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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 28 讲 等差数列（精讲）
题型目录一览
①等差数列基本量的计算
②等差数列的性质及其应用
③等差数列的前 n 项和
④等差数列中中
a
与
a+ bi =c+ di ⇔a=b,且c=d
的关系
n
⑤等差数列的判定与证明
一、知识点梳理
一、等差数列的有关概念
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差
数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为 （常数）
．
2.等差中项的概念
若三个数 ， ， 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且有 ．
二、等差数列的有关公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，那么它的通项公式是 ．
2.等差数列的前 项和公式
设等差数列 的公差为 ，其前 项和 ．
三、等差数列的常用性质
已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和．
1.通项公式的推广： ．
2.在等差数列 中，当 时， ．
3. ，…仍是等差数列，公差为 ．4. ，…也成等差数列，公差为 ．
5.若 ， 是等差数列，则 也是等差数列．
四、等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列 是等差数列⇔ （ 为常数）．
【常用结论】
1.等差数列 中，若 ，则 ．
2.等差数列 中，若 ，则 ．
3.等差数列 中，若 ，则 ．
4.若 与 为等差数列，且前 项和为 与 ，则 ．
二、题型分类精讲
题型 一 等差数列基本量的计算
策略方法 解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a 和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项
1
和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a ，d，n，a ，S 五个量，可“知三求二”．
1 n n
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a ，d表示，寻求两者间的联
1
系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
【典例1】在等差数列中， ， ，则201是数列的第几项（ ）
A．59 B．60 C．61 D．62
【答案】C
【分析】根据等差数列的定义求出公差，从而求出通项公式，再根据 ，构造关于 的方程，解方
程即可．【详解】等差数列 中， ， ，设公差为 ，
∴ ，解得 ；
∴通项公式为 ，
当 时， ．
故选：C．
【典例2】在等差数列 中， ， ，则 的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差即可求解作答.
【详解】在等差数列 中， ，则数列 的公差 ，
所以 .
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知 为等差数列， ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用基本量法可求公差和首项，从而可求 .
【详解】设等差数列的公差为 ，则 ，故 ，故 ，
故选：A.
2．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列 满足 ， ，则 （ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质运算求解.
【详解】设等差数列 的公差为d，
因为 ，解得 ，
所以 .故选：B.
3．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在等差数列 中， ， ，则 =
（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】C
【分析】利用等差数列的基本量计算可得答案.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
则
故选：C
4．（2023·广西·统考模拟预测）设 为等差数列，若 ，则公差 （ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】由等差数列的基本量法列方程组求解．
【详解】由题意得 解得 ，
故选：D.5．（2023·四川凉山·三模）在等差数列 中， ， ，则 （ ）．
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】由等差中项性质得 ，利用等差数列通项公式求基本量公差 ，进而写出通项公式，即可得
.
【详解】由题设 ，则 ，而 ，
若等差数列公差为 ，则 ，
所以， 通项公式为 ，故 .
故选：C
6．（2023·西藏日喀则·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲
乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所
分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多
少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文
C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文
【答案】A
【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为 ， ， ， ， ， ，
，再根据题意列方程组可解得结果.
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为 ， ， ， ， ，
， ，
则 ，解得 ，
所以乙分得 （文），丁分得 （文），
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 满足 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据已知条件可求得 的值，进而可求得 的值.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以， ，故 .
故选：D.
8．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知等差数列 满足 ，则 的前20项和
（ ）
A．200 B．300 C．210 D．320
【答案】C
【分析】设 ， ，则 ，解方程即可求出 ，再由等差数列
的前 项和即可得出答案.
【详解】因为数列 为等差数列，设 ，所以 ，
所以 ．因为 ，
所以 所以
则 ，所以 ．故选：C.
二、填空题
9．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）在等差数列 中， ，
，则 的公差是 ．
【答案】-3
【分析】设 的公差为d，由等差数列的通项公式可得答案.【详解】设 的公差为d， ，
则 ．
故答案为： ．
10．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列 的公差为 ，且满足 ， ，则数
列 的通项公式 ．
【答案】
【分析】根据等差数列得通项求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可得解.
【详解】由 ， ，
得 ，由 解得 ，
所以 .
故答案为： .
11．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）等差数列 中， ，则 的
值是 .
【答案】
【分析】先由等差数列的通项公式化简 得到 ，再由等差数列的通项公式把
化为 即可求出答案.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，
所以 .
所以 .故答案为：12．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 中 ， ，若 ，则
．
【答案】
【分析】根据下标和性质求出 、 ，即可求出公差 ，再根据 计算可得.
【详解】因为 ，又 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以公差 ，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为：
13．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列 满足： ，若 为等差数
列，则通项公式为 ．
【答案】
【分析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 求出 和 ，即可写出通项公式．
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故答案为： ．
14．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列 中， ，若在数列 每相
邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 .【答案】
【分析】先计算出等差数列 的公差，进而得到新的等差数列 的公差，从而求出 的通项公式，
求出新数列的第 项.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以 ，
设在数列 每相邻两项之间插入三个数所得新数列为 ，
则新的等差数列 的公差为 ，首项为 ，
所以新数列的通项公式为 ，
故 .
故答案为： .
题型 二 等差数列的性质及其应用
策略方法 利用等差数列的性质解题的两个关注点
(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2a ＝a ＋a 可实现项的合并与拆分，在S ＝中，
m m－n m＋n n
S 与a ＋a 可相互转化．
n 1 n
(2)利用S ，S －S ，S －S 成等差数列，可求S 或S ．
m 2m m 3m 2m 2m 3m
【典例1】已知等差数列 中， ，则 （ ）
A．30 B．40 C．50 D．45
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由 得 ，所以 ，
故选：D
【典例2】已知 和 的等差中项是 ， 和 的等差中项是 ，则 和 的等差中项是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差中项的概念，列方程，求的m+n=12，再根据等差中项的定义，可知m和n的等差中项
为6.
【详解】：∵m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，
由等差中项的概念得：m+2n=16 ① ,2m+n=20 ②
①+②得：3m+3n=36，即m+n=12．
∴m和n的等差中项为6．
故选：C
【点睛】本题考查了等差中项的概念，是基础题．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列，若 ，则 等于（ ）
A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）如果等差数列 中， ，那么 （ ）
A．14 B．12 C．28 D．36
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】∵ ，∴ ，则 ，又 ，故 .
故选:C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 中， ，则 （ ）
A．30 B．15 C．5 D．10
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】∵数列 为等差数列， ，所以
∴ .
故选：B
4．（2023·青海西宁·统考二模）已知 ， 均为等差数列，且 ， ， ，则数列
的前5项和为（ ）
A．35 B．40 C．45 D．50
【答案】B
【分析】根据等差数列的等差中项性质解决即可.
【详解】由题知 ， 均为等差数列，且 ， ， ，
所以 ，得 ，
所以数列 的前5项和为 ．
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为
0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，由题意可得 ，
所以 ，
故选：B
6．（2023·陕西榆林·统考三模）一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质，求得 ，再结合 ，即可求解.
【详解】由等差数列的前3项之和为12，可得 ，所以 ，
又由第4项为0，即 ，
因为第2项、第4项、第6项依次成等差数列，即 ，
所以 .故选：B.
7．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）数列 是等差数列，若 ，
，则 （ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列性质得到 ，得到答案.
【详解】 ，故 .
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、
小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为 尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
【答案】A
【分析】根据题意，分别设十二个节气为 ，再运用等差中项求解.
【详解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气
为： ，且其公差为 ，
依题意有： ， ，
，公差 ，
则 ，
所以谷雨这一天的日影长度为 尺，
故选：A
9．（2023·全国·高三专题练习）“ ”是“数列 为等差数列”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.
【详解】设 ，则 ， ， ，所以 ，但数列 不是等差数
列；
若数列 为等差数列，根据等差数列的性质可知， 成立.
所以，“ ”是“数列 为等差数列”的必要不充分条件.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）公差不为零的等差数列 中， ，则下列各式一定成立的是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列通项求出 ，再利用基本不等式即可求出 ，对于CD选项，利用特殊值
法反驳即可.
【详解】因为 ,所以 ,
因为 公差不为零, ,所以 ，B正确，A错误，
取 ,则 ,此时 ,C,D均不正确,
故选：B.
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 ， ， =
【答案】e
【分析】由等差中项的性质计算即可.
【详解】由等差数列性质可知： ，
又 ，故 .
故答案为：e
12．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知等差数列 ， ， .
【答案】1
【分析】由等差数列的性质求解．
【详解】 是等差数列，∴ ， ．
故答案为：1.
13．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列 中， ， ，则 .【答案】74
【分析】根据等差数列的性质列式计算即可.
【详解】因为 ，所以由等差数列的性质可得 ，
所以 ，
故答案为：74
14．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列 中， 是方程 的根，则 ＝
.
【答案】3
【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论.
【详解】由 是方程 的根得 ＝3.
又数列 为等差数列，∴ ＝ ＝3.
故答案为：3
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则
.
【答案】21
【分析】根据题中条件，判断数列 为等差数列，再计算基本量即可得出结果．
【详解】由 知，数列 是等差数列，∴ 成等差数列．
∴ ，∴ .
故答案为：21.
题型 三 等差数列的前 n 项和
策略方法
在等差数列中， ，…仍成等差数列； 也成等差数列．【典例1】设 是等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【分析】根据等差数列前 项和公式进行求解即可.
【详解】设该等差数列的公差为 ，
因为 是等差数列 的前 项和，
所以由 ， ，可得 ，
所以 ，
故选：B
【典例2】已知 为等差数列 的前 项和， ，则 的值为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.
【详解】因为 ，解得 .
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西赣州·统考二模）已知等差数列 中， 是其前 项和，若 ， ，
则 （ ）
A．7 B．10 C．11 D．13
【答案】C
【分析】设出公差，列出方程组，求出公差和首项，得到答案.【详解】设公差为 ，则 ， ，
解得 ，
故 .
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔
群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，
第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等
差数列，总计一百零八座，则该塔共有（ ）
A．八层 B．十层 C．十一层 D．十二层
【答案】D
【分析】设该塔共有 层，根据等差数列的求和公式计算即可.
【详解】设该塔共有 层，
则 ，
即 ，
解得 或 （舍），
即该塔共有 层.
故选：D
3．（2023·江西新余·统考二模）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ，则
数列 的公差为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】由等差数列和等差数列的前 项和公式代入求解即可得出答案.
【详解】由 可得： ①，
由 可得： ②，
由①②可得： 或 (舍去).故选：A.
4．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了
如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个
球，······，则第十层有（ ）个球．
A．12 B．20 C．55 D．110
【答案】C
【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.
【详解】由题意知：
，
，
，
，
所以 .
故选：C
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从
低到高站成一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5
尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（ ）
A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸
【答案】B
【分析】依题意列方程组求出等差数列的首项和公差即可求解.
【详解】设甲、乙、丙、丁、戊这5位士兵身高依次所成等差数列为 ，公差为 ，
则 ，解得 丁的身高为 ，故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列 的公差和首项，再根据前 项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列 的公差，再根据前 项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，
所以 ．
故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，
从而 ，于是 ，
所以 ．
故选：C.
7．（2023·陕西安康·统考三模）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质，求得 ，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由等差数列的性质，可得 ，
所以 .故选：B.
8．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）在等差数列{an}中，a+2a+a=10，则数
3 5 9
列{an}前10项的和为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．28
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式求出首项和公差的关系，最后根据等差数列求和公式计算即可.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 得 ，
数列 前10项的和 .
故选：C.
9．（2023·全国·高三专题练习）在项数为 的等差数列 中，其前 项的和为 ，最后 项的和为 ，
所有项的和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的基本性质求出 的值，利用等差数列的求和公式可得出关于 的等式，解之
即可.
【详解】设等差数列 的前 项和为 ，则 ，
由等差数列的性质可得 ，
所以， ，
所以， ，解得 .
故选：B.
10．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）设 为正项等差数列 的前 项和．若 ，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得 且 ，
化简 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由等差数列的前 项和公式，可得 ，可得 ，
又由 且 ，
所以 ，当且仅当
时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.
11．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列 ， 的前n项和分别为 ， ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前n项求和公式可得 ，由题意可得 ，令 ，计算即可求解.【详解】 ,
又 ，
，
所以 ，又 ，
所以 .故选：A.
12．（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列 ， 的前n项和 满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列得性质和前 项和公式计算即可.
【详解】由 ，
得 .
故选：B.
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】ABC
【分析】根据等差数列前 项和公式和通项的性质，推出 ，结合选项可得答案.
【详解】因为 是等差数列，所以 .
根据题意 ，又 ，所以 ，
从而 ， ，故选项A，B正确；
又 ，即 ，故选项C正确；
对于选项D， ，根据题意无法判断 是否为零，故选项D错误.
故选：ABC
14．（2023·辽宁·校联考一模）设等差数列 的前 项和是 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设等差数列公差为d，由题目条件，可得 ，由此可得各选项
正误.
【详解】设等差数列公差为d，则由题目条件有：
.
A选项， ，故A错误；
B选项， ，故B正确；
C选项， ，故C正确；D选项，注意到 ，
，又由 知 为单调递减数列，则
，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
15．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，
， ，则公差为 .
【答案】
【分析】根据等差数列公式求解.
【详解】设数列 的公差为d，则 解得 ；
故答案为：-3.
16．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）记等差数列 的前n项和为 ，若 ，则数
列 的公差 ．
【答案】9
【分析】将 和 拆分为 和 ，解方程即可得出答案．
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为： ．17．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列 前 项和为 ，且 ， ，
数列 的前10项的和为 .
【答案】
【分析】由题意可得 ，解方程求出 ，即可求出 ，再由等差数列的前 项和公式
求解即可.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，解得 ，
故 ，
所以 ，
所以数列 的前10项的和为 .
故答案为： .
18．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且
，则 ．
【答案】70
【分析】设公差为d，化简已知得 ，再利用等差数列的求和公式计算即得解.
【详解】设公差为d，因为 是等差数列，所以 ，
化简得 ，即 ，
所以 ．
故答案为：7019．（2023·全国·高三专题练习）已知 和 均为等差数列， ， ， ，则数列
的前60项的和为 ．
【答案】7260
【分析】确定 是等差数列，计算首项和公差，求和得到答案.
【详解】 和 均为等差数列，则 是等差数列，
首项为 ，公差为 ，
故前60项的和为 .
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ， ，则
．
【答案】4
【分析】先利用 关系式，求出公差，进而用通项公式和求和公式得到方程组，求出 .
【详解】由题意得： ， ，
则等差数列的公差 ，
则 ， ，
解得： 或 （舍去）.
故答案为：4
21．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列 和 的前n项和分别为 ， ，且 ，
则 .【答案】
【分析】由 与 的比值可求得等差数列 和 的首项及公差，进而可求得 ， ，求出其比值即可.
【详解】解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，
故
又已知
不妨令 且
解得 且
故
故答案为： .
题型 四 等差数列中
a
与
a+ bi =c+ di ⇔a=b,且c=d
的关系
n
策略方法 等差数列中
a
与
a+ bi =c+ di ⇔a=b,且c=d
的关系
n
S (n1)
a 1
a n S a n S S (n2)
数列 n 的前 项和 n和通项 n的关系：则 n n1
【典例1】已知数列 的前n项和为 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据通项与前n项和的关系，分 与 两种情况分别求解即可.【详解】当 时， ；当 时， ，且当
时也满足 .
故 .
故选：D
【典例2】已知数列 的前 项和 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列的前 项和公式求得 ，当 时，由 求得 ，验证 后得答案．
【详解】 ，
当 时， ；
当 时，
．
验证 时上式不成立，
,故选C．
【点睛】本题主要考查由数列的前 项和求数列的通项公式，是中档题．已知数列前 项和，求数列通项
公式，常用公式 ，将所给条件化为关于前 项和的递推关系或是关于第 项的递推关系，
若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构
造等比或等数列求通项公式. 在利用 与通项 的关系求 的过程中，一定要注意 的情况.【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据通项与前n项和的关系，分 与 两种情况分别求解即可.
【详解】当 时， ；当 时， ，且当
时也满足 .
故 .
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和 ，若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】由 与 的关系先求出 ，再结合已知条件可求出答案.
【详解】由 ，得 也适合，
又由 得 ，
又 ，
∴ ，
故选:A．
3．（2023·河南开封·统考一模）已知数列 的前 项和 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用 与 的关系可求得 的通项公式，进而可求得 的值.
【详解】当 时， ；
当 时， .
也满足 ，故对任意的 ， ，
因此， .
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前 项和，且满足 ，则
（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】B
【分析】首先根据前n项和 ，求出 ，然后即可求出结果.
【详解】因为 ，
当 时， ，
当 时，
经检验，当 时不符合，
所以
.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）设 为数列 的前 项和.若 ，则“ ”是“
”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】用定义法，分充分性和必要性分别进行讨论.
【详解】因为 为数列 的前 项和，且 ，
所以当 时， ；
当 时， ；
所以
充分性：当 时， .所以 ； ；
.满足 ，所以充分性满足；
必要性：由 可得： ， ， ，符合 ，但是不能推出 .所以
必要性不满足.
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A．4045 B．4042 C．4041 D．4040
【答案】A
【分析】根据 与 的关系，由 的 的递推关系式，由 时，确定首项 ，即可得 ，于是能求
解 的值.
【详解】解：∵ ①，∴当 时， ②，
①-②得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴当 时， ，解得
∴ 是首项为1，公差为2的等差数列，则 ，于是有 ．
故选：A．
7．（2023·北京·高三专题练习）在无穷正项等差数列 中，公差为 ，则“ 是等差数列”是“存
在 ，使得 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】可设 ，利用 可求得数列 的通项公式，结合数列
为等差数列可求得 ，求出 关于 的关系式，再利用充分条件和必要条件的定义判断可得出合适的选
项.
【详解】若 是等差数列，设 ，则 ，
当 时， ，
当 时，
，
因为数列 为等差数列，则 满足 ，即 ，可得 ，故 ，
且 ，
所以，“ ” “存在 ，使得 ”，
但“ ” “存在 ，使得 ”，
因此，“ 是等差数列”是“存在 ，使得 ”的充分而不必要条件.
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列 是等差数列
B．数列 是递增数列
C． ， ， 成等差数列
D． ， ， 成等差数列
【答案】D
【分析】由 与 的关系推导出数列 的通项公式，判断选项A，B，分别计算出 ， ， 和 ，
， ，再由等差数列中项的性质判断选项C，D.
【详解】 ，
∴ 时，
时， ． 时，不满足
∴数列 不是等差数列；，因此数列 不是单调递增数列；
，因此 ， ， 不成等差数列．
． ．
∴ 成等差数列．
故选：D
二、多选题
9．（2023·山西阳泉·统考三模）设无穷数列 为正项等差数列且其前n项和为 ，若 ，则下
列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据数列 为正项等差数列，且 ，利用等差数列的性质求得 ，再利用项与
项，前n项和与通项的关系逐项判断.
【详解】解：因为数列 为正项等差数列，
所以 ，
所以 ，
因为数列 为正项等差数列，
所以 ，
所以 ， ，
，
故选：ABD10．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 与 的前 项和分别为 与 ，且 ，则
（ ）
A．当 时，
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】当 时，根据 可求出 ，进而求得 ，可知A正确；利用等
差数列性质可得 ，即得 ，可判断B;同理可判断C;
举特例当 时，求出 ，可说明D的对错.
【详解】对于等差数列 与 ，
当 时， ，则 ， ，
则 ， 也适合，
故 ，故A正确；
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，故B正确；
同理可得 ，故C错误；
当 时， ，则 ，
则不存在 ，使得 ，故D错，
故选：AB
三、填空题
11．（2023·河南郑州·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 ．
【答案】15
【分析】利用 求数列通项，进而求 .
【详解】由 ， ，且 满足上式，
所以 .
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前 项和 ，则该数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】由 可求得数列 的通项公式.
【详解】当 时， ；当 时， .
不满足 .
所以， .
故答案为： .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为
.
【答案】
【分析】利用前 项和 和 的关系求通项即可.
【详解】当 时， ；
当 时，由 ，可得 ，
故有 ，当 时， 不相符.
故答案为： .
14．（2023·全国·高三专题练习）正项数列 的前n项和 满足 ，则数列 的通项公式
为 .
【答案】
【分析】 ， ，两式相减得到 ，当 时，解得 ，得到
通项公式.
【详解】 ， ，两式相减得到 ，
正项数列 ，故 ，得到 ，
当 时， ，解得 或 （舍去），
故数列 为首项为1公差为1的等差数列，故 .
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 成等差数列，若
，则使得 ， 同时成立的k的值为 ．
【答案】7
【分析】先由 与 的关系推导出数列 为等差数列，再代入等差数列的通项公式及前n项和公式，列
方程组求解k即可.
【详解】
，
即 ，
又 成等差数列，
即 ，
故数列 是公差为1的等差数列，
则 ，解得 ， ．
故答案为：7题型 五 等差数列的判定与证明
策略方法 等差数列的判定与证明的方法
方法 解读 适合题型
定义法
为同一常数 ⇔ 是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
成立⇔ 是等差数列
为常数）对任意的正整数 都成立
通项公式法
⇔ 是等差数列
选择、填空题中的判
定问题
验证 为常数）对任意的正整数 都成立⇔
前 项和公式法
是等差数列
【典例1】已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：数列 是等差数列.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由 ，即可求出数列 的通项公式；
（2）由等差数列的定义证明即可；
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
令 ， 满足 ，所以 .（2）由（1）知， ，
所以数列 是以首项为 ，公差为 等差数列.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和等差中项的性质可知数列 为等差数列，进而可得 ，结合诱导公
式计算即可.
【详解】由题意知， ，
由等差数列的等差中项，得数列 为等差数列，
又 ，所以 ，
则 ，
所以 .故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ 为等差数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用等差数列前 项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】等差数列 的前 项和为 ，则 ，
数列 的前 项和为 ，取 ，显然有 ，
而 ，即数列 不是等差数列，
所以“ ”是“ 为等差数列”的必要不充分条件.
故选：B
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知数列 各项为正数， 满足 ，
，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等差数列 D． 是等比数列
【答案】C
【分析】分析可知数列 的每一项都是正数，由已知条件可得出 ，结合等差中项法
判断可得出结论.
【详解】因为数列 各项为正数， 满足 ， ，
故对任意的 ， ，则 ，
所以，数列 的每一项都是正数，
所以， ，可得 ，
由等差中项法可知，数列 是等差数列，
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列 的前 项和求出通项，可得数列 是等差数列，利用首项和公差求其前 项和.
【详解】数列 中，前 项和 ，
时， ，
时， ， 时，也满足，
∴ ，则有 ，∴数列 中是首项为1公差为4 的等差数列，
则数列 中是首项为1公差为8的等差数列，其前 项和 .
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差中项定义可确定 为等差数列，结合等差数列通项公式可推导得到 ，代入
即可求得结果.
【详解】由 得： ， 数列 为等差数列，
又 ， ， 数列 的公差 ，
， ， .故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ， ， .若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【答案】A
【分析】令 ，则 ，再根据等差数列的定义即可得到 ，即可求出答案.
【详解】令 ，则
故 ， 为常数，
故数列 是等差数列
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，若 ，则
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】根据给定条件，构造新数列，求出通项公式即可计算作答.
【详解】依题意， ， ，而 ，
因此，数列 是以1为首项，1为公差的等差数列， ，即 ，
由 ，得 ，所以 .
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 （ ， ）， ，其前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．47 B．46 C．45 D．44
【答案】C
【分析】由题意可知数列 是首项为1，公差为2的等差数列，进而可得 ，从而有
，求解即可
【详解】数列 满足 （ ， ），即 ， ，
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，
又 ，则 ，
因为 ，
又 ，且 ，
所以 ，
故选：C
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ，则下列能判断数列 是等差数列
的是（ ）
A． B． C． D． ．
【答案】AB
【分析】对各个选项，利用 求出数列 的通项，再借助通项判断等差数列作答.
【详解】对于A，当 时， ，而 满足上式，
则 ，数列 是常数数列，是等差数列，A是；对于B，当 时， ，而 满足上式，
则有 ，数列 的通项是n的一次整式，是等差数列，B是；
对于C，当 时， ，而 不满足上式，
则 ，显然 ，数列 不是等差数列，C不是；
对于D，当 时， ，而 不满足上式，
则 ，显然 ，数列 的不是等差数列，D不是.
故选：AB
10．（2023·全国·模拟预测）设 是数列 的前 项和．下面几个条件中，能推出 是等差数列的为
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ABD
【分析】由 与 的关系得出 与 的关系式即可判断ABD，通过举反例即可判断出C．
【详解】对于A，当 时， 且 ，
两式相减可得 ，即 ．
所以 是恒为0的数列，即 是公差为0的等差数列，故A正确；
对于B，当 时， 且 ，
两式相减可得 ，即 ，所以 ，即 是常数列，是公差为0的等差数列，故B正确；
对于C，如果 ，令 可得 ，
当 时， 且 ，
两式相减可得 ，
如果 ，则 ，这并不能推出 是等差数列，
例如：考虑如下定义的数列 ：1，1，2，2，3，3， ，则其通项公式可写成 ， ．
则 ，
．
即数列1，1，2，2，3，3， 满足 对任意正整数 成立，但它并不是等差数列，故C错误；
对于D，当 时， 且 ，
两式相减可得 ，
所以 ，即 ，
故 ，即 是公差为 的等差数列，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题
11．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）甲､乙两个机器人分别从相距70 的两处同时相向运动，甲第
1分钟走2 ，以后每分钟比前1分钟多走1 ，乙每分钟走5 .若甲､乙到达对方起点后立即返回，则它
们第二次相遇需要经过 分钟.
【答案】15
【分析】甲每分钟走的路程成等差数列，求出通项，因为第1次相遇甲､乙共走70m；第2次相遇甲､乙共
走了 ，列出方程，求出时间即可.【详解】由已知甲每分钟走的路程成等差数列，设为 ，则 ，
乙每分钟速度为每分钟走5 ，
因为第1次相遇甲､乙共走70m；第2次相遇甲､乙共走了 ，时间设为 ，
则 .
（负值舍去）.
故答案为：15.
12．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，若 ，则正整数
．
【答案】10
【分析】根据题意，令 ，判断数列 是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可．
【详解】由 ， ，令 ，则 ，
所以数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，即 ，
又 为正整数，所以 ，即 ，解得 或 （舍去）．
故答案为：10．
13．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知数列 ， 都是等差数列，且
， ，则 ．
【答案】2025
【分析】利用等差数列的性质求数列的项.
【详解】因为数列 ， 都是等差数列，
所以 是等差数列．
设 的公差为d，
又 ， ，所以 ，
解得 ，
所以 ．
故答案为：2025.
14．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，
则 .
【答案】
【分析】当 时，由 可得 ，两式作差可得出
，当 时，求出 的值，可得出 ，分析可知数列 为等差数列，确定该数列的
首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得 的值.
【详解】当 时，由 可得 ，
两式相减得 ，即 ，
即 .
当 时， ，即 ，
所以， ，则 ，
则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
则 .
故答案为： .
四、解答题15．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ， ， ，
.证明数列 为等差数列，并求通项公式 ；
【答案】证明见解析， .
【分析】利用已知条件，确定k的值，最值得递推关系式 ，得证 为等差数列，
即可求解通项公式.
【详解】证明： ， ， ，则 ，即 ，解得 ，
所以， ，即 ，所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
故 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且 和 满足：
.求 的通项公式；
【答案】
【分析】由 和 的关系，利用公式 得到数列的递推公式，通过因式分解结合已知条
件得到 是等差数列，公式法可求通项.
【详解】∵ ，①
当 时 ，解得 ，
∴ ，②
①－②得 ，∴ ，化简 .
∵ ，∴ .
∴ 是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴ .
17．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的等差数列 的首项为 ，前 项和为 ，且满足
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明数列 是等差数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ， ， ，利用等差数列的通项公式和前 项和公式
列出方程，即可求出 和 ，由此即可求出结果；
（2）由（1）即可求出 ，即 ，再根据等差数列的定义即可证明结果.
【详解】（1）解：设各项均为正数的等差数列 的公差为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 ； 即 .（2）解：由（1）知 ，所以 ，
因为 ，
又因为
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{ }满足 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列{ }的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）两边取倒数可得： ，即可证明；
（2）由（1）利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】（1）证明：数列{ }满足 ．
两边取倒数可得： ，即 ，
∴数列{ }是等差数列，首项为 ，公差为2；
（2）由（1）可得： ，
解得 ．
