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专题 1-1 集合与常用逻辑用语
目录
专题1-1 集合与常用逻辑用语...............................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：元素与集合................................................................................................................................1
题型二：集合中元素的特征....................................................................................................................5
题型三：集合的表示方法........................................................................................................................6
题型四：集合间的基本关系....................................................................................................................8
题型五：集合的基本运算......................................................................................................................11
题型六： 图应用...........................................................................................................................14
题型七：集合中的新定义题..................................................................................................................17
以0为聚点的集合有______（写出所有你认为正确结论的序号）..................................................18
题型八：充分性与必要性中“是”字正序结构..................................................................................22
题型九：充分性与必要性中“的”字倒序结构..................................................................................25
题型十：根据全称命题（特称命题）的真假求参数..........................................................................27
................................................................31
一、单选题..............................................................................................................................................31
二、多选题..............................................................................................................................................36
三、填空题..............................................................................................................................................38
题型一：元素与集合
【典型例题】
例题1．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知集合 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， ， ，即 ，则实数a的取值范围是 ，
故选:C.
例题2．（2022·上海青浦·二模）已知集合 ，其中 且
，函数 ，且对任意 ，都有 ，则 的值是_________．
【答案】 或3.
【详解】先判断区间 与 的关系，因为 ，故 或 .因为当 ，
即 时，由题意，当 时， ，故不成立；故 .
再分析区间 与 的关系，因为 ，故 或 .
①当 ，即 时，因为 在区间 上为减函数，故当
， ，因为 ，而 ，故此时 ，即
，因为 ，故 即 ，故 ，解得
，因为 ，故 .此时区间 在 左侧， 在
右侧.故当 时， ，因为 ，故 ，
所以 ，此时 ，故 ，解得 ，因为 ，故
；②当 时， 在区间 上单调递减，易得
，故此时 且 ，即
且 ，所以 ，故 ，故 ，即
， ，因为 ，故 ；
综上所述， 或3
故答案为： 或3.
【提分秘籍】
1、元素与集合的关系：属于（ ），不属于（ ）；
2、对于元素与集合的关系，牢牢抓住元素是否在集合内.
【变式演练】
1．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知集合 ，集
合 中至少有2个元素，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为集合 中至少有2个元素，
所以 ，解得 ，
故选：D
2．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））等差数列 中 ，
. 若集合 中仅有2个元素，则实数 的取值范围是______．【答案】
【详解】解：设等差数列 的公差为 ，
由题设可知： ，
解得： ， ，
，
，
令 ，则 ，
当 时， ，
当 时， ，
（1） （2） （3） （4） ，
又 （1） ， （2） ， （3） ， （4） ，
集合 中有2个元素，
即集合 中有2个元素，
， ．
故答案为： ．
题型二：集合中元素的特征
【典型例题】例题1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知集合
，则 的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：
所以 ，所以 的元素个数为2.
故选：B.
【提分秘籍】
1、集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性；
2、解决集合中元素的问题特别注意互异性，有时需要讨论，或者检
验.
【变式演练】
1．（2022·广东·揭西县河婆中学模拟预测）已知集合 、集合 ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．有可能 B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ， ， ，
若 ，由集合中元素互异性知： ， ；
若 ，同理可知： ， ；
综上所述： .
故选：B.题型三：集合的表示方法
【典型例题】
例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知集合
，则 中元素的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【详解】解：由椭圆的性质得 ，
又 ,
所以集合
共有11个元素.
故选：C
例题2．（2022·上海市杨思高级中学高一阶段练习）设集合 ，试
用列举法表示集合 _________.
【答案】
【详解】解：因为 ，所以 可取 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
故答案为： .
【提分秘籍】
1、集合的表示方法主要有列举法，描述法， 图法；灵活
2、灵活选择合适的方法表示集合，如列举法，注意不重复，不遗
漏；描述法注意书写规范，认清一般元素代表.
【变式演练】
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ,
则 ,
故选：A
2．（2022·江西省丰城中学模拟预测（理））已知集合 ，集合
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， ，
,
故选：C
题型四：集合间的基本关系
【典型例题】
例题1．（2022·重庆十八中高一阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如
下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如
的交替和是 ；而 的交替和是5，则集合 的所有非空
子集的交替和的总和为（ ）
A．32 B．64 C．80 D．192
【答案】D
【详解】集合 的所有非空子集的交替和的总和为 ，
集合 的所有非空子集的交替和的总和为 ，
集合 的所有非空子集的交替和的总和为
，
集合 的所有非空子集的交替和的总和为
，
由此猜测集合 的所有非空子集的交替和的总和为 ，
证明如下：将集合 中所有的子集分为两类：第一类，集合中无 ，第二类，集
合中有 这个元素，每类中集合的个数为
我们在两类集合之间建立如下一一对应关系：第一类中集合 对应着第二类中集合 ，
此时这两个集合的交替和为 ，
故集合 的所有非空子集的交替和的总和为 ，
所以 ．
故选：D．
例题2．（2022·上海市南洋模范中学高一期中）设集合 ，
， ， ，其中 ，
，下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， 是 的子集，对任意的 ， 不是 的子集
B．对任意 ， 是 的子集，存在 ，使得 是 的子集
C．存在 ，使得 不是 的真子集，对任意的 ， 是 的子集
D．存在 ，使得 不是 的子集，存在 ，使得 是 的子集
【答案】B
【详解】解：对于集合 ，
可得当 ，即 ，可得 ，即有 ，可得对任意a， 是
的子集；
当 时， ， ，可得 是 的子集；
当 时， ， 且 ，可得 不
是 的子集；
综上有，对任意a， 是 的子集，存在b，使得 是 的子集.
故选：B.
【提分秘籍】1、集合点的基本关系：相等，子集，真子集；
2、特别在表示子集关系时，要讨论 是否符合题意.
【变式演练】
1．（多选）（2022·浙江·德清县教育研训中心高一期中）当两个集合中一个集合为另一个
集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集
时，称这两个集合成“偏食”.对于集合 ， ，若
与 构成“全食”或“偏食”，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】当 时， ， ,所以 与 构成“全食”；
当 时， ，如果 ， 与 构成“全食”；如果
， ，此时 与 构成 “偏食”；
当 时，如果 则 ， ， ，所以 与 构成“全食”；如果
则 ， ，所以选项A错误；
故选：BCD
2．（多选）（2022·河北·高一期中）已知集合 ，
，若使 成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】由题意集合 ， ，
因为 ，所以当 时， ，即 ；
当 时，有 ，解得 ，故 ,则M的一个真子集可以是 或 ，
故选：BC.
题型五：集合的基本运算
【典型例题】
例题1．（2022·上海市香山中学高一期中）已知集合 ，集合
，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 或 ，解得 或
即 ，
因为 ，所以
当 时， ，满足要求.
当 时，则 ，由 ，
可得 ，即
当 时，则 ，由 ，
可得 ，即
综上所述，
故选:B.
例题2．（2022·江苏省苏州第十中学校高一阶段练习）已知 表示不超过 的最大整数，称为高斯取整函数，例如 ，方程 的解集为 ，集合
，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】由 ，得 ，即 ，解得 或
，
所以 或 ，
当 时， 或 ，
由 ，得 ，解得 ；
当 时， 或 ，
由 ，得 ；
当 时， ，满足 ，
综上所述实数 的取值范围是 或 ，
故选：A.
【提分秘籍】
1、集合的基本运算包含：并（ ），交 ，补（ ）；
2、 ， 注意讨论 .【变式演练】
1．（2022·河北张家口·高一期中）不等式 的解集为 ，若集合
， ，则 ____________．
【答案】
【详解】解：因为不等式 的解集为 ，
所以 和 为方程 的两根且 ，
所以 ，即 、 ，
所以不等式 ，即 ，即 ，解得 ，即
，
不等式 即 ，即 ，解得 或 ，
所以 或
则 ，
所以 .
故答案为：
2．（2022·上海中学高一期中）已知全集 ， ，
，且 ，求a的取值范围.
【答案】
【详解】由 得 ，而 ，
当 时，由 得 ，当 时，对于 有 ，
则 解得 ，
综上，a的取值范围是 ．
题型六： 图应用
【典型例题】
例题1．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合 ，
， ，全集为 ，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，
A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
例题2．（2022·浙江·高三专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果
显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的
有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其
中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【答案】A
【详解】
如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小
学生分别用集合 表示，
则
不妨设总人数为 ，韦恩图中三块区域的人数分别为
即
由容斥原理：解得：
故选：A
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 是虚数单位，集合 （整数集）和
的关系韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷个
【答案】B
【详解】因为 ， ，所以集合 ，
因为阴影部分所示的集合为 ， ，
所以 ，阴影部分所示的集合的元素共有 个，故选B．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出
“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群
体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有
50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大
典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟
业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短
视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
【答案】3
【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开
国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有
(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有 (人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有 (人)，
因此，至少看了一支短视频的有 (人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为 .
故答案为：3
题型七：集合中的新定义题
【典型例题】
例题1．（2022·江苏南通·高三期中）对于集合 ， ，我们把集合
记作 ．例如， ， ， ，则 ，
．现已知 ，集合 ， 是 的子
集，若 ， ，则 内元素最多有（ ）个
A．20个 B．25个 C．50个 D．75个
【答案】B
【详解】设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，
若 ， ，即 ，则 ．
所以 ．当且仅当 时取等号
即 内元素最多有25个，故选：B.
例题2．（2022·上海市建平中学高三开学考试）设集合 ，如果 满足：对任意
，都存在 ，使得 ，那么称 为集合 的聚点，则下列集合中：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
以0为聚点的集合有______（写出所有你认为正确结论的序号）
【答案】(2)(4)
【详解】对于(1)：当 时， 或 ，
显然 或 ，
即不存在 ，使得 ，故(1)错误；
对于(2)：∵ 或 ，
此时令 或 ，
故对任意 ，都存在 ，使得 成立，故(2)正确；
对于(3)：因为 ，
所以当 时， 或 ，
此时 或 ，
即不存在 ，使得 ，故(3)错误；
对于(4)：∵ 或 ，
故当 时，即 时，总有 或 ，故(4)正确.
故答案为：(2)(4).【提分秘籍】
集合中新定义题考查范围广，解题时注意严格按照题意定义求解
【变式演练】
1．（2022·四川·模拟预测（理））设 是 的两个非空子集，如果存在一个从 到 的
函数 满足：(i) ；(ii)对任意 ，当 时，恒有
，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（
）
A． B． ， 或
C． D．
【答案】D
【详解】解：对于 ， ，存在函数 ， ，满足：
； 对任意 ， ，当 时，恒有 ，所以选项A是
“保序同构”；
对于 ， 或 ，存在函数 ，满
足：
； 对任意 ， ，当 时，恒有 ，所以选项B是
“保序同构”；
对于 ， ，存在函数 ，满足： ；
对任意 ， ，当 时，恒有 ，所以选项C是“保序同构”；
对于选项D, ,不存在函数 ，不是“保序同构”，所以选项D不是“保序同
构”.
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在整数集中，被 除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 .给出下列四个结论.
① ；② ；③ ；④“整数 属于同一“类””的充
要条件是“ ”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
【答案】①③④
【详解】对于①， ，则 ，①正确；
对于②， ，则 ，②不正确；
对于③， 任意整数除以 ，余数可以且只可以是 四类，
则 ，③正确；
对于④，若整数 、 属于同一“类”，
则整数 、 被 除的余数相同，可设 ， ，其中 、 ，
，
则 ，故 ，
若 ，不妨令 ，
则 ，
显然 ，于是得 ， ，即整数 属于同一
“类”，
“整数 属于同一“类””的充要条件是“ ”，④正确．
正确的结论是①③④.
故答案为：①③④.
3．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，集合
，若 的子集 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 为“稀疏集”.那么使 能分成两个不相交的稀疏集的并集时， 的最大值是___________.
【答案】
【详解】先证当 时， 不能分成两个不相交的稀疏集的并集，
假设当 时， 能分成两个不相交的稀疏集的并集，设 和 为两个不相交的稀疏
集，
使 ，
不妨设 ，则由于 ，所以 ，即 ，
同理可得： ， ，可推出 ，当 ，这与 为稀疏集矛盾，
所以 时， 不能分成两个不相交的稀疏集的并集，
再证明 时，能分成两个不相交的稀疏集的并集，
时， 能分成两个不相交的稀疏集的并集，
取 ， ，则 和 都是稀疏集，
且 ，
当 时，集合 中，除整数外，剩下的数组成集合 ，
可以分成下列 稀疏集的并集：
， ，
当 时，集合 中，除整数外，剩下的数组成集合 ，
可分为下列 稀疏集的并集：
， ，最后集合 且 中的数的分母都是无理数，它与 中的任何
其它数之和都不是整数，
因此令 ， ，则 和 为两个不相交的稀疏集，且
，
综上所述： 的最大值是 ，
故答案为： .
题型八：充分性与必要性中“是”字正序结构
【典型例题】
例题1．（2022·广东·华南师大附中高三阶段练习）“ ”是“函数
在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当 时， ，对于函数 ，其图象对称轴为
，
则函数 在 上单调递增，
当 时， 图象对称轴为 ，故函数在 上单调递增，
即“函数 在 上单调递增”推不出“ ”成立，
故“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A.
例题2．（2022·江苏镇江·高三期中）“ ”是“函数 的最大值
小于1”的___________条件.(在“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分
也不必要”中选择一个填空)【答案】充分不必要
【详解】① 时， ，即 ；
②对于函数 ， ，
若 ，则 ，f(x)在x>0时单调递减，没有最大值；
若 ，则 时， ， 单调递增； 时， ， 单
调递减；
∴ ，若 ，则 ．
故“m＞1”是“函数 的最大值小于1”的“充分不必要”条件．
故答案为：充分不必要．
【提分秘籍】
1、充分性和必要性主要考查两种结构， 是 的 条件，是典
型的正序结构，如： 是 的必要不充分条件，翻译成数学语言为：
且
【变式演练】
1．（2022·上海市进才中学高三期中）若“ ”是“ ”成立的
必要不充分条件，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由 得： ；
由必要不充分条件定义可知： ，
或 ，解得： 或 ；与 不同时成立， 实数 的取值范围为 .
故答案为： .
2．（2022·福建·福州第十五中学高三阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则“
”是“ 是周期为2的周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【详解】由 得， ，
所以， ，即 .
所以“ ”是“ 是周期为2的周期函数”的充分条件.
如下图是一个周期为 得函数，
得不出 ，
所以“ ”是“ 是周期为2的周期函数”的不必要条件.
所以“ ”是“ 是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.
故选：A.题型九：充分性与必要性中“的”字倒序结构
【典型例题】
例题1．（2022·重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））关于 的不等式
恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：当 时， ，该不等式成立；
当 ，即 时，该不等式成立；
综上，得当 时， 关于 的不等式 恒成立，
所以，关于 的不等式 恒成立的一个充分不必要条件是 ．
故选：D．
例题2．（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）若关于 的不等式 成立
的充分条件是 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时， 不成立，故 ，此时由 得 ，
因为不等式 成立的充分条件是 ，即 ，
故 ，解得 ，
故选:D
【提分秘籍】
1、倒序结构， 的 条件是 ，如： 的必要不充分条件是，翻译成数学语言： 且 .
【变式演练】
1．（2022·福建省厦门第六中学高三阶段练习）函数 在 上单调
递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，可得函数 在 单调递减，在 单调递增，又
由函数 ，满足 ，解得 或 ，根据复合函数的单调
性，可得函数 的单调递增区间为 . 在 上单调递增
.所以对照四个选项，可以得到一个充分不必要条件是： .
故选：D
2．（2022·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）命题“ ”为真命题的一个
充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为命题 是真命题，当 时， ，若
恒成立，则 ，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是 ，
故选：B．
题型十：根据全称命题（特称命题）的真假求参数
【典型例题】
例题1．（2022·江西江西·高三阶段练习（文））若存在 ，使不等式
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】令 ， ，
当 时， 此时结论显然成立.
当 时， 在 上单调递减， ，且与 轴交点为 .
又 在 上单调递增，与 轴交点为
， ，
综上所述：实数 的取值范围是 ,
故选：C
例题2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若 ，使得 成
立是假命题，则实数 可能取值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】AB
【详解】由条件可知 ， 是真命题，
即 ，即 ，
设
等号成立的条件是 ，所以 的最小值是 ，
即 ，满足条件的有AB.故选：AB
例题3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知命题 ： 为
真，则实数 的取值范围__________.
【答案】
【详解】 ，在 开口向上，
对称轴为 ，在 时当 时取得最大值为2，
所以实数m的取值范围 ，
故答案为：
例题4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））命题“
”为真，则实数 的范围是__________
【答案】
【详解】由题意知：不等式 对 恒成立，
当 时，可得 ，恒成立满足；
当 时，若不等式恒成立则需 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
【提分秘籍】
1、任意 ，存在 的问题，主要有 判别法（二次型+ 区间）；变
量分离法
2、 判别法：如 , 恒成立，注意需要在 区间上，
才能使用 判别法；如果不是在 区间上，即便是二次不等式，也不
能单独使用 判别法.3、变量分离法：将参变量分离到一边，如： ，
， ；
， ；
，
【变式演练】
1．（多选）（2022·山东·济宁市育才中学高三阶段练习）命题“ ，使
”是假命题，则实数m的取值可以为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【详解】若 ，使 是假命题，
则 ，使 是真命题，
当 时， 转化 ，不合题意；
当 时，则 ，
解得 ，
综上， .
故选：CD.
2．（2022·河南省实验中学高三阶段练习）已知命题“ ， ”是假命
题，则m的取值范围是_________.
【答案】
【详解】由题意可知命题“ ， ”是真命题，即 ，
.因为 ，所以 ，则 .故答案为： .
3．（2022·上海市延安中学高三期中）命题 ：“ ， ”为假命题，
则 的取值范围是_________．
【答案】
【详解】“ ， ”为假命题则“ ， ”为真命
题，
①当 时， ，成立；
②当 时， ，解得 ；
综上所述， .
故答案为： .
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）集合A＝{1，2，t}，B＝{a2|a∈A}，C＝A∪B，C中元素和
为6，则元素积为（ ）
A．1 B．﹣1 C．8 D．﹣8
【答案】D
【详解】解：因为A＝{1，2，t}，B＝{a2|a∈A}，所以1∈B，4∈B，t2∈B，
所以以1∈C，4∈C，t2∈C，
若t2＝1，则t＝1（舍去）或﹣1，此时C＝{1，2，4，﹣1}，符合题意，
所以C中的元素的积为1×2×4×（﹣1）＝﹣8，
若t2＝2，则t＝ 或﹣ ，此时C＝{1，2，4， }或{1，2，4，﹣ }，与已知C中的元素和为6不符，
若t2＝t，则t＝0或1（舍去），此时C＝{1，2，4，0}，
也与已知C中的元素和为6不符，
若t2≠1，2，t，则C＝{1，2，4，t，t2}，则1+2+4+t+t2＝6，即t2+t+1＝0，方程无解，
综上，C中元素的积为﹣8，
故选：D.
2．（2022·江苏·盐城中学高三阶段练习）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ，
令 ，
因为 都是增函数，所以函数 为增函数，
又 ，
所以不等式 的解为 ，
所以 .
故选：A.
3．（2022·江西·临川一中高三期中（文））设命题 ，命题
，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 得： ，解得： ，即 ；由 得： ，即 ；
是 的必要不充分条件， ，
，解得： ，即实数 的取值范围为 .
故选：C.
4．（2022·江西南昌·高三阶段练习（理））已知集合 ，
，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，则 ,由于直线 过定点 ，
故圆 需在直线 的上方即原点所在的一侧，（ ），
故 ，解得 ，
故选：A.
5．（2022·江苏南通·高三期中）设集合X是实数集R的子集，如果点 满足：对任意
，都存在 ，使得 ，称 为集合X的聚点，则在下列集合中：①；② ；③ ；④ ，以0
为聚点的集合有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【详解】对于①集合 ，对任意的 ，都存在 （实际上任意比α小
得数都可以），
使得 ，∴0是集合 的聚点；
对于② ，对于某个实数 ，比如 ，
此时对任意的 ，都有 ，
也就是说不可能 ，从而0不是 的聚点；
对于③ ，对任意的 ，都存在 ，即 ，
使 ，故0是集合 的聚点；
对于④ ， ，故 随着n的增大而增大，
故 的最小值为 ，故当 时，即不存在 ，使得 ，
故0不是 的聚点；
故以0为聚点的集合有2个，
故选：B
6．（2022·福建龙岩·高三期中）“方程 表示的图形是圆”是“
”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解：由方程 表示的图形是圆，
可得 ，
即 ；
由 ，
得 ，
显然 ，
所以“方程 表示的图形是圆”是“ ”的必要不充分条
件．
故选：B．
7．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知函数 ，则“函
数 为偶函数”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若函数 为偶函数，则对任意的 ，
，
因为 ，则 ，
即 ，即 ，所以， ，解得 ，又因为 ，因此，“函数 为偶函数”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2022·山东·宁阳县第四中学高三阶段练习）若命题“ ， ”
为假命题，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】若命题“ ， ”为假命题，
则命题“ ， ”为真命题，
即判别式 ，即 ，解得 .
故选：A.
二、多选题
9．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）设Z表示整数集，且集合
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】∵ ，由 ，则 ，
即 中元素都是 中元素，有 ；．
而对于集合 ，当 时， ，故 ，但 ，∴
由 ，有 ，A选项正确； , B选项错误；
由 ，有 ，∴ ， ，C选项错误，D选项正
确.
故选：AD．10．（2022·河北秦皇岛·三模）定义：不等式 的解集为 ，若 中只有唯一整
数，则称 为“和谐解集”．若关于 的不等式 在 上存
在“和谐解集”，则实数 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】本题考查新定义与三角函数，考查推理论证能力与直观想象的核心素养．
不等式 可化为 ．
由函数 的图像，可知 只有一个整数解，这唯一整数
解只能是 ，因为点 是 图像上的点，所以
．因为 ， ， ，
.
故选：CD.
11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“ ”为真命题的一个
充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为 为真命题，
所以 或 ，
所以 是命题“ ”为真命题充分不必要条件，A对，
所以 是命题“ ”为真命题充要条件，B错，所以 是命题“ ”为真命题充分不必要条件，C对，
所以 是命题“ ”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
12．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）对 ， 表示不超过x的最大整数．十八
世纪， 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函
数”，则下列命题中的真命题是（ ）
A． ，
B． ， 的奇函数
C．函数 的值域为
D． 恒成立
【答案】ACD
【详解】设 是x的小数部分，则由取整函数的定义知： ，当x为整数时，
，则 ，当x不为整数时， ，则 ，且 成立，即
，
A，由取整函数的定义知： ，所以 ， 成立，故选A正确；
B，当 时， ，当 时， ，故 ， 不是奇函
数，故B错误；
C，由取整函数的定义知： ，所以 ， ， 函数
的值域为 ，故C正确；
D，由取整函数的定义知： ， ，所以
，故D正确．
故选：ACD．三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）定义 ， ，已
知 ， ，则 _____.
【答案】
【详解】解：由 ，则 或 ，解得 或 ，
综上可得 ，即 ，
由 ，解得 或 ，
所以 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以当 ， ， ，
当 ， ， 或 ，
故 ．
故答案为： ．
14．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知集合 ，
若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解；由 可得
①若 ，则，则 ，其中所有整数的元素的和不可能是18，舍去②若 ，则 ，不符合题意
③若 ，则 ，由 知 中的整数有3，4，5，6，
∴
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，则“方
程 在区间 和 上各有一个解”的一个充分不必要条件是a＝______．
（写出满足条件的一个值即可）
【答案】 （答案不唯一）
【详解】方程 在区间 和 上各有一个解，则
解得
所以 是方程 在区间 和 上各有一个解”的一个充分不必要条件
故答案为：
16．（2022·新疆·乌市八中高三阶段练习（理））若命题“ ， ”为
假命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】命题“ ， ”是假命题，
命题的否定：“ ， ”是真命题，
即 恒成立，
当 时，显然成立；
当 时，则 ，解得： 综上，实数a的取值范围是 ，故答案为： .
