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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 01 讲 集合（精讲）
题型目录一览
集合的含义及其表示
集合间的基本关系
集合的交并补运算及 图的应用
集合新定义问题
一、知识点梳理
1.集合的有关概念
1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉．
4．五个特定的集合及其关系图：N*或N 表示正整数集，N表示非负整数集(或
＋
自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A
为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集
符号表示 A∪B A∩B
合A的补集为C A
U
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x ∉A}
【常用结论】
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
（4） , ．
二、题型分类精讲
题型一 集合的含义与表示
策略方法 解决与集合中的元素有关问题的一般思路
【典例1】已知集合 ， ， ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题设知 ，讨论 、 求a值，结合集合的性质确定a值即可.
【详解】由 知： ，
当 ，即 ，则 ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当 ，即 或 ，
若 ，则 ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若 ，则 ， ，满足要求.
综上， .故选：A
【典例2】已知集合 ，则集合 中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【分析】根据 ，采用列举法表示集合B 即可求解.【详解】根据题意 ，
所以集合B中共有6个元素，故选：C.
【题型训练】
1．（2022·全国·统考高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:
2．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合 ，若 ，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论 和 两种情况，求解 并检验集合的互异性，
可得到答案.
【详解】设集合 ，若 ，
， 或 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
所以 或 .
故选：C
3．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合 ， ，若 ，则实
数x的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.
【详解】因为 ，所以 .
当 时， ，得 ；
当 时，则 .
故实数x的取值集合为 .
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则集合B中
所含元素个数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【分析】根据 的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数．
【详解】当 时，有 ，6个元素；
当 时，有 ，5个元素；
当 时，有 ，4个元素；
当 时，有 ，3个元素；
当 时，有 ，2个元素；
当 时，有 ，1个元素，
综上，一共有21个元素．
故选：B．
5．（2023·全国·高三专题练习）设集合 ， ，则 的元素个数是
（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4【答案】C
【分析】联立 求出交点坐标，从而得到答案.
【详解】联立 ，即 ，解得： 或 ，
即 ，
故 的元素个数为3.
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则集合 中元素的个数是
（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据 ，采用列举法表示集合B 即可求解.
【详解】根据题意 ，
所以集合B中共有6个元素，
故选：C.
二、填空题
7．（2023·河北·高三学业考试）设集合 ， ， ，则 中的
元素个数为______．
【答案】4
【分析】求出所有 的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合 中的元素 ， ， ，所以当 时， ，2，3，此时 ，6，
7．当 时， ，2，3，此时 ，7，8．
根据集合元素的互异性可知， ，6，7，8．即 ，共有4个元素．
故答案为：4．
8．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成 ，又可表示成 ，则_____．
【答案】1
【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.
【详解】因为 ，
显然 ，故 ，则 ；
此时两集合分别是 ，
则 ，解得 或 .
当 时，不满足互异性，故舍去；
当 时，满足题意.
所以
故答案为： .
9．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，则用列举法表示集合 为______．
【答案】
【分析】根据题意可得 ，则 ，对 代入检验，注意集合的元素为坐标．
【详解】∵ ，则可得 ，则
又∵ ，则当 成立，当 成立，
∴
故答案为： ．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
的元素个数是______.
【答案】0
【分析】分析集合 与 中的元素，可知 ，进而得解.【详解】因为 中的元素是有序实数对，
而 中的元素是实数，所以两个集合没有公共元素，即 ，
所以 的元素个数为0.
故答案为：0
题型二 集合间的基本关系
策略方法 判断集合关系的三种方法
【典例1】已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先解出集合 ,再根据 列不等式直接求解.
【详解】集合 ， .
要使 ，只需 ，解得： .故选：A
【典例2】已知全集 ， ，则集合B的真子集个数为
（ ）
A．63个 B．64个 C．127个 D．128个
【分析】根据补集关系，先得到 与集合B互补的结论，再计算出集合B元素个数n，最后根据
集合真子集个数为 个即可.【详解】根据 可得 ，
， ，
，故合B的真子集个数为 故选:C
【题型训练】
1．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知集合 满足 ，那么这
样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【详解】因为 ，
所以集合 可以为： ，
共8个，
故选：C.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）已知集合 ，若 ，
则实数 的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】化简集合 ，根据 ，求实数 的可能取值，由此可得结果.
【详解】集合 ，
又 ， ，所以 ，故实数a的取值集合为 ，
故选：C.
3．（2023·山东济南·一模）已知集合 ， ，若 ，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据定义域求出 ，由 得到a的取值范围.
【详解】由题意得 ，解得 ，故 ，
因为 ，所以 .
故选：A
4．（2023·天津河东·一模）已知集合 ， ， ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设知 ，讨论 、 求a值，结合集合的性质确定a值即可.
【详解】由 知： ，
当 ，即 ，则 ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当 ，即 或 ，
若 ，则 ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若 ，则 ， ，满足要求.
综上， .
故选：A
5．（2023·江苏·统考一模）设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.
【详解】解：因为 ，因为 ，
所以集合 是由所有奇数的一半组成，
而集合 是由所有整数的一半组成，故 .
故选：B
6．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合 ， ，则 的非空子
集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【分析】根据交集的运算和子集的定义求解.
【详解】因为 ，又 ，
所以 ，
所以 的元素个数为3，其非空子集有7个．
故选:A．
7．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设集合 ，则集合 的真子
集的个数为（ ）个
A．3 B．4 C．7 D．15
【答案】A
【分析】通过解方程组，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.
【详解】由 ，或 ，所以 ，
因此集合 的真子集的个数为 ，
故选：A
8．（2022秋·四川·高三四川省岳池中学校考阶段练习）设集合 ， ，则满足 的集合 的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立方程组确定 ，进而确定其子集的个数.
【详解】由 ，解得 ，即 ，
共 个元素，
又 ，
即 为 的子集，
所以 的个数为 个，
故选：C.
二、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ， ，则实数a的值是
________
【答案】
【分析】根据 ，列出元素之间的关系，即可求解实数 的值.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ，解得 .
当 时， ，满足要求.
所以 .
故答案为： .10．（2022·上海·统考模拟预测）已知集合 ，若 ，则实数a的
取值组成的集合是___________．
【答案】
【分析】先确定集合 中的元素，然后结合子集的概念，分 ， 两种情况讨论即可得出结果．
【详解】集合 ， ，
当 ，即 时，显然满足条件 ；
当 时，即 ，则 ，
因为 ，所以 或 ，即 或 ，解得 或 ，
综上，实数a的取值组成的集合是 ．
故答案为： ．
11．（2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）已知集合 ， ，若
，则 的取值集合为_______
【答案】
【分析】由题意可知 ，分 、 两种情况讨论，分析出方程 的解的情况，综合可求得
实数 的值.
【详解】因为 ，则 .
①若 ，则 ，符合题意；
②若 ，则 ，则 或 ，解得 或 .
综上所述，实数 的取值集合为 .
故答案为： .
12．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知集合 ， ，集合，则集合C的子集的个数为____________．
【答案】16
【分析】分别求出函数的值域、定义域化简集合A，B，再利用交集的定义求出集合C即可作答.
【详解】集合 ， ，
则集合 ，
所以集合C的子集的个数为 ．
故答案为：16
13．（2022秋·河南安阳·高三校联考阶段练习）集合 且 的所有非空真子集的个数为
__________.
【答案】14
【分析】化简集合，然后根据子集的概念即得.
【详解】因为 且 ，
所以该集合的所有非空真子集的个数为 ．
故答案为：14.
题型三 集合的基本运算
策略方法 集合运算三步骤
【典例1】已知集合 ，集合 ，则 （ ）A． B． C． D．
【分析】先化简集合A、B，再去求 即可解决.
【详解】
则 故选：C
【典例2】已知集合 ， ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据集合 与集合 的交集和并集运算结果，确定集合 与集合 中元素，再根据元素与集
合的关系求解参数即可.
【详解】 ， ，得 ，解得 .
故 .又因为 ，所以得 .
代入得 ，解得： ，综上可得： .故选：C.
【题型训练】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合 后可求 .
【详解】[方法一]：直接法
因为 ，故 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法代入集合 ，可得 ，不满足，排除A、D；
代入集合 ，可得 ，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
2．（2022·浙江·统考高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】 ，
故选：D.
3．（2022·全国·统考高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:
4．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题）已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式化简集合B，然后利用交集概念运算即可.【详解】因为 ，
又 ，所以 .
故选：C.
5．（西藏拉萨市2023届高三一模数学（理）试题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合A，进而利用交集定义求得 .
【详解】由题意知 ，又 ，
所以 .
故选：D.
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知集合 ， ，
则 中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】应用并运算求 ，即可得元素个数.
【详解】由题设 ，所以 ，故其中元素共有4个.
故选：B
7．（2023·北京朝阳·统考一模）已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简 ，再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意 ， ，
所以 .
故选：C.
8．（2023春·浙江杭州·高二浙江大学附属中学期中）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的图象和性质及绝对值不等式化简集合 ，再根据集合并集的定义求解即可.
【详解】由 解得 ，所以 ，
由 可得 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
9．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知全集 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求出集合 ，再求补集可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：C.
10．（2023春·湖南·高二浏阳一中校联考阶段练习）设集合 ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式，求出 ，从而得到补集和交集.
【详解】∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ .
故选：A．
11．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集 ，集合 ，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】全集为U，集合 ， ， ,图中
阴影部分表示是 去掉 的部分，故表示的集合是 ．
故选：D．12．（2023春·湖南·高一校联考期中）设集合 ， ，能正确表示图中阴
影部分的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得集合 ，结合题意及集合的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合 ，
根据图中阴影部分表示集合 中元素除去集合 中的元素，即为 .
故选：B.
13．（2023·广东·统考一模）已知集合 ，则下列Venn图中阴影部分可
以表示集合 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn图逐一判断即可.【详解】 ，
选项A中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示 ，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意，
故选：B
14．（2023·贵州·校联考二模）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为 ， ，再根据集合运算求解即可.
【详解】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
所以 .
故选：B.
二、填空题15．（2023·上海嘉定·统考二模）已知 ， ，则 __________．
【答案】
【分析】解不等式，再求交集.
【详解】 等价于 ，解得 ，即 .
则 .
故答案为：
16．（2023·上海松江·统考二模）已知集合 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】根据先解不等式求集合，再应用交集的概念进行运算即可.
【详解】因为 ， ,
所以 .
故答案为: .
17．（2023·高三课时练习）设集合 ， ，则 ______.
【答案】
【分析】化简集合，然后根据并集的定义运算即得.
【详解】由题可知 ，
由 ，可得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
18．（2023·全国·高三对口高考）已知集合 ， ，则
___________．
【答案】
【分析】先求解B集合，再计算
【详解】 ， ．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则 ____________.
【答案】
【分析】根据对数函数的单调性解不等式可得集合 ，进而可得其补集.
【详解】由 ，解不等式 ，且 ，所以 ，
故 ， ，
故答案为： .
20．（2021秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期中）已知集合A＝{y|y＝2x}，全集U＝R，则
________．
【答案】
【分析】利用补集运算即得.
【详解】因为 ，
所以 .故答案为： .
21．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
________．
【答案】
【分析】分别求出集合 ，再根据交并补的运算法则计算即可.
【详解】由集合 解得 ，由集合 解得
，所以 ，所以 .
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
______
【答案】
【分析】由题意分别求出集合 ，然后求 即可.
【详解】由 ，
故 ，
故答案为： .
23．（2022秋·广东湛江·高三校考阶段练习）如图，已知集合 ，则图
中的阴影部分表示的集合为___________.【答案】
【分析】解指数不等式求得集合B，结合图象即可求解.
【详解】因为 ，即 ，解得
所以 ， ，
所以图中阴影部分表示的集合为
故答案为： .
24．（2022·全国·高三专题练习）建党百年之际，影片《 》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截
止 年 月底，《长津湖》票房收入已超 亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的
其中一部影片的市民中随机抽取了 人进行调查，得知其中观看了《 》的有 人，观看了《长津
湖》的有 人，观看了《革命者》的有 人，数据如图，则图中 ___________； ___________；
___________.
【答案】
【分析】根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.
【详解】由题意得： ，解得： .
故答案为： ； ； .
25．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计
高一年级有 人参加田径比赛，有 人参加游泳比赛，有 人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有
人参加田径比赛，有 人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有 人；同时参加三项比赛的有
人.则高一年级参加比赛的同学有___________.【答案】
【分析】设集合 、 、 分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，作出韦恩图，确定参加
各类比赛的学生人数，即可得解.
【详解】设集合 、 、 分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，
由图可知，高一年级参加比赛的同学人数为 .
故答案为： .
题型四 集合的新定义
策略方法 解决与集合的新定义有关问题的一般思路
1.集合的新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知
识和方法并不难，难在转化。
2.集合的新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的
定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理
解。
【典例1】若 ， ，定义 且 （ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【分析】求出 和 ，根据新定义可得结论．【详解】 ， ，
， ，
所以 或 ．故选：B．
【题型训练】
1．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为 ，定义一种运算 ，
，若全集 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合M，求得 ，根据集合运算新定义，即可求得答案.
【详解】由题意得 ， 或 ，
则 ，
故选：C
2．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和
等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合 ，集合
，则 真子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.
【详解】由题中定义可知 ，而 ，所以 ，因此 真子集个数为 ，
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）定义 ，集合 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】求出集合A中元素范围，再根据 的定义求解即可.
【详解】 ，
由已知 表示除去集合B中那些在集合A中的元素之后构成的集合，
或 .
故选：D.
4．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合 且 ，已知集合
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合新定义可知 ，求得 ，进而根据补集的定义求解即可.
【详解】结合新定义可知 ，又 ，
所以 ．
故选：A
5．（2023·全国·校联考模拟预测）对于集合 ，定义 ，且 ．若， ，将集合 中的元素从小到大排列得到数列 ，则
（ ）
A．55 B．76 C．110 D．113
【答案】C
【分析】根据集合的特征列出集合 与 的前若干项，找出集合 中元素的特征，进而即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ． 相当于集合 中除去 形式的数，其前
45项包含了15个这样的数，所以 ．
则 ，
故选：C.
6．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合 满足：① ，② ，
必有 ，③集合 中所有元素之和为 ，则集合 中元素个数最多为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】根据集合 满足的条件①②可知要使得集合 中元素尽可能多，则相邻的两个自然数最少差为 ，
故先考虑集合中元素是由公差为 的等差数列构成，判断集合元素的个数的最多情况，再对部分元素进行
调整即可得答案.
【详解】对于条件① ，② ，必有 ，
若集合中所有的元素是由公差为 的等差数列构成，例如 ，集合中有 个元
素，
又 则该集
合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合 中元素个数最多不能超过10个，
故若要集合 满足：① ，② ，必有 ，③集合 中所有元素之和为 ，最多有10个元素，
例如 .
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）定义集合运算 ，若集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，从而可得 或 ， 或 ，再根据新定义得
，再代入 验证即可得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 或
所以 或 ，
或
所以 或 ，
，
代入 验证，故 .
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）设集合X是实数集R的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在
，使得 ，称 为集合X的聚点，则在下列集合中：① ；②
；③ ；④ ，以0为聚点的集合有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而
得到答案.
【详解】对于①集合 ，对任意的 ，都存在 （实际上任意比α小得数都可以），
使得 ，∴0是集合 的聚点；
对于② ，对于某个实数 ，比如 ，
此时对任意的 ，都有 ，
也就是说不可能 ，从而0不是 的聚点；
对于③ ，对任意的 ，都存在 ，即 ，
使 ，故0是集合 的聚点；
对于④ ， ，故 随着n的增大而增大，
故 的最小值为 ，故当 时，即不存在 ，使得 ，故0不是 的聚点；
故以0为聚点的集合有2个，
故选：B
二、多选题
9．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪 直到1872年，
德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数 史称戴德金分割 ，并把实数
理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史
上的第一次大危机 所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足
， ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割 试判
断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． 是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【分析】根据戴德金分割的定义,举例或举反例一一判断每个选项，可得答案.
【详解】对于A，因为 ， ，故A错误；
对于B，若 ，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则 ，
则 ，而 内也有有理数，
则 ，故C错误；
对于D，若 ， ，则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，
故选：BD
10．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）设数集 满足下列两个条件：（1）
；（2） ，若 则 . 则下论断正确的是（ ）
A． 中必有一个为0
B．a，b，c，d中必有一个为1
C．若 且 ，则
D． ，使得
【答案】BCD
【分析】根据（1）（2）得到 ， ，A错误，B正确；再分 ， ，两种情况，经过推理得
到C正确；在C选项的分析基础上，得到若 ，此时求出 ， ，使得
，若 ，推理出 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，得到D正确.
【详解】由（1）得：数集 中必有1或0，
由（2）得： ，故 ，A错误，B正确；
由（1）知： ，故 等于 中的一个，
不妨设 ，因为 ，所以 ，故 ，
下面证明C正确，
因为 ，若 ，则 ，由（1）知： ，满足要求，
同理若 ，则 ，满足要求，若 ，则 ，满足要求，
若 ，因为 ，
若 ，则 ，满足要求，
若 ，则 中某个等于1，不妨设 ，由 得 ，
由（1）知： ，又因为 ， ，所以 ， ，故 ，
同理可得 ，所以相乘得 ，解得： ，因为 ，所以 ，故取 ，满足要求，
综上：若 且 ，则 ，C正确；
下面证明D正确；
由（1）知： ，故 等于 中的一个，
不妨设 ，因为 ，所以 ，故 ，
若 ，则 ，因为 中某个等于1，不妨设 ，由 得 ，
根据C选项的分析可知： ， ， ，
则 ，故 ，故 ， ，若 ， ，
此时 ， ，使得 ，D正确；
若 ，则 ， ，由（1）知： ，
若 ，则 ，不可能，
若 ，则 ，不可能，
若 ，则 ，不可能，
所以 ，故 ，同理可得： ，
因为 的平方根有且只有2个，
所以 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，
故不存在 即 的情况，
故 ，使得 ，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调
性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信
息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
11．（2023·全国·高三专题练习）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全
食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合
， ，若 与 构成“全食”或“偏食”，则实数 的取值可以是
（ ）A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对 分三种情况讨论，再结合“全食”或“偏食”的概念分析得解.
【详解】当 时， ， ,所以 与 构成“全食”；
当 时， ，如果 ， 与 构成“全食”；如果 ，
，此时 与 构成 “偏食”；
当 时，如果 则 ， ， ，所以 与 构成“全食”；如果 则 ，
，所以选项A错误；
故选：BCD
12．（2023·全国·高三专题练习）非空集合G关于运算 满足：（1）对任意a， ，都有 ；
（2）存在 ，使得对一切 ，都有 ，则称G关于运算 为“融洽集”.现给出下列
集合和运算，其中G关于运算 为“融洽集”的是（ ）
A． ， 为实数的乘法 B． ， 为整数的加法
C． ， 为整数的乘法 D． ， 为多项式的加法
【答案】AB
【分析】根据 是关于运算⊕为“融洽集”的定义，逐一分析四个集合及运算是否满足定义，可得答案．
【详解】对于 ， ， 为实数的乘法满足（1），且存在 满足（2），故 是关于运算⊕
的融洽集， 正确，
对于 ， 非负整数 ， 为整数的加法满足（1），且存在 满足（2），故 是关于运算⊕的融洽
集， 正确，
对于 ， 偶数 ， 为整数的乘法，若存在 满足（2），则 为奇数，与已知矛盾，故 不是关于
运算⊕的融洽集， 错误，
对于 ， ， 为多项式的加法．两个二次三项式的和不一定是二次三项式，不满足（1），故 不是关于运算⊕的融洽集， 错误，
故选： ．
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合 ，其所有元素的几
何平均数记为 ，即 ．若非空数集 满足下列两个条件：① A；②
，则称 为 的一个“保均值真子集”，据此，集合 的“保均值真子集”有__个．
【答案】
【分析】求出 ，由此利用列举法能求出集合 的“保均值真子集”的个数．
【详解】因为集合 ，则 ，
所以，集合 的“保均值真子集”有： 、 、 、 、
， ，共 个.
故答案为： .
14．（2022·全国·高三专题练习）若集合 中任意两个元素的和差积商的运算结果都在 中，则称 是
封闭集合.下列集合：（1） （2） （3） （4） 中.封闭集合的个数为
_____.
【答案】2
【分析】由题意结合封闭集合的定义逐一考查所给的集合是否满足题中的定义即可确定封闭集合的个数.
【详解】两个实数的和差积商仍然是实数，故 是一个封闭集合；
两个有理数的和差积商仍然是有理数，故 是一个封闭集合；
两个无理数的积商不一定是无理数，例如 ，而 ，故 不是封闭集合；令 ，注意到 ，而 ，故
不是封闭集合；
综上可得，封闭集合的个数为2.
故答案为：2.
15．（2023·全国·高三专题练习）给定数集 ，若对于任意 、 ，有 ，且 ，则
称集合 为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______：
①集合 是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合 是闭集合；
④若集合 、 为闭集合，则 为闭集合．
【答案】③
【分析】新定义，利用新定义的运算验证选项，判断是否满足闭集合.
【详解】对于①， ， ，所以错误；
对于②，因为正整数减正整数可能不为正整数，所以错误，
对于③，当 时，设 ，
则 ，所以集合 是闭集合，所以正确；
对于④, 设 ，
由③可知，集合 为闭集合， ，而 ，故 不为闭集合，所以错误．
故答案为：③.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， 设
整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 _____.【答案】
【分析】根据 的定义进行分析，从而确定正确答案.
【详解】 表示集合 所含元素的个数，
其中 ， ，
整除 的有 共 个.
整除 的：
（1） 整除 的有 个；
（2） 整除 的有 个；
（3） 整除 的有 个.
重复的有 共 个.
所以 .
故答案为：
