣ D． +1
【答案】D
【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，
∵四边形ABED是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2 ，
∴DG＝AD+AG＝2+2 ，
∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，
∴DF＝ DG＝ ×（2+2 ）＝1+ ，
故选D．
方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，
则∠BHE＝∠DGE＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，
∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2× ＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝ ，
∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，
∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形，
∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，
∵∠DEG+∠BEG＝90°，
∴∠BEH＝∠DEG，
在△BEH和△DEG中，
，
∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝ ，
∴DF＝DG+FG＝ +1，
故选：D．
4．如图，Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线
上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重
叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M，
∵Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2
∴tan∠CAB＝ ＝
∴A'M＝ x
其面积y＝ x• x＝ x2
故此时y为x的二次函数，排除选项D．
当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN其面积y＝ x• x﹣ （x﹣2）• （x﹣2）＝x﹣1
故此时y为x的一次函数，故排除选项C．
当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN
AF'＝x﹣2，F'N＝ （x﹣2），F'B＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，BC＝2
其面积y＝ [ （x﹣2）+2]×（6﹣x）＝﹣ x2+x+3
故此时y为x的二次函数，其开口方向向下，故排除A
综上，只有B符合题意．
故选：B．
5．如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（ ，﹣2），点P在直线y＝﹣x上
运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（ ）
A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（ ，﹣ ） D．（5，﹣5）
【答案】B
【解答】解：作A关于直线y＝﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y＝﹣ x﹣ ；
求BC与直线y＝﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；
此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他B C P不共线的情况，根据三角形三
边的关系可得|PC﹣PB|＜BC；
故选：B．
6．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，
连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，
延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
∴ ＝ ；
故选：B．
7．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线 l将这八个
正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．y＝ x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝x
【答案】C
【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为 A，过A作AB⊥OB于B，过A作
AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，∴ OB•AB＝5，
∴AB＝ ，
∴OC＝ ，
由此可知直线l经过（ ，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝ k，
k＝ ，
∴直线l解析式为y＝ x，
故选：C．
8．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝
45°下列三个结论：①当MN＝ MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝
90°；③△MNC的周长不变．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D【解答】解：①：∵正方形ABCD中，∠C＝90°，
∴MN＝ ，
∴MN2＝MC2+NC2．
当MN＝ MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2
∴MC＝NC．
∴BM＝DN
易证△ABM≌△ADN（SAS）．
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．
综上①②③都正确．
故选：D．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C
重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交
AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，
∴∠CPD＝∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE＝∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′＝ ×180°＝90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP＝x，BE＝y，AB＝3，BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，
在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，
在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，
在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，
则（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，
整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，
所以y＝﹣ x2+ x（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项符合．
解法二：可以证明△BPE∽△CDP，利用相似三角形的性质求解．
故选：D．
10．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC
▱
＝60°，AB＝ BC，连接OE．下列结论：
①∠CAD＝30°；
②S ＝AB•AC；
ABCD
③O▱B＝AB；
④OE＝ BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝ BC，
∴AE＝ BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S ＝AB•AC，故②正确，
ABCD
▱
∵AB＝ BC，OB＝ BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE＝BE，CO＝OA，
∴OE＝ AB，
∴OE＝ BC，故④正确．
故选：C．
11．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间
t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：
天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的
是（ ）
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D．第30天的日销售利润是750元
【答案】C
【解答】解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；
B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关
系为z＝kt+b，
把（0，25），（20，5）代入得： ，
解得： ，
∴z＝﹣t+25，
当t＝10时，y＝﹣10+25＝15，
故正确；
C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为
y＝k t+b ，
1 1
把（0，100），（24，200）代入得： ，
解得： ，
∴y＝ ，
当t＝12时，y＝150，z＝﹣12+25＝13，
∴第12天的日销售利润为：150×13＝1950（元），第30天的日销售利润为：150×5＝
750（元），
750≠1950，故C错误；
D、第30天的日销售利润为：150×5＝750（元），故正确．
故选：C．
12．一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后
分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数
图象如图所示，下列说法：
①甲、乙两地之间的距离为560km；
②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；
④相遇时，快车距甲地320km
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故①正确；
由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，出发后两车之间的距离开始增大直到
快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过 3个小时后到达甲地，
此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：4，故②错误；
∴设慢车速度为3x km/h，快车速度为4x km/h，
∴（3x+4x）×4＝560，x＝20
∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．
由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60＝240km，故④错误，
当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为 240﹣3×60＝60km，
此时慢车距甲地为60km，故③正确．
故选：B．
13．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设
慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的
函数关系．下列说法中正确的是（ ）
A．B点表示此时快车到达乙地
B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地C．快车的速度为 km/h
D．慢车的速度为125km/h
【答案】C
【解答】解：A、B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇；故本选项错误；
B、B﹣C﹣D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车
共用了12小时到达甲地故本选项错误；
C、快车的速度＝ ﹣ ＝ （km/h）；故本选项正确；
D、慢车的速度＝ ＝ （km/h）；故本选项错误；
故选：C．
14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，
PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
【答案】C
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：C．
二．填空题（共9小题）
15．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝ ．下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为 ；③EB⊥ED；④S△APD +S△APB ＝
1+ ；⑤S正方形ABCD ＝4+ ．
其中正确结论的序号是 ①③⑤ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE＝ ＝ ＝ ，
∴BF＝EF＝ ，
故此选项不正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝1，
∴EP＝ ，
又∵PB＝ ，
∴BE＝ ，
∵△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝ ，
∴S△ABP +S△ADP ＝S△ABD ﹣S△BDP ＝ S正方形ABCD ﹣ ×DP×BE＝ ×（4+ ）﹣ × ×
＝ + ．
故此选项不正确．
⑤∵EF＝BF＝ ，AE＝1，
∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝4+ ，
∴S正方形ABCD ＝AB2＝4+ ，
故此选项正确．
故答案为：①③⑤．16．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交
BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ①②③ ．
【答案】①②③．
【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
∴矩形DEFG为正方形；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴AC⊥CG，故③正确；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
综上所述：①②③．
故答案为：①②③．
17．如图，已知直线l：y＝ x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作
直线l的垂线交y轴于点A ；过点A 作y轴的垂线交直线l于点B ，过点B 作直线l的
1 1 1 1垂线交y轴于点A ；…；按此作法继续下去，则点A 的坐标为 （ 0 ， 25 6 ） ．
2 4
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵l：y＝ x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝ ，
∵A B⊥l，
1
∴∠ABA ＝60°，
1
∴AA ＝3，
1
∴A O（0，4），
1
同理可得A （0，16），
2
…
∴A 纵坐标为44＝256，
4
∴A （0，256），
4
故答案为：（0，256）．
18．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与
对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为 EF 2 ＝ AE 2 + CF 2 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，得△DAM，则△DAM≌△DCH
则DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM
在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN
在△DAN和△DCF中
；
∴△DAN≌△DCF（SAS）
∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°
又∵∠DAC＝45°
∴∠NAE＝90°
∴AN2+AE2＝NE2
∵∠GDH＝45°，
∴∠NDE＝45°
在△DNE和△DFE中
∴△DNE≌△DFE
∴NE＝EF
又∵AN＝CF
∴CF2+AE2＝EF2
故答案为：EF2＝AE2+CF2．
19．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始
经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 1 0 cm．【答案】见试题解答内容
【解答】解：将长方体展开，连接AB′，
∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝ ＝10cm．
故答案为：10．
20．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根
缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆
柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕
而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 2 5 尺．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3＝15（尺），
因此葛藤长为 ＝25（尺）．
故答案为：25．21．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N分别为线段BC，
AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则
EF长度的最大值为 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝ DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝ ＝6，
∴EF的最大值为3．
故答案为3．
22．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE
为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 （ ） n ﹣ 1 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，
∴AC2＝12+12，AC＝ ；
同理可求：AE＝（ ）2，HE＝（ ）3…，
∴第n个正方形的边长a ＝（ ）n﹣1．
n
故答案为（ ）n﹣1．
23．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点
G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ﹣ 1
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝ AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝ ＝ ＝ ，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝ ﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆 上运动当O、H、D三点
共线时，DH长度最小）
故答案为： ﹣1．
三．解答题（共17小题）
24．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，且
直线AB与直线 平行．（1）k＝ ；点A的坐标 （﹣ 4 ， 0 ） ；点B的坐标是 （ 0 ， 2 ） ；
（2）若点C（2，0），将线段AB水平向右平移m个单位（m＞0）得到线段A′B′，
连接A′C，B′C．若△A′B′C是等腰三角形，求m的值；
（3）点P为y轴上一动点，连接AP，若∠PAB＝45°，请求出点P坐标．
【答案】详见解答过程．
【解答】解：（1）∵直线AB：y＝kx+2与直线y＝ 平行．
∴k＝ ．
∴直线AB的解析式为y＝ x+2．
令y＝0，得x＝﹣4．
即点A的坐标为（﹣4，0）．
令x＝0，得y＝2．
即点B的坐标为（0，2）．
故答案为： ，（﹣4，0），（0，2）．
（2）∵点 C（2，0），且将线段 AB 水平向右平移 m 个单位（m＞0）得到线段
A′B′．
∴点A′的坐标为（﹣4+m，0），点B′的坐标为（m，2）．
∴A′B′2＝（﹣4+m﹣m）2+（0﹣2）2＝20．
A′C2＝（﹣4+m﹣2）2＝（m﹣6）2．
B′C2＝（m﹣2）2+（2﹣0）2＝（m﹣2）2+4．
△A′B′C是等腰三角形，分情况讨论：
①当A′B′＝A′C时，可得20＝（m﹣6）2，解得m＝6 或m＝6﹣ ．②当A′B′＝B′C时，可得20＝（m﹣2）2+4，解得m＝6（舍去）或m＝﹣2（舍
去）．
③当A′C＝B′C时，可得（m﹣6）2＝（m﹣2）2+4，解得m＝ ．
综上所述，m＝6 或m＝6﹣ 或m＝ ．
（3）分情况讨论：
①过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，连接AD交y轴于点P，过点D作DH⊥y轴于点
H，如图所示：
则△ABD是等腰直角三角形．
∴∠PAB＝45°．
∵点A（﹣4，0），点B（0，2）．
∴OA＝4，OB＝2．
∵∠DHB＝90°．
∴∠HDB+∠HBD＝90°．
∵∠ABD＝90°．
∴∠ABO+∠HBD＝90°．
∴∠HDB＝∠ABO．
在△BDH和△ABO中．
．∴△BDH≌△ABO（AAS）．
∴BH＝AO＝4．
DH＝OB＝2．
∴点D的坐标为（﹣2，6）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）．
代入点A（﹣4，0），点D（﹣2，6）．
得 ．
解得 ．
∴直线AD的解析式为y＝3x+12．
∴点P的坐标为（0，12）．
②过点B作BM⊥AB，且BM＝AB，连接AM交y轴于点P，过点M作MN⊥y轴于点
N，如图所示：
则△ABM是等腰直角三角形．
∴∠PAB＝45°．
∵∠ABM＝90°．
∴∠ABO+∠NBM＝90°．
∵∠BNM＝90°．
∴∠NMB+∠NBM＝90°．
∴∠NMB＝∠ABO．
在△ABO和△BMN中．
．
∴△ABO≌△BMN（AAS）．∴BN＝AO＝4．
NM＝OB＝2．
∴点M的坐标为（2，﹣2）．
设直线AM的解析式为y＝ax+c（a，c为常数，a≠0）．
代入点A（﹣4，0），点M（2，﹣2）．
得 ．
解得 ．
∴直线AM的解析式为y＝ x﹣ ．
∴点P的坐标为（0， ）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0， ）．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x ，y ），点Q（x ，y ），定义|x ﹣x |与|y ﹣
1 1 2 2 1 2 1
y |中的值较大的为点P，Q的“绝对距离”，记为d（P，Q）．特别地，当|x ﹣x |＝|y
2 1 2 1
﹣y |时，规定d（P，Q）＝|x ﹣x |，例如，点P（1，2），点Q（3，5），因为|1﹣3|
2 1 2
＜|2﹣5|，所以点P，Q的“绝对距离”为|2﹣5|＝3，记为d（P，Q）＝3．
（1）已知点A（0，1），点B为x轴上的一个动点．
①若d（A，B）＝3，求点B的坐标；
②d（A，B）的最小值为 1 ；
③动点C（x，y）满足d（A，C）＝r，所有动点C组成的图形面积为64，请直接写出
r的值．（2）对于点D（﹣1，0），点E（2，5），若有动点M（m，n）使得d（D，M）+d
（E，M）＝5，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①（﹣3，0）或（3，0）；
②1；
③4；
（2）﹣2≤m≤3．
【解答】解：（1）设B（x，0），
①∵|0﹣1|＝1≠3，
∴|x﹣0|＝3，
∴x＝±3，
∴B点的坐标为（﹣3，0）或（3，0）．
②当x＜﹣1或x＞1时，
|x﹣0|＞|0﹣1|，
∴d（A，B）＝|x|＞1；
当﹣1≤x≤1时，
|x﹣0|≤|0﹣1|＝1，
∴d（A，B）＝1，
综上所述，d（A，B）的最小值为1．
故答案为：1．
③r＝4．
由题意知，
点C在以A点为对称中心，边长为2r的正方形边上，
∵正方形面积为64，
∴正方形的边长为8，
即2r＝8，
∴r＝4．（2）由题意知，
当M点在矩形DFEG内（含边）内运动时，d（D，M）+d（E，M）＝5．
∴﹣2≤m≤3．
26．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣ 交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣
x+3交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线y＝﹣ x+3上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在
直线EF上，在平面中存在一点Q，使得以OE为一边，O，E，P，Q为顶点的四边形为
菱形，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）11；
（2）点E（2， ）；
（3）点Q的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，2）或（﹣ ，﹣2）．
【解答】解：（1）对于直线y＝﹣3x﹣ ，令x＝0，则y＝﹣ ，故点B（0，﹣ ）；
对于y＝﹣ x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，即﹣ x+3＝0，解得：x＝4，故点D
（0，3）、（4，0），
则BD＝3+ ＝ ，OC＝4，
△BCD的面积＝ ×BD×OC＝ ×4＝11；
（2）由题意，∠ABE＝45°，观察图象可知，点E只能直线在AB的右侧，过点E作BE
的垂线交AB于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B
与x轴的平行线于点H，设点E（m，﹣ m+3），点R（n，﹣3n﹣ ），
∵∠ABE＝45°，故ER＝EB，
∵∠REG+∠BEH＝90°，∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠REG＝∠EBH，
∵∠EHB＝∠RGE＝90°，EB＝ER，
∴△EHB≌△RGE（AAS），
∴RG＝EH，BH＝GE，
即m＝﹣3n﹣ + m﹣3，﹣ m+3+ ＝m﹣n，解得 ，
故点E（2， ）；
（3）∵直线CD的表达式为y＝﹣ x+3，
而CD⊥EF，则设直线EF的表达式为y＝ x+b，
将点E的坐标代入上式并解得：b＝﹣ ，
故直线EF的表达式为y＝ x﹣ ，
设点P（a， a﹣ ），点Q（s，t），
点O向右平移2个单位向上平移 个单位得到E，
同样点P（Q）向右平移2个单位向上平移 个单位得到Q（P），
当点P在点Q的下方时，
则a+2＝s且 a﹣ + ＝t①，
OE＝OP，即22+（ ）2＝a2+（ a﹣ ）2②，
联立①②并解得：a＝2或﹣ ，
故点Q的坐标为（ ，﹣ ）（不合题意的值已舍去）；当点P在点Q的上方时，
同理可得，点Q的坐标为（ ，2）或（﹣ ，﹣2）．
综上，点Q的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，2）或（﹣ ，﹣2）．
27．在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B（3，
2），直线l与y轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b，
∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2）、点B（3，2），
∴ ，解得： ，
∴直线n的函数表达式为：y＝ x﹣2；
（2）∵△ABC的面积为9，
∴9＝ •AC•3，
∴AC＝6，
∵OA＝2，
∴OC＝6﹣2＝4或OC＝6+2＝8，
∴C（0，4）或（0，﹣8）；（3）分四种情况：
①如图1，当AB＝AC时，
∵A（0，﹣2），B（3，2），
∴AB＝ ＝5，
∴AC＝5，
∵OA＝2，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
设直线l的解析式为：y＝mx+n，
把B（3，2）和C（0，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线l的函数表达式为：y＝﹣ x+3；
②如图2，AB＝AC＝5，∴C（0，﹣7），
同理可得直线l的解析式为：y＝3x﹣7；
③如图3，AB＝BC，过点B作BD⊥y轴于点D，
∴CD＝AD＝4，
∴C（0，6），
同理可得直线l的解析式为：y＝﹣ x+6；
④如图4，AC＝BC，过点B作BD⊥y轴于D，
设AC＝a，则BC＝a，CD＝4﹣a，
根据勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，
∴32+（4﹣a）2＝a2，
解得：a＝ ，
∴OC＝ ﹣2＝ ，
∴C（0， ），
同理可得直线l的解析式为：y＝ x+ ；综上，直线l的解析式为：y＝﹣ x+3或y＝3x﹣7或y＝﹣ x+6或y＝ x+ ．
28．对于点P和图形W，若点P关于图形W上任意的一点的对称点为点Q，所有点Q组成
的图形为M，则称图形M为点P关于图形W的“对称图形”．在平面直角坐标系xOy
中，已知点A（﹣1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，1），D（﹣1，1）．
（1）①在点E（﹣2，﹣4），F（0，﹣4），G（3，﹣3）中，是点0关于线段AB的
“对称图形”上的点有 点 E ，点 F ．
②画出点O关于四边形ABCD的“对称图形”；
（2）点T（t，0）是x轴上的一动点．
①若点T关于四边形ABCD的“对称图形”与O关于四边形ABCD的“对称图形”有
公共点，求t的取值范围；
②直线y＝x﹣t与x轴交于点T，与y轴交于点H，线段TH上存在点K，使得点K是点
T关于四边形ABCD的“对称图形”上的点，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）①点E，点F；
②点O关于四边形ABCD的“对称图形”为四边形NMIJ，见解答．
（2）①﹣6≤t≤6；
②﹣2≤t≤﹣1或2≤t≤4．
【解答】解：（1）①根据点P关于图形W的“对称图形”的定义，点O关于线段AB
的“对称图形”是，如图所示．点E（﹣2，﹣4），F（0，﹣4）在线段JN上．
故答案为：点E，点F②点O关于四边形ABCD的“对称图形”为四边形JNMI．
（2）①动点T关于四边形ABCD的“对称图形”为四边形SRVU，如图所示．利用中
点坐标公式可得到点S（4﹣t，2），U（﹣2﹣t，2），V（﹣2﹣t，﹣4），R（4﹣t，﹣
4）．四边形SRVU随t的变化左右移动，当四边形JNMI与四边形SRVU有公共点时，
应满足：
，
∴﹣6≤t≤6，
②要使得点K是四边形SRVU上的点，需满足：
0≤4﹣t≤t或t≤﹣2﹣t≤0，
∴2≤t≤4或﹣2≤t≤﹣1．29．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经
过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求：①点D的坐标；
②经过点D，且与直线FC平行的直线的函数表达式；
（2）直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四
边形，请直接写出点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①设点C的坐标为（m，2），
∵点C在直线y＝x﹣2上，
∴2＝m﹣2，
∴m＝4，
即点C的坐标为（4，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，∴点D的坐标为（1，2）；
②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y＝x+b，
将D（1，2）代入y＝x+b，得b＝1，
∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y＝x+1；
（2）存在．
∵△EBC为等腰直角三角形，
∴∠CEB＝∠ECB＝45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB＝45°，
∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当∠D＝90°时，延长DA与直线y＝x﹣2交于点P ，
1
∵点D的坐标为（1，2），
∴点P 的横坐标为1，
1
把x＝1代入y＝x﹣2得，y＝﹣1，
∴点P （1，﹣1）；
1
②当∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P ，
2
所以，点P 的横坐标为 ＝ ，
2
把x＝ 代入y＝x﹣2得，y＝ ，
所以，点P （ ， ），
2
综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（ ， ）；
（3）当y＝0时，x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴OE＝2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM＝CD＝3，
∴OM＝EM﹣OE＝3﹣2＝1，
此时，点M的坐标为（﹣1，0），若CE是对角线，则EM＝CD＝3，
OM＝OE+EM＝2+3＝5，
此时，点M的坐标为（5，0），
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（ ，2），
设点M的坐标为（x，y），
则 ＝ ， ＝2，
解得x＝3，y＝4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线
段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，过点B，C作直线，交x轴于点D．
（1）点C的坐标为 （ 4 ， 1 ） ；求直线BC的表达式；
（2）若点E为线段BC上一点，且△ABE的面积为 ，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形
为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（4，1），y＝﹣ x+3；
（2）E（2，2）；
（3）点P的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，1）或（1，5）．
【解答】解：（1）直线y＝﹣3x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），OB＝3，
当y＝0时，﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴A（1，0），OA＝1，
如图1，过点C作CG⊥x轴于G，
由旋转得：AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAG＝90°，
∵∠AOB＝∠CGA＝∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAG＝∠ABO，
∴△BOA≌△AGC（AAS），
∴AG＝OB＝3，CG＝OA＝1，
∴C（4，1），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，解得： ，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣ x+3；
故答案为：（4，1）；
（2）如图2，过点E作EF⊥y轴于F，∵点E为线段BC上一点，
∴设点E的坐标为（m，﹣ m+3）（0≤m≤4），
∵四边形AOBE的面积＝S△AOB +S△ABE ＝S△BEF +S梯形AOFE ，
∴ ×1×3+ ＝ •m•（3+ m﹣3）+ •（1+m）•（﹣ m+3），
解得：m＝2，
∴E（2，2）；
（3）分三种情况：
①如图3，四边形ABEP是平行四边形，
∵A（1，0），B（0，3），E（2，2），
∴由平移得：P（3，﹣1）；
②如图4，四边形APBE是平行四边形，由平移得：P（﹣1，1）；
③如图5，四边形ABPE是平行四边形，
由平移得：P（1，5）；
综上，点P的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，1）或（1，5）．
31．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二
象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求
证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣ ，k）是线段BC上一
点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出
点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣1，则点A、B的坐标分别为：
（0，2）、（﹣1，0），
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，
∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得： ，解得： ，
故直线AC的表达式为：y＝ x+2；
（2）同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣ x﹣ …①，则点E（0，﹣ ），
直线AD的表达式为：y＝﹣3x+2…②，
联立①②并解得：x＝1，即点D（1，﹣1），
点B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣ ）、（1，﹣1），
故点E是BD的中点，即BE＝DE；
（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣ x﹣ ，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝ ，
直线AC的表达式为：y＝ x+2，则点M（﹣6，0），
S△BMC ＝ MB×y
C
＝ ×5×1＝ ，
S△BPN ＝ S△BCM ＝ ＝ NB×k＝ NB，
解得：NB＝ ，
故点N（﹣ ，0）或（ ，0）．
32．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．
其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 甲 乙
价格
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于
21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动
鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利
润应如何进货？
【答案】（1）m＝100；
（2）共有11种方案；
（3）应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
【解答】解：（1）依题意得， ＝ ，
整理得，3000（m﹣20）＝2400m，
解得m＝100，经检验，m＝100是原分式方程的解，
所以，m＝100；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105﹣95+1＝11，
∴共有11种方案；
（3）设总利润为 W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000
（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x＝105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x＝95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
33．如图1，已知函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对
称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线
BC于点Q．
①若△PQB的面积为 ，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝2∠BAC，求点P的坐标．【答案】（1）直线BC的函数解析式为y＝﹣ x+3；
（2）M（ ，0）或M（﹣ ，0）；
（3）点P的坐标为（﹣4，1）或（4，5）．
【解答】解：（1）对于y＝ x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3），
由y＝0得：y＝ x+3，
解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（6，0），
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得 ．
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣ x+3；
（2）①设M（m，0），
则P（m， m+3）、Q（m，﹣ m+3），
如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，∴PQ＝|（﹣ m+3）﹣（ m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
∴S△PQB ＝ PQ•BD＝ m2＝ ，
解得m＝± ，
∴M（ ，0）或M（﹣ ，0）；
②如图2，作BH⊥BC交x轴于H，
∵BC⊥BH，∠BOC＝90°，
∴∠HBO＝∠BCA＝ ，
y BH ＝2x+3， α
∴ ，
∵MQ∥y轴，
∴∠MBO＝2 ，
∴∠MBH＝ α，
α
∴ ＝2，
∴设MH＝a，MB＝2a，
则Rt△BMO中，
，
解得a＝ 或a＝﹣ （舍），
∴M（﹣4，0），∴P（﹣4，1），
根据对称性P（4，5），M（4，0），
综上P（﹣4，1）或P（4，5）．
34．如图，长方形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为
（0，8），点B的坐标为（10，0），点E是BC边上一点，把长方形AOBC沿AE翻折
后，C点恰好落在x轴上点F处．
（1）求点E、F的坐标；
（2）求AF所在直线的函数关系式；
（3）在x轴上求一点P，使△PAF成为以AF为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合
条件的点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AF＝AC＝10，0A＝8，则OF＝6，则点F（6，0）
设：CE＝x，则BE＝8﹣x，
在△BEF中，由勾股定理得：x2＝16+（8﹣x）2，解得：x＝5，故点E（10，3）；
（2）将点A、F的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
k＝﹣ ，b＝8，故直线AF的表达式为：y＝﹣ x+8；
（3）①当点P在x轴负半轴时，
AP＝AF，则点P（﹣6，0）；
当AF＝PF时，点P（﹣4，0）；
②当点P′在x轴正半轴时，
AF＝FP′＝10，故点P′（16，0）；
综上，点P的坐标为：（﹣6，0）或（﹣4，0）或（16，0）．
35．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为
一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为
垂直 ，数量关系为 相等 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个
什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD …（2分）
故答案为：垂直、相等．②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD …（7分）
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …（9分）
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS） …（10分）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC …（12分）
36．如图1．在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，D（0，3），点E是OB延长
线上一点，M是线段OB上一动点（不包括O、B），作MN⊥DM，交∠CBE的平分线
于点N．（1）①直接写出点C的坐标；
②求证：MD＝MN；
（2）如图2，若M（2，0），在OD上找一点P，使四边形MNCP是平行四边形，求直
线PN的解析式；
（3）如图，连接 DN交BC于F，连接 FM，下列两个结论：①FM的长为定值；
②MN平分∠FMB，其中只有一个正确，选择并证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵四边形OBCD是正方形，D（0，3），
∴C（3，3）．
②证明：如答图1中，在OD上取OH＝OM，连接HM，
∵OD＝OB，OH＝OM，
∴HD＝MB，∠OHM＝∠OMH，
∴∠DHM＝180°﹣45°＝135°，
∵NB平分∠CBE，
∴∠NBE＝45°，
∴∠NBM＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DHM＝∠NBM，
∵∠DMN＝90°，
∴∠DMO+∠NMB＝90°，∵∠HDM+∠DMO＝90°，
∴∠HDM＝∠NMB，
在△DHM和△MBN中，
，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM＝MN．
（2）如答图2中，连接DM，作NE⊥OB于E，
由M（2，0）知OM＝2，
∵∠DMN＝90°，
∴∠DMO+∠NME＝90°，∠NME+∠MNE＝90°，
∴∠DMO＝∠MNE，
在△DMO和△MNE中，
，
∴△DMO≌△MNE（AAS），
∴ME＝DO＝3，NE＝OM＝2，
∴OE＝OM+ME＝2+3＝5，
∴点N坐标（5，2），
∵四边形MNCP是平行四边形，C（3，3），
∴P（0，1）．
设直线PN的解析式为：y＝kx+b（k≠0）．
则 ，解得 ．
故直线PN的解析式为：y＝ x+1；
（3）结论：MN平分∠FMB成立．
证明：如答图3中，在BO延长线上取OA＝CF，
在△AOD和△FCD中，
，
∴△DOA≌△DCF（SAS），
∴AD＝DF，∠ADO＝∠CDF，
∵∠MDN＝45°，
∴∠CDF+∠ODM＝45°，
∴∠ADO+∠ODM＝45°，
∴∠ADM＝∠FDM，
在△DMA和△DMF中，
，
∴△DMA≌△DMF（SAS），
∴∠DFM＝∠DAM＝∠DFC，
过M作MP⊥DN于P，则∠FMP＝∠CDF，
由（2）可知∠NMF+∠FMP＝∠PMN＝45°，
∴∠NMB＝∠MDO，∠MDO+∠CDF＝45°，
∴∠NMB＝∠NMF，即MN平分∠FMB．解法二：
结论：MN平分∠FMB成立．
证明：如答图3中，在BO延长线上取OA＝CF，
在△AOD和△FCD中，DO＝DC∠DOA＝∠C＝90° OA＝CF，
∴△DOA≌△DCF（SAS），
∴AD＝DF，∠ADO＝∠CDF，
∵∠MDN＝45°，
∴∠CDF+∠ODM＝45°，
∴∠ADO+∠ODM＝45°，
∴∠ADM＝∠FDM，
在△DMA和△DMF DM＝DM，∠MDA＝∠MDF，DA＝DF，
∴△DMA≌△DMF（SAS），
∴∠DMF＝∠DMA，
由（1）可知∠MDO＝∠NMB，
∴∠NMB+∠DMO＝∠NMB+∠DMF＝∠FMN+∠DMF＝90°，
∴∠NMB＝∠FMN，
即MN平分∠FMB
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，点Q的坐标为（8，0），直线l与x轴，y轴分别交
于A（10，0），B（0，10）两点，点P（x，y）是第一象限直线l上的动点．
（1）求直线l的解析式；
（2）设△POQ的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当△POQ的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C，使∠CPO＝22.5°，若存在，
请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x+10；
（2）S＝﹣4x+40（0＜x＜10）；（3）（0，10﹣5 ）或（0，﹣5 ）．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（10，0），B（0，10）分别代入，得 ．
解得 ，
故直线l的解析式为y＝﹣x+10；
（2）如图1，∵点P（x，y）是直线l上的动点，
∴y＝﹣x+10．
如图1，由点Q的坐标为（8，0）知，OQ＝8．
∵点P（x，y）是第一象限直线l上的动点，
∴S＝ OQ•y＝ 8×（﹣x+10），即S＝﹣4x+40（0＜x＜10）；
（3）当△POQ的面积等于20时，S＝﹣4x+40＝20，此时x＝5，
∴P（5，5）．
∵A（10，0），B（0，10），
∴点P是线段AB的中点，OA＝OB＝10，
∴OP⊥AB，BP＝OP，AB＝10 ．
如图2，过点P作PD⊥y轴于点D，则D（0，5），∠BPD＝∠OPD＝45°．
∴OD＝5，PD＝5，
∵∠CPO＝22.5°，
∴∠CPO＝ ∠OPD，即点C在∠OPD的角平分线上．
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴OC＝10﹣5 ，
∴C（0，10﹣5 ）．当点C位于y轴负半轴时，C（0，﹣5 ）．
综上所述，点C的坐标是（0，10﹣5 ）或（0，﹣5 ）．
38．如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的
正半轴上，连接AC，且AC＝4 ，
（1）求AC所在直线的解析式；
（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的
面积．
（3）求EF所在的直线的函数解析式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵ ＝ ，
∴可设OC＝x，则OA＝2x，
在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝（4 ）2，解得x＝4（x＝﹣4舍去），
∴OC＝4，OA＝8，
∴A（8，0），C（0，4），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AC解析式为y＝﹣ x+4；
（2）由折叠的性质可知AE＝CE，
设AE＝CE＝y，则OE＝8﹣y，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2＝CE2，
∴（8﹣y）2+42＝y2，解得y＝5，
∴AE＝CE＝5，
∵∠AEF＝∠CEF，∠CFE＝∠AEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF＝5，
∴S△CEF ＝ CF•OC＝ ×5×4＝10，
即重叠部分的面积为10；
（3）由（2）可知OE＝3，CF＝5，
∴E（3，0），F（5，4），
设直线EF的解析式为y＝k′x+b′，
∴ ，解得 ，
∴直线EF的解析式为y＝2x﹣6．39．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴
与y轴上，已知OA＝6，OB＝10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A
出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，
运动时间为t秒．
（1）当点P与点C重合时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②如图2，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐
标．
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（6，6）或（6，2 +2）或（6，10﹣2 ）．
【解答】解：（1）∵OA＝6，OB＝10，四边形OACB为长方形，
∴C（6，10）．
设此时直线DP解析式为y＝kx+b，
把（0，2），C（6，10）分别代入，得，
解得
则此时直线DP解析式为y＝ x+2；
（2）①当点P在线段AC上时，OD＝2，高为6，S＝6；
当点P在线段BC上时，OD＝2，高为6+10﹣2t＝16﹣2t，S＝ ×2×（16﹣2t）＝﹣
2t+16；
②设P（m，10），则PB＝PB′＝m，如图2，
∵OB′＝OB＝10，OA＝6，
∴AB′＝ ＝8，
∴B′C＝10﹣8＝2，
∵PC＝6﹣m，
∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝
则此时点P的坐标是（ ，10）；
（3）存在，理由为：
因为BD＞BC，所以满足条件的点AC上．
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当BD＝BP ＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，
1
在Rt△BCP 中，BP ＝8，BC＝6，
1 1
根据勾股定理得：CP ＝ ＝2 ，
1
∴AP ＝10﹣2 ，即P （6，10﹣2 ）；
1 1
②当BP ＝DP 时，此时P （6，6）；
2 2 2
③当DB＝DP ＝8时，
3在Rt△DEP 中，DE＝6，
3
根据勾股定理得：P E＝ ＝2 ，
3
∴AP ＝AE+EP ＝2 +2，即P （6，2 +2），
3 3 3
综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2 +2）或（6，10﹣2 ）．
40．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB
的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝ ＝13，
∴OC＝ EF＝6.5；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
