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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知全集 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知命题p：集合 ，命题q：集合 ，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
4．命题“ ，函数 在 上单调递增”的否定为（ ）
A． ，函数 在 上单调递减
B． ，函数 在 上不单调递增
C． ，函数 在 上单调递减
D． ，函数 在 上不单调递增
5．若正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
6．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是 ，在
不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整
完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
7．已知实数 ， 且 ，则 取得最大值时， 的值为（ ）
A． B． C． D． 或8．如果一个非空集合 上定义了一个运算 ，满足如下性质，则称 关于运算 构成一个群.
（1） 封闭性，即对于任意的 ，有 ；
（2） 结合律，即对于任意的 ，有 ；
（3） 对于任意的 ，方程 与 在 中都有解．
例如，整数集 关于整数的加法（ ）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对
于任意的 ，方程 与 都有整数解；而实数集 关于实数的乘法（ ）不构成群，因
为方程 没有实数解.
以下关于“群”的真命题有（ ）
①自然数集 关于自然数的加法（ ）构成群；
②有理数集 关于有理数的乘法（ ）构成群；
③平面向量集关于向量的数量积（ ）构成群；
④复数集 关于复数的加法（ ）构成群.
A．0个； B．1个； C．2个； D．3个.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若集合 和 关系的Venn图如图所示，则 可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知 ，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知正实数 ， ， ，且 ， ， ， 为自然数，则满足 恒成立的 ，
， 可以是（ ）
A． ， ， B． ， ，C． ， ， D． ， ，
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 .
13．设集合 .若 且 ，则 .
14．设 表示不超过 的正整数集合， 表示k个元素的有限集， 表示集合A
中所有元素的和，集合 ，则 ；若 ，则m的最大值为
．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知命题 ， 为真命题.
(1)求实数 的取值集合A；
(2)设 为非空集合，且 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
16．（15分）
为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月
的处理量最少为30吨，最多为400吨.月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函数关系近似地
表示为 .
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低?月处理成本最低是多少元?
(2)该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?每吨的平均处理成本最低是多少
元?
17．（15分）
已知集合 .
(1)若 ，存在集合 使得 为 的真子集且 为 的真子集，求这样的集合 ；
(2)若集合 是集合 的一个子集，求 的取值范围.18．（17分）
已知 均为正实数，且满足 ．
(1)求 的最小值；
(2)求证： .
19．（17分）
数列 满足： .记 的前 项和为 ，并规定 .定义集合
.
(1)对数列 ： ，0.7， ，0.9，0.1，求集合 ；
(2)若集合 ，证明： .
(3)给定正整数 ，对所有满足 的数列 ，求集合 的元素个数的最小值.
