文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 28 讲 等差数列（精讲）
题型目录一览
①等差数列基本量的计算
②等差数列的性质及其应用
③等差数列的前 n 项和
④等差数列中中
a
与
a+ bi =c+ di ⇔a=b,且c=d
的关系
n
⑤等差数列中的函数特性
⑥等差数列的判定与证明
一、知识点梳理
一、等差数列的有关概念
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差
数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为 （常数）
．
2.等差中项的概念
若三个数 ， ， 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且有 ．
二、等差数列的有关公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，那么它的通项公式是 ．
2.等差数列的前 项和公式
设等差数列 的公差为 ，其前 项和 ．
三、等差数列的常用性质
已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和．
1.通项公式的推广： ．
2.在等差数列 中，当 时， ．3. ，…仍是等差数列，公差为 ．
4. ，…也成等差数列，公差为 ．
5.若 ， 是等差数列，则 也是等差数列．
四、等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列 是等差数列⇔ （ 为常数）．
【常用结论】
1.等差数列 中，若 ，则 ．
2.等差数列 中，若 ，则 ．
3.等差数列 中，若 ，则 ．
4.若 与 为等差数列，且前 项和为 与 ，则 ．
二、题型分类精讲
题型 一 等差数列基本量的计算
策略方法 解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a 和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项
1
和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a ，d，n，a ，S 五个量，可“知三求二”．
1 n n
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a ，d表示，寻求两者间的联
1
系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
【典例1】在等差数列中， ， ，则201是数列的第几项（ ）
A．59 B．60 C．61 D．62
【典例2】在等差数列 中， ， ，则 的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12【题型训练】
一、单选题
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知 为等差数列， ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列 满足 ， ，则 （ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
3．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在等差数列 中， ， ，则 =
（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
4．（2023·广西·统考模拟预测）设 为等差数列，若 ，则公差 （ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5．（2023·四川凉山·三模）在等差数列 中， ， ，则 （ ）．
A．3 B．5 C．7 D．9
6．（2023·西藏日喀则·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲
乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所
分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多
少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文
C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文
7．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知等差数列 满足 ，则 的前20项和
（ ）A．200 B．300 C．210 D．320
二、填空题
9．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）在等差数列 中， ，
，则 的公差是 ．
10．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列 的公差为 ，且满足 ， ，则数
列 的通项公式 ．
11．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）等差数列 中， ，则 的
值是 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 中 ， ，若 ，则
．
13．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列 满足： ，若 为等差数
列，则通项公式为 ．
14．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列 中， ，若在数列 每相
邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 .
题型 二 等差数列的性质及其应用
策略方法 利用等差数列的性质解题的两个关注点
(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2a ＝a ＋a 可实现项的合并与拆分，在S ＝中，
m m－n m＋n n
S 与a ＋a 可相互转化．
n 1 n
(2)利用S ，S －S ，S －S 成等差数列，可求S 或S ．
m 2m m 3m 2m 2m 3m
【典例1】已知等差数列 中， ，则 （ ）
A．30 B．40 C．50 D．45
【典例2】已知 和 的等差中项是 ， 和 的等差中项是 ，则 和 的等差中项是A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列，若 ，则 等于（ ）
A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)
2．（2023·全国·高三专题练习）如果等差数列 中， ，那么 （ ）
A．14 B．12 C．28 D．36
3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 中， ，则 （ ）
A．30 B．15 C．5 D．10
4．（2023·青海西宁·统考二模）已知 ， 均为等差数列，且 ， ， ，则数列
的前5项和为（ ）
A．35 B．40 C．45 D．50
5．（2023·全国·高三专题练习）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为
0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升
6．（2023·陕西榆林·统考三模）一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）数列 是等差数列，若 ，
，则 （ ）
A． B．4 C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、
小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为
尺，前九个节气日影长度之和为 尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
9．（2023·全国·高三专题练习）“ ”是“数列 为等差数列”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
10．（2023·全国·高三专题练习）公差不为零的等差数列 中， ，则下列各式一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 ， ， =
12．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知等差数列 ， ， .
13．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列 中， ， ，则 .
14．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列 中， 是方程 的根，则 ＝
.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则
.
题型 三 等差数列的前 n 项和
策略方法
在等差数列中， ，…仍成等差数列； 也成等差数列．
【典例1】设 是等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【典例2】已知 为等差数列 的前 项和， ，则 的值为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．9【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西赣州·统考二模）已知等差数列 中， 是其前 项和，若 ， ，
则 （ ）
A．7 B．10 C．11 D．13
2．（2023·全国·高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔
群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，
第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等
差数列，总计一百零八座，则该塔共有（ ）
A．八层 B．十层 C．十一层 D．十二层
3．（2023·江西新余·统考二模）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ，则
数列 的公差为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了
如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个
球，······，则第十层有（ ）个球．
A．12 B．20 C．55 D．110
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从
低到高站成一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5
尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（ ）
A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸
6．（2023·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）A．25 B．22 C．20 D．15
7．（2023·陕西安康·统考三模）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
8．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）在等差数列{an}中，a+2a+a=10，则数
3 5 9
列{an}前10项的和为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．28
9．（2023·全国·高三专题练习）在项数为 的等差数列 中，其前 项的和为 ，最后 项的和为 ，
所有项的和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）设 为正项等差数列 的前 项和．若 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列 ， 的前n项和分别为 ， ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列 ， 的前n项和 满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023·辽宁·校联考一模）设等差数列 的前 项和是 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，
， ，则公差为 .
16．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）记等差数列 的前n项和为 ，若 ，则数
列 的公差 ．
17．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列 前 项和为 ，且 ， ，
数列 的前10项的和为 .
18．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且
，则 ．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知 和 均为等差数列， ， ， ，则数列
的前60项的和为 ．20．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ， ，则
．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列 和 的前n项和分别为 ， ，且 ，
则 .
题型 四 等差数列中
a
与
a+ bi =c+ di ⇔a=b,且c=d
的关系
n
策略方法 等差数列中
a
与
a+ bi =c+ di ⇔a=b,且c=d
的关系
n
S (n1)
a 1
a n S a n S S (n2)
数列 n 的前 项和 n和通项 n的关系：则 n n1
【典例1】已知数列 的前n项和为 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知数列 的前 项和 ，则
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和 ，若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2023·河南开封·统考一模）已知数列 的前 项和 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前 项和，且满足 ，则
（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
5．（2023·全国·高三专题练习）设 为数列 的前 项和.若 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A．4045 B．4042 C．4041 D．4040
7．（2023·北京·高三专题练习）在无穷正项等差数列 中，公差为 ，则“ 是等差数列”是“存
在 ，使得 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列 是等差数列
B．数列 是递增数列
C． ， ， 成等差数列
D． ， ， 成等差数列
二、多选题9．（2023·山西阳泉·统考三模）设无穷数列 为正项等差数列且其前n项和为 ，若 ，则下
列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 与 的前 项和分别为 与 ，且 ，则
（ ）
A．当 时，
B．
C．
D．
三、填空题
11．（2023·河南郑州·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前 项和 ，则该数列的通项公式为 .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为
.
14．（2023·全国·高三专题练习）正项数列 的前n项和 满足 ，则数列 的通项公式
为 .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 成等差数列，若
，则使得 ， 同时成立的k的值为 ．
题型 五 等差数列的判定与证明策略方法 等差数列的判定与证明的方法
方法 解读 适合题型
定义法
为同一常数 ⇔ 是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
成立⇔ 是等差数列
为常数）对任意的正整数 都成立
通项公式法
⇔ 是等差数列
选择、填空题中的判
定问题
验证 为常数）对任意的正整数 都成立⇔
前 项和公式法
是等差数列
【典例1】已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：数列 是等差数列.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ 为等差数列”的
（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知数列 各项为正数， 满足 ，
，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等差数列 D． 是等比数列
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ， ， .若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，若 ，则
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 （ ， ）， ，其前n项和为 ，
若 ，则 （ ）
A．47 B．46 C．45 D．44二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ，则下列能判断数列 是等差数列
的是（ ）
A． B． C． D． ．
10．（2023·全国·模拟预测）设 是数列 的前 项和．下面几个条件中，能推出 是等差数列的为
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
三、填空题
11．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）甲､乙两个机器人分别从相距70 的两处同时相向运动，甲第
1分钟走2 ，以后每分钟比前1分钟多走1 ，乙每分钟走5 .若甲､乙到达对方起点后立即返回，则它
们第二次相遇需要经过 分钟.
12．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，若 ，则正整数
．
13．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知数列 ， 都是等差数列，且
， ，则 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，
则 .
四、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ， ， ，
.证明数列 为等差数列，并求通项公式 ；16．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且 和 满足：
.求 的通项公式；
17．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的等差数列 的首项为 ，前 项和为 ，且满足
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明数列 是等差数列．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{ }满足 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列{ }的通项公式．
