素养拓展4指数、对数、幂值的比较大小（精讲+精练）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展 04 指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、常规思路 1. ①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性； ②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小； 注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。 2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助 “媒介数”进行大小关系的判定. 3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。 二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数 1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用 将要比较的三个数化为结构相 x=ln⁡ex (x∈R),x=eln⁡x (x>0) 同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小. 2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变 量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利 用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(ℎ(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调 性,转化为比较自变量g(x)与ℎ(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。 常见指数、对数的同构函数有: ex x (1)y=xex与y=xln⁡x; (2)y= 与y= ; x ln⁡x (3)y=x+ex与y=ln⁡x+x; (4)y=ex−x与y=x−ln⁡x。 3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看 作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基 础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑 通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.三、放缩法 1 1.ln⁡x⩽x−1(x>0)；ln⁡x⩾1− (x>0) x 2.ex ⩾x+1(x∈R)；ex>x>ln⁡x(x>0); (1−x)ex ⩽1(x∈R) ( π) 3. sin⁡x2b B.a<2b C.a>b2 D.a1,则( ) ea eb A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b 3．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4 28．（2023春·湖北武汉·高三校联考期末）设a= ，b=ln1.04，c=e0.04−1，则下列关系正确的是 104 （ ） A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a