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第28讲 排列组合
【知识点总结】
1.分类加法计数原理
有n类方法
完成一件事 任两类无公共方法（互斥） 共有
每类中每法可单独做好这件事
种不同方法.
2.分步乘法计数原理
必须走完n步，才能完成任务
完成一件事 前一步怎么走对后一步怎么 共有
走无影响（独立）
种不同方法.
3.排列与排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(n≥m)的排列个数共有 .
4.组合与组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个(不同)元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合数共有 .
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）互不相同的 盆菊花，其中 盆为白色， 盆为黄色， 盆为红色，现要
摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【详解】
红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄
色菊花，共有 种摆放方法．
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习）某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区
的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）
A．240种 B．300种
C．360种 D．420种
【答案】D
【详解】
先放A，共有5种选择，
若B、D选则同一种花，有四种选择，剩下的C、E均有三种选择，共 种，
若B、D选则不同种花，有 种选择，剩下的C、E均有两种选择，共 种，
故共有180+240=420种.
故选：D.
例3．（2022·全国·高三专题练习）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的
站法共有( )
A．66种 B．60种 C．36种 D．24种
【答案】B
【详解】
首先对五名学生全排列，则共有 种情况，
又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况，
所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有 种情况.
故选：B
例4．（2022·全国·高三专题练习）永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在
一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道
州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为
（ ）
A．480 B．240 C．384 D．1440【答案】A
【详解】
第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有 种排法；
第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有 种插法；
所以共有 种不同的安排方法.
故选：A
例5．（2022·全国·高三专题练习）疫情期间，有6名同学去社区做防疫志愿者，根据需要，要安排这6名
同学去甲､乙两个核酸检测点，每个检测点至少去2名同学，则不同的安排方法共有( )
A．10种 B．20种 C．50种 D．70种
【答案】C
【详解】
根据题意，分2种情况，
(1)①将6人分为人数为2和4的2组，有 种分组方法，
②将分好的2组全排列，安排到2个核酸点，有 种情况，则有 种不同的安排方法；
(2)①将6人分为人数为3和3的2组，有 种分组方法，
②将分好的2组全排列，安排到2个核酸点，有 种情况，则有 种不同的安排方法；
∴不同的安排方法有 ，
故选：C．
例6．（2022·全国·高三专题练习）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班
级至少分到一人，则甲被分到A班级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
将甲、乙、丙、丁 名同学分到 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，
则将甲、乙、丙、丁 名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有 种方法，分配给三个班级的所有方法有 种；
甲被分到A班，有两种情况：
甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有 种；
二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有 种；
综上可知，甲被分到 班的概率为 .
故选：B.
例7．（2022·全国·高三专题练习）从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选
取方案数为（ ）
A．10 B．20 C．540 D．1080
【答案】A
【详解】
从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，
即6个志愿者名额分到3个小区，每个小区至少1个，
等价于6个相同的小球分成3组，每组至少1个，
将6个小球排成一排，除去两端共有5个空，
从中任取2个插入挡板，共有 （种）方法，
即从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，不同的选取方案数为10.
故选：A
例8．（2022·全国·高三专题练习（理））将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分
到书的分法有（ ）
A．12种 B．24种 C．32种 D．36种
【答案】D
【详解】
依题意，将4本不同的书任取2本为1份，余下两本各1份，分成3份有 种分法，
再将分得的3份送给甲、乙、丙三位同学，每人1份有 种送法，由分步计数乘法原理得： ，所以每位同学都分到书的分法有36种.故选：D
例9．（2022·全国·高三专题练习（理））10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排
7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．
【答案】420
【详解】
可从后排7人中任取2人，插入前排，调整方法数为 ．
故答案为：420．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人
分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（ ）
A．28种 B．30种
C．27种 D．29种
【答案】A
【分析】
依题意可得有 人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，则选派的方案有四类：
①选派两种球都会的两人；②从两种球都会的选1人踢足球，再从只会打篮球的选1人；③从两种球都会
的选1人打篮球，再从只会踢足球的选1人；④选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球；
按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；
【详解】
解：有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有 人既会踢足球又会打篮球，有3
人只会打篮球，有4人只会踢足球，
所以选派的方案有四类：
选派两种球都会的运动员有2种方案；
选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有 （种）方案；
选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有 （种）方案；
选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有 （种）方案.
综上可知，共有 （种）方案，
故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次
轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）
A．26 B．60
C．18 D．1080
【答案】A
【分析】
按照分类加法计数原理计算可得；
【详解】
解：由分类加法计数原理知有 （种）不同走法.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）某班班干部有4名男生和5名女生组成，从9人中选1人参加某项活动，
则不同的选法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．9种 D．20种
【答案】C
【分析】
分两类：从男生中选和从女生中选，根据分类加法计数原理可得总的选法数量﹒
【详解】
分两类：一类从男生中选，有4种方法；一类从女生中选，有5种方法；用加法原理共有4＋5＝9种方法．
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不
同的走法种数为（ ）
A．32 B．23
C．43 D．24
【答案】B
【分析】
由于每上一层楼有2种走法，所以由分步乘法原理可求得答案
【详解】
根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，
则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母
B，C，D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从
左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的
所有可能情况有（ ）
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
【答案】D
【分析】
按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】
解：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种
选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有 （种）.
故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有（ ）
A．64种 B．46种 C．24种 D．360种
【答案】B
【分析】
对于每一位乘客都有4种下车可能，即可求6位乘客的可能下车情况数.
【详解】
由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46种，
故选：B．
7．（2022·浙江·高三专题练习）在某校举行一次阅读分享活动中，需从4名男生和3名女生中任选4人参
加，若这4人必须既有男生又有女生，则不同的选法的种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】这4人必须既有男生又有女生分为3类，然后根据分步计数原理以及组合数分别求出结果，再利用分类计
数原理即可求出结果.
【详解】
这4人必须既有男生又有女生分为3类，
（1）1男生3女生，共有 种，
（2）2男生2女生，共有 种，
（3）3男生1女生，共有 种，
根据分类计数原理，共有 种，
故选：D.
8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一
种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】C
【详解】
试题分析：按照先A再BD最后CE的顺序，分两种情况涂色，1：BD同色，有 ;2：BD不同
色，有 种
考点：1.分步计数原理；2.分情况讨论
9．（2021·福建·三模）《周髀算经》是中国最古老的天文学､数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创
制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，
规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（ ）A．36 B．48 C．72 D．96【答案】C
【分析】
根据题意，分2步依次分析区域 和区域 的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①对于区域 ，三个区域两两相邻，有 种涂色的方法，
②对于区域 ，若 区域与 颜色相同， 区域有2种选法，
若 区域与 颜色不同，则 区域有1种选法， 区域也只有1种选法，
则区域 有 种涂色的方法，
则有 种涂色的方法，
故选：C.
10．（2021·陕西·西安市经开第一中学模拟预测（理））用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌( ， ，
， ， )染色，要求相邻的两个车站间的候车牌不同色，有（ ）种染色方法
A．120 B．180 C．360 D．420
【答案】D
【分析】
根据 用三种颜色、四种颜色、五种颜色分三类，结合分类计算原理、排列的定义进行求解
即可.
【详解】
用三种颜色涂色，则有 种方式；
用四种颜色涂色，则有 种方式；
用五种颜色涂色，则有 种方式，所以一共有 种方式.
故选：D.
11．（2021·河南·高三阶段练习（理））如图，准备用 种不同的颜色给 、 、 、 、 五块区域涂色，
要求每个区域随机用一种颜色涂色，且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同涂色方法的种
数共有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，涂色分 步进行，第一步对于 区域，有 种颜色可选，第二步对于 区域，与 区域相邻，有
种情况，第三步对于 区域，与 、 区域相邻，有 种情况，第四步对于 、 区域，分 种情况讨论，
然后利用分步乘法计数原理可得结果
【详解】
根据题意，涂色分 步进行分析：
对于 区域，有 种颜色可选，即有 种情况，
对于 区域，与 区域相邻，有 种情况，
对于 区域，与 、 区域相邻，有 种情况，
对于 、 区域，分 种情况讨论：
若 区域与 区域涂色的颜色相同，则 区域有 种颜色可选，即有 种情况，
此时 、 区域有 种情况；
若 区域与 区域所涂的颜色不相同，则 区域有 种情况， 区域有2种情况，
此时 、 区域有 种情况，
则 、 区域共有 种情况，
则不同涂色的方案种数共有 种．
故选：C．
12．（2022·全国·高三专题练习（理））甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在中间，则不同站法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
只需考虑将甲、乙、丙、丁4名同学全排列即刻.
【详解】
解：根据题意，将甲、乙、丙、丁4名同学全排列，有 种排法，老师必须站在中间，有1种安排
方法，则有 种站法；
故选:B
13．（2022·全国·高三专题练习）某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，
前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相
邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
【答案】D
【分析】
先排中国，再排美俄两国领导人，其他国家任意排即可﹒
【详解】
中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有 种站法；其他18
国领导人可以任意站，因此有 种站法．
根据分步乘法计数原理可知，共有 种站法．
故选：D．
14．（2022·全国·高三专题练习）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的
站法共有( )
A．66种 B．60种 C．36种 D．24种
【答案】B【分析】首先利用全排列并结合已知条件即可求解.
【详解】
首先对五名学生全排列，则共有 种情况，
又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况，
所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有 种情况.
故选：B
15．（2022·全国·高三专题练习）七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法
共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【分析】
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，再利用捆绑法即求.
【详解】
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有 种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元
素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有 (种)．
故选：D
16．（2022·浙江·高三专题练习）高三某班课外演讲小组有4位男生、3位女生，从中选拔出3位男生、2
位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（ ）
A．864种 B．432种 C．288种 D．144种
【答案】A
【分析】
分步完成：第一步选3位男生排列，第二步选2位女生插入男生形成的空档中，由乘法原理可得．
【详解】
由题意可分步完成：第一步选3位男生排列，第二步选2位女生插入男生形成的空档中，
方法数为 ．
故选：A．
17．（2022·浙江·高三专题练习）从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（ ）
A．12 B．24 C．64 D．81
【答案】B
【分析】
题目考察简单的排列问题，即四本书选三本给三个人，符合 的含义
【详解】
4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为 ．
故选：B
18．（2022·全国·高三专题练习）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利
进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一
人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（ ）
A．840种 B．140种
C．420种 D．210种
【答案】C
【分析】
使用特殊元素法，直接计算即可.
【详解】
由题可知：甲两天，乙三天，丙和丁各一天
所以不同的安排方法有 种
故选：C
19．（2021·四川·绵阳中学高三阶段练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4
人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（
）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【分析】
根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况进行讨论，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有 种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有 种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有 种．
综上分析，共可开出 种．
故选：B．
二、填空题
20．（2022·全国·高三专题练习）有A，B，C型高级电脑各一台，甲.乙.丙.丁4个操作人员的技术等级不
同，甲.乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3
人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).
【答案】8
【分析】
由题意，分选甲.乙.丙，选甲.乙.丁，选甲.丙.丁，选乙.丙.丁四类，利用分类加法计数原理求解.
【详解】
解：由于丙，丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”
这件事，
则甲，乙两人至少要选派一人，可分四类：
第1类，选甲.乙.丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种
方法；
第2类，选甲.乙.丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种
方法；
第3类，选甲.丙.丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；
第4类，选乙.丙.丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.故答案为：8
21．（2022·全国·高三专题练习（理））某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语
翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是______．
【答案】12
【分析】
分甲部门2名电脑编程人员和1名电脑编程人员两种情况讨论，按照分步乘法计数原理和分类加法计数原
理计算可得；
【详解】
解：由题意可得，
①若甲部门要2名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数
原理，分配方案共有 （种）．
②若甲部门要1名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数
原理，分配方案有 （种）．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有 （种）．
故答案为：
22．（2022·全国·高三专题练习）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆
成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有________种.
【答案】5
【分析】
运用枚举法即可求得答案.
【详解】
记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，
21211212，21212112三种，共5种摆法.
故答案为：5.
23．（2022·全国·高三专题练习）古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、
戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的
“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．
【答案】60
【分析】
首先根据题意分成两类，分别计算各类的结果再相加即可.【详解】
分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有
5×6＝30(组)不同的结果．
第二类：用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，
则有5×6＝30(组)不同的结果．
共可得到30＋30＝60(组)．
故答案为：60
24．（2022·全国·高三专题练习）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三
个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加
A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）
【答案】
【分析】
由题意，按照甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论，求出每种情况的选拔方案数量，再由加法计数原理
相加计算.
【详解】
根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有 种
选拔方法；
②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下的4人中任选2人参加A、B项目，有
种选拔方法；
③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下的4人中任选2人参加B、C项目，有
种选拔方法；
④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B项目，有 种选拔方法，则有
.
故答案为：
25．（2020·全国·高三专题练习）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同
一排 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自
己车票相符座位的坐法有__________种.
【答案】45【分析】
先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果.
【详解】
先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；
剩下四人进行错排，设四人座位为 ，则四人都不坐在自己位置上有
这9种可能；
所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 种
故答案为：45
【点睛】
本题考查错排问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
26．（2022·全国·高三专题练习（理））将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A，B，C，D四个班级，
每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为______．
【答案】14
【分析】
根据甲分配的班级分类讨论：一甲分到 班，二是甲分到 中的一个班级，注意考虑乙班级即可得．
【详解】
将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况：①甲分配到B班 （种）分配方案；②甲
不分配到B班有 （种）分配方案．由分类加法计数原理可得，共有 （种）分配方案．
故答案为：14．
27．（2022·全国·高三专题练习）为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工
作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
【答案】182
【分析】
根据甲、乙中裁一人、都不裁进行分类讨论，由此求得不同的裁员方案的种数.
【详解】
甲、乙中裁一人的方案有 种，甲、乙都不裁的方案有 种，故不同的裁员方案共有 ＝
182(种)．故答案为：18228．（2022·河北张家口·高三期末）四个不同的小球随机放入编号为 的四个盒子中，则恰有两个空
盒的概率为___________.
【答案】
【分析】
结合古典概型概率计算公式以及排列组合的计算，求得所求概率.
【详解】
四个不同的小球随机放入编号为 的四个盒子中共有 种，若恰有两个空盒，则四个不同的小球可分
成1个和3个或2个和2个，共有 种，故恰有两个空盒的概率为 .
故答案为：
29．（2022·全国·高三专题练习）某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，
且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
【答案】114
【分析】
先将 人分成三组，再安排到 个房间，结合对立事件来计算出不同的安排方法数.
【详解】
5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，
当为(3，1，1)时，有 ＝60(种)，A，B住同一房间有 ＝18(种)，故有60－18＝42(种)，
当为(2，2，1)时，有 · ＝90(种)，
A，B住同一房间有 ＝18(种)，故有90－18＝72(种)，
根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．
故答案为：114.
30．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙､丙､丁四人分别去甘肃､内蒙古､北京三个地方旅游，每个地方至少
有一人去，且甲､乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数有___________.
【答案】30【分析】
先计算4人中有两名分在一个地方的种数，和其余二个看作三个元素进行全排列，再排除甲乙被分到同一个地方的
情况即可﹒
【详解】
先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有
种，
再排除甲乙被分在同一地方的情况共有 种，
∴不同的安排方法种数是： ．
故答案为：30．
31．（2022·全国·高三专题练习）现有7人排队接种新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且
丙丁相邻，则有______种不同的排队方法.（用数字作答）
【答案】240
【分析】
丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列，
由此可得结论．
【详解】
丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列，
方法数为 ．
故答案为：240．
32．（2020·辽宁·凌源市第二高级中学高三期中）现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又
会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语
翻译，共有_______种不同的选法．
【答案】60
【分析】
考虑多面手（既会俄语又会英语的）的特殊性，按照多面手从事的工作进行分类，分别求出每种情况的选
法种数，由分类加法原理即得．
【详解】
因为英语翻译只能从多面手中选，所以有（1）当选出的多面手2人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有 种选法；
（2）当选出的多面手2人从事英语翻译，1人从事俄语翻译，所以有 种选法；（3）当选出的多面手2人从事英语翻译，2人从事俄语翻译，所以有 种选法；
共有18+36+6=60种选法．
【点睛】
本题主要考查排列、组合的应用，涉及到分类讨论思想的运用，选好标准，要做到不重不漏．
33．（2020·全国·模拟预测（理））世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小
李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只
能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.
【答案】36
【分析】
根据题意，小赵和小赵智能从事两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.
【详解】
根据题意可分为2种情况讨论：
（1）若小张或小赵入选，则有 种不同的选法；
（2）若小张，小赵都入选，则有 种不同的选法，
综上可得，共有 种不同的选法.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意分类讨论，结合排列组合的知识
求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
34．（2018·上海第二工业大学附属龚路中学高三阶段练习）从6名志愿者中选出4个人分别从事翻译、导
游、导购、保洁工作，其中甲、乙两个人不能从事翻译工作，则选派志愿者的方案共有_____种（用数值
作答）
【答案】240
【分析】
由题可考虑先选择从事翻译工作的志愿者,再利用排列方法考虑另外三种工作即可.
【详解】
由题,先考虑从事翻译工作的志愿者,再考虑另外三种工作.故共有 种.
故答案为：240【点睛】本题考查排列的应用,根据题意先考虑特定的工作再分析其他工作即可.属于基础题型.
三、解答题
35．（2022·全国·高三专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种
数．
（1）选其中5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体站成一排，男、女各站在一起；
（4）全体站成一排，男生不能站在一起．
【答案】
（1）2520
（2）5040
（3）288
（4）1440
【分析】
（1）从7人中任选5人进行全排列即可，
（2）由题意可知相当于排成一排的全排列，
（3）利用捆绑法求解即可，
（4）利用插空法求解即可
（1）
问题即为从7个元素中选出5个全排列，有 ＝2 520种排法．
（2）
前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有 ＝5 040种排法
（3）
相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有 种排法；女生必须站在一起，是女生的全
排列，有 种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝
＝288(种)．（4）不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有 种排法，故
N＝ ＝1 440(种)．
