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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 41 讲 椭圆及其性质（精讲）
题型目录一览
①椭圆的定义及其应用
②求椭圆的标准方程
③椭圆的几何性质
④椭圆的离心率
一、知识点梳理
一、椭圆的定义
平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭
圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 ，定义用集合语言表示为：
注意：当 时，点的轨迹是线段；当 时，点的轨迹不存在．
二、椭圆的方程、图形与性质
焦点的位
焦点在 轴上 焦点在 轴上
置
图形
标准方程
统一方程
参数方程第一定义 到两定点 的距离之和等于常数2 ，即 （ ）
范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 长轴长 ，短轴长 长轴长 ，短轴长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
焦点
、 、
焦距
离心率
对于过椭圆上一点 的切线方程，只需将椭圆方程中 换为 ， 换为
可得
焦半径最大值 ，最小值
【常用结论】
过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为 ．
1.
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为 ，距离的最小值为 ．
2.椭圆的切线
①椭圆 上一点 处的切线方程是 ；
②过椭圆 外一点 ，所引两条切线的切点弦方程是 ；
③椭圆 与直线 相切的条件是 ．
二、题型分类精讲
题型 一 椭圆的定义及其应用
策略方法 椭圆定义的应用类型及方法(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆．
(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF |＋|PF |＝2a实现等量转换．
1 2
(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．
【典例1】（单选题）椭圆 的两个焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于A、B两点，则
的周长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【题型训练】
一、单选题
1．方程 的化简结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点P为椭圆 上的一点， ， 为该椭圆的两个焦点，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
3．椭圆 的两个焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于A、B两点，则 的周长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
4．已知椭圆 为两个焦点， 为椭圆 上一点，若 的周长为4，则
（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．已知 是椭圆 的两个焦点，点M在C上，则 的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
6．已知 的顶点 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则 的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P是椭圆C上的动点， ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，A是C上一点， ，则 的最大值
为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
9．已知 是椭圆 的左焦点，点 在 上， 在 上，则 的
最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．若 ， ，点P到 ， 的距离之和为10，则点P的轨迹方程是
11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于A，B两点，若
，则 .
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若椭圆上的点 满足 ，则
13．已知椭圆 的左、右焦点分别为F，F，点P在椭圆上，若线段PF 的中点在y轴上，|PF|
1 2 1 1
－|PF|＝ .
2
14．设 是椭圆 的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为 ，则 的最大值为
.题型二 求椭圆的标准方程
策略方法 待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
【典例1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A( ，－2)和B(－2 ，1)两点；
（2）a＝4，c＝ ；
（3）过点P(－3，2)，且与椭圆 有相同的焦点．
【题型训练】
一、单选题
1．“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为B．若 ，则该椭圆的
方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F，F 为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在
1 2
一点P，使得｜PF｜＝6｜PF｜，则C的方程可能为（ ）
1 2A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1
C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1
4．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，M为C上一点，若 的中点为 ，
且 的周长为 ，则C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆C的焦点为 ， ．过点 的直线与C交于A，B两点．若 的周长为12，
则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线 经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆 ： 右焦点为 ，其上下顶点分别为 ， ，点 ，
，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若椭圆 的中心为坐标原点､焦点在 轴上；顺次连接 的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，
顺次连接 的四个顶点构成四边形的面积为 ，则 的方程为（ ）A． B． C． D．
9．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近
法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在
y轴上，且椭圆C的离心率为 ，面积为 ，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标
准方程为 .
11．若椭圆的两焦点分别为 ， ，点P在椭圆上，且三角形 的面积的最大值为12，则
此椭圆方程是 ．
12．若一个椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦距2c成等差数列，则 ＝ .
13．已知 ， 两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 .
三、解答题
14．根据下列条件求椭圆的标准方程
(1)两个焦点的坐标分别是 、 ，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是 、 ，并且椭圆经过点 ；
(3)椭圆经过两点 ， ；
(4)离心率为 且过点 ；
题型三 椭圆的几何性质策略方法 利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．
【典例1】（单选题）已知 、 为椭圆 的左、右焦点，M为 上的点，则 面积的
最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【题型训练】
一、单选题
1．椭圆 的短半轴长为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 ： 的一个焦点的坐标为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．5 D．9
4．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个
近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长
为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A．30 B．10 C．20 D．5．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ， 两点都在 上，且 ， 关于坐标原点对
称，下列说法错误的是（ ）
A． 的最大值为
B． 为定值
C． 的焦距是短轴长的2倍
D．存在点 ，使得
6．已知 是椭圆 上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 的周长为 ，
且椭圆的离心率为 ，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 的直线交 于 两点，直线 交
轴于点 ，若 ，则椭圆 的焦距为（ ）
A． B． C． D．
8．点 在以 为焦点的椭圆 上，若线段 的中点在 轴上，则 是 的（ ）
A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍
二、多选题
9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上
绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以
F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（ ）A．轨道Ⅱ的长轴长为
B．轨道Ⅱ的焦距为
C．若 不变， 越小，轨道Ⅱ的短轴长越大
D．若 不变， 越大，轨道Ⅱ的离心率越小
10．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（ ）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆
半径为2， ，则（ ）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
三、填空题
11．已知椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为 .
12．已知椭圆 的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则 ．13．设P是椭圆 上任意一点，F为C的右焦点， 的最小值为 ，则椭圆C的长
轴长为 ．
14．椭圆 的内接正方形的周长为 ．
15．椭圆 的四个顶点所围成的四边形的面积是 .
16．已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是 ．
17．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大
小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10
cm，则小椭圆的长轴长为 cm.
题型四 椭圆的离心率
策略方法 求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用
方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关
系，从而求得e．
【典例1】（单选题）已知椭圆 ，其上顶点为 ，左､右焦点分别为 ，且三
角形 为等边三角形，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．已知椭圆 经过点 ，则椭圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
2．已知椭圆 的离心率为 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．直线l经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到l的距离为其长轴长的 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的焦点在 轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 是椭圆 的左焦点，若过 的直线 与圆 相切，且 的倾斜角为
，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆 的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆 为椭圆的对称中心， 为椭圆的一个焦点， 为椭圆上一点，
轴， 与椭圆的另一个交点为点 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
8．已知椭圆 的左右焦点分别是 ，过 的直线交椭圆于 两点，
若 （ 为坐标原点）， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆C： 的左右焦点为 ，过 的直线与 交于 两点，若满足
成等差数列，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知右焦点为 的椭圆 ： 上的三点 ， ， 满足直线 过坐标原点，若
于点 ，且 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
11．椭圆 ： 的左顶点为 ，点 ， 是 上的任意两点，且关于 轴对称．若直线
， 的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．已知椭圆的一个焦点为 ，长轴长为 ，中心在坐标原点，则此椭圆的离心率为 ．13．已知椭圆 的三个顶点 构成等边三角形，则椭圆 的离心率是 .
14．如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点， 轴， ∥ ，则椭圆的离心率为
．
15．在以O为中心， 、 为焦点的椭圆上存在一点M，满足 ，则该椭圆的离心率
为 .
16．已知 ， 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且
， ，则C的离心率为 .
17．已知点F是椭圆 的右焦点，点P在椭圆上， 且 的最小值为3，
则椭圆C的离心率是 ．
18．已知 是椭圆 的左，右焦点， 上两点 满足 ，
则 的离心率为 ．
