素养拓展4指数、对数、幂值的比较大小（精讲+精练）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 04 指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、常规思路
1. ①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助
“媒介数”进行大小关系的判定.
3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。
二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用 将要比较的三个数化为结构相
x=ln⁡ex (x∈R),x=eln⁡x (x>0)
同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变
量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利
用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(ℎ(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调
性,转化为比较自变量g(x)与ℎ(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
常见指数、对数的同构函数有:
ex x
(1)y=xex与y=xln⁡x; (2)y= 与y= ;
x ln⁡x
(3)y=x+ex与y=ln⁡x+x; (4)y=ex−x与y=x−ln⁡x。
3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看
作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基
础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑
通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.三、放缩法
1
1.ln⁡x⩽x−1(x>0)；ln⁡x⩾1− (x>0)
x
2.ex ⩾x+1(x∈R)；ex>x>ln⁡x(x>0); (1−x)ex ⩽1(x∈R)
( π)
3. sin⁡x<x<tan⁡x 0<x<
2
二、题型精讲精练
【典例1】 设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据换底公式可得 ，由对数函数的性质可得 ，从而可比较大小.
【详解】 ,
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 .
又 ，所以 .
故选:A.
【典例2】已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】先对等式变形得到 ， ， ，构造 ，求导得到其单调性，结
合 ， ，得到 ， ，由 推出 ，结合函数单调性求出 ，从
而比较出大小.
【详解】由 ，同理 ， ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
可得函数 的递减区间为 ，递增区间为 ，而2 < e < 3 < 4，
又由 ， ，可得 ， ，
，
又由 及 的单调性，可知 ，故 ．故选：C．
【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过
导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，变形得到 ， ，
，从而构造 ，达到比较大小的目的.
【典例3】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简得 ，构造函数 ，通过导数可证得 ，可得，而 ，从而可得答案．
【详解】 .设 ，则有 ，
单调递减，从而 ，所以 ，故 ，即 ，而 ，故
有 ．故选：A．
【题型训练1-刷真题】
1．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·统考高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
4．（2020·全国·统考高考真题）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【题型训练2-刷模拟】
1 . 常规思路
1．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．3．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 ， ， 则（ ）
A． B．
C． D．
6．设 ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
2 . 构造函数
一、单选题
1．（2023春·北京·高三北京铁路二中校考期中）设 ， ， （ ），则a，b，c
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考期末）设 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）设 ， ， ，则a、b、
c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习） ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·江苏宿迁·高三统考开学考试）已知 则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·新疆·统考一模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·新疆乌鲁木齐·高三统考阶段练习）设 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）设 ．则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．14．（2023·广西河池·校联考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3 . 放缩法
1．（2023·全国·高三专题练习）若 ,则
2a+log ⁡a=4b+2log ⁡b
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2
ln⁡a b
2．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a,b,c满足 = =c,b>1,则( )
ea eb
A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b
3．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4
28．（2023春·湖北武汉·高三校联考期末）设a= ，b=ln1.04，c=e0.04−1，则下列关系正确的是
104
（ ）
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a