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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 27 讲 数列的概念（精讲）
题型目录一览
①数列的概念与通项公式
②数列的性质
③a 与S 的关系
n n
一、知识点梳理
一、数列的概念
1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几
{a }
n
项，则在数列中是第几项，一般记为数列 .
2.对数列概念的理解
（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”
的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么
它们就是不同的两个数列．
（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
N N
（3）数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集 和正整数集 的有限子集.所以数列的函数的图像
不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
二、数列的分类
分类原则 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
按项数分类
无穷数列 项数无限
递增数列 a a
n1 n
按项与项间的大小
递减数列 a
n1
a
n
其中n∈N
＋
关系分类
常数列 a a
n1 n有界数列 存在正数M ，使 a n M
按其他标准分类
a
摆动数列
n的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…
三、数列的通项公式
a n n
n
如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公
a f n
n
式．即 ,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.
四、数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a 与它的前一项a (或前几项)间
n n－1
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
五、a 与S 的关系
n n
S (n1)
a 1
a n S a n S S (n2)
数列 n 的前 项和 n和通项 n的关系：则 n n1
二、题型分类精讲
题型 一 数列的概念与通项公式
策略方法 数列的概念与通项公式
1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的
关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于
1n 1n1
正负符号变化，可用 或 来调整．
2.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数
列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与
其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪
些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项
公式.
【典例1】将1，5，12，22等称为五边形数，如下图所示，把所有的五边形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列 ，则该数列的第6项 （ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
【答案】C
【分析】根据图形找到五边形数的规律，即可得到通项，从而得解.
【详解】依题意五边形数的第一项为 ，
第二项为 ，第三项为 ，
则五边形数的第 项为 ．
所以 .
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了
如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个
球，······，则第十层有（ ）个球．
A．12 B．20 C．55 D．110
【答案】C
【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.
【详解】由题意知：，
，
，
，
所以 .
故选：C
2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创
立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形
规律可得知图2的一个树形图，记图2中第 行黑圈的个数为 ，白圈的个数为 ，若 ，则
（ ）
A．34 B．35 C．88 D．89
【答案】D
【分析】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，
从而可得递推式，然后由递推式可求得结果.
【详解】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，
所以有 ， ，
又因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
故选：D.3．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，
后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是
指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任
意正整数 ，按照上述规则实施第 次运算的结果为 ，若 ，且 均不为1，则
（ ）
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
【答案】B
【分析】根据“角谷猜想”的规则，由 倒推 的值.
【详解】由题知 ，因为 ，则有：
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数， ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，且 ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，且 ；
若 为奇数，则 ，可得 ；若 为偶数，则 .
综上所述： 或32.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起
了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，即 ，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列 ，则
的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举数列 ，得到数列的周期为6求解.
【详解】解：由题意得：数列 为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
所以该数列的周期为6，
所以
，
故选：B
5．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列 中， ， ，则数列
前 项的和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数列的递推公式求出数列的奇数项都等于 ，偶数项都等于 ，进而求解.
【详解】依题意 ， ，
则 ，两式相减得到 ，又 ，
所以数列的奇数项都等于 ，偶数项都等于 ，
所以 ，
故选：B．二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，第 个图形由第 边形“扩展”而来的.记第 个图形的顶点数为
，则 .
【答案】
【分析】由题意写出 ， ， ， 的值，即可得出 ，由此即可求出答案.
【详解】由图易知： ， ， ， ，
从而易知 ，
所以 .
故答案为：
7．（2023·云南昆明·统考模拟预测）Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过 的最简分
数及0（视为 ）和1（视为： ）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是
．则F－7的项数为 ．
【答案】19
【分析】根据Farey序列构成的数列 的性质，利用列举法，即可求解.
【详解】根据题意Farey序列构成的数列 ，
可得 的各项为： ，共有 项，所以 的项数为 .
故答案为： .
8．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知 ，且 （ 为正整数），
则 .
【答案】
【分析】利用已知关系式推导出 是以 为周期的数列，所以根据周期性即可求出结果.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ， ，
， ，
， ， ，
所以 是以 为周期的数列，
因为 ，
所以 .
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：
其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组
成的数列称为“斐波那契数列”．那么 是斐波那契数列中的第 项．
【答案】2016
【分析】根据已知条件可以得到 ，则 ,即 依次类推即可解
得.
【详解】斐波那契数列总有 则，即
，
，
……，
，
∴
故 是斐波那契数列中的第2016项．
故答案为：2016
题型二 数列的性质
策略方法
1．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调
性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法
(1)根据数列的单调性判断．
(2)在数列 中，若 最大，则 若 最小，则【典例1】若数列 中， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】推导出对任意的 ， ，可知数列 的奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，即
可求得 的值.
【详解】因为 ， ，可得 ，所以， ，
故对任意的 ， ，
所以，数列 的奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，因此， .
故选：C.
【典例2】已知数列 的通项公式为 ，且 为递增数列，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数列 为单调递增数列，可得到 恒成立，即可求得答案.
【详解】∵数列 的通项公式为 ，数列 是递增数列，
∴ ， 恒成立
即 ， 恒成立，而 随n的增大而增大，
即当 时， 取得最小值2，则 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：B.
【题型训练】一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ，当 时， 是 的个位数，
则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.
【详解】因为 ，当 时， 是 的个位数，
所以 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
可知数列 中，从第3项开始有 ，
即当 时， 的值以6为周期呈周期性变化，
又 ，
故 .
故选：C.
2．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数列的周期性即可求得 的值.
【详解】因为 ，所以 .又因为 ，
所以 ，所以 是周期为4的数列，故 .
故选：B
3．（2023·四川宜宾·统考三模）已知数列 的前n项和为 ，则使得 最小时的n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】分 与 讨论项的正负即可求解.
【详解】当 时，数列 恒为负，
当 时，数列 恒为正，
所以当 时 最小.
故选:B.
4．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，前n项和为 ，则 取最
小值时n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】由已知可推得当 时， .又 ，即可得出答案.
【详解】解 可得， 或 ，即 或 .
所以，当 时， .
又 ，
所以，当 时， 取最小值.
故选：C.5．（2023·北京·统考模拟预测）设 是等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据数列单调性以及既不充分也不必要条件的定义可得答案.
【详解】当 时，由 ，得 ，则 不为递增数列；
当 为递增数列时， ，若 ，则 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6．（2023·北京密云·统考三模）设数列 的前n项和为 ，则“对任意 ， ”是“数列
为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分也
不是必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可.
【详解】数列 中，对任意 ， ，
则 ，
所以数列 为递增数列，充分性成立；
当数列 为递增数列时， ，
即 ，所以 ， ，
如数列 不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意 ， ”是“数列 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A7．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，对所有的正整数 都有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 得 得到数列的周期，进而解决问题.
【详解】由 得 ，
两式相加得 ，
，
是以6为周期的数列，
而 ，
.
故选：B.
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，则当 最小时，
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据给定的通项公式，探讨数列 的单调性，求出 最小时的n值作答.
【详解】数列 中， ，则 ，而 ，
于是当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
因此当 时，数列 单调递减，当 时，数列 单调递增，
所以当且仅当 时， 最小.故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求 的大小，又 单调递减，可推出 的大小，再得到 的大小，可得
到 ，反复这个过程，可得到各项大小关系得出答案.
【详解】由已知 ， .
由指数函数 单调递减，得： .
又 ，即 ，即 ，
再由 可得 ，即 ，
反复 ，则有 .
故选：D.
10．（2023·全国·高三专题练习）数列 的通项公式是 ，则该数列中的最大项和最小项依次
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】将数列 的通项公式分离常数后，考虑项的正负结合函数的单调性即可判断.
【详解】因为 ， ，
所以当 时 ，且随着 增大， 减小，故 为最大项；
当 时 ，且随着 增大， 减小，故 为最小项.
故选：B
11．（2023·北京通州·统考三模）数列 中， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得 ，即可得到数列 的周期，从而得到结果.
【详解】因为 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ， ，
所以数列 的周期为 ，则 .
故选：C
12．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，
则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.【详解】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B
13．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，记数列
的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据首项和递推公式 ， ，发现数列 是以3为周期的周期数列，然后逐项分
析各选项；
【详解】∵ ， ，∴ ，故A错误；
， ，
∴数列 是以3为周期的周期数列，∴ ，故B错误；∵ ， ，
∴ ，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
14．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）斐波那契数列 可以用如下方法定义：
，且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，则数列 的第100
项为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由题意有 ，且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，可
得 是以6为周期的周期数列，然后求解即可．
【详解】由题意有 ，且 ，
若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，
则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
则数列 是以6为周期的周期数列，
则 ，
则数列 的第100项为3，
故选： ．
15．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，结合 ，得到 ，求得 ，从而求得
， ，结合周期性，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
由于 ，解得 ，从而 ， ，
可知 ，
因为 ，所以 ．
故选：C．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若存在实数 ，使
单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 单调递增可得 恒成立，则 ，分析 和 应用排除法确
定正确选项.【详解】由 单调递增，得 ，
由 ，得 ，
∴ .
时，得 ①，
时，得 ，即 ②，
若 ，②式不成立，不合题意；
若 ，②式等价为 ，与①式矛盾，不合题意.
综上，排除B，C，D.
故选：A
17．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知无穷实数列 的前n项和为 ．若数
列 既有最大项，也有最小项，则在：①“ 且数列 严格减”和②“ 且数列 严格
增”中， 可能满足的条件是（ ）
A．不存在 B．只有①
C．只有② D．①和②
【答案】B
【分析】若 且数列 严格减，则令 满足 ，分 为奇数和偶数可证得
，所以数列 既有最大项，也有最小项，可判断①，同理若 且数列 严格增，
则可利用反证法来判断②.
【详解】若 且数列 严格减，则令 满足 ，
则
，当 为偶数时， ，
当 时， 有最小值为 ，
当 为奇数时，
当 时， 有最大值为 ，
又因为 ，所以 ，故数列 既有最大项，也有最小项，①正确；
若 且数列 严格增，因为数列 既有最大项，也有最小项，
设最大项为 ，最小项为 ，
故任意的 ，有 ，
设 ，
因为 为严格递增数列且为无穷数列，故存在 ，使得 ，
若 ，则 ，
这与最大项为 矛盾.
若 ，则 ，
则 ，
这与最小项为 矛盾.
综上，②不成立.
故选：B.
【点睛】思路点睛：数列中最值问题的讨论，往往和通项的符号相关，如果知道数列的前 项和有最值，
则可判断出数列通项的符号，再结合数列的无穷性质进行处理.二、多选题
18．（2023·全国·高三专题练习）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为
同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列 是等积数列，且
，前 项的和为 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C．公积为 D．
【答案】CD
【分析】由题可知，对任意的 ， （ 为常数），推导出 ，结合定义可得出 ，
再结合已知条件求出 的值，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】由题可知，对任意的 ， （ 为常数），
若 ，则 ，可得 ， 的值未知，则 的值不一定为 ，故 ，
则对任意的 ， ，所以， ，故 ，A对；
因为 ，则 ，
所以， ，解得 ，C错；
，B对；
，D错.
故选：CD.
19．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ．则下列结论中正确的
是（ ）
A． 是等比数列 B．C． D．
【答案】AC
【分析】由已知递推关系式，可得 ，则可得到 是等比数列，进而得到
，再利用累加法得到 ，然后逐项判断．
【详解】因为数列 中， ，所以 ，即
，
则 是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 ，故A正确；
由累加法得 ，所以 ，
从而 ，故B不正确；
当 为奇数时， 是递增数列，所以 ，
当 为偶数时， 是递减数列，所以 ，所以 ，故C正确；
又 ， ，所以 ，故D不正确.
故选：AC.
20．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足： ，
，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果 某同学据此改编，研究如下问题：在数列中， ， ，数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据数列的递推公式求出数列的前 项，得出数列为从第四项起为周期数列，且周期为 ，再对
各选项逐项判定，即可求出结果．
【详解】因为 ，
所以 ，
，
，
，
，
所以数列从第四项起为周期数列，且周期为 ，
所以 ，故A错误，BC正确；
因为 ，
所以 ，故D错误．
故选: BC．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ， ，前 项和为
（参考数据： ， ，则下列选项正确的是（ ）A． 是单调递增数列， 是单调递减数列
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
由 ，
可得 ，
即有 ，
令 ，即 ，
则 ， ， ，
作出 和 的图像，
由图像可得， 是单调递增数列， 是单调递减数列，故 正确；
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，则 ， ，故 正确；
因为 ，所以
，故 错误；
由不动点 ， ，可得 ，
可得 ，所以 ，故 正确．
故选 ．三、填空题
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，则 .
【答案】
【分析】推导出当 时， ，再结合数列 的周期性可求得 的值.
【详解】因为 ，可得 ，
所以，当 时， ，
因为 ，因此， .
故答案为： .
23．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ，则 .
【答案】
【分析】由递推数列求出数列的前几项，可得数列 为周期数列，且周期为3，则 ，即可得出
答案.
【详解】∵ ，∴ ， ， ，….
故数列 为周期数列，且周期为3，∴ .故答案为： .
24．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 若 ，则 .
【答案】
【分析】采用归纳法求周期，先用递推公式求出数列前面若干项，可得数列 是以3为周期的数列，即
可求出答案.
【详解】由 及递推公式求得 ，
故数列 是以3为周期的数列，而 .
故答案为： .
25．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列 中， ， ，且 （
），记数列 的前n项积为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据数列的周期性，即可求解.
【详解】因为 ， ，且 ，所以 ，
则 ， ， ， ， ， ，
发现数列 是以6为周期的数列，且前6项积为1，
则 ， ，
所以 .
故答案为： .26．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 .若存在常数 ，对于任意 ，
恒有 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】当 时，设 ，进而求出 ，然后判断是否满足题意，当 时，或 时
得出数列 和函数 的单调性，进而判断不满足题意，得到答案.
【详解】若 ，令 ，则 ，
，
此时存在 ，使得 ；
若 ， ，即数列 是递增数列，
而函数 在 上单调递增，且值域为 ，
故此时数列 不满足题意.
若 ，则 ，根据上面的推理知不满足题意.
综上所述： 的取值范围是 .
故答案为：
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且对任意 ，有 ，则 的
取值范围是 .
【答案】【分析】根据题意，根据 推出 的范围，再结合 ，即可求解出 的取值范围．
【详解】已知 ，
① 若 ，即 时，
可得
解得 或 （舍去）
②若 ，即 时，
可得 ，即 ，
解得 （舍去）
因此 ．
又对任意 ，有
即
解得 或 （舍去，当 时，不满足 ）
综上所述， ．
故答案为： .
28．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知数列 满足： ，若，且数列 为递增数列，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，两边同时取倒数，然后变形即可得到数列 是等比数列，从而得到
，再根据其为递增数列，列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为 ，两边取倒数可得： ，
变形可得 ，所以数列 是等比数列，且首项为 ，公比为 ，所以
，
则 ，又 ，数列 为递增数列，
所以 ，即 .
当 时， ，即 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
故答案为: .
29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，
则 ．
【答案】
【分析】根据题干条件得到 ，数列 是周期 的周期数列，进而利用周期性求出答案.
【详解】 ①，②，
由② ①，得 ，
，
，
，
，
∴数列 是周期 的周期数列．
由 可得 ，
∵ ，
∴ .
故答案为：4022
30．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知 是各项均为正数的无穷数列，其前n
项和为 ， ．给出下列四个结论：
① ；
②数列 有最大值，无最小值；
③ ；
④存在 ，使得 .
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】赋值 和 即可求出 ；作差比较判断数列 单调性可判断②；证明 可判断③④.
【详解】令 ，则 ，所以 ，
令 ，得 ，
又 ，可解得 ，故①正确；
依题意有 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ， ，由 得 ，
所以 ，
因为 随着 的增大而增大，所以 ，所以 ，
即 ，所以 随着 的增大而减小，故 为正项单调递减的无穷数列，
且 ，故数列 有最大值，无最小值，即②正确；
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，故③错误；
因为 对任意 恒成立，当且仅当 时取等号，
故有 ，即④正确.
故答案为：①②④
题型三 a 与S 的关系
n n
策略方法 已知S 求a 的三个步骤
n n
(1)利用a ＝S 求出a ．
1 1 1
(2)当n≥2时，利用a ＝S －S (n≥2)求出a 的表达式．
n n n－1 n
(3)看a 是否符合n≥2时a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成
1 n分段的形式，即a ＝
n
【典例1】已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A．16 B．18 C．20 D．25
【答案】B
【分析】利用 进行计算.
【详解】依题意， .
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B．5 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据 计算可得.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B
2．（2023·北京·高三专题练习）已知数列 的前n项和是 ，则 （ ）
A．9 B．16 C．31 D．33
【答案】B
【分析】设数列 的前n项和为 ，根据 即可求解.
【详解】设数列 的前n项和为 ，则 ，
则 .
故选:B.3．（2023秋·海南·高三统考期末）若数列 的前n项和 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】D
【分析】利用数列的和与项的关系求得 ， 后即可得．
【详解】 ， ，所以 ．
故选：D．
4．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）“斐波那契数列” 由十三世纪意大利数学
家列昂纳多 •斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为 “兔子数列”.斐
波那契数列 满足: ，记其前 项和为 ，设 ( 为常
数)，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据 的关系，把 转化为 ，结合递推关系可得答案.
【详解】由题意可得， .
故选：A.
5．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，
，则 （ ）
A． B．2 C．1011 D．2022
【答案】C
【分析】根据已知的递推关系式求得数列的周期，进而求解结论．
【详解】解： 数列 的前 项和为 ，且 ， ， ， ，，即 ，
，
，
，
．
可得数列 是周期为3的数列，且前三项为：2， ， ，
则 ，
故选：C．
6．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）数列 的前 项和为 ，满足
，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于A， 化简即可判断；
对于B， 化简即可判断；
对于C，由 得 化简即可判断；对于D，通过求出 即可判断.
【详解】 得 ，
又 ，选项A正确； ，选项B正
确；
由 得 ，选项C正确；
由 ， ，得 ，选项D错误.
故选：D.
7．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知首项为3的数列 的前 项和为 ，若
，则 （ ）
A．1435 B．1436 C． D．
【答案】D
【分析】先利用 得到 ，通过递推式列举前几项，得到 的周期，再求出 即
可.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ， ， ， ，…，
故数列 的周期为4.
而 ，故
.
故选：D.
8．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和 满足 ，
数列 满足 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用 与 的关系，求出数列 的通项公式，再通过判断数列 的单调性即可得出答案.
【详解】当 时， ，可得 ，
当 时， ， ，两式相减得 ，
即 ，所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ；
所以 ，所以 ，
令 得， ，又 ，所以 ，此时有 ，
当 时， ，即 ，此时数列 是递减数列，故有 .
故选：C.
9．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列 满足 ，则 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题中等式，可得 ，再结合 时 ，可得 .
【详解】当 时，有 ，所以 ，
当 时，由 ， ，
两式相减得 ，
此时， ， 也满足，
所以 的通项公式为 .
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，
若数列 为单调递增数列，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件求出数列 通项，再由数列 为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理
计算作答
【详解】由 可得 ，
两式相减可得 ，则 ，当 时， 可得 满足上式，故 ，
所以 ，
因数列 为单调递增数列，即 ，
则
整理得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
于是得 是数列 的最大项，即当 时， 取得最大值 ，从而得 ，
所以 的取值范围为 ．
故选：A
二、多选题
11．（2023·湖南岳阳·统考三模）设数列 的前n项和为 ，且
，若 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．数列 单调递减
C．当 时， 取得最小值 D． 时，n的最小值为7
【答案】AC
【分析】根据已知条件及累加法求数列 的前n项和为 ，利用 与 的关系求出数列 的通项公
式，再结合已知条件逐项判断即可求解．
【详解】由 ，得 ，，
解得 ，
当 时， 满足上式，所以
当 时， 所以 ，故A正确；
当 时， 单调递增，又
所以数列 单调递增，且 ，
所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，且 ，
所以当 时， 取得最小值，故B错误，C正确；
又 故D错误．
故选：AC．
三、填空题
12．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】由 可直接求得结果.
【详解】 .
故答案为： .
13．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知数列 的前 项和 ，则
．
【答案】387【分析】由已知数列的前 项和，利用 求得结果．
【详解】由 ，得 ．
故答案为：387．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n和 ，则数列 的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据 可求通项公式.
【详解】 ，整理得到： ，
故答案为： .
15．（2023·高三课时练习）数列 的前n项积为 ，那么当 时， ＝ ．
【答案】
【分析】设数列 的前n项积为 ，利用 求出答案.
【详解】设数列 的前n项积为 ，则 ，当 时， ．
故答案为：
16．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列 满足 ，则数列 的通
项公式为 .【答案】
【分析】根据题目给出的递推公式进行升次作差即可求解.
【详解】由题意 …①， ， …②，
② ①得： ，
则当 时， ，
当 ， 不适合上式.
；
故答案为： .
17．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列 满足 且 ，其中 为数列 的
前n项和．请写出一个满足上述条件的数列通项 ．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】根据题意，分析可得数列 为各项为负的递增的数列，结合数列的函数特性分析可得答案.
【详解】根据题意，数列 满足 ，则有 ，
又由数列 满足 ，故数列 为各项为负的递增数列，
其通项公式可以为： ，
故答案为： (答案不唯一)
18．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列 的前n项和为 ，且 ，则“ ”是“ ”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必
要”中的一种）
【答案】充分不必要
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合数列的前n项和与通项的关系分析判断即可.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 满足上式，
所以 ，
所以 ， ，
所以 成立，
由 可得 ，
，
，
所以此时满足 ，但不一定 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
19．（2023·全国·高三专题练习）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需
求量 （万件）近似地满足关系式 ，按此预测，在本年度内，需求量超
过1.5万件的月份是 .
【答案】7，8【分析】由n个月内累积的需求量 求出每月的需求量 ，从而可得结果.
【详解】因为 ，
所以当 时， ，
当 时，
，
化为 ，解得 ，
可知当 或8，需求量超过1.5万件.故答案为：7，8.
20．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，则 的通
项公式是 ．
【答案】
【分析】由题意可证得 是以 为首项， 为公比的等比数列，即可求出 ，再由 与 的关系求
出 的通项公式
【详解】 ， ，且 ，
， 是以 为首项， 为公比的等比数列．
， ．
时， ，
且 不满足上式，所以 ．故答案为： .
