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第五讲 古典概型
真题展示
2022 新高考一卷第五题
从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为
A． B． C． D．
知识要点整理
一、 事件的概率
对随机事件发生 的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用 P ( A ) 表示．
二、 古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有 ；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 ．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为 模型，简称 ．
知识点三 古典概型的概率公式
一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中
的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
三、概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A) .性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为 ，即P(Ω)＝ ，P(∅)＝ .
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ．
性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P(B)＝ ，P(A)＝
．
性质5 如果A⊆B，那么 ．
性质 6 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝
．
三年真题
一、单选题
1．已知一组抛物线 ，其中a为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，5，7中任取的一
个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 交点处的切线相互平行的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．3．从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（
）
A． B． C． D．
4．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
6．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4
的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
8．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为___________.
10．在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么
选到的两名都是女同学的概率是___________.（结果用分数表示）11．在三角形的每条边上各取三个分点（如图）．以这9个分点为顶点可画出若干个三角形，若从中任意
抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为____________．（用数字作
答）
12．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
13．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．14．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 件，假设事件 ：“取出的 件产品中至多有
件是二等品”的概率 ．
(1)求从该批产品中任取 件是二等品的概率 ；
(2)若该批产品共有 件，从中任意抽取 件，求事件 ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概
率 ．
15．盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，
求：
(1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
(2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；
(3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．
16．（2005·江西·高考真题（文））A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求
掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．
17．某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知
每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次
考试成绩合格的概率均为 ，科目B每次考试成绩合格的概率均为 ．假设各次考试成绩合格与否均互不
影响．
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；
(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望 ．
18．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片
上数字的最小值为 ，则 __________， _________．
【答案】 ， ##三年模拟
一、单选题
1．某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”
“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”.某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能
力”版块被该队选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．在连续五次月考中，甲、乙两人的成绩依次为
甲：124，126，132，128，130
乙：121，128，135，133，123
则下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩在逐渐上升
B．甲的平均成绩比乙的高
C．甲的发挥比乙的发挥更为稳定
D．随机取其中同一次成绩，甲得分低于乙的概率为3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算
经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中3部产
生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则
所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．从集合 中任取2 个不同的质数 ， 则 的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性别不同的概率为
（ ）A． B． C． D．
6．已知在多项选择题的四个选项 中，有至少两项且至多三项符合题目要求.规定：全部选对得5
分，部分选对得2分，有选错得0分.若某题的正确答案是 ，某考生随机选了至少一个选项且至多三个
选项，则该考生能得分的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向
上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电
子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（ ）
A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”
B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏
C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏
D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏三、填空题
9．“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将 罐“绿水”装成一箱，且每箱
均有 罐可以中奖．若从一箱中随机抽取 罐，则能中奖的概率为______．
10．若函数 的定义域和值域分别为 和 ，则满足 的函数概率是
______．
11．某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，
绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生
中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件 ，则事件 发生的概率___________.
12．将一颗骰子连掷两次，每次结果相互独立，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为______．
13．从1，2，3，4，5，6中任取4个不同的数，则这4个数的中位数是3的概率为____________．
14．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球颜色不同的概率是________.
15．从 ， ， ， 这 个数中随机取出 个不同的数 ， ，则 的概率为__________．
16．为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有 人在一次外出时需要从蓝、白、
红、黑、绿 种颜色各 只的口罩中随机选 只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为
____________．
四、解答题
17．现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球
后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设第一次接球人为 ，第二次接球人为 ，通过 次传接球后，列举出 的所有可能的结果；
(2)完成第三次传接球后，计算球正好在乙处的概率．
