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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】要使函数 有意义，则有 ，解得 或 ，
所以 或 ，
由 ，得 ，
所以 ．
故选：D.
2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，即 ，
由 ，得 或 ，即 ，
所以 .
故选：B.
3．（2023·湖北·统考二模）已知集合 ， ，且全集 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由已知得集合 表示的区间为 ，集合 表示的区间为 ，
则 ， ， ，
,
故选： .
4．（2023·青海西宁·统考一模）已知命题 ， ，则p的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，
得p的否定为 .
故选：A.
5．（2023·江西·校联考二模）“ ”的一个充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，即 ，所以
对选项A，当 ， 时， ，但 不满足，故A不正确，
选项B，由 ，则 ，
则 或 ，故B项不正确，
选项C， ，
则 或 ，故C不正确，
选项D，由 知 ，
所以 ，成立，故D正确，
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动
的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，
只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【答案】A
【解析】
如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合
表示，
则
不妨设总人数为 ，韦恩图中三块区域的人数分别为
即
由容斥原理：
解得：
故选：A
7．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：A.
8．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点 在直线 上，若关于 的不等式恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为点 在直线 上，
所以 ，
故 ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
因为关于 的不等式 恒成立，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知 ： ， 恒成立； ：
， 恒成立.则（ ）
A．“ ”是 的充分不必要条件 B．“ ”是 的必要不充分条件
C．“ ”是 的充分不必要条件 D．“ ”是 的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】已知 ： ， 恒成立，则方程 无实根，
所以 恒成立，即 ，故“ ”是 的必要不充分条件，故A错误，B正确；
又 ： ， 恒成立，所以 在 时恒成立，
又函数 的最大值为 ，
所以 ，故“ ”是 的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
10．（2023·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素 ，则 或 ，所以阴影部分所表示的集合
为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为 ，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 有且仅有两个子集，则下面正确的是
（ ）
A．
B．
C．若不等式 的解集为 ，则
D．若不等式 的解集为 ，且 ，则
【答案】ABD
【解析】由于集合 有且仅有两个子集，所以 ，
由于 ，所以 .
A， ，当 时等号成立，故A正确.
B， ，当且仅当 时等号成立，故B正确.
C，不等式 的解集为 ， ，故C错误.
D，不等式 的解集为 ，即不等式 的解集为 ，且 ，则
，则 ， ，故D正确，
故选：ABD
12．（2023·重庆九龙坡·统考二模）若a，b，c都是正数，且 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】设 ，
则 ， ，
， ，
， ，
所以 ，
，因为 ，所以 ，则等号不成立，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故选：BCD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知集合 ，集合
.如果 ，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由 解得 ，所以 ，
所以 ，
由于 ，所以 .
故答案为： .14．（2023·山西运城·统考三模）若命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为
___________.（用区间表示）
【答案】
【解析】因为 ，即函数 的值域为 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
15．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集 满足：对任意 ，有 ， ， ，
且当 时，有 ，则称 为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域 有非零元素，则 ；
（3）集合 为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
【答案】3
【解析】（1）当 时， 属于数域，故（1）正确，
（2）若数域 有非零元素，则 ，
从而 ，故（2）正确；
（3）由集合 的表示可知得 是3的倍数，当 时， ，故（3）错误，
（4）若 是有理数集，则当 ， ，则 ， ， ，且当 时， ”都成立，故
（4）正确，
故真命题的个数是3.
故答案为：3
16．（2023·全国·高三专题练习）设 且 ， ，则 的范围为
______________.
【答案】
【解析】由 且 ，得 ， ，且 ①，
又因为 ，可得 ②，
由①②可知： ， 是方程 的两个不等的实根，
于是 ，解得： ，且 ，则 ，
则 ，
所以 的范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·河南许昌·高三校考期末）已知集合 ， ．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【解析】（1）由 ，可得 ，
所以 ，所以集合 .
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，
则集合 是集合 的真子集，
由集合 不是空集，故集合 也不是空集，
所以 ，
当 时， 满足题意，
当 时， 满足题意，
故 ，即m的取值范围为 .
18．（12分）
（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题 ：任意 ， 成立；命题 ：
存在 ， + 成立.
(1)若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由q真： ，得 或 ，所以q假： ；
（2）p真： 推出 ，
由 和 有且只有一个为真命题，
真 假，或 假 真，
或 ，
或 或 .
19．（12分）
（2023·高一单元测试）已知集合 .
(1)若集合 ，且 ，求 的值；
(2)若集合 ，且 与 有包含关系，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，且 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
故 .
（2）因为A与C有包含关系， ， 至多只有两个元素，
所以 .
当 时， ，满足题意；
当 时，
当 时， ，解得 ，满足题意；
当 时， 且 ，此时无解；
当 时， 且 ，此时无解；
当 时， 且 ，此时无解；
综上，a的取值范围为 .20．（12分）
（2023·上海·高三专题练习）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服
用1粒药后，每毫升血液含药量 （微克）随着时间 （小时）变化的函数关系式近似为
．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为
多少小时？
【解析】（1）设服用1粒药，经过 小时能有效抗病毒，
即血液含药量须不低于4微克，可得 ，
解得 ，
所以 小时后该药能起到有效抗病毒的效果．
（2）设经过 小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；
若 ，药物浓度 ，
解得 ，
若 ，药物浓度 ，
化简得 ，所以 ；
若 ，药物浓度 ，
解得 ，所以 ；
综上 ，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为 小时．
21．（12分）
（2023·江西吉安·统考一模）已 均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．【解析】（1）证明：由柯西不等式可得 ，
当且仅当 时取等号．
即 ，则原式成立；
（2）证明：
．
当且仅当 时取等号.
22．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时，设 的最大值
为 ，求 的最小值．
【解析】令 ，分别取 ，1，2，可得 ，
， ．
由 ，利用绝对值三角不等式可得
，因此
当 ， 时， ，当且仅当 时取等号，而 ，得
在 上的最大值为 ，说明等号能成立．
故 的最小值为 ．
