文档内容
专题 1.3 不等关系与不等式性质【六大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:28)................................................................................................................................2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:28)............................................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:28)............................................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:32)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:28)............................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:21)(cid:28)................................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:56)(cid:57)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:28)..........................................................................................................................................12
1(cid:58)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:59)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
(cid:25)(cid:61)(cid:62)(cid:46) (cid:63)(cid:21)(cid:64)(cid:65) (cid:25)(cid:66)(cid:67)(cid:68)
(cid:24)(cid:25)(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:81)(cid:37)(cid:38)(cid:82)(cid:83)(cid:72)
(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:21)(cid:58)(cid:88)(cid:89)(cid:21)(cid:90)(cid:91)(cid:72)(cid:91)(cid:62)(cid:25)(cid:81)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:46)(cid:71)(cid:92)(cid:76)(cid:93)(cid:25)(cid:81)(cid:35)(cid:21)(cid:47)(cid:94)(cid:95)(cid:30)
(1)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
(cid:96)(cid:72)(cid:97)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:98)(cid:3)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:101)(cid:102)(cid:86)(cid:103)(cid:104)
(2)(cid:37)(cid:38)(cid:69)(cid:70)(cid:13)(cid:35)(cid:41)(cid:42)
2022(cid:77)Ⅱ(cid:78)(cid:10)(cid:79)12(cid:21)(cid:72)5(cid:67) (cid:105)(cid:24)(cid:25)(cid:35)(cid:106)(cid:70)(cid:99)(cid:100)(cid:107)(cid:108)(cid:72)(cid:109)(cid:90)(cid:71)(cid:21)(cid:110)(cid:111)
(3)(cid:15)(cid:71)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)
(cid:60)(cid:112)(cid:13)(cid:58)(cid:113)(cid:114)(cid:58)(cid:71)(cid:68)(cid:115)(cid:116)(cid:58)(cid:13)(cid:117)(cid:31)(cid:99)(cid:100)
(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:36)(cid:27)
(cid:98)(cid:118)(cid:54)(cid:72)(cid:119)(cid:99)(cid:100)(cid:35)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:21)(cid:72)(cid:124)(cid:125)(cid:126)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:127)(cid:128)(cid:58)(cid:43)(cid:44)(cid:86)(cid:129)(cid:71)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:130)(cid:131)(cid:72)
(cid:124)(cid:24)(cid:25)(cid:25)(cid:81)(cid:35)(cid:84)(cid:70)(cid:132)(cid:61)(cid:133)(cid:134).
(cid:22)(cid:99)(cid:100)(cid:61)1 (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)
1(cid:135)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:136)(cid:137)(cid:33)(cid:34)
(cid:33)(cid:34)1(cid:138)(cid:139)(cid:140)a(cid:141)b(cid:72)(cid:142)(cid:143)b(cid:141)a(cid:92)
(cid:33)(cid:34)2(cid:138)(cid:139)(cid:140)a(cid:141)b(cid:72)b(cid:141)c(cid:72)(cid:142)(cid:143)a(cid:141)c(cid:92)
(cid:33)(cid:34)3(cid:138)(cid:139)(cid:140)a(cid:141)b(cid:72)(cid:142)(cid:143)a±c(cid:141)b±c(cid:92)
(cid:33)(cid:34)4(cid:138)(cid:139)(cid:140)a(cid:141)b(cid:72)(cid:142)(cid:143)ac(cid:141)bc(cid:92)
a b
(cid:33)(cid:34)5(cid:138)(cid:139)(cid:140)a(cid:141)b(cid:72)c≠0(cid:72)(cid:142)(cid:143) (cid:141) .
c c
2(cid:135)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)
(1)(cid:139)(cid:140)a>b(cid:72)(cid:142)(cid:143)bb.(cid:144)a>b bb(cid:72)b>c(cid:72)(cid:142)(cid:143)a>c.(cid:144)a>b(cid:72)b>c a>c.
(3)(cid:139)(cid:140)a>b(cid:72)(cid:142)(cid:143)a(cid:145)c>b(cid:145)c.
⇒
(4)(cid:139)(cid:140)a>b(cid:72)c>0(cid:72)(cid:142)(cid:143)ac>bc(cid:92)(cid:139)(cid:140)a>b(cid:72)c<0(cid:72)(cid:142)(cid:143)acb(cid:72)c>d(cid:72)(cid:142)(cid:143)a(cid:145)c>b(cid:145)d.
(6)(cid:139)(cid:140)a>b>0(cid:72)c>d>0(cid:72)(cid:142)(cid:143)ac>bd.
(7)(cid:139)(cid:140)a>b>0(cid:72)(cid:142)(cid:143)an>bn(n(cid:146)N(cid:72)n≥2)(cid:135)
3(cid:135)(cid:37)(cid:38)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:136)(cid:137)(cid:147)(cid:148)
(cid:147)(cid:148)
(cid:3)(cid:59) (cid:109)(cid:149)(cid:148) (cid:109)(cid:150)(cid:148)
(cid:60)0(cid:37)(cid:38) (cid:60)1(cid:37)(cid:38)
a a
ab ab0 1(a(cid:72)b0)(cid:151) 1(a(cid:72)b0)
b b
a
ab ab0
1(b0)
b
a a
ab ab0 1(a(cid:72)b0)(cid:151) 1(a(cid:72)b0)
b b
(cid:22)(cid:147)(cid:148)(cid:152)(cid:153)(cid:60)(cid:154)(cid:118)(cid:28)
1(cid:135)(cid:36)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:136)(cid:137)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:30)(cid:74)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:158)(cid:159)(cid:35)(cid:160)(cid:161)(cid:72)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:35)(cid:124)(cid:119)(cid:71)(cid:166)(cid:167)(cid:3)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:168)(cid:169)(cid:21)(cid:170)(cid:72)
(cid:167)(cid:170)(cid:102)(cid:27)(cid:162)(cid:171)(cid:50)(cid:172)(cid:43)(cid:148)(cid:72)(cid:86)(cid:164)(cid:24)(cid:71)(cid:21)(cid:35)(cid:173)(cid:174).
2(cid:135)(cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:175)(cid:27)(cid:35)(cid:147)(cid:148)(cid:167)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:58)(cid:109)(cid:150)(cid:148).(cid:58)(cid:176)(cid:177)(cid:36)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:136)(cid:137)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:45)(cid:27)(cid:112)
(cid:13)(cid:35)(cid:76)(cid:178)(cid:33)(cid:72)(cid:179)(cid:62)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:147)(cid:148)(cid:46)(cid:71).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:183)1(cid:28)(cid:39)2024·(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:187)·(cid:188)(cid:189)(cid:40)(cid:190)(cid:99)(cid:191)(cid:13) (cid:72) (cid:72) (cid:72) (cid:192)(cid:193)(cid:10) > >0> > (cid:72)(cid:194)(cid:195)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:84)(cid:83)(cid:196)(cid:197)(cid:35)
(cid:124)(cid:39) (cid:40) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
A(cid:135) + > + B(cid:135) > C(cid:135) + > + D(cid:135) >
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)𝑎(cid:199)(cid:28)𝑑(cid:200)(cid:183)𝑏 (cid:201)𝑐(cid:44)(cid:168)(cid:169)𝑎𝑑ABD𝑏(cid:92)𝑐 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)𝑎 (cid:34)𝑐(cid:202)(cid:15)𝑏(cid:168)(cid:169)𝑑 C. 𝑎𝑐 𝑏𝑑
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:80)(cid:206)ABD(cid:72)(cid:49) = = = = (cid:72)(cid:192)(cid:193) > >0> > (cid:72)
(cid:207)(cid:95) + = < = + 𝑎(cid:72) 2,𝑏= 1,𝑐< −2=,𝑑 (cid:72)−4 = 𝑎= 𝑏(cid:72)ABD𝑐(cid:208)(cid:209)𝑑(cid:92)
(cid:80)(cid:206)𝑎C(cid:72)𝑑 >−2>0−>1 >𝑏 (cid:72)𝑐(cid:194) 𝑎+𝑑 >−8+−(cid:72)2C𝑏(cid:196)𝑐(cid:197)𝑎. 𝑐 −4 𝑏𝑑
(cid:210)(cid:20)(cid:10)C.𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑
(cid:22)(cid:127)(cid:32)1-1(cid:28)(cid:39)2024·(cid:211)(cid:212)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)“ <0< ”(cid:124)“( )2> 2+ 2”(cid:35)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135)(cid:216)(cid:67)(cid:30)(cid:217)(cid:62)(cid:160)(cid:161) 𝑥 B𝑦(cid:135)(cid:217)(cid:62)𝑥(cid:30)−𝑦(cid:216)(cid:67)(cid:160)𝑥(cid:161) 𝑦C(cid:135)(cid:216)(cid:62)(cid:160)(cid:161) D(cid:135)(cid:218)(cid:30)(cid:216)(cid:67)(cid:219)(cid:30)(cid:217)(cid:62)(cid:160)(cid:161)
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:220)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:118)(cid:54)(cid:216)(cid:67)(cid:30)(cid:217)(cid:62)(cid:35)(cid:160)(cid:161)(cid:144)(cid:102)(cid:221)(cid:71).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:222)( )2= 2+ 2 > 2+ 2(cid:72)(cid:194) <0(cid:72)(cid:223)(cid:86) <0< (cid:151)(cid:224) <0< (cid:72)
(cid:223)(cid:86)“ <0< ”(cid:124)𝑥“−(𝑦 )2𝑥> 2𝑦+−22𝑥”(cid:35)𝑦 (cid:216)𝑥(cid:67)(cid:30)𝑦(cid:217)(cid:62)(cid:160)𝑥(cid:161)𝑦. 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦
(cid:210)(cid:20)(cid:10)𝑥A(cid:135) 𝑦 𝑥−𝑦 𝑥 𝑦
(cid:22)(cid:127)(cid:32)1-2(cid:28)(cid:39)2023·(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:187)·(cid:84)(cid:189)(cid:40)(cid:190)(cid:99)(cid:191)(cid:13) (cid:72) (cid:192)(cid:193) > (cid:72)(cid:194)(cid:195)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:225)(cid:158)(cid:159)(cid:35)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135) 2> 2 B(cid:135) 3> 3 C𝑎(cid:135)|𝑏|>|𝑎| 𝑏 D(cid:135) >
−1 −1
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)𝑎(cid:199)(cid:28)𝑏(cid:226)(cid:131)(cid:112)(cid:13)(cid:35)(cid:33)𝑎(cid:34)(cid:168)𝑏(cid:169)(cid:144)(cid:102). 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:227)(cid:90) ( )= 2, ( )=| |(cid:124)(cid:83)(cid:228)(cid:119)R(cid:184)(cid:35)(cid:229)(cid:112)(cid:13)(cid:72)
(cid:223)(cid:86)(cid:230)(cid:191)(cid:13) (cid:192)(cid:193)𝑓 𝑥> (cid:170)𝑥(cid:72)𝑓2𝑥> 2𝑥,| |>| |(cid:30)(cid:84)(cid:83)(cid:158)(cid:159)(cid:72)(cid:210)A,C(cid:30)(cid:231)(cid:54)(cid:21)(cid:232)(cid:92)
(cid:227)(cid:90) ( )=𝑎,3𝑏(cid:124)(cid:83)(cid:228)𝑎(cid:119)𝑏R(cid:184)(cid:76)𝑎(cid:178)(cid:233)(cid:234)𝑏 (cid:35)𝑎(cid:235)(cid:112)(cid:13)𝑏 (cid:72)
(cid:223)(cid:86)𝑓(cid:230)𝑥(cid:191)(cid:13)𝑥 (cid:192)(cid:193) > (cid:170)(cid:72)(cid:194) 3> 3(cid:72)(cid:210)B(cid:231)(cid:54)(cid:21)(cid:232)(cid:92)
(cid:227)(cid:90) ( )=𝑎,𝑏 (cid:119)(𝑎 𝑏),(0,+ 𝑎)(cid:184)(cid:76)𝑏 (cid:178)(cid:233)(cid:236)(cid:72)
−1
(cid:223)(cid:86)𝑓(cid:230)𝑥(cid:191)(cid:13)𝑥 (cid:192)(cid:193)−∞>,0(cid:170)(cid:72) ∞> (cid:30)(cid:84)(cid:83)(cid:158)(cid:159)(cid:72)(cid:30)(cid:231)(cid:54)(cid:21)(cid:232).
−1 −1
(cid:210)(cid:20)(cid:10)B. 𝑎,𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:127)(cid:32)1-3(cid:28)(cid:39)2023·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:228)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99) (cid:240)(cid:90)(cid:191)(cid:13)(cid:72)(cid:195)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:225)(cid:158)(cid:159)(cid:35)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135)(cid:222) < (cid:72)(cid:194) 2024< 2024 𝑎,𝑏,𝑥
𝑎 𝑏 2𝑎024 20𝑏24
B(cid:135)(cid:222) < (cid:72)(cid:194) <
C(cid:135)(cid:222) 𝑎 20𝑏24< 𝑎2024(cid:72)(cid:194)𝑏 <
D(cid:135)(cid:222)𝑎𝑥< (cid:72)(cid:194)𝑏𝑥 2024< 𝑎202𝑏4
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)𝑎(cid:28)(cid:118)𝑏(cid:54)(cid:162)𝑎(cid:171)𝑥(cid:50)(cid:60)(cid:30)𝑏(cid:31)𝑥(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:102)(cid:46).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)A(cid:72)(cid:230) = =1(cid:170)(cid:72) 2024>12024(cid:72)A(cid:208)(cid:209)(cid:92)
202𝑎4 −2,𝑏 (−2)
B(cid:72)(cid:230) =0(cid:170)(cid:72) (cid:241)(cid:232)(cid:228)(cid:72)B(cid:208)(cid:209)(cid:92)
C(cid:72)(cid:220) 𝑎 2024< 2𝑎024(cid:72)(cid:99) 2024>0(cid:72)(cid:223)(cid:86) < (cid:72)C(cid:196)(cid:197)(cid:92)
D(cid:72)(cid:230)𝑎𝑥=0(cid:170)(cid:72)𝑏𝑥 2024< 𝑥2024(cid:30)(cid:158)(cid:159)(cid:72)D𝑎(cid:208)(cid:209)𝑏.
(cid:210)(cid:20)(cid:10)𝑥C. 𝑎𝑥 𝑏𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:37)(cid:38)(cid:13)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:28)
(cid:22)(cid:183)2(cid:28)(cid:39)2023·(cid:242)(cid:243)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99)(cid:196)(cid:191)(cid:13)x(cid:72)y(cid:192)(cid:193) < (cid:72)(cid:244) = e + (cid:72) = e + (cid:72) = e + (cid:39)(cid:157)
𝑥 𝑦 𝑥
𝑥 𝑦 𝑎 𝑥 𝑦 𝑏 𝑦 𝑥 𝑐 𝑦 𝑥(cid:245)e(cid:90)(cid:246)(cid:95)(cid:80)(cid:13)(cid:10)e (cid:40)(cid:72)(cid:194)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:3)(cid:59)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135) < < ≈2.B71(cid:135)8c2<8⋯a >0(cid:72)e>1𝑎(cid:72)(cid:223)𝑥(cid:86)e 𝑦>e𝑏(cid:72)(cid:223)𝑦 (cid:86) 𝑥> 𝑐(cid:92) 𝑦 𝑥 𝑏−𝑐 𝑦 −
𝑦 𝑥
(cid:249)𝑦 𝑥=( )+( )e =( )( e𝑏)(cid:72)𝑐
𝑥 𝑥
(cid:249)𝑐−>𝑎 >𝑥0−(cid:72)𝑦e >1𝑦(cid:72)−𝑥(cid:223)(cid:86) >𝑥−(cid:135)𝑦 1−
𝑥
(cid:53)𝑦(cid:184)(cid:72)𝑥 < < (cid:135) 𝑐 𝑎
(cid:210)(cid:20)(cid:10)A𝑎(cid:135)𝑐 𝑏
(cid:22)(cid:127)(cid:32)2-1(cid:28)(cid:39)2023·(cid:250)(cid:251)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99)log >log (cid:72)(cid:194)(cid:195)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:84)(cid:83)(cid:158)(cid:159)(cid:35)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
5 5
A(cid:135) < B𝑎(cid:135)log (𝑏 )>0
5
C(cid:135)5𝑎 >𝑏1 D(cid:135) >𝑎−𝑏
𝑎−𝑏
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:220)log >log (cid:102)(cid:221) > >0(cid:72)(cid:95)(cid:252)𝑎(cid:80)𝑐(cid:20)𝑏(cid:253)𝑐(cid:84)(cid:84)(cid:67)(cid:68)(cid:144)(cid:102)(cid:221)(cid:254)(cid:203)(cid:248).
5 5
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:220)log 𝑎>log 𝑏(cid:102)(cid:99)𝑎>𝑏>0(cid:72)(cid:223)(cid:86) > (cid:72)(cid:223)(cid:86)A(cid:208)(cid:209)(cid:92)
5 5
(cid:227)(cid:90) >0(cid:72)(cid:97)(cid:255)(cid:148)𝑎 (cid:168)(cid:83) 𝑏 (cid:60)1𝑎(cid:35)(cid:41)𝑏 (cid:42)(cid:72)(cid:223)(cid:86)B𝑎(cid:208)(cid:209)(cid:92)𝑏
(cid:230) 𝑎−0(cid:170)𝑏 (cid:72) (cid:72)(cid:210)D𝑎(cid:208)−(cid:209)𝑏(cid:92)
(cid:227)(cid:90)𝑐≤ >0𝑎(cid:72)𝑐≤(cid:223)𝑏(cid:86)𝑐5 >50=1(cid:72)(cid:210)C(cid:196)(cid:197).
𝑎−𝑏
(cid:210)(cid:20)(cid:10)𝑎−C𝑏.
(cid:22)(cid:127)(cid:32)2-2(cid:28)(cid:39)2023·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)·(cid:84)(cid:189)(cid:40)(cid:190)(cid:99) < (cid:72)(cid:142)(cid:143)(cid:119)(cid:195)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:245)(cid:72)(cid:30)(cid:158)(cid:159)(cid:35)(cid:124)
A(cid:135) 2 >0 B(cid:135) + 1 < 𝑥 C − (cid:135) 1 sin >0 D(cid:135)cos + >0
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198) 𝑥 (cid:199) − (cid:28) 1 (cid:45)(cid:27)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:102) 𝑥 (cid:168)(cid:169)𝑥 A − (cid:58) 2 B(cid:20)(cid:253)(cid:35)(cid:196)(cid:209)(cid:72) 𝑥 (cid:45) − (cid:27) 𝑥 (cid:196)(cid:260)(cid:58)(cid:261)(cid:260)(cid:50)(cid:35)(cid:167) 𝑥 (cid:262)(cid:33) 𝑥 (cid:102)(cid:168)(cid:169)C(cid:58)D(cid:20)(cid:253)(cid:35)(cid:196)(cid:209).
(cid:53)(cid:54)(cid:102)(cid:221)(cid:254)(cid:118)(cid:263).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28) < (cid:72)(cid:194) 2 =( )( +1)>0(cid:72) + 1 +2= 2 1 = ( 1)2 <0(cid:72)
𝑥 +2𝑥+ 𝑥+
(cid:249) sin (cid:58)cos ∵𝑥 [ −1 ](cid:72) 𝑥 s − in 1 >𝑥−01(cid:72)c𝑥os + <0. 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:102)(cid:221)∵(cid:10)A𝑥BC(cid:158)𝑥(cid:159)∈(cid:72)−D1(cid:30),1(cid:158)(cid:159)∴. 𝑥−𝑥 𝑥 𝑥
(cid:210)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:127)(cid:32)2-3(cid:28)(cid:39)2024·(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:238)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:222) > > >0(cid:72)(cid:194)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135) > 𝑐B(cid:135)𝑏2ln𝑎 D(cid:135)log >log
𝑐 𝑐
𝑎−𝑎 𝑏−𝑏 𝑎𝑐 𝑏𝑐
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:136)(cid:137)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:80)(cid:20)(cid:253)(cid:16)(cid:75)(cid:72)(cid:267)(cid:16)(cid:72)(cid:168)(cid:169)(cid:80)(cid:208)(cid:144)(cid:102).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:71)(cid:10)(cid:20)(cid:253)A(cid:245)(cid:72)(cid:220)(cid:206) = = >1(cid:72)(cid:223)(cid:86) > (cid:158)(cid:159)(cid:92)(cid:210)A(cid:196)(cid:197)(cid:92)
𝑏 𝑐 𝑏−𝑐
𝑎 𝑏 𝑏−𝑐 𝑐−𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑏
𝑐 𝑏
(cid:20)(cid:253)B(cid:245)(cid:72)2ln =ln 2(cid:72)ln +ln =𝑎𝑏ln 𝑎(cid:72) 2𝑏(cid:60) (cid:41)(cid:42)𝑏(cid:30)(cid:74)(cid:197)(cid:83)(cid:72)(cid:210)B𝑎(cid:208)𝑏(cid:209)(cid:92)𝑎 𝑏
𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 𝑏 𝑎𝑐
(cid:20)(cid:253)C(cid:245)(cid:72)(cid:220)(cid:206) =( ) 1+ <0(cid:72)(cid:210)C(cid:208)(cid:209)(cid:92)
𝑐 𝑐 𝑐
(cid:20)(cid:253)D(cid:245)(cid:72)(cid:268) = 𝑎− 1(cid:72) 𝑎− (cid:194)𝑏 l − og𝑏 =lo 𝑎 g −𝑏 =0(cid:72)𝑎(cid:210)𝑏 D(cid:208)(cid:209).
(cid:210)(cid:20)(cid:10)A. 𝑐 𝑎𝑐 𝑏𝑐
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:28)
2 2
(cid:22)(cid:183)3(cid:28)(cid:39)2024(cid:24)(cid:269)·(cid:211)(cid:212)·(cid:26)(cid:21)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:190)(cid:99) (cid:90)(cid:196)(cid:191)(cid:13)(cid:135)(cid:46)(cid:43)(cid:10) + > + .
𝑎 𝑏
𝑎,𝑏 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏
2 2 2
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:226)(cid:131)(cid:21)(cid:232)(cid:72)(cid:16)(cid:75)(cid:221)(cid:105) + ( + )= (cid:72)(cid:118)(cid:54)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:144)(cid:102)(cid:221)(cid:43).
𝑎 𝑏 (𝑎−𝑏) (𝑎+𝑏)
𝑏 𝑎− 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
2 2 3 3 2 2 2 2 2
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:227)(cid:90) + ( + )= = = (cid:72)
𝑎 𝑏 𝑎 +𝑏 −𝑎 𝑏−𝑎𝑏 𝑎 (𝑎−𝑏)−𝑏 (𝑎−𝑏) (𝑎−𝑏) (𝑎+𝑏)
𝑏 𝑎− 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏
2
(cid:249)(cid:227)(cid:90) > >0(cid:72)(cid:223)(cid:86) 0(cid:72)(cid:230)(cid:272)(cid:273)(cid:230) = (cid:170)(cid:31)(cid:9)(cid:158)(cid:159)(cid:72)
(𝑎−𝑏) (𝑎+𝑏)
𝑎 0,𝑏 𝑎𝑏 ≥ 𝑎 𝑏
2 2
(cid:223)(cid:86) + > + .
𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:127)(cid:32)𝑏 3-1 𝑎(cid:28)(cid:39) 𝑎 22- 𝑏 23(cid:24)(cid:84)(cid:184)·(cid:211)(cid:212)·(cid:274)(cid:252)(cid:109)(cid:275)(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:195)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:10)
(1)(cid:190)(cid:99) > ， > ， >0(cid:72)(cid:46)(cid:43) <
𝑎 𝑏 𝑒 𝑓 𝑐 𝑓−𝑎𝑐 𝑒−𝑏𝑐
(2)(cid:190)(cid:99) > > < <0(cid:72)(cid:46)(cid:43)(cid:10)3 <3 (cid:135)
𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198) 𝑎 (cid:199) 𝑏 (cid:28)(cid:39) 0 1 ,𝑐 (cid:40)(cid:39) 𝑑 2(cid:40)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)𝑑 (cid:136)(cid:137)𝑐(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:102)(cid:43)(cid:44)(cid:135)
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:10) > (cid:72) >0(cid:72)
> (cid:72) < (cid:72)∵𝑎 𝑏 𝑐
(cid:249)∴(cid:227)𝑎𝑐(cid:90)𝑏>𝑐 (cid:72)∴−(cid:144)𝑎𝑐< −(cid:72)𝑏𝑐
(cid:223)(cid:86) 𝑒 <𝑓 𝑓. 𝑒
𝑓−𝑎𝑐 𝑒−𝑏𝑐 1 1 1 1
(cid:39)2(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:10) < <0(cid:72) < <0(cid:72) > >0(cid:92)
∵𝑐 𝑑 ∴𝑑 𝑐 ∴−𝑑 −𝑐
(cid:249) > >0(cid:72) > (cid:72) < (cid:92)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 ∴−𝑑 −𝑐 ∴𝑑 𝑐
3 <3 .
𝑎 𝑏
(cid:22) ∴ (cid:127)𝑑(cid:32)3-2 𝑐(cid:28)(cid:39)2023(cid:24)(cid:269)·(cid:211)(cid:212)·(cid:26)(cid:21)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:123)(cid:21)(cid:10)“(cid:222)(cid:119) (cid:245) 、 、 (cid:67)(cid:163)(cid:90)(cid:276) 、 、 (cid:223)(cid:80)(cid:35)(cid:277)(cid:278)(cid:72)
△𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴 𝐵 𝐶(cid:194) < + ”
1 1 1
𝑐 𝑎 𝑏
+𝑐 +𝑎 +𝑏
( )
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:220)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:43)(cid:44) < = = + (cid:72)(cid:279)(cid:220) < , < (cid:43)(cid:44) <
1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1
𝑐 𝑐+ 𝑎+𝑏−𝑐 𝑎+𝑏 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐
+𝑐 +𝑐+ 𝑎+𝑏−𝑐 +𝑎+𝑏 +𝑎+𝑏 +𝑎+𝑏 +𝑎+𝑏 +𝑎 +𝑎+𝑏 +𝑏 +𝑐
+ .
1 1
𝑎 𝑏
+𝑎 +𝑏
( ) ( ) ( )
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:49)1+ = + = (cid:72) = =
( ) ( )
𝑐 𝑐+𝑚 𝑐 𝑑+𝑚 −𝑑 𝑐+𝑚 𝑚 𝑐−𝑑
𝑐 𝑑,𝑎 𝑏−𝑐 𝑚 𝑑−𝑑+𝑚 𝑑 𝑑+𝑚 𝑑 𝑑+𝑚
( )
(cid:227)(cid:90) > > >0(cid:72)(cid:223)(cid:86) <0(cid:72)(cid:144) < .
( )
𝑚 𝑐−𝑑 𝑐 𝑐+𝑚
𝑑 𝑐 0,𝑚 𝑑 𝑑+𝑚 𝑑 𝑑+𝑚
( )
(cid:223)(cid:86) < = = +
1 1 ( ) 1 1 1
𝑐 𝑐+ 𝑎+𝑏−𝑐 𝑎+𝑏 𝑎 𝑎
+𝑐 +𝑐+ 𝑎+𝑏−𝑐 +𝑎+𝑏 +𝑎+𝑏 +𝑎+𝑏
(cid:249)(cid:227)(cid:90) < , < (cid:72)(cid:210) + < + (cid:72)
1 1 1 1 1 1 1 1
𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏
+𝑎+𝑏 +𝑎 +𝑎+𝑏 +𝑏 +𝑎+𝑏 +𝑎+𝑏 +𝑎 +𝑏
(cid:223)(cid:86) < + .
1 1 1
𝑐 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:127)(cid:32) +𝑐 3-3(cid:28) +𝑎 (cid:39)22 + -2 𝑏 3(cid:24)(cid:188)(cid:195)·(cid:242)(cid:256)(cid:280)(cid:176)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:76)(cid:284)·(cid:285)(cid:286)(cid:40)(cid:222) > >0(cid:72) < <0, >
(cid:39)1(cid:40)(cid:46)(cid:43)(cid:10) + >0(cid:92) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 |𝑏| |𝑐|
𝑏 𝑐
(cid:39)2(cid:40)(cid:46)(cid:43)(cid:10) < (cid:92)
2 2
𝑏+𝑐 𝑎+𝑑
(𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑)
(cid:39)3(cid:40)(cid:119)(cid:39)2(cid:40)(cid:245)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:245)(cid:72)(cid:74)(cid:287)(cid:288)(cid:105)(cid:84)(cid:70)(cid:289)(cid:13)(cid:32)(cid:72)(cid:192)(cid:193) <(cid:223)(cid:46)(cid:32)< (cid:290)(cid:222)(cid:74)(cid:72)(cid:291)(cid:176)(cid:177)(cid:292)(cid:254)(cid:293)(cid:289)
2 2
𝑏+𝑐 𝑎+𝑑
(𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑)
(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:222)(cid:30)(cid:74)(cid:72)(cid:291)(cid:201)(cid:44)(cid:15)(cid:220).
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:226)(cid:131) (cid:35)(cid:231)(cid:9)(cid:294)(cid:295)(cid:80)(cid:50)(cid:102)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:158)(cid:159)(cid:92)
(cid:39)2(cid:40)(cid:226)(cid:131)(cid:296)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:98)𝑏(cid:297),𝑐(cid:298)(cid:296)(cid:113)(cid:296)(cid:196)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:102)(cid:98)(cid:299)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:102)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:158)(cid:159)(cid:92)
1 1
(cid:39)3(cid:40)(cid:119)0< < (cid:35)(cid:69)(cid:277)(cid:296)(cid:170)(cid:299)(cid:86) + (cid:72)(cid:221) < (cid:72)(cid:119) + > + >0(cid:35)(cid:69)(cid:277)(cid:296)(cid:170)(cid:299)(cid:86)
2 2 2 2
𝑏+𝑐 𝑏+𝑐
(𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑) 𝑏 𝑐 (𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑) 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐
1
(cid:72)(cid:221) > (cid:72)(cid:223)(cid:86) < < .
2 2 2 2 2 2
𝑎+𝑑 𝑏+𝑐 𝑏+𝑐 𝑏+𝑐 𝑎+𝑑
(𝑏−𝑑) (𝑏−𝑑) (𝑏−𝑑) (𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑) (𝑏−𝑑)
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:227)(cid:90) > (cid:72)(cid:272) > <0(cid:72)(cid:223)(cid:86) > (cid:72)(cid:223)(cid:86) + >0.
(cid:39)2(cid:40)(cid:227)(cid:90) < <0(cid:72)(cid:223)(cid:86)|𝑏| |>𝑐| >𝑏0(cid:135)0(cid:249),𝑐(cid:227)(cid:90) > 𝑏>0−(cid:72)𝑐(cid:223)(cid:86)(cid:220)(cid:296)𝑏 (cid:113)𝑐(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:98)(cid:297)(cid:33)(cid:102)(cid:300)(cid:86)(cid:184)(cid:69)(cid:32)(cid:98)(cid:297)
(cid:221) > 𝑐 >𝑑0(cid:135)(cid:223)(cid:86) −𝑐 2>−𝑑 2>0(cid:135) 𝑎 𝑏
𝑎−𝑐 𝑏−1𝑑 1 (𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑)
(cid:223)(cid:86)0< < (cid:72)
2 2
(𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑)
(cid:227)(cid:90) > > (cid:72)(cid:223)(cid:86)(cid:220)(cid:296)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:98)(cid:297)(cid:33)(cid:102)(cid:300)(cid:86)(cid:184)(cid:69)(cid:32)(cid:98)(cid:297)(cid:221) + > + (cid:135)
(cid:223)(cid:86)𝑎+𝑏,𝑑> 𝑐+ >0(cid:72) 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐
𝑎 𝑑 𝑏 𝑐
(cid:223)(cid:86)(cid:220)(cid:69)(cid:277)(cid:301)(cid:124)(cid:196)(cid:13)(cid:35)(cid:296)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:98)(cid:299)(cid:102)(cid:221) < .
2 2
𝑏+𝑐 𝑎+𝑑
(𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑)1 1
(cid:39)3(cid:40)(cid:227)(cid:90) + >0(cid:72)0< < (cid:72)
2 2
𝑏 𝑐 (𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑)
(cid:223)(cid:86) < (cid:72)
2 2
𝑏+𝑐 𝑏+𝑐
(𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑)
1
(cid:227)(cid:90)0< + < + (cid:72) >0(cid:72)
2
𝑏 𝑐 𝑎 𝑑 (𝑏−𝑑)
(cid:223)(cid:86) < (cid:72)
2 2
𝑏+𝑐 𝑎+𝑑
(𝑏−𝑑) (𝑏−𝑑)
(cid:223)(cid:86) < < .
2 2 2
𝑏+𝑐 𝑏+𝑐 𝑎+𝑑
(𝑎−𝑐) (𝑏−𝑑) (𝑏−𝑑)
(cid:223)(cid:86)(cid:119)(cid:39)2(cid:40)(cid:245)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:245)(cid:72)(cid:74)(cid:288)(cid:105)(cid:84)(cid:70)(cid:289)(cid:13)(cid:32) (cid:192)(cid:193)(cid:21)(cid:232).
2
𝑏+𝑐
(𝑏−𝑑)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:32)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:28)
(cid:22)(cid:183)4(cid:28)(cid:39)2023·(cid:250)(cid:302)(cid:243)(cid:303)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99) [0,1] + [2,4](cid:72)(cid:194) (cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135)[1,5] B(cid:135)[2,7] 𝑎−𝑏C(cid:135)∈ [1,6],𝑎 𝑏∈ D(cid:135)4[𝑎0−,92]𝑏
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:45)(cid:27)(cid:147)(cid:205)(cid:304)(cid:86)(cid:129)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:65)(cid:305)(cid:46)(cid:71).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:244) = ( )+ ( + )=( + ) ( ) (cid:72)
+ =44𝑎−2𝑏 𝑚=𝑎3−𝑏 𝑛 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 𝑎− 𝑚−𝑛 𝑏
(cid:223)(cid:86) (cid:72)(cid:71)(cid:221) (cid:72)
=2 =1
𝑚 𝑛 𝑚
(cid:223)(cid:86) 𝑚−𝑛 =3( )+𝑛( + )(cid:72)
(cid:249) 4𝑎−2[0𝑏,1] +𝑎−𝑏 [2,4𝑎](cid:72)𝑏
(cid:223)𝑎(cid:86)−3𝑏(∈ ) ,𝑎[0,3𝑏] ∈ [2,7](cid:72)(cid:210)A(cid:72)C(cid:72)D(cid:208)(cid:209).
(cid:210)(cid:20)(cid:10)𝑎B−. 𝑏 ∈ ,4𝑎−2𝑏∈
(cid:22)(cid:127)(cid:32)4-1(cid:28)(cid:39)23-24(cid:24)(cid:84)(cid:184)·(cid:306)(cid:258)(cid:307)(cid:308)·(cid:309)(cid:310)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:190)(cid:99) + 1(cid:72)1 3(cid:72)(cid:194) (cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)
(cid:124)(cid:39) (cid:40) −1≤𝑥 𝑦≤ ≤𝑥−𝑦≤ 3𝑥−2𝑦
A(cid:135)2 8 B(cid:135)3 8
C(cid:135)2≤3𝑥−2𝑦≤7 D(cid:135)5≤3𝑥−2𝑦≤10
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)≤(cid:28)3𝑥−2𝑦≤ ≤3𝑥−2𝑦≤
(cid:244) = ( + ) ( )=( ) +( + ) (cid:72)(cid:45)(cid:27)(cid:311)(cid:83)(cid:59)(cid:13)(cid:148)(cid:46)(cid:221) (cid:72)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:102)(cid:46)
3𝑥−2(cid:35)𝑦(cid:49)(cid:50)𝑚(cid:51)𝑥(cid:52)(cid:135)𝑦 −𝑛 𝑥−𝑦 𝑚−𝑛 𝑥 𝑚 𝑛 𝑦 𝑚,𝑛
(cid:22)3𝑥(cid:71)−2(cid:203)𝑦(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:244) = ( + ) ( )=( ) +( + ) (cid:72)
3 𝑥−2𝑦 𝑚 𝑥 1𝑦 −𝑛 𝑥−𝑦 𝑚−𝑛 𝑥 𝑚 𝑛 𝑦
=
(cid:223)(cid:86) =3 (cid:72)(cid:71)(cid:221) 2 (cid:72)(cid:144)(cid:102)(cid:221) = 1 ( + )+ 5 ( )(cid:72)
+ = = 5 2 2
𝑚−𝑛 𝑚 2
3𝑥−2𝑦 𝑥 𝑦 𝑥−𝑦
𝑚 𝑛 −2 𝑛 −
(cid:227)(cid:90) + 1(cid:72)1 3(cid:72)
−1≤𝑥 𝑦≤ ≤𝑥−𝑦≤1 5
(cid:223)(cid:86)2 = ( + )+ ( ) 8(cid:72)
2 2
(cid:210)(cid:20)(cid:10) ≤ A(cid:135) 3𝑥−2𝑦 𝑥 𝑦 𝑥−𝑦 ≤
(cid:22)(cid:127)(cid:32)4-2(cid:28)(cid:39)23-24(cid:24)(cid:269)(cid:184)·(cid:242)(cid:256)·(cid:309)(cid:310)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:190)(cid:99) < < (cid:272) + + =0(cid:72)(cid:194) (cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:124) (cid:39) (cid:40)
𝑏
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 2𝑏 4𝑐 𝑎
A(cid:135) 1 B(cid:135) 1 ,1 C(cid:135) 0, 1 D(cid:135) 1 ,1
6 6 6 6
−∞,− −
1 1 1
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:226)(cid:131)(cid:21)(cid:47)(cid:160)(cid:161)(cid:221)(cid:105) < >0(cid:72)(cid:220) = (cid:298) < (cid:221)(cid:105) > (cid:72)(cid:220) < (cid:221)(cid:105) <1(cid:72)(cid:312)(cid:313)(cid:221)
4 2 6
𝑏 𝑏
(cid:105)(cid:203)(cid:248). 𝑎 0,𝑐 𝑐 − 𝑎− 𝑏 𝑏 𝑐 𝑎 − 𝑎 𝑏 𝑎
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:227)(cid:90) + + =0(cid:72) < < (cid:72)(cid:223)(cid:86) < >0(cid:72)
𝑎 2𝑏 41𝑐 1 𝑎 𝑏1 𝑐1 𝑎 0,𝑐 1
(cid:220) + + =0(cid:221)(cid:105) = (cid:72)(cid:194) >0(cid:72)(cid:71)(cid:221) > (cid:72)
4 2 4 2 2
𝑏
𝑎 2𝑏 4𝑐 𝑐 − 𝑎− 𝑏 − 𝑎− 𝑏 𝑎 −
1 1 1 3 1
(cid:220) < (cid:221) < (cid:72)(cid:314)(cid:15)(cid:221) < (cid:72)(cid:71)(cid:221) > (cid:72)
4 2 4 2 6
𝑏
𝑏 𝑐 𝑏 − 𝑎− 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎 −
(cid:220) < (cid:221) <1(cid:72)
𝑏
𝑎 𝑏 𝑎
1
(cid:53)(cid:184)(cid:72) < <1.
6
𝑏
(cid:210)(cid:20)(cid:10) − B. 𝑎
(cid:22)(cid:127)(cid:32)4-3(cid:28)(cid:39)2023·(cid:315)(cid:251)(cid:243)(cid:316)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99)(cid:112)(cid:13) ( )= 2+ + (cid:72)0< <1< <2(cid:72) ( )= ( )
1 2 1 2
=0(cid:72)(cid:194) + (cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:90)(cid:39) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
A(cid:135)(𝑏 2𝑐) B(cid:135)( ) C(cid:135)( ) D(cid:135)( )
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)−(cid:199)2(cid:28),−(cid:317)1(cid:45)(cid:27)(cid:84)(cid:318)(cid:188)−(cid:319)2(cid:147),1(cid:205)(cid:226)(cid:35)(cid:67)(cid:320)(cid:46)(cid:221)(cid:3)−(cid:206)1(cid:191),1(cid:13) (cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:304)(cid:72)−(cid:279)1,(cid:45)2 (cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:102)(cid:46)(cid:221)
+ (cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52) 𝑏,𝑐
𝑏(cid:22)(cid:71)2(cid:203)𝑐(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:220)(cid:112)(cid:13) ( )= 2+ + (cid:245)(cid:72) ( )= ( )=0(cid:72)0< <1< <2(cid:72)
1 2 1 2
(cid:102)(cid:99)(cid:84)(cid:318)(cid:188)(cid:319)(cid:147)(cid:205) 2𝑓+𝑥 +𝑥=0(cid:167)𝑏𝑥(cid:188)(cid:98)𝑐(cid:321)(cid:226)𝑓(cid:72)𝑥(cid:67)(cid:163)(cid:284)𝑓(cid:206)𝑥(cid:322)(cid:323)(0,1)(cid:298)(𝑥1,2)(cid:133) 𝑥
>0 𝑥 𝑏𝑥>0𝑐 >0
(cid:194) <0(cid:72)(cid:144) 1+ + <0 (cid:72)(cid:144) + <
𝑓(0)>0 4+ 𝑐 + >0 +𝑐 >
𝑓(1) 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 −1
𝑓(+2) < 2𝑏3( 𝑐+ )< 2𝑏 𝑐 −4
(cid:220) (cid:72)(cid:102)(cid:221) (cid:72)
+ > ( + )<4
𝑏 𝑐 −1 𝑏 𝑐 −3
(cid:194)32(𝑏+𝑐) (−4 + )< − 2(cid:72)𝑏 (cid:144)𝑐 + <1
𝑏 >𝑐 −0 2𝑏 𝑐 4−3 >0𝑏 2𝑐
(cid:220) (cid:72)(cid:102)(cid:221)
+ > + >
𝑐 3𝑐
(cid:194)(2𝑏+𝑐)+−4> (cid:72)(cid:194)2𝑏 +𝑐 >−4
(cid:53)(cid:184)2𝑏(cid:72) 𝑐+ 3(cid:35)𝑐(cid:49)(cid:50)−4(cid:51)(cid:52)(cid:90)𝑏( 2𝑐 ) −2
𝑏 2𝑐 −2,1(cid:210)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:183)5(cid:28)(cid:39)23-24(cid:24)(cid:84)(cid:184)·(cid:184)(cid:185)(cid:187)(cid:258)(cid:23)·(cid:309)(cid:310)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:71)(cid:166)(cid:195)(cid:117)(cid:55)(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:190)(cid:99) R(cid:72)(cid:244) =( 2+1)( 2+4)(cid:72) =( +2)2.(cid:37)(cid:38) (cid:60) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:92)
𝑚,𝑛∈ 𝑎 𝑚 𝑛 𝑏 𝑚𝑛 𝑎 𝑏
(2)(cid:190)(cid:99) > >0(cid:72) < <0(cid:72) >0(cid:72)(cid:46)(cid:43)(cid:10) < .
𝑒 𝑒
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑎−𝑐 𝑏−𝑑
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:45)(cid:27)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:125)(cid:126)(cid:46)(cid:71)(cid:144)(cid:102)(cid:92)
(cid:39)2(cid:40)(cid:45)(cid:27)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:72)(cid:118)(cid:54)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:125)(cid:126)(cid:43)(cid:44)(cid:144)(cid:102)
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:39)1(cid:40) =( 2+1)( 2+4) ( +2)2= 2 2+4 2+ 2+ 2 2 =4 2+ 2
=( )2𝑎−𝑏 𝑚 𝑛 (cid:92)− 𝑚𝑛 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 4−𝑚 𝑛 −4𝑚𝑛−4 𝑚 𝑛
−4𝑚𝑛 2𝑚−𝑛( ≥)0⇒(𝑎−)𝑏≥0(⇒𝑎≥𝑏) [( ) ( )]
(cid:39)2(cid:40) = = = (cid:72)
( )( ) ( )( ) ( )( )
𝑒 𝑒 𝑒 𝑏−𝑑 −𝑒 𝑎−𝑐 𝑒 𝑏−𝑑−𝑎+𝑐 𝑒 𝑏−𝑑 − 𝑎−𝑐
𝑎−𝑐−𝑏−𝑑 𝑎−𝑐 𝑏−𝑑 𝑎−𝑐 𝑏−𝑑 𝑎−𝑐 𝑏−𝑑
(cid:227)(cid:90) < <0(cid:72)(cid:223)(cid:86) > >0(cid:72)
(cid:227)(cid:90)𝑐 >𝑑>0(cid:72)(cid:223)(cid:86)−𝑐 >−𝑑 > ( ) ( )>0(cid:72)
𝑎 𝑏 𝑎−𝑐 𝑏[−( 𝑑 ) 0(⇒ )𝑎]−𝑐 − 𝑏−𝑑
(cid:227)(cid:90) >0(cid:72)(cid:223)(cid:86) = < < .
( )( )
𝑒 𝑒 𝑒 𝑏−𝑑 − 𝑎−𝑐 𝑒 𝑒
𝑒 𝑎−𝑐−𝑏−𝑑 𝑎−𝑐 𝑏−𝑑 0⇒𝑎−𝑐 𝑏−𝑑
(cid:22)(cid:127)(cid:32)5-1(cid:28)(cid:39)2023(cid:24)(cid:84)·(cid:184)(cid:185)·(cid:26)(cid:21)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:324)(cid:83)(cid:255)(cid:15)(cid:13) (0,1)(cid:135)(cid:222)(cid:196)(cid:314)(cid:13) (cid:192)(cid:193) ＜ ＜ (cid:135)
𝑎 𝑐
𝜃∈ 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 𝑏 𝜃 𝑑
(1)(cid:325)(cid:37)(cid:38)(cid:269)(cid:13) (cid:72) (cid:72) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:92)
𝑎+𝑐 𝑎 𝑐
𝑏+𝑑 𝑏 𝑑
(2)(cid:222) ＝1(cid:72)(cid:43)(cid:44)(cid:195)(cid:326)(cid:269)(cid:70)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:245)(cid:327)(cid:328)(cid:167)(cid:84)(cid:70)(cid:30)(cid:158)(cid:159)
| 𝑏𝑐−|𝑎𝑑 1 | | 1 | | 1
(cid:92) (cid:92) (cid:135)
5 2 5( )2 5 2
𝑎 𝑎+𝑐 𝑐
(cid:22)①(cid:71)𝜃(cid:21)−(cid:198)𝑏 ≥ (cid:199)(cid:28)𝑏(cid:39)1(cid:40)②(cid:109)𝜃(cid:149)−(cid:148)𝑏+(cid:37)𝑑 (cid:38) ≥ (cid:41)(cid:42)𝑏+(cid:92)𝑑 ③ 𝑑−𝜃 ≥ 𝑑
(cid:39)2(cid:40)(cid:45)(cid:27)(cid:329)(cid:43)(cid:148)(cid:72)(cid:227) ＜ ＜ (cid:72)(cid:249) ＜ ＜ (cid:72)(cid:210)(cid:102)(cid:67) ＜ ＜ (cid:72)(cid:60) < (cid:43)(cid:44).
𝑎 𝑎+𝑐 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 𝑐 𝑎+𝑐
𝑏 𝑏+𝑑 𝑑 𝑏 𝜃 𝑑 𝑏+𝑑 𝜃 𝑑 𝜃 𝑏+𝑑
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:220)(cid:21)(cid:232)(cid:102)(cid:99)(cid:72) ＜ (cid:72)(cid:223)(cid:86)bc(cid:330)ad(cid:72)
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
(cid:223)(cid:86) = ＞0(cid:72)(cid:223)(cid:86) ＞ (cid:72)
( )
𝑎+𝑐 𝑎 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑎+𝑐 𝑎
𝑏+𝑑−𝑏 𝑏+𝑑 𝑏 𝑏+𝑑 𝑏
= ＜0(cid:72)(cid:223)(cid:86) ＜ (cid:72)
( )
𝑎+𝑐 𝑐 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑎+𝑐 𝑐
𝑏+𝑑−𝑑 𝑏+𝑑 𝑑 𝑏+𝑑 𝑑
(cid:223)(cid:86) ＜ ＜ (cid:92)
𝑎 𝑎+𝑐 𝑐
𝑏 𝑏+𝑑 𝑑
(cid:39)2(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:220)(cid:39)1(cid:40) ＜ ＜ (cid:72)(cid:249) ＜ ＜
𝑎 𝑎+𝑐 𝑐 𝑎 𝑐
𝑏 𝑏+𝑑 𝑑 𝑏 𝜃 𝑑
(cid:222) ＜ ＜
𝑎+𝑐 𝑐
𝑏+𝑑 𝜃 𝑑1 1 1
(cid:331)(cid:244) (cid:92) (cid:92) (cid:301)(cid:158)(cid:159)(cid:72)
5 2 5( )2 5 2
𝑎 𝑎+𝑐 𝑐
①𝜃−𝑏≥ 𝑏 1 ②𝜃−𝑏+𝑑≥ 𝑏+𝑑 1 ③1 𝑑−𝜃≥ 𝑑
(cid:332)(cid:298)(cid:102)(cid:221)(cid:10) = = + (cid:72)
5 2 5 2
𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑐 𝑎
①③ 𝑏𝑑 1 𝑏𝑑 𝑑−𝑏≥ 1 𝑏 1𝑑 ④
(cid:332)(cid:298)(cid:102)(cid:221)(cid:10) = + (cid:72)
5 2 5 2
𝑐 𝑎+𝑐
②③ (cid:16)(cid:75)(cid:221)0 2+ 𝑑(𝑏+ 2 𝑑) 5 𝑑− (cid:72) 𝑏+𝑑≥ (cid:16)(cid:75)𝑑(cid:221)0 (𝑏+𝑑) ⑤ 5) 2+ 5 + 2(cid:72)
④ ≥𝑏 𝑑 − 𝑏𝑑 ⑤ ≥(2− 𝑑 (2− )𝑏𝑑 𝑏2
(cid:220) (cid:332)(cid:298)(cid:102)(cid:221)(cid:10)0 5) 2+ 5 +2 2]=[( 5 5 + 2(cid:72)
④⑤ ≥2 2[(3− 2𝑑 2(1− )𝑏𝑑 𝑏 −1)𝑑] −4( −1)𝑏𝑑 (2𝑏)
(cid:144)0 [( 5 (cid:72)(cid:194) = (cid:72)
5
𝑑
≥ −1)𝑑−2𝑏] 𝑏 −1
(cid:249) (cid:90)(cid:196)(cid:314)(cid:13)(cid:72)(cid:223)(cid:86) (cid:124)(cid:167)(cid:15)(cid:13)(cid:72)(cid:210)(cid:333)(cid:334)(cid:92)(cid:331)(cid:244)(cid:30)(cid:158)(cid:159)
𝑑
𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 𝑏
(cid:222) < (cid:272) ＝1(cid:72)(cid:296)(cid:15)(cid:102)(cid:43)(cid:195)(cid:117)(cid:269)(cid:70)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:245)(cid:327)(cid:328)(cid:167)(cid:84)(cid:70)(cid:30)(cid:158)(cid:159)(cid:92)
𝑎+𝑐
𝜃 𝑏+𝑑 1 𝑏𝑐−𝑎𝑑 1 1
(cid:92) (cid:92)
5 2 5( )2 5 2
𝑎 𝑎+𝑐 𝑐
(cid:223)①(cid:86) 𝜃− (cid:269) 𝑏 (cid:70) ≥ (cid:30)(cid:31)𝑏 (cid:32)②(cid:245) 𝑏 (cid:327) +𝑑 (cid:328) − (cid:167) 𝜃≥ (cid:84)(cid:70)(cid:30)𝑏+(cid:158)𝑑 (cid:159)(cid:135)③𝑑−𝜃≥ 𝑑
(cid:22)(cid:127)(cid:32)5-2(cid:28)(cid:39)23-24(cid:24)(cid:84)(cid:184)·(cid:335)(cid:256)(cid:336)(cid:83)·(cid:309)(cid:310)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:39)1(cid:40)(cid:230)p(cid:72)q(cid:301)(cid:90)(cid:196)(cid:13)(cid:272) + =1(cid:170)(cid:72)(cid:325)(cid:37)(cid:38)(cid:289)(cid:13)(cid:32)( + )2
(cid:60) 2+ 2(cid:35)(cid:41)(cid:42). 𝑝 𝑞 𝑝𝑥 𝑞𝑦
(cid:39)𝑝2(cid:40)𝑥 (cid:190)𝑞(cid:99)𝑦1 2,3 + 4(cid:72)(cid:46) (cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52).
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)≤(cid:39)𝑥−1(cid:40)𝑦≤(cid:45)(cid:27)(cid:109)≤(cid:149)2𝑥(cid:37)(cid:38)𝑦(cid:148)≤(cid:37)(cid:38)(cid:41)4(cid:42)𝑥−(cid:144)𝑦(cid:102)(cid:92)
(cid:39)2(cid:40)(cid:317)(cid:45)(cid:27) + (cid:337)(cid:338)(cid:254) (cid:72)(cid:118)(cid:54) + (cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:102)(cid:221)(cid:203)(cid:248).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)𝑥(cid:39)−𝑦1,(cid:40)2𝑥( 𝑦+ )24𝑥−𝑦2+ 2𝑥=−𝑦,(2𝑥 )𝑦 2+ ( ) 2+ .
(cid:227)(cid:90) + =1(cid:72)(cid:223)(cid:86)𝑝𝑥 =𝑞𝑦 −(cid:72)𝑝𝑥 =𝑞𝑦 (cid:72) 𝑝 𝑝−1 𝑥 𝑞 𝑞−1 𝑦 2𝑝𝑞𝑥𝑦
(cid:223)(cid:86)𝑝( +𝑞 )2 2𝑝−+1 2−=𝑞 𝑞−1 2+−𝑝2 = ( )2.
(cid:227)(cid:90) 𝑝(cid:72)𝑥 (cid:301)𝑞(cid:90)𝑦 (cid:196)−(cid:13)𝑝(cid:72)𝑥(cid:223)(cid:86)𝑞𝑦 ( −𝑝𝑞)2𝑥 0(cid:72)𝑦 −2𝑥𝑦 −𝑝𝑞 𝑥−𝑦
(cid:227)(cid:339)𝑝( 𝑞+ )2 2+ −2𝑝(cid:72)𝑞(cid:230)𝑥(cid:272)−𝑦(cid:273)(cid:230)≤ = (cid:170)(cid:31)(cid:9)(cid:158)(cid:159).
(cid:39)2(cid:40)𝑝(cid:220)𝑥(cid:21)(cid:232)𝑞𝑦(cid:102)(cid:244)≤𝑝𝑥 =𝑞𝑦( )+ ( 𝑥+ 𝑦)(cid:72)
4= + 4𝑥−𝑦 𝑎 𝑥−𝑦 𝑏 2𝑥 𝑦
(cid:194) (cid:72)(cid:71)(cid:221) =2(cid:72) =1(cid:72)
=
𝑎 2𝑏
𝑎 𝑏
(cid:227)(cid:90)−11 𝑏−𝑎 2,3 + 4(cid:72)
(cid:223)(cid:86)2≤𝑥2−( 𝑦≤) 4≤(cid:72)23𝑥 𝑦≤+ 4(cid:72)
(cid:194)5 ≤ 𝑥−𝑦8.≤ ≤2𝑥 𝑦≤
(cid:22)(cid:127)≤(cid:32)45𝑥-−3𝑦(cid:28)≤(cid:39)23-24(cid:24)(cid:84)(cid:184)·(cid:184)(cid:185)(cid:340)(cid:341)·(cid:285)(cid:245)(cid:40)(cid:244) (cid:124)(cid:30)(cid:42)(cid:206)1(cid:35)(cid:191)(cid:13).(cid:222)(cid:80)(cid:342)(cid:232) [ ](cid:72)(cid:154)(cid:343)(cid:119)
𝑡 𝑎,𝑏∈ −1,𝑡 𝑐,𝑑∈[ ](cid:72)(cid:344)(cid:221)( + )( + )=1(cid:72)(cid:194)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:35) (cid:192)(cid:193)“(cid:33)(cid:34)1”
−1,𝑡 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑3 𝑡
(1)(cid:67)(cid:163)(cid:168)(cid:169) >2(cid:298)1 < (cid:170)(cid:124)(cid:287)(cid:192)(cid:193)“(cid:33)(cid:34)1”;
2
𝑡 ≤𝑡
1 5 3
(2)(cid:317)(cid:43)(cid:44):(cid:222) (cid:72)(cid:272) + (cid:72)(cid:194) 1; (cid:73)(cid:220)(cid:339)(cid:43)(cid:44)(cid:230) 2(cid:170)(cid:72)(cid:80)(cid:342)(cid:232) [ ](cid:72)(cid:154)(cid:343)(cid:119) ,
2 2 2 1 1
[ ](cid:72)(cid:344)(cid:221) 𝑢 ( ,𝑣 + ≥ )( + 𝑢 𝑣 ) ≥ 1. 𝑢𝑣≥ ≤𝑡≤ 𝑎,𝑏∈ −1,𝑡 𝑐 𝑑 ∈
1 1
(3−)1(cid:46),𝑡(cid:254)(cid:223)(cid:167)(cid:192)𝑎(cid:193)“(cid:33)𝑐 (cid:34)𝑏1”(cid:35)𝑑(cid:191)(cid:13)≥ t
3
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:67)(cid:163)(cid:200)(cid:329)(cid:183)(cid:43)(cid:44) >2(cid:298)1 < (cid:170)(cid:33)(cid:34)1(cid:30)(cid:158)(cid:159)(cid:92)
2
𝑡 ≤𝑡
3 3 1 5
(cid:39)2(cid:40)(cid:317)(cid:67)(cid:163)(cid:348)| | (cid:72)| |> (cid:349)(cid:263)(cid:43)(cid:44)(cid:222) (cid:72)(cid:272) + (cid:72)(cid:194) 1(cid:72)(cid:279)(cid:45)(cid:27)(cid:346)(cid:70)(cid:118)(cid:263)(cid:102)(cid:221)(cid:43)(cid:92)
2 2 2 2
(cid:39)3(cid:40)(cid:118)(cid:54)(cid:39)2(cid:40)𝑢(cid:35)−(cid:118)𝑣 (cid:263) ≤ (cid:102)(cid:221)𝑢(cid:71)− . 𝑣 𝑢,𝑣≥ 𝑢 𝑣≥ 𝑢𝑣≥
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:350) =[ ](cid:72) =( + )( + )(cid:72)
(cid:331)(cid:139) >2(cid:72)(cid:194)(cid:230) = 𝐼=𝑡 (cid:170)−(cid:72)1(cid:80),𝑡 (cid:342)𝑆(cid:232) 𝑎 𝑐(cid:72)(cid:240)𝑏 (cid:167)𝑑 ( )2>1(cid:72)(cid:30)(cid:192)(cid:193)(cid:62)(cid:46)(cid:92)
𝑡 3 𝑎 𝑏 𝑡 𝑐,𝑑∈𝐼𝑡 𝑆≥ 𝑡−1
(cid:331)(cid:139)1 < (cid:72)(cid:194)(cid:230) = (cid:72) = (cid:170)(cid:72)(cid:80)(cid:342)(cid:232) (cid:72)(cid:240)(cid:167) + (cid:72) + 2(cid:72)
2
≤𝑡 𝑎 −1 𝑏 2−𝑡 𝑐,𝑑∈𝐼𝑡 −2≤𝑎 𝑐≤𝑡−1 1−𝑡≤𝑏 𝑑≤
(cid:222) + (cid:72) + (cid:296)(cid:196)(cid:151)(cid:296)(cid:351)(cid:72)(cid:194) 2( )<1(cid:72)(cid:157)(cid:261)(cid:66)(cid:352)(cid:195)(cid:154)(cid:167) 0<1(cid:72)(cid:30)(cid:192)(cid:193)(cid:62)(cid:46).
𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 1 𝑆≤ 𝑡−51 𝑆≤
(cid:39)2(cid:40)(cid:317)(cid:353)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:222) (cid:72)(cid:272) + (cid:72)(cid:194) 1(cid:72)(cid:296)(cid:170)(cid:293)(cid:118)(cid:263)(cid:350)(cid:90)(cid:354)(cid:15).
2 2
𝑢,𝑣≥ 2 𝑢 𝑣2≥ 2 𝑢𝑣≥2
(cid:230)| | 3 (cid:170)(cid:72) = 5 3 =1(cid:72)
2 2 2 4 4
𝑢+𝑣 𝑢−𝑣
(cid:230)| 𝑢−𝑣 | ≤ > 3 (cid:170)(cid:72) 𝑢 (cid:30) 𝑣 (cid:355)(cid:244) − (cid:72)(cid:194) > ≥ + 3 (cid:72) − (cid:249) 1 (cid:72)(cid:223)(cid:86) > 1 1 + 3 =1.
2 2 2 2 2 2
𝑢−𝑣 𝑣≥𝑢 𝑣 𝑢 𝑢≥ 𝑢𝑣
1 5
(cid:223)(cid:86)(cid:222) (cid:72)(cid:272) + (cid:72)(cid:194) 1.
2 2
𝑢,𝑣≥ 𝑢 𝑣≥ 𝑢𝑣≥
3
(cid:195)(cid:326)(cid:43)(cid:230) 2(cid:170)(cid:72)(cid:80)(cid:342)(cid:232) [ ](cid:72)(cid:154)(cid:343)(cid:119) , [ ](cid:72)(cid:344)(cid:221)( + )( + ) 1(cid:72)
2 1 1 1 1
≤𝑡≤ 𝑎,𝑏∈ −1,𝑡 𝑐 𝑑 ∈ −1,𝑡 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 ≥
1
(cid:222) + (cid:72)(cid:194)(cid:49) = = (cid:72)(cid:339)(cid:170) =( )( )=( )( )(cid:72)
2 1 1
𝑎 𝑏≤− 𝑐 𝑑 −1 𝑆 𝑎−1 𝑏−1 1−𝑎 1−𝑏
3 1 3 1 5
(cid:157)(cid:245)(cid:72) + + (cid:72)(cid:272)( )+( )= ( + ) (cid:72)
2 2 2 2 2
(cid:220)(cid:354)(cid:15)(cid:102) 1− (cid:221) 𝑎≥ 1(cid:72) 𝑏≥ ,1−𝑏≥ 𝑎≥ 1−𝑎 1−𝑏 2− 𝑎 𝑏 ≥
(cid:222) + > 𝑆1 (cid:72) ≥ (cid:194)(cid:49) = = 3 (cid:72)(cid:339)(cid:170) = + 3 + 3 (cid:72)
2 1 1 2 2 2
𝑎 𝑏 − 𝑐 𝑑 ∈𝐼𝑡 𝑆 𝑎 𝑏
(cid:157)(cid:245)(cid:72) + 3 + 3 > 1 (cid:72)(cid:272) + 3 + + 3 = + +3> 5 (cid:72)(cid:210)(cid:220)(cid:354)(cid:15)(cid:102)(cid:221) 1(cid:72)
2 2 2 2 2 2
𝑎 ,𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑆≥
3
(cid:53)(cid:184)(cid:72)(cid:230) 2(cid:170)(cid:72)(cid:80)(cid:342)(cid:232) [ ](cid:72)(cid:154)(cid:343)(cid:119) , [ ](cid:72)(cid:344)(cid:221)( + )( + ) 1.
2 1 1 1 1
≤𝑡≤ 𝑎,𝑏∈ −1,𝑡 𝑐 𝑑 ∈ −1,𝑡 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 ≥
3
(cid:39)3(cid:40)(cid:230) 2(cid:170)(cid:72)(cid:230) (cid:170)(cid:72)(cid:102)(cid:49) (cid:72)(cid:344)(cid:221)| + | 1(cid:72)(cid:15)(cid:220)(cid:139)(cid:195)(cid:10)
2
≤𝑡≤ 𝑎,𝑏∈𝐼𝑡 𝑐∈𝐼𝑡 𝑎 𝑐 ≤(cid:230) [ ](cid:170)(cid:72)(cid:49) =0(cid:72)(cid:194)| + |=| | 1(cid:92)
(cid:230)𝑎∈(−1],1(cid:170)(cid:72)(cid:49) =𝑐 (cid:72)(cid:194)1𝑎< 𝑐 𝑎2≤(cid:72)(cid:194)0< 1(cid:72)(cid:210)| + |=| | 1(cid:72)
(cid:296)𝑎(cid:15)∈(cid:72)(cid:102)1,𝑡(cid:49) (cid:72)𝑐 (cid:344)−(cid:221)1| + | 𝑎1≤(cid:72)𝑡(cid:339)≤(cid:170) =( +𝑎)−(1≤+ ) | 𝑎+ 𝑐| | +𝑎−1| ≤1(cid:72)
3 𝑑∈𝐼𝑡 𝑏 𝑑 ≤ 𝑆 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 ≤ 𝑎 𝑐 ⋅ 𝑏 𝑑 ≤
(cid:223)(cid:86)(cid:230) 2(cid:170)(cid:72)(cid:80)(cid:342)(cid:232) [ ](cid:72)(cid:154)(cid:343)(cid:119) [ ](cid:72)(cid:344)(cid:221)( + )( + ) 1.
2
(cid:118)(cid:54)(cid:39)2(cid:40) ≤ (cid:35) 𝑡≤ (cid:118)(cid:263)(cid:102)(cid:221)(cid:72)(cid:80)(cid:342) 𝑎, (cid:232) 𝑏∈ −1, [ 𝑡 ](cid:72)(cid:154)(cid:343) 𝑐,𝑑 (cid:119) ∈ −1, [ 𝑡 ](cid:72)(cid:344)𝑎(cid:221)( 𝑐 + 𝑏 )( 𝑑 + ≤ )=1.
(cid:53)(cid:184)(cid:72)(cid:223)(cid:167)(cid:192)(cid:193)(cid:33)(cid:34)1(cid:35)(cid:191)(cid:13)
𝑎,𝑏3∈
,2
−
.
1,𝑡 𝑐,𝑑∈ −1,𝑡 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑
2
𝑡∈
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:56)(cid:57)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:28)
(cid:22)(cid:183)6(cid:28)(cid:39)22-23(cid:24)(cid:84)(cid:184)·(cid:237)(cid:238)(cid:356)(cid:357)(cid:57)·(cid:285)(cid:286)(cid:40)(cid:358)(cid:356)(cid:359)(cid:360)(cid:245)(cid:361)(cid:72)(cid:362)(cid:212)(cid:13)(cid:11)(cid:363)(cid:364)(cid:18)(cid:365)(cid:119)(cid:366)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:84)(cid:371)(cid:245)(cid:372)(cid:317)(cid:373)
“=”(cid:109)(cid:90)(cid:31)(cid:9)(cid:344)(cid:27)(cid:72)(cid:252)(cid:353)(cid:362)(cid:212)(cid:13)(cid:11)(cid:363)(cid:374)(cid:45)(cid:375)(cid:162)(cid:372)(cid:319)(cid:344)(cid:27)“<”(cid:298)“>”(cid:231)(cid:9)(cid:72)(cid:73)(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:13)(cid:11)(cid:262)(cid:177)(cid:379)(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:9)(cid:35)
(cid:354)(cid:380)(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:381)(cid:382)(cid:383)(cid:384)(cid:385)(cid:386).(cid:139)(cid:56)(cid:57)(cid:119)(cid:387)(cid:175)(cid:388)(cid:181)(cid:245)(cid:389)(cid:175)(cid:390)(cid:105)(cid:72)(cid:102)(cid:86)(cid:201)(cid:41)(cid:391)(cid:67)(cid:392)(cid:301)(cid:393)(cid:204)(cid:56)(cid:57).(cid:139)(cid:140) (cid:394)(cid:56)(cid:57)(cid:245)
(cid:395)(cid:167) (cid:394)(cid:56)(cid:39) > >0(cid:40)(cid:72)(cid:279)(cid:396)(cid:297) (cid:394)(cid:56)(cid:39) >0(cid:40)(cid:39)(cid:331)(cid:244)(cid:211)(cid:391)(cid:397)(cid:71)(cid:40)(cid:72)(cid:56)(cid:57)(cid:127)(cid:398)(cid:399)(cid:72)(cid:300)(cid:346)(cid:84)(cid:400)(cid:191)(cid:337)𝑎 (cid:338)(cid:90)(cid:30)(cid:31)
(cid:32)(cid:196)𝑏(cid:197)(cid:35)(cid:124)(cid:39)𝑎 (cid:40)𝑏 𝑛 𝑛
A(cid:135) > B(cid:135) >
𝑏+𝑛 𝑏 𝑏 𝑏
𝑎+𝑛 𝑎 𝑎+𝑛 𝑎
C(cid:135) D(cid:135) >
𝑏+𝑛 𝑏 𝑎+𝑛 𝑎
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)𝑎+(cid:199)𝑛(cid:28) ≥ (cid:226)𝑎 (cid:131)(cid:297)(cid:56)(cid:401)(cid:252)(cid:56)(cid:57)(cid:402)(cid:403)(cid:35)(cid:127)(cid:16)(cid:144)(cid:102)(cid:221) 𝑏+ (cid:203) 𝑛 (cid:248). 𝑏
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:71)(cid:10)(cid:220)(cid:21)(cid:232)(cid:102)(cid:99)(cid:72)(cid:297)(cid:380) (cid:394)(cid:56)(cid:39) >0(cid:40)(cid:252)(cid:56)(cid:57)(cid:127)(cid:398)(cid:399)(cid:72)
(cid:144)(cid:56)(cid:57)(cid:35)(cid:402)(cid:403)(cid:234)(cid:297)(cid:399)(cid:72) 𝑛 𝑛
(cid:297)(cid:56)(cid:332)(cid:401)(cid:72)(cid:56)(cid:57)(cid:35)(cid:402)(cid:403)(cid:90)(cid:10) (cid:92)(cid:297)(cid:56)(cid:332)(cid:252)(cid:72)(cid:56)(cid:57)(cid:35)(cid:402)(cid:403)(cid:90)(cid:10) (cid:92)
𝑏 𝑏+𝑛
𝑎 𝑎+𝑛
(cid:223)(cid:86) > .
𝑏+𝑛 𝑏
(cid:210)(cid:20)𝑎(cid:10)+𝑛
A.
𝑎
(cid:22)(cid:127)(cid:32)6-1(cid:28)(cid:39)23-24(cid:24)(cid:84)(cid:184)·(cid:315)(cid:258)(cid:404)(cid:405)·(cid:309)(cid:310)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:190)(cid:99) g(cid:56)(cid:57)(cid:245)(cid:395)(cid:167) g(cid:56)(cid:39) > >0(cid:40)(cid:72)(cid:222)(cid:279)(cid:396)(cid:297) g(cid:56)(cid:406)
(cid:211)(cid:397)(cid:71)(cid:119)(cid:157)(cid:245)(cid:72)(cid:194)(cid:56)(cid:57)(cid:127)(cid:221)(cid:407)(cid:398)(cid:399)(cid:39)(cid:144)(cid:56)(cid:57)(cid:245)(cid:395)(cid:56)(cid:402)(cid:403)𝑏(cid:127)(cid:41)(cid:40)(cid:135)(cid:226)(cid:131)𝑎(cid:346)(cid:70)(cid:400)𝑏(cid:191)(cid:72)𝑎(cid:195)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:245)(cid:84)(cid:83)𝑚(cid:30)(cid:158)(cid:159)
(cid:35)(cid:167)(cid:39)(cid:138)(cid:138)(cid:40)
2
A(cid:135) < B(cid:135) <
2𝑚
𝑎 𝑎+𝑚 𝑎+𝑚 𝑎+
𝑚
𝑏 𝑏+𝑚 𝑏+𝑚 𝑏+
2 1
C(cid:135)( + )( + )<( + )( + ) D(cid:135) <
3 3
𝑏 𝑎−1
𝑎 2𝑚 𝑏 𝑚 𝑎 𝑚 𝑏 2𝑚 −1
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:226)(cid:131)(cid:21)(cid:232)(cid:221) < (cid:72)(cid:125)(cid:313)(cid:226)(cid:131) < (cid:130)(cid:319)(cid:349)(cid:263)(cid:106)(cid:20)(cid:253)(cid:144)(cid:102)(cid:221)(cid:203)(cid:248).
𝑎 𝑎+𝑚 𝑎 𝑎+𝑚
𝑏 𝑏+𝑚 𝑏 𝑏+𝑚(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:80)(cid:206)A(cid:20)(cid:253)(cid:72)(cid:220)(cid:21)(cid:232)(cid:102)(cid:99) < (cid:72)(cid:210)(cid:196)(cid:197)(cid:92)
𝑎 𝑎+𝑚
𝑏 𝑏+𝑚
2 2
(cid:80)(cid:206)B(cid:20)(cid:253)(cid:72)(cid:227)(cid:90)0< <2 (cid:72)(cid:223)(cid:86) < = (cid:72)(cid:210)(cid:196)(cid:197)(cid:92)
2𝑚 2𝑚
𝑚 𝑎+𝑚 𝑎+𝑚+ −𝑚 𝑎+
𝑚 𝑚
𝑚 𝑏+𝑚 𝑏+𝑚+ −𝑚 𝑏+
(cid:80)(cid:206)C(cid:20)(cid:253)(cid:72)(cid:220) < (cid:102)(cid:221) < (cid:72)(cid:125)(cid:313)(cid:221)( + )( + )>( + )( + )(cid:72)(cid:210)(cid:208)(cid:209)(cid:92)
𝑎 𝑎+𝑚 𝑎+𝑚 𝑎+2𝑚
𝑏 𝑏+𝑚 𝑏+𝑚 𝑏+2𝑚 𝑎 2𝑚 𝑏 𝑚 𝑎 𝑚 𝑏 2𝑚
2 2 1 1 1
(cid:80)(cid:206)D(cid:20)(cid:253)(cid:72) < = < (cid:72)(cid:210)(cid:196)(cid:197).
3 3 1 3 3
+
𝑏 𝑏 𝑏−1 𝑎−1
(cid:210)(cid:20)(cid:10)C. −1 −1+
(cid:22)(cid:127)(cid:32)6-2(cid:28)(cid:39)22-23(cid:24)(cid:84)(cid:184)·(cid:315)(cid:258)(cid:258)(cid:408)·(cid:309)(cid:310)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:39)1(cid:40)(cid:190)(cid:99) (cid:394)(cid:56)(cid:57)(cid:245)(cid:395)(cid:167) (cid:394)(cid:56)( > >0)(cid:72)(cid:279)(cid:396)(cid:297) (cid:394)(cid:56)
( >0)(cid:39)(cid:331)(cid:244)(cid:211)(cid:391)(cid:397)(cid:71)(cid:40)(cid:72)(cid:56)(cid:57)(cid:127)(cid:398)(cid:399).(cid:291)(cid:300)(cid:346)(cid:84)(cid:400)(cid:191)(cid:337)(cid:338)(cid:90)(cid:84)𝑏 (cid:70)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:73)𝑎(cid:43)(cid:44)(cid:346)𝑏(cid:70)(cid:30)𝑎 (cid:31)(cid:32)(cid:158)(cid:159)(cid:135) 𝑚
(cid:39)𝑚2(cid:40)(cid:258)(cid:258)(cid:298)(cid:409)(cid:409)(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:294)(cid:413)(cid:414)(cid:415)(cid:56)(cid:72)(cid:413)(cid:414)(cid:416)(cid:326)(cid:164)(cid:417)(cid:69)(cid:418)(cid:56)(cid:10) (cid:418)(cid:56)(cid:419)(cid:420)(cid:394) (cid:318)(cid:72) (cid:418)(cid:56)(cid:419)(cid:420)(cid:394) (cid:318)(cid:39)(cid:69)(cid:418)(cid:56)
1 2
(cid:421)(cid:422)(cid:30)(cid:98)(cid:31)(cid:40).(cid:258)(cid:258)(cid:415)(cid:399)(cid:98)(cid:296)(cid:34)(cid:114)(cid:35)(cid:69)(cid:418)(cid:56)(cid:72)(cid:409)(cid:409)(cid:415)(cid:399)(cid:98)(cid:296)(cid:421)(cid:412)𝐴(cid:35)(cid:69)(cid:418)(cid:56).(cid:291)𝑝(cid:55)(cid:69)(cid:392)𝐵(cid:415)(cid:105)(cid:56)(cid:35)(cid:423)(cid:240)𝑝(cid:421)(cid:422)(cid:67)(cid:163)(cid:124)
(cid:96)(cid:328)(cid:290)(cid:424)(cid:415)(cid:35)(cid:56)(cid:35)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:290)(cid:291)(cid:43)(cid:44)(cid:425)(cid:35)(cid:118)(cid:263).(cid:39)(cid:14)(cid:426)(cid:35)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)=(cid:14)(cid:426)(cid:35)(cid:154)(cid:421)(cid:412)÷(cid:14)(cid:426)(cid:35)(cid:154)(cid:34)(cid:114)(cid:40)
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:226)(cid:131)(cid:56)(cid:119)(cid:56)(cid:57)(cid:245)(cid:223)(cid:427)(cid:35)(cid:37)(cid:183)(cid:35)(cid:127)(cid:16)(cid:102)(cid:221)(cid:254)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:279)(cid:45)(cid:27)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:102)(cid:43)(cid:221)(cid:118)(cid:263)(cid:158)(cid:159)(cid:92)
(cid:39)2(cid:40)(cid:46)(cid:254)(cid:69)(cid:392)(cid:415)(cid:105)(cid:35)(cid:56)(cid:35)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:72)(cid:45)(cid:27)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:102)(cid:221)(cid:254)(cid:118)(cid:263).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:71)(cid:10)(cid:39)1(cid:40) (cid:394)(cid:56)(cid:57)(cid:245)(cid:395)(cid:167) (cid:394)(cid:56)( > >0)(cid:72)(cid:194)(cid:56)(cid:119)(cid:56)(cid:57)(cid:245)(cid:223)(cid:427)(cid:35)(cid:37)(cid:183)(cid:90) (cid:72)
𝑎
𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:279)(cid:396)(cid:297) (cid:394)(cid:56)( >0)(cid:39)(cid:331)(cid:244)(cid:211)(cid:391)(cid:397)(cid:71)(cid:40)(cid:72)(cid:194)(cid:56)(cid:119)(cid:56)(cid:57)(cid:245)(cid:223)(cid:427)(cid:35)(cid:37)(cid:183) (cid:72)
𝑚+𝑎
𝑚 𝑚 𝑚+𝑏
(cid:56)(cid:57)(cid:127)(cid:398)(cid:399)(cid:72)(cid:201)(cid:44)(cid:297)(cid:56)(cid:252)(cid:72)(cid:56)(cid:119)(cid:56)(cid:57)(cid:245)(cid:223)(cid:427)(cid:35)(cid:37)(cid:183)(cid:127)(cid:41)(cid:399)(cid:72)(cid:144)(cid:167) > (cid:72)(cid:43)(cid:44)(cid:139)(cid:195)(cid:10)
𝑚+𝑎 𝑎
𝑚+𝑏 𝑏
( ) ( ) ( )
= = >0(cid:72)(cid:194) > (cid:92)
( ) ( )
𝑚+𝑎 𝑎 𝑚+𝑎 𝑏− 𝑚+𝑏 𝑎 𝑚 𝑏−𝑎 𝑚+𝑎 𝑎
𝑚+𝑏−𝑏 𝑏 𝑚+𝑏 𝑏 𝑚+𝑏 𝑚+𝑏 𝑏
(cid:39)2(cid:40)(cid:80)(cid:206)(cid:258)(cid:258)(cid:313)(cid:428)(cid:72)(cid:429)(cid:415)(cid:105)(cid:35)(cid:56)(cid:35)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:90) 1 2(cid:39)(cid:318)/(cid:420)(cid:394)(cid:40)(cid:72)
2
𝑝 +𝑝
(cid:80)(cid:206)(cid:409)(cid:409)(cid:313)(cid:428)(cid:72)(cid:244)(cid:409)(cid:409)(cid:415)(cid:69)(cid:418)(cid:56)(cid:35)(cid:430)(cid:27)(cid:240)(cid:90) (cid:318)(cid:72)(cid:194)(cid:429)(cid:415)(cid:105)(cid:35)(cid:56)(cid:35)(cid:154)(cid:34)(cid:114)(cid:90) + (cid:420)(cid:394)(cid:72)
𝑐1 𝑐2
2 2 𝑐 𝑝 𝑝
(cid:210)(cid:409)(cid:409)(cid:415)(cid:105)(cid:35)(cid:56)(cid:35)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:90) = 1 2(cid:39)(cid:318)/(cid:420)(cid:394)(cid:40)(cid:72)
𝑐1 𝑐 𝑐2 1𝑝 𝑝2
𝑝 +𝑝 𝑝 +𝑝
1 2 2 1 2= ( 1 2 )2 >0(cid:72)(cid:144)(cid:258)(cid:258)(cid:415)(cid:105)(cid:35)(cid:56)(cid:35)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:38)(cid:24).
𝑝 +
2
𝑝
1𝑝 𝑝2 2
𝑝
(
−
1
𝑝
2 )
−𝑝 +𝑝 𝑝 +𝑝
(cid:22)(cid:127)(cid:32)6-3(cid:28)(cid:39)22-23(cid:24)(cid:84)(cid:184)·(cid:250)(cid:302)(cid:302)(cid:238)·(cid:309)(cid:310)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:190)(cid:99) g(cid:56)(cid:57)(cid:245)(cid:167) g(cid:56)(cid:39) > >0(cid:40)(cid:72)(cid:101)(cid:56)(cid:57)(cid:245)(cid:297)(cid:380) g(cid:56)
(cid:39) >0(cid:40)(cid:72)(cid:39)(cid:331)(cid:244)(cid:211)(cid:391)(cid:397)(cid:71)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:407)(cid:398)(cid:399). 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑚
(1)𝑚(cid:291)(cid:300)(cid:346)(cid:70)(cid:400)(cid:191)(cid:337)(cid:338)(cid:90)(cid:84)(cid:70)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:43)(cid:44)(cid:346)(cid:70)(cid:30)(cid:31)(cid:32).
(2)(cid:45)(cid:27)(cid:39)1(cid:40)(cid:35)(cid:118)(cid:263)(cid:43)(cid:44)(cid:123)(cid:21)(cid:10)“(cid:222)(cid:119) (cid:245)a(cid:58)b(cid:58)c(cid:67)(cid:163)(cid:90)(cid:276)A(cid:58)B(cid:58)C(cid:223)(cid:80)(cid:35)(cid:277)(cid:278)(cid:72)(cid:194) < + ”
1 1 1
𝑐 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:226)(cid:131)(cid:21)(cid:232)(cid:176)(cid:177)(cid:292)(cid:254) △ (cid:203) 𝐴 (cid:248) 𝐵 (cid:72) 𝐶 (cid:45)(cid:27)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:43)(cid:44)(cid:293)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:92) +𝑐 +𝑎 +𝑏(cid:39)2(cid:40)(cid:45)(cid:27)(cid:269)(cid:276)(cid:128)(cid:35)(cid:269)(cid:277)(cid:3)(cid:59)(cid:298)(cid:431)(cid:432)(cid:148)(cid:144)(cid:102)(cid:43)(cid:44).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:220)(cid:21)(cid:102)(cid:221)(cid:72) < (cid:92)
𝑎 𝑎+𝑚
𝑏 𝑏+𝑚
(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:227)(cid:90) = = (cid:72) > >0(cid:72) >0(cid:72)
𝑎 𝑎+𝑚 𝑎𝑏+𝑎𝑚−𝑎𝑏−𝑏𝑚 (𝑎−𝑏)𝑚
𝑏−𝑏+𝑚 𝑏(𝑏+𝑚) 𝑏(𝑏+𝑚) 𝑏 𝑎 𝑚
(cid:223)(cid:86)(cid:72) <0(cid:72) + >0(cid:72)(cid:312)(cid:313) <0(cid:72)(cid:144) <
𝑎 𝑎+𝑚 𝑎 𝑎+𝑚
𝑎−𝑏 𝑏 𝑚 𝑏−𝑏+𝑚 𝑏 𝑏+𝑚
1
(cid:39)2(cid:40)(cid:220)(cid:269)(cid:276)(cid:128)(cid:269)(cid:277)(cid:3)(cid:59)(cid:72)(cid:102)(cid:221) + > (cid:72)(cid:313)(cid:112)(cid:13) = = (cid:72)(cid:90)(cid:76)(cid:178)(cid:233)(cid:234)(cid:112)(cid:13)(cid:72)
1 1
𝑥
𝑎 𝑏 𝑐 𝑦 +𝑥 1− +𝑥
< = = + (cid:72)
1 1 1 1 1
𝑐 𝑐+(𝑎+𝑏−𝑐) 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏
∴ +𝑐 +𝑐+(𝑎+𝑏−𝑐) +𝑎+𝑏 +𝑎+𝑏 +𝑎+𝑏
< (cid:72) < (cid:72)
1 1 1 1
𝑎 𝑎 𝑏 𝑏
+𝑎+𝑏 +𝑎 +𝑎+𝑏 +𝑏
(cid:210) + < + (cid:72)
1 1 1 1
𝑎 𝑎 𝑎 𝑏
+𝑎+𝑏 +𝑎+𝑏 +𝑎 +𝑏
(cid:223)(cid:86)(cid:72) < + .
1 1 1
𝑐 𝑎 𝑏
+𝑐 +𝑎 +𝑏
(cid:84)(cid:58)(cid:76)(cid:20)(cid:21)
1(cid:135)(cid:39)2024·(cid:211)(cid:212)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99) > (cid:72)(cid:194)(cid:195)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:196)(cid:197)(cid:35)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
𝑥 𝑦
A(cid:135) < B(cid:135) 2> 2 C(cid:135)| |>1 D(cid:135) >
𝑥
1−𝑥 1−𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥𝑧 𝑦𝑧
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:45)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:102)(cid:168)(cid:169)A(cid:253)(cid:196)(cid:197)(cid:72)D(cid:253)(cid:208)(cid:209)(cid:72)(cid:303)(cid:204)(cid:200)(cid:329)(cid:183)(cid:102)(cid:201)(cid:44)B,C(cid:69)(cid:253)(cid:208)(cid:209).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28) > < +1< +1(cid:72)(cid:144) < (cid:72)(cid:210)(cid:20)(cid:253)A(cid:196)(cid:197)(cid:92)
(cid:230) = = ∵ (cid:170) 𝑥 (cid:72) 𝑦 (cid:192) ,∴ (cid:193) −𝑥 > − (cid:72) 𝑦 (cid:97) ,∴− 2= 𝑥 1, 2= − 4 𝑦 (cid:72)(cid:339)(cid:170) 2 1 < −𝑥 2(cid:72) 1 | − | 𝑦 =| |= 1 <1(cid:72)(cid:210)(cid:20)(cid:253)B(cid:72)C(cid:208)(cid:209)(cid:92)
2
𝑥 −1
(cid:230) 𝑥 <0 − (cid:170) 1,𝑦 (cid:72)(cid:220) −2 > (cid:102)(cid:221) 𝑥 < 𝑦 (cid:72)(cid:210) 𝑥 (cid:20)(cid:253)D 𝑦 (cid:208)(cid:209). 𝑥 𝑦 𝑦 −2
(cid:210)(cid:20)𝑧 :A(cid:135) 𝑥 𝑦 𝑥𝑧 𝑦𝑧
2(cid:135)(cid:39)2024·(cid:256)(cid:257)(cid:433)(cid:434)·(cid:188)(cid:189)(cid:40)(cid:222) (cid:72)(cid:272) > (cid:72)(cid:194)(cid:39) (cid:40)
1 1 𝑎,𝑏∈𝑅 𝑎 𝑏
A(cid:135) < B(cid:135) 2 > 2
2 1 2 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
C(cid:135) 2> > 2 D(cid:135) > >
2
𝑎+𝑏
𝑎 𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:200)(cid:329)(cid:183)(cid:144)(cid:102)(cid:46)(cid:71)ABC(cid:72)(cid:226)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:102)(cid:46)(cid:71)D.
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:220)(cid:206) > (cid:72)(cid:49) = = (cid:72) 1 = 1 = 1 (cid:72) 2 = 2=1(cid:72)(cid:255)(cid:148)(cid:221)(cid:105) 1 < 1 (cid:72) 2 >
2 1 2 1 2 2 1 2 1
2(cid:72)(cid:210)AB(cid:208)(cid:209)(cid:72) 𝑎 𝑏 𝑎 1,𝑏 −1 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑏 𝑎
𝑏(cid:49) = = ,(cid:194) 2= =0, 2=4(cid:72)(cid:255)(cid:148)(cid:221)(cid:105) 2> > 2(cid:72)C(cid:208)(cid:209)(cid:72)
𝑎 0,𝑏 −2 𝑎 0,𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑎𝑏 𝑏
(cid:220)(cid:206) > (cid:72)(cid:194) > + > (cid:72)(cid:223)(cid:86) > > (cid:72)
2
𝑎+𝑏
𝑎 𝑏 2𝑎 𝑏 𝑎 2𝑏 𝑎 𝑏
(cid:210)(cid:20)(cid:10)D.
3(cid:135)(cid:39)2023·(cid:242)(cid:243)(cid:435)(cid:405)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99)1< <3,3< <6(cid:72)(cid:194) (cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:90)(cid:39) (cid:40)
𝑏
𝑎 𝑏 2𝑎
A(cid:135) 3 ,1 B(cid:135)(2,6) C(cid:135)(1,6) D(cid:135) 1 ,3
2 2
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:220)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:102)(cid:221)(cid:71).
1 1 1
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:227)(cid:90)1< <3,3< <6(cid:72)(cid:223)(cid:86)2< <6(cid:72) < < (cid:72)
6 2
𝑎 𝑏 2𝑎 2𝑎
1
(cid:223)(cid:86) < < < <3.
2 6 2
𝑏 𝑏 𝑏
(cid:210)(cid:20)(cid:10)D. 2𝑎
4(cid:135)(cid:39)2024·(cid:250)(cid:251)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99) (cid:72) (cid:72) (cid:72)(cid:194)(cid:195)(cid:117)(cid:20)(cid:253)(cid:245)(cid:124)“ < ”(cid:35)(cid:84)(cid:70)(cid:216)(cid:67)(cid:30)(cid:217)(cid:62)(cid:160)(cid:161)(cid:35)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135) | | > | | 𝑎 𝑏 𝑐∈𝑅 B(cid:135) 2< 2 𝑎 𝑏
𝑐 𝑐
C(cid:135)𝑎3< 𝑏3 D(cid:135) 𝑎 3 𝑐 <3 𝑏𝑐
𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)𝑎 (cid:199)(cid:28)𝑏(cid:226)(cid:131)(cid:216)(cid:67)(cid:30)(cid:217)(cid:62)(cid:160)(cid:161)(cid:35)(cid:83)(cid:228)(cid:72)(cid:118)(cid:54)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:168)(cid:169)(cid:144)(cid:102).
| | | | 1 1
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:220) > (cid:72)(cid:102)(cid:221) > (cid:72)(cid:227)(cid:90) (cid:72) (cid:35)(cid:231)(cid:9)(cid:30)(cid:197)(cid:83)(cid:72)(cid:202)(cid:30)(cid:254) < (cid:72)(cid:210)A(cid:30)(cid:192)(cid:193)(cid:21)(cid:232)(cid:92)
𝑐 𝑐
(cid:220) 2< 2(cid:72)(cid:102)(cid:221)𝑎 < 𝑏 (cid:72)(cid:329)(cid:332)𝑎(cid:230)𝑏 < (cid:72) 𝑎 =0 𝑏 (cid:170)(cid:30)(cid:158)(cid:159)(cid:72)(cid:210)“ 2< 2𝑎 ”(cid:124) 𝑏 “ < ”(cid:35)(cid:216)(cid:67)(cid:30)(cid:217)(cid:62)(cid:160)(cid:161)(cid:72)(cid:210)B(cid:192)
(cid:193)𝑎(cid:21)𝑐(cid:232)(cid:92)𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑐 𝑏𝑐 𝑎 𝑏
(cid:227)(cid:90) 3< 3 < (cid:72)3 <3 < (cid:72)(cid:223)(cid:86)C(cid:72)D(cid:30)(cid:192)(cid:193)(cid:21)(cid:232).
𝑎 𝑏
(cid:210)(cid:20)𝑎(cid:10)B. 𝑏 ⇔𝑎 𝑏 ⇔𝑎 𝑏
5(cid:135)(cid:39)2023·(cid:242)(cid:243)(cid:435)(cid:405)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99) (cid:90)(cid:191)(cid:13)(cid:72)(cid:194)(cid:195)(cid:117)(cid:123)(cid:21)(cid:158)(cid:159)(cid:35)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135)(cid:222) < (cid:72)(cid:194) < 𝑎,𝑏,𝑐
B(cid:135)(cid:222)𝑎<𝑏(cid:72)(cid:194)𝑎𝑐 >𝑏𝑐
C(cid:135)(cid:222)𝑎| |𝑏> | |𝑎(cid:72)−(cid:194)𝑐 𝑏>−𝑐
𝑎 𝑐 𝑏 𝑐2 2𝑎 𝑏
D(cid:135)(cid:222) > (cid:72)(cid:194) <
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199) 𝑎 (cid:28) 𝑏 (cid:226)(cid:131)(cid:30)𝑎(cid:31)(cid:32)𝑏 (cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:20)(cid:253)(cid:376)(cid:84)(cid:168)(cid:169)(cid:144)(cid:102)(cid:221)(cid:254)(cid:118)(cid:263).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:80)(cid:206)A(cid:72)(cid:222) < (cid:72)(cid:230) =0(cid:170)(cid:72)(cid:30)(cid:192)(cid:193) < (cid:72)(cid:144)A(cid:208)(cid:209)(cid:92)
(cid:80)(cid:206)B(cid:72)(cid:222) < (cid:72)(cid:194) 𝑎< 𝑏 (cid:72)(cid:223)𝑐(cid:86)B(cid:208)(cid:209)(cid:92) 𝑎𝑐 𝑏𝑐
𝑎 𝑏 𝑎−𝑐 𝑏−𝑐| | | |
(cid:80)(cid:206)C(cid:72)(cid:222) | |> | |(cid:72)(cid:102)(cid:99) 0(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:69)(cid:277)(cid:296)(cid:170)(cid:436)(cid:86)| |(cid:72)(cid:144) > (cid:72)(cid:102)(cid:221) > (cid:72)(cid:144)C(cid:196)(cid:197)(cid:92)
| | | |
𝑎𝑐 𝑏𝑐
𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑐≠ 𝑐 𝑐 𝑐 𝑎 𝑏
2 2
(cid:80)(cid:206)D(cid:72)(cid:222) > (cid:72)(cid:30)(cid:355)(cid:49) = = (cid:72)(cid:194) =2> = (cid:72)(cid:102)(cid:221)D(cid:208)(cid:209)(cid:92)
(cid:210)(cid:20)(cid:10)C. 𝑎 𝑏 𝑎 1,𝑏 −1 𝑎 𝑏 −2
1 1 3
6(cid:135)(cid:39)2023·(cid:211)(cid:212)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99)(cid:191)(cid:13) (cid:135)(cid:244)(cid:437)(cid:10) > (cid:72)(cid:438)(cid:10) < (cid:72)(cid:194)(cid:39) (cid:40)
3
𝑎 𝑎+
A(cid:135)(cid:437)(cid:124)(cid:438)(cid:35)(cid:216)(cid:67)(cid:30)(cid:217)(cid:62)(cid:160)(cid:161) 𝑎,𝑏 B(cid:135)(cid:437)𝑎(cid:124)(cid:438)𝑏(cid:35)(cid:217)(cid:62)(cid:30) 𝑏 (cid:216)𝑏(cid:67)+ (cid:160)(cid:161)
C(cid:135)(cid:437)(cid:124)(cid:438)(cid:35)(cid:216)(cid:62)(cid:160)(cid:161) D(cid:135)(cid:437)(cid:124)(cid:438)(cid:35)(cid:218)(cid:30)(cid:216)(cid:67)(cid:219)(cid:30)(cid:217)(cid:62)(cid:160)(cid:161)
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:226)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:220)(cid:123)(cid:21)(cid:437)(cid:102)(cid:221)(cid:105) > >0(cid:72)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:102)(cid:168)(cid:169)(cid:123)(cid:21)(cid:438)(cid:196)(cid:197)(cid:72)(cid:221)(cid:254)(cid:437)(cid:124)(cid:438)(cid:35)(cid:216)(cid:67)
(cid:160)(cid:161)(cid:92)(cid:300)(cid:123)(cid:21)(cid:438)(cid:127)(cid:128)(cid:252)(cid:67)(cid:439)(cid:349)(cid:263)(cid:221)(cid:254)(cid:437)(cid:124)(cid:438)(cid:35)(cid:30)𝑏(cid:217)(cid:62)𝑎(cid:160)(cid:161)(cid:72)(cid:144)(cid:102)(cid:221)(cid:254)(cid:203)(cid:248).
1 1
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:220) > (cid:102)(cid:99) > >0.
𝑎 𝑏 𝑎 0,𝑏
1 1
(cid:223)(cid:86) > (cid:72)(cid:144) > >0.
𝑎 𝑏 𝑏 𝑎
3 3( )
(cid:227)(cid:90) =
3 ( 3)
𝑎 𝑎+ 𝑎−𝑏
𝑏−𝑏+ 𝑏 𝑏+
3 3
(cid:223)(cid:86) <0(cid:72)(cid:144) < .
3 3
𝑎 𝑎+ 𝑎 𝑎+
(cid:223)(cid:86)(cid:437) 𝑏− (cid:124)𝑏+(cid:438)(cid:35)(cid:216)(cid:67)(cid:160) 𝑏 (cid:161)𝑏(cid:135)+
3 3 3( )
(cid:222) < (cid:72)(cid:144) = <0(cid:72)
3 3 ( 3)
𝑎 𝑎+ 𝑎 𝑎+ 𝑎−𝑏
𝑏 𝑏+ <0 𝑏−𝑏+ 𝑏 𝑏+>0
(cid:194) (cid:151) .
( +3)>0 ( +3)<0
𝑎−𝑏 𝑎−𝑏
(cid:230) 𝑏 𝑏 <0 (cid:72)(cid:194)𝑏 𝑏 >0(cid:151) < (cid:72)(cid:207)(cid:95) 1 > 1 (cid:30)(cid:84)(cid:83)(cid:158)(cid:159)(cid:92)
( +3)>0
𝑎−𝑏
(cid:230) 𝑏 𝑏 >0 (cid:72)(cid:194) 𝑏 < < 𝑏 0(cid:72) −3 (cid:207)(cid:95) 1 > 𝑎1 (cid:30)(cid:158) 𝑏 (cid:159)(cid:135)
( +3)<0
𝑎−𝑏
(cid:223)(cid:86)𝑏(cid:437)𝑏(cid:124)(cid:438)(cid:35)(cid:30)(cid:217)(cid:62) − (cid:160) 3 (cid:161)(cid:135) 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:53)(cid:184)(cid:102)(cid:99)(cid:72)(cid:437)(cid:124)(cid:438)(cid:35)(cid:216)(cid:67)(cid:30)(cid:217)(cid:62)(cid:160)(cid:161)(cid:135)
(cid:210)(cid:20)(cid:10)A(cid:135)
1 1 1
7(cid:135)(cid:39)2023·(cid:315)(cid:258)·(cid:188)(cid:189)(cid:40)(cid:222) = 3+ = 5 = 2+ (cid:72)(cid:194)(cid:39) (cid:40)
2 2 2 3 3
𝑎 ,𝑏 − ,𝑐
A(cid:135) > > B(cid:135) > >
C(cid:135)𝑎> 𝑐> 𝑏 D(cid:135)𝑎>𝑏>𝑐
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)𝑐 (cid:199)𝑏(cid:28)(cid:45)𝑎(cid:27)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:37)(cid:38)(cid:41)(cid:42)(cid:144)(cid:102)(cid:221)(cid:254)(cid:196)(cid:197)(cid:20)𝑏(cid:253).𝑐 𝑎
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:227)(cid:90) = 3 2+ 3 2 = 4 2 3 = 32 27 >0(cid:72)(cid:223)(cid:86) > . = 2 5+ 3 =
2 6 2 6 2 6 2 3
−2 −3 −
𝑎−𝑐 − 𝑎 𝑐𝑐−𝑏 −2 2 3 5(cid:72)
2
+ −2
2 2
(cid:227)(cid:90)(2 2+ 3) (2 5) =4 6 = 96 81>0(cid:72)
(cid:272)2 2+ 3>0,2− 5>0(cid:72)(cid:223)(cid:86)2− 2 9+ 3>−2 5(cid:72)(cid:223)(cid:86) >0(cid:72)(cid:223)(cid:86) > .(cid:210) > > .
(cid:210)(cid:20)(cid:10) A. 𝑐−𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏
8(cid:135)(cid:39)2023·(cid:440)(cid:251)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99) < < < <1(cid:72)(cid:194)(cid:86)(cid:195)(cid:208)(cid:209)(cid:35)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135) < <5 −1 𝑎 5,−B3(cid:135)𝑏 < + <6
−15 𝑎𝑏 −45 𝑎 𝑏
C(cid:135) < <8 D(cid:135) < <5
3
𝑎
−2 𝑎−𝑏 − 𝑏
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:220)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:118)(cid:54)(cid:162)(cid:171)(cid:50)(cid:441)(cid:436)(cid:148)(cid:376)(cid:253)(cid:67)(cid:68)(cid:144)(cid:102).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:227)(cid:90) < <5, < <1(cid:72)(cid:223)(cid:86) < <3(cid:72)
< <−51 𝑎 −3 𝑏 < −<15 −𝑏 < <5
(cid:80)(cid:206)A(cid:72) < <3(cid:72) =0, < <5,
< <0 =0 0< <1
−1 𝑎 −1 𝑎 −1 𝑎
(cid:53)(cid:184)(cid:102)(cid:221) −3 <𝑏 <5⇒ (cid:72) − (cid:210) 15 A(cid:196) 𝑎𝑏 (cid:197)(cid:92) 𝑏 ⇒𝑎𝑏 𝑏 ⇒−1 𝑎𝑏
(cid:80)(cid:206)B(cid:72)−15 =𝑎𝑏 < + <1+5=6(cid:72)(cid:210)B(cid:196)(cid:197)(cid:92)
(cid:80)(cid:206)C(cid:72)−3−1=−4<𝑎 𝑏<3+5=8(cid:72)(cid:210)C(cid:196)(cid:197)(cid:92)
−1−1 −21 𝑎−𝑏
(cid:80)(cid:206)D(cid:72)(cid:230) = = (cid:170)(cid:72) =8(cid:72)(cid:210)D(cid:208)(cid:209)(cid:92)
2
𝑎
𝑎 4,𝑏 𝑏
(cid:210)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:188)(cid:58)(cid:96)(cid:20)(cid:21)
9(cid:135)(cid:39)2024·(cid:264)(cid:265)(cid:442)(cid:443)·(cid:84)(cid:189)(cid:40)(cid:195)(cid:117)(cid:123)(cid:21)(cid:196)(cid:197)(cid:35)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135)(cid:222) < <0(cid:72)(cid:194) 2> > 2
B(cid:135)(cid:222)𝑎<𝑏<0(cid:72)(cid:194)𝑎 2<𝑎𝑏 2 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎𝑐 𝑏𝑐
C(cid:135)(cid:222)0< < < (cid:72)(cid:194) >
𝑐 𝑐
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏
D(cid:135)(cid:222)0< < (cid:72)(cid:194) + >2
2
𝑏
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28) 𝑎 (cid:80)A 𝑏 (cid:298)C 2 (cid:45) 𝑎 (cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)𝑎(cid:33)𝑏(cid:34)(cid:144)(cid:102)(cid:168)(cid:169)(cid:72)(cid:80)B(cid:298)D(cid:200)(cid:329)(cid:183)(cid:144)(cid:102)(cid:329)(cid:444).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:80)A(cid:72)(cid:227)(cid:90) < <0(cid:72)(cid:194)(cid:69)(cid:277)(cid:296)(cid:299) (cid:221) 2> (cid:72)(cid:69)(cid:277)(cid:296)(cid:299) (cid:221) > 2(cid:72)
(cid:194) 2> > 2(cid:72)(cid:210)A(cid:196)(cid:197)𝑎(cid:92)𝑏 𝑎 𝑎 𝑎𝑏 𝑏 𝑎𝑏 𝑏
(cid:80)𝑎B(cid:72)(cid:230)𝑎𝑏 =𝑏0(cid:170)(cid:72) 2= 2(cid:72)(cid:210)B(cid:208)(cid:209)(cid:92)
𝑐 𝑎𝑐 𝑏1𝑐 1
(cid:80)C(cid:72)(cid:227)(cid:90)0< < (cid:72)(cid:194) > (cid:72)(cid:249)(cid:227)(cid:90) >0(cid:72)(cid:223)(cid:86) > (cid:72)(cid:210)C(cid:196)(cid:197)(cid:92)
𝑐 𝑐
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏8
(cid:80)D(cid:72)(cid:200)(cid:183) = =8(cid:72)(cid:194) + =2×2+ =8(cid:72)(cid:313)2 =2 2×8=8(cid:72)
2 2
𝑏
(cid:339)(cid:170)(cid:69)(cid:224)(cid:98) 𝑎 (cid:31)(cid:72) 2 (cid:210) ,𝑏 D(cid:208)(cid:209). 2𝑎 𝑎𝑏
(cid:210)(cid:20)(cid:10)AC.
10(cid:135)(cid:39)2023·(cid:335)(cid:243)(cid:445)(cid:405)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:244)(cid:191)(cid:13) (cid:192)(cid:193)1 4,4 9(cid:72)(cid:194)(cid:39) (cid:40)
𝑎
A(cid:135)2 | | 6 B(cid:135)1 | | 3 𝑎,𝑏 C(cid:135)4 ≤𝑎𝑏3≤ 14 ≤ 4 𝑏≤ D(cid:135)1 3 4
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)≤(cid:28)𝑎(cid:226)≤(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)≤(cid:34)𝑏(cid:72)≤(cid:127)(cid:128)(cid:46)(cid:71). ≤𝑎 𝑏≤ ≤𝑎𝑏 ≤
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)1 4,4 9(cid:72)(cid:69)(cid:32)(cid:98)(cid:299)(cid:221)4 2 36(cid:72)(cid:223)(cid:86)2 | | 6(cid:72)A(cid:196)(cid:197)(cid:92)
𝑎
≤𝑎𝑏≤ ≤𝑏≤ ≤𝑎 ≤ ≤ 𝑎 ≤
(cid:220)(cid:21)(cid:221) 1 1 (cid:72)(cid:249)1 4(cid:72)(cid:69)(cid:32)(cid:98)(cid:299)(cid:221) 1 2 1(cid:72)(cid:223)(cid:86) 1 | | 1(cid:72)B(cid:208)(cid:209)(cid:92)
9 4 9 3
𝑏
≤𝑎≤ ≤𝑎𝑏≤ ≤𝑏 ≤ ≤ 𝑏 ≤
(cid:227)(cid:90)1 2 2 16,4 9(cid:72)(cid:223)(cid:86)(cid:69)(cid:32)(cid:98)(cid:299)(cid:221)4 3 144(cid:72)C(cid:196)(cid:197)(cid:92)
𝑎
≤𝑎 𝑏 ≤ ≤𝑏≤ ≤𝑎 𝑏≤
(cid:227)(cid:90)1 2 2 16, 1 1 (cid:72)(cid:223)(cid:86)(cid:69)(cid:32)(cid:98)(cid:299)(cid:221) 1 3 4(cid:72)D(cid:208)(cid:209)(cid:135)
9 4 9
𝑏
(cid:210)(cid:20)(cid:10)
≤
AC
𝑎
.
𝑏 ≤ ≤𝑎≤ ≤𝑎𝑏 ≤
11(cid:135)(cid:39)2024·(cid:315)(cid:251)·(cid:188)(cid:189)(cid:40)(cid:190)(cid:99)(cid:191)(cid:13)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:192)(cid:193) > > (cid:72)(cid:272) + + =0(cid:72)(cid:194)(cid:195)(cid:117)(cid:118)(cid:263)(cid:245)(cid:196)(cid:197)(cid:35)(cid:124)(cid:39) (cid:40)
A(cid:135) + >0 B(cid:135)𝑎 𝑏> 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
C(cid:135) 𝑎1 > 𝑏 1 D(cid:135) 𝑎 ( 𝑐 𝑏 )( 𝑐 )< 9 2
4
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)𝑎−(cid:199)𝑏(cid:28)(cid:226)𝑏−(cid:131)𝑐 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:136)(cid:137)(cid:33)(cid:34)(cid:298)(cid:190)(cid:99)(cid:160)(cid:161)(cid:102)𝑎(cid:376)−(cid:253)𝑐 (cid:67)𝑏(cid:68)−𝑐(cid:221)(cid:105)(cid:203) 𝑐 (cid:248).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28) + + =0(cid:272) > > (cid:72)(cid:194) >0(cid:72) <0(cid:72)
(cid:194) + >0(cid:72)𝑎A(cid:196)𝑏(cid:197)(cid:92)𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐
(cid:227)𝑎(cid:90) 𝑏> (cid:72) <0(cid:72)(cid:223)(cid:86) < (cid:72)B(cid:208)(cid:209)(cid:92)
(cid:227)(cid:90)𝑎>𝑏>𝑐(cid:72) > 𝑎𝑐 >𝑏𝑐0(cid:72)( ) ( )= + = (cid:72)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−𝑏 0,𝑏−𝑐 1 𝑎−1𝑏 − 𝑏−𝑐 𝑎 𝑐−2𝑏 −3𝑏 1 1
(cid:230) >0(cid:170)(cid:72)0< < (cid:72)(cid:194) > (cid:92)(cid:230) <0(cid:170)(cid:72) > >0(cid:72)(cid:194) < (cid:72)(cid:230) =0(cid:170)(cid:72)
𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 𝑏
1 1
= (cid:72)(cid:194) = (cid:72)(cid:210)C(cid:208)(cid:209)(cid:92)
𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 2
(cid:227)(cid:90)( )( ) 9 2=( )( ) 9 2= 2 1 2= + 1 0(cid:72)
4 4 4 2
𝑎−𝑐 𝑏−𝑐1− 𝑐 𝑎−𝑐 −𝑎−2𝑐 − 𝑐 −𝑎 −𝑎𝑐− 𝑐 −1𝑎 𝑐 ≤
(cid:230)(cid:272)(cid:273)(cid:230) = (cid:170)(cid:72)(cid:31)(cid:9)(cid:158)(cid:159)(cid:72)(cid:339)(cid:170)(cid:220) + + =0(cid:102)(cid:221) = (cid:72)(cid:30)(cid:231)(cid:54) > > (cid:72)
2 2
𝑎 −2𝑐 𝑎 2 𝑏 𝑐 𝑏 − 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:223)(cid:86) + 1 =0(cid:30)(cid:158)(cid:159)(cid:72)(cid:210) + 1 <0(cid:72)(cid:144)( )( )< 9 2(cid:72)D(cid:196)(cid:197).
2 2 4
(cid:210)(cid:20)(cid:10)−A𝑎D. 𝑐 − 𝑎 𝑐 𝑎−𝑐 𝑏−𝑐 𝑐(cid:269)(cid:58)(cid:88)(cid:89)(cid:21)
12(cid:135)(cid:39)2023·(cid:256)(cid:257)(cid:446)(cid:306)·(cid:84)(cid:189)(cid:40)(cid:74)(cid:447)(cid:201)(cid:44)“(cid:244) (cid:124)(cid:342)(cid:232)(cid:191)(cid:13)(cid:72)(cid:222) < < (cid:72)(cid:194) < ”(cid:124)(cid:331)(cid:123)(cid:21)(cid:35)(cid:84)(cid:304)(cid:314)(cid:13)
(cid:35)(cid:50)(cid:130)(cid:319)(cid:90) (cid:39)(cid:203)(cid:248)(cid:30)(cid:448)(cid:84)(cid:40) .𝑎,𝑏,𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑐 𝑏𝑐 𝑎,𝑏,𝑐
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:226)−2(cid:131),−(cid:30)1,(cid:31)0 (cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:349)(cid:263) (cid:35)(cid:196)(cid:351)(cid:298) =0(cid:269)(cid:418)(cid:66)(cid:352)(cid:72)(cid:221)(cid:254)(cid:118)(cid:263)(cid:135)
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:222) < (cid:72)(cid:230) >0(cid:170)(cid:72) <𝑐 (cid:92) 𝑐
(cid:230) =0(cid:170)(cid:72) =𝑎 (cid:92)𝑏 𝑐 𝑎𝑐 𝑏𝑐
(cid:230)𝑐<0(cid:170)(cid:72)𝑎𝑐>𝑏𝑐(cid:92)
“(cid:244)𝑐 (cid:124)(cid:342)𝑎(cid:232)𝑐(cid:191)𝑏(cid:13)𝑐(cid:72)(cid:222) < < (cid:72)(cid:194) < ”(cid:124)(cid:331)(cid:123)(cid:21)(cid:35)(cid:84)(cid:304)(cid:314)(cid:13) (cid:35)(cid:50)(cid:130)(cid:319)(cid:90) (cid:72)
(cid:210)(cid:203)𝑎(cid:248),𝑏,𝑐(cid:90)(cid:10) (cid:39)(cid:203)𝑎(cid:248)(cid:30)𝑏(cid:448)(cid:84)𝑐(cid:40). 𝑎𝑐 𝑏𝑐 𝑎,𝑏,𝑐 −2,−1,0
13(cid:135)(cid:39)2024·−(cid:335)2,(cid:256)−1(cid:369),0(cid:363)(cid:449)·(cid:188)(cid:189)(cid:40)(cid:222)(cid:191)(cid:13) 0(cid:72)(cid:272) + + = + =5(cid:72)(cid:194) = + + (cid:35)(cid:49)(cid:50)
(cid:51)(cid:52)(cid:124) [15,19] . 𝑥,𝑦,𝑧≥ 𝑥 𝑦 𝑧 4,2𝑥−𝑦 𝑧 𝑀 4𝑥 3𝑦 5𝑧
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:317)(cid:221)(cid:105) = = (cid:72)(cid:73)(cid:226)(cid:131) 0(cid:221)(cid:105)0 3(cid:72)(cid:312)(cid:313)(cid:46)(cid:254) = +15 [15,19].
3 3 3
2𝑧 𝑧 4𝑧
𝑥 3− ,𝑦 1− 𝑥,𝑦,𝑧≥ ≤𝑧≤ 𝑀 ∈
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:227)(cid:90) + = = (cid:72)(cid:210) = = (cid:72)
3 3
2𝑧 𝑧
𝑥 𝑦 4−𝑧,2𝑥−𝑦 5−𝑧 𝑥 3− ,𝑦 1−
0
3
(cid:220) 0(cid:221) 2𝑧 0 (cid:72)(cid:71)(cid:221)0 3(cid:72)
3− 3 ≥
𝑧 0
𝑥,𝑦,𝑧≥ 1− ≥ ≤𝑧≤
(cid:210) = + +𝑧≥=4 +3 + = +15 [15,19].
3 3 3
2𝑧 𝑧 4𝑧
(cid:210)(cid:203) 𝑀 (cid:248)(cid:90) 4𝑥 (cid:10)[ 3 1 𝑦 5,19 5 ].𝑧 3− 1− 5𝑧 ∈
14(cid:135)(cid:39)2024·(cid:335)(cid:243)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:86)max (cid:337)(cid:338)(cid:13)(cid:450) (cid:245)(cid:451)(cid:41)(cid:35)(cid:13)(cid:135)(cid:244)0< < < <1(cid:72)(cid:190)(cid:99) (cid:151)
𝑀 𝑀1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏≥2𝑎
+ 1(cid:72)(cid:194)max{ }(cid:35)(cid:451)(cid:42)(cid:50)(cid:90) (cid:135)
5
𝑎 𝑏≤ 𝑏−𝑎,𝑐−𝑏,1−𝑐 =
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:45)(cid:27)(cid:452)(cid:318)(cid:148)(cid:102)(cid:221) (cid:72)(cid:125)(cid:313)(cid:226)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:67)(cid:66)(cid:352)(cid:349)(cid:263)(cid:46)(cid:71).
=
𝑏 1−𝑛−𝑝
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:268) = =𝑎 1−𝑚=−𝑛(cid:157)−𝑝(cid:245) >0(cid:72)
= 𝑏−𝑎 𝑚,𝑐−𝑏 𝑛,1−𝑐 𝑝, 𝑚,𝑛,𝑝
(cid:223)(cid:86) (cid:72)
=
𝑏 1−𝑛−𝑝
(cid:222) 𝑎 (cid:72)1−(cid:194)𝑚−=𝑛−𝑝 2( )(cid:72)(cid:210) + + 1(cid:72)
(cid:268)𝑏≥=m2𝑎ax{ 𝑏 1−𝑛−𝑝}≥=m1ax−{𝑚−𝑛−}(cid:72)𝑝 2𝑚 𝑛 𝑝≥
𝑀 𝑏−𝑎,𝑐−𝑏,1−𝑐 𝑚,𝑛,𝑝
1
(cid:227)(cid:339) ,(cid:210) + + 1,(cid:194) (cid:72)
4
2𝑀≥2𝑚
𝑀≥𝑛 4𝑀≥2𝑚 𝑛 𝑝≥ 𝑀≥
(cid:222) + 𝑀≥1(cid:72)𝑝(cid:194) + 1(cid:72)(cid:144) + + 1(cid:72)
𝑎 𝑏≤ 1−𝑛−𝑝 1−𝑚−𝑛−𝑝≤ 𝑚 2𝑛 2𝑝≥=max{ }=max{ }(cid:72)
𝑀 𝑏−𝑎,𝑐−𝑏,1−𝑐 𝑚,𝑛,𝑝
1
(cid:194) ,(cid:210) + + 1,(cid:194) (cid:72)
5
𝑀≥𝑚
2𝑀≥2𝑛 5𝑀≥𝑚 2𝑛 2𝑝≥ 𝑀≥
2𝑀≥2𝑝 1
(cid:230)(cid:272)(cid:273)(cid:230) + + =1(cid:272)max = (cid:170)(cid:31)(cid:9)(cid:158)(cid:159)(cid:72)
5
𝑚 2𝑛 2𝑝 {𝑚,𝑛,𝑝}
1
(cid:139)(cid:49) = = = (cid:170)(cid:102)(cid:192)(cid:193)(cid:31)(cid:9)(cid:158)(cid:159)(cid:72)
5
𝑚 𝑛 𝑝
1
(cid:53)(cid:184)(cid:102)(cid:99)max{ }(cid:35)(cid:451)(cid:42)(cid:50)(cid:90) (cid:72)
5
𝑏−𝑎,𝑐−𝑏,1−𝑐
(cid:210)(cid:203)(cid:248)(cid:90)(cid:10)
1.
5
(cid:453)(cid:58)(cid:71)(cid:203)(cid:21)
15(cid:135)(cid:39)2024(cid:24)(cid:84)·(cid:211)(cid:212)·(cid:26)(cid:21)(cid:270)(cid:271)(cid:40)(cid:190)(cid:99)-31(cid:92)
𝑥 − 𝑥 𝑥− 𝑥−1 𝑥
(2) = + (cid:60) = + (cid:72)(cid:157)(cid:245) >0(cid:72) >0(cid:92)
1 1 1 1
𝑎 𝑏 𝑏 𝑎
𝑀 +𝑎 +𝑏 𝑁 +𝑎 +𝑏 𝑎 𝑏
2 2
(3) (cid:60) (cid:72) > >0(cid:135)
2 2
𝑎 −𝑏 𝑎−𝑏
𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏 1 1
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(1)(cid:303)(cid:204)(cid:37)(cid:38) (cid:60) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:353)(cid:197)(cid:83) +1 (cid:60) (cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:92)
1
(2)(cid:303)(cid:204)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:353)(cid:37)(cid:38) (cid:35)𝑥(cid:41)+ (cid:42)+ (cid:92)𝑥 𝑥+ 𝑥−1 𝑥 − 𝑥 𝑥− 𝑥−1
𝑀,𝑁 2 2
(3) (cid:303)(cid:204)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:151)(cid:109)(cid:150)(cid:148)(cid:37)(cid:38) (cid:60) (cid:35)(cid:41)(cid:42).
2 2
𝑎 −𝑏 𝑎−𝑏
𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏 1 1
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:71)(cid:10) +1 = (cid:72) = (cid:72)
1
(cid:227)(cid:90) +1+ > + 𝑥 − >0 𝑥(cid:72) 𝑥+ + 𝑥 𝑥− 𝑥−1 𝑥+ 𝑥−1
𝑥1 𝑥 1 𝑥 𝑥−1
(cid:223)(cid:86) < (cid:72)
1
(cid:144) + 𝑥+ 1 + 𝑥 < 𝑥+ 𝑥−1 (cid:92)
𝑥 − 𝑥 𝑥− 𝑥−1(cid:39)2(cid:40)(cid:71)(cid:10) = + + =
1 1 1 1 1 1 1 1
𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
= 𝑀 = − ( 𝑁 ) +𝑎 1 +𝑏 1 − = +𝑎 ( +𝑏)2 (cid:135) +𝑎− +𝑎 − +𝑏− +𝑏
1 1 1 1 (1 )(1 )
𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏
(cid:227)(cid:90) +𝑎− >0 + (cid:72) 𝑏 > 𝑎− 0(cid:72)𝑏 (cid:223)+(cid:86)𝑎 ( − 1+ +𝑏 )(1 − + + ) 𝑎 >0 + (cid:72) 𝑏 ( )2 0(cid:72)
(cid:223)(cid:86)𝑎 𝑏0(cid:72) 𝑎 𝑏 − 𝑎−𝑏 ≤
(cid:144) 𝑀−𝑁(cid:92)≤
𝑀≤𝑁 2 2 ( )( 2 2) ( 2 2)( )
(cid:39)3(cid:40)(cid:147)(cid:148)(cid:84)(cid:39)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:40) =
2 2 ( 2 2)( )
𝑎 −𝑏 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 𝑎 −𝑏 − 𝑎 +𝑏 𝑎−𝑏
𝑎 +𝑏 −𝑎+𝑏 𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏
= ( )( )2 ( 2 2) = ( ) (cid:135)
( 2 2)( ) ( 2 2)( )
𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 − 𝑎 +𝑏 2𝑎𝑏 𝑎−𝑏
(cid:227)(cid:90) > 𝑎 + > 𝑏 0 𝑎(cid:72)+𝑏(cid:223)(cid:86) + 𝑎 > +𝑏 0(cid:72) 𝑎+𝑏 >0(cid:72) >0(cid:72) 2+ 2>0(cid:135)
𝑎 𝑏( ) 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 2𝑎𝑏 𝑎 𝑏
(cid:223)(cid:86) >0(cid:72)
( 2 2)( )
2𝑎𝑏 𝑎−𝑏
𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏
2 2
(cid:223)(cid:86) > (cid:135)
2 2
𝑎 −𝑏 𝑎−𝑏
𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏
2 2
(cid:147)(cid:148)(cid:188)(cid:39)(cid:109)(cid:150)(cid:148)(cid:40) (cid:227)(cid:90) > >0(cid:72)(cid:223)(cid:86) >0(cid:72) >0(cid:72) >0(cid:72)
2 2
𝑎 −𝑏 𝑎−𝑏
2 2 𝑎 𝑏 𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏 2𝑎𝑏
(cid:223)(cid:86) 2 2= ( )2 = 2 2 =1+ >1(cid:72)
𝑎 −𝑏 2 2 2 2 2 2
𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏 𝑎 +𝑏 +2𝑎𝑏 2𝑎𝑏
𝑎−𝑏
𝑎2+𝑏 2 𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏
(cid:223)(cid:86) > (cid:135)
2 2
𝑎 −𝑏 𝑎−𝑏
17(cid:135)(cid:39)𝑎 +
2
𝑏
024·
𝑎(cid:211)+𝑏(cid:212)·(cid:189)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:40)(cid:190)(cid:99)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:90)(cid:269)(cid:276)(cid:128)(cid:35)(cid:269)(cid:277)(cid:135)
(1)(cid:46)(cid:43)(cid:10) 2+ 2+ + 2+ 2+ > (cid:92)
(2)(cid:222) 𝑎 (cid:72)𝑏(cid:46)(cid:43)(cid:10)𝑎𝑏3 3+𝑏 3+𝑐 3 3𝑏𝑐+ 32𝑐< + + (cid:135)
(cid:22)(cid:71)(cid:21) 𝑐≥ (cid:198) 𝑏 (cid:199) ≥ (cid:28) 𝑎 (cid:39)1(cid:40)(cid:220) 2 𝑎 + 2 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑎2 + 𝑏3 2 𝑐 > + (cid:72) 2+ 2+ = + 2 + 3 2> + (cid:72)
2 4 2 2 4 2
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
(cid:118)(cid:54)(cid:269)(cid:276)(cid:128)(cid:69)(cid:277)(cid:332)(cid:298)(cid:41)(cid:206)𝑎 (cid:79)(cid:269)𝑏(cid:277)(cid:35)𝑎(cid:33)𝑏 (cid:34)(cid:102)(cid:221)𝑎 (cid:203)(cid:248). 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏𝑐 𝑐 𝑏 𝑐
3
(cid:39)2(cid:40)(cid:45)(cid:27)(cid:109)(cid:149)(cid:148)(cid:46)(cid:43) + ( 3+ 3)>0(cid:72)(cid:194) + >3 3+ 3(cid:72)(cid:296)(cid:15) + >3 3+ 3(cid:72)(cid:118)(cid:54)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)
2 2 2
𝑎 𝑎 𝑎
(cid:34)(cid:102)(cid:221)(cid:203)(cid:248). 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:227)(cid:90)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:90)(cid:269)(cid:276)(cid:128)(cid:35)(cid:269)(cid:277)(cid:72)(cid:223)(cid:86)a(cid:72)b(cid:72) (0,+ )(cid:72)(cid:272) + > (cid:72)(cid:39)(cid:3)(cid:455)(cid:10)(cid:226)(cid:131)(cid:269)
(cid:276)(cid:128)(cid:35)(cid:269)(cid:277)(cid:3)(cid:59)(cid:221)(cid:105)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:192)(cid:193)(cid:35)(cid:160)(cid:161)(cid:40) 𝑐∈ ∞ 𝑎 𝑏 𝑐
2
(cid:223)(cid:86) 2+ 2+ = + + 3 2> + (cid:72)
2 4 2
𝑏 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎2 𝑏 𝑎
2+ 2+ = + + 3 2> + (cid:72)
2 4 2
𝑏 𝑏
𝑏 𝑐 𝑏𝑐 𝑐 𝑏 𝑐(cid:223)(cid:86) 2+ 2+ + 2+ 2+ > + + + = + + > (cid:135)
2 2
𝑏 𝑏
(cid:39)2(cid:40)(cid:227)𝑎 (cid:90) 𝑏 𝑎𝑏 (cid:72) 𝑏 𝑐 𝑏𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑐
(cid:223)(cid:86) + 𝑐3≥𝑏 ( ≥ 3 𝑎 + 3)= 7 3+ 3 2 + 3 2 7 3+ 3 3+ 3 3= 11 3>0(cid:72)
2 8 4 2 8 4 2 8
𝑎
𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 ≥− 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:223)(cid:86) + >3 3+ 3(cid:72)
2
𝑎
𝑏 𝑎 𝑏
(cid:296)(cid:15)(cid:102)(cid:221) + >3 3+ 3(cid:72)
2
𝑎
𝑐 𝑐 𝑎
(cid:223)(cid:86)3 3+ 3+3 3+ 3< + + + = + + (cid:135)
2 2
𝑎 𝑎
18(cid:135)(cid:39)𝑎 23-24 𝑏(cid:24)(cid:269)(cid:184)𝑐 ·(cid:456)𝑎(cid:457)(cid:458)(cid:238)·(cid:285) 𝑏 (cid:245)(cid:40)(cid:190) 𝑐 (cid:99) 𝑎 (cid:394)(cid:56) 𝑏 (cid:57) 𝑐 (cid:245)(cid:395)(cid:167) (cid:394)(cid:56) > >0)(cid:72)(cid:279)(cid:396)(cid:297) (cid:394)(cid:56) >0)(cid:39)(cid:331)(cid:244)(cid:211)
(cid:391)(cid:397)(cid:71)(cid:40)(cid:72)(cid:56)(cid:57)(cid:127)(cid:398)(cid:399). 𝑏 𝑎 (𝑏 𝑎 𝑚 (𝑚
(1)(cid:291)(cid:300)(cid:346)(cid:84)(cid:400)(cid:191)(cid:337)(cid:338)(cid:90)(cid:84)(cid:70)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:43)(cid:44)(cid:346)(cid:70)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:158)(cid:159)(cid:92)
(2)(cid:119)(cid:459)(cid:276) (cid:245)(cid:72)(cid:226)(cid:131)(cid:39)1(cid:40)(cid:245)(cid:35)(cid:118)(cid:263)(cid:72)(cid:43)(cid:44)(cid:10) + + <2.
𝐴 𝐵 𝐶
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199) △ (cid:28) 𝐴 (cid:39) 𝐵𝐶 1(cid:40)(cid:27)(cid:109)(cid:149)(cid:37)(cid:38)(cid:148)(cid:144)(cid:102)(cid:92) 𝐵+𝐶 𝐶+𝐴 𝐴+𝐵
(cid:39)2(cid:40)(cid:118)(cid:54)(cid:39)1(cid:40)(cid:35)(cid:118)(cid:263)(cid:144)(cid:102)(cid:43)(cid:44).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:222) > > >0(cid:72)(cid:194) < .
𝑎 𝑎+𝑚
𝑏 𝑎 0,𝑚 𝑏 𝑏+𝑚
( ) ( ) ( )
(cid:43)(cid:44)(cid:10) = = .
( ) ( )
𝑎 𝑎+𝑚 𝑎 𝑏+𝑚 −𝑏 𝑎+𝑚 𝑚 𝑎−𝑏
𝑏−𝑏+𝑚 𝑏 𝑏+𝑚 𝑏 𝑏+𝑚
( )
(cid:227)(cid:90) > (cid:72)(cid:223)(cid:86) <0(cid:72)(cid:249) > >0(cid:72)(cid:210) <0(cid:72)
( )
𝑚 𝑎−𝑏
𝑏 𝑎 𝑎−𝑏 𝑏 0,𝑚 𝑏 𝑏+𝑚
(cid:227)(cid:339) < .
𝑎 𝑎+𝑚
𝑏 𝑏+𝑚
(cid:39)2(cid:40)(cid:119)(cid:459)(cid:276)(cid:269)(cid:276)(cid:128)(cid:245) < + >0(cid:72)(cid:220)(cid:39)1(cid:40)(cid:221) < = (cid:72)
𝐴 𝐴+𝐴 2𝐴
𝐴 𝐵 𝐶,𝐴 𝐵+𝐶 𝐴+𝐵+𝐶 𝐴+𝐵+𝐶
(cid:296)(cid:15) < = (cid:72)
𝐵 𝐵+𝐵 2𝐵
𝐶+𝐴 𝐴+𝐵+𝐶 𝐴+𝐵+𝐶
< = .
𝐶 𝐶+𝐶 2𝐶
𝐴+𝐵 𝐴+𝐵+𝐶 𝐴+𝐵+𝐶
(cid:86)(cid:184)(cid:32)(cid:454)(cid:98)(cid:297)(cid:221) + + <2.
𝐴 𝐵 𝐶
19(cid:135)(cid:39)2023·(cid:460)(cid:461)𝐵(cid:278)+𝐶(cid:462)·(cid:189)𝐶+(cid:213)𝐴 (cid:214)𝐴(cid:215)+𝐵(cid:40)(cid:463)(cid:464)(cid:465)(cid:41)(cid:466)(cid:303)(cid:467)(cid:252)(cid:72)(cid:389)(cid:175)(cid:101)(cid:353)(cid:206)(cid:464)(cid:463)(cid:465)(cid:269)(cid:468)(cid:35)(cid:469)(cid:317)(cid:388)(cid:470)(cid:27)(cid:246)(cid:471)(cid:254)(cid:126).(cid:472)(cid:319)(cid:254)
(cid:126)(cid:72)(cid:469)(cid:317)(cid:388)(cid:211)(cid:205)(cid:179)(cid:62)(cid:297)(cid:69)(cid:319)(cid:473)(cid:72)(cid:220)(cid:206)(cid:474)(cid:473)(cid:35)(cid:421)(cid:422)(cid:167)(cid:475)(cid:219)(cid:167)(cid:476)(cid:72)(cid:477)(cid:469)(cid:317)(cid:388)(cid:167)(cid:69)(cid:418)(cid:297)(cid:473)(cid:147)(cid:248)(cid:72)(cid:79)(cid:84)(cid:418)(cid:147)(cid:248)(cid:10)(cid:419)
(cid:319)(cid:240)(cid:297)30(cid:475)(cid:35)(cid:474)(cid:473)(cid:92)(cid:79)(cid:188)(cid:418)(cid:147)(cid:248)(cid:72)(cid:419)(cid:319)(cid:297)200(cid:318)(cid:35)(cid:474)(cid:473).
(1)(cid:222)(cid:79)(cid:84)(cid:319)(cid:297)(cid:473)(cid:170)(cid:474)(cid:473)(cid:35)(cid:421)(cid:422)(cid:90)5(cid:318)/(cid:475)(cid:72)(cid:79)(cid:188)(cid:319)(cid:297)(cid:473)(cid:170)(cid:474)(cid:473)(cid:35)(cid:421)(cid:422)(cid:90)4(cid:318)/(cid:475)(cid:72)(cid:291)(cid:65)(cid:305)(cid:254)(cid:419)(cid:418)(cid:297)(cid:473)(cid:147)(cid:248)(cid:35)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:39)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)=(cid:154)(cid:421)(cid:422)/(cid:154)(cid:475)(cid:13)(cid:40)(cid:92)
(2)(cid:67)(cid:163)(cid:27)m(cid:72)n(cid:39) (cid:40)(cid:337)(cid:338)(cid:469)(cid:317)(cid:388)(cid:317)(cid:252)(cid:69)(cid:319)(cid:297)(cid:473)(cid:170)(cid:474)(cid:473)(cid:35)(cid:421)(cid:422)(cid:72)(cid:291)(cid:65)(cid:305)(cid:254)(cid:419)(cid:418)(cid:297)(cid:473)(cid:147)(cid:248)(cid:35)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:72)(cid:20)
(cid:87)(cid:478)(cid:418)(cid:297)(cid:473)(cid:147)(cid:248)(cid:37)𝑚(cid:38)≠(cid:389)𝑛(cid:479)(cid:480)(cid:305)(cid:290)(cid:73)(cid:324)(cid:254)(cid:43)(cid:44).
(cid:22)(cid:71)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:226)(cid:131)(cid:21)(cid:232)(cid:72)(cid:220)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:35)(cid:65)(cid:305)(cid:7)(cid:32)(cid:72)(cid:289)(cid:380)(cid:65)(cid:305)(cid:72)(cid:144)(cid:102)(cid:221)(cid:105)(cid:118)(cid:140)(cid:92)
(cid:39)2(cid:40)(cid:226)(cid:131)(cid:21)(cid:232)(cid:72)(cid:220)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:35)(cid:65)(cid:305)(cid:7)(cid:32)(cid:72)(cid:289)(cid:380)(cid:65)(cid:305)(cid:72)(cid:95)(cid:252)(cid:109)(cid:149)(cid:72)(cid:144)(cid:102)(cid:221)(cid:105)(cid:118)(cid:140).
(cid:22)(cid:71)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:39)1(cid:40)(cid:79)(cid:84)(cid:418)(cid:147)(cid:248)(cid:72)(cid:69)(cid:319)(cid:297)(cid:473)(cid:481)(cid:482)(cid:430)30×5+30×4=270(cid:318)(cid:72)(cid:69)(cid:319)(cid:481)(cid:297)(cid:399)60(cid:475)(cid:474)(cid:473)(cid:72)
270
(cid:223)(cid:86)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:90) =4.5(cid:318)/(cid:475)(cid:92)
60
(cid:79)(cid:188)(cid:418)(cid:147)(cid:248)(cid:72)(cid:69)(cid:319)(cid:297)(cid:473)(cid:481)(cid:482)(cid:430)200+200=400(cid:318)(cid:72)(cid:69)(cid:319)(cid:481)(cid:297)(cid:399) 200 + 200 =90(cid:475)(cid:474)(cid:473)(cid:72)(cid:223)(cid:86)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:90)
5 4
400 40
= (cid:318)/(cid:475)(cid:92)
90 9
(cid:39)2(cid:40)(cid:220)(cid:21)(cid:232)(cid:102)(cid:221)(cid:72)(cid:79)(cid:84)(cid:418)(cid:147)(cid:248)(cid:72)(cid:69)(cid:319)(cid:297)(cid:473)(cid:481)(cid:482)(cid:430)( + )(cid:318)(cid:72)(cid:69)(cid:319)(cid:481)(cid:297)(cid:399)60(cid:475)(cid:474)(cid:473)(cid:72)(cid:223)(cid:86)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:90)
30𝑚 30𝑛
= (cid:318)/(cid:475)(cid:92)
60 2
30𝑚+30𝑛 𝑚+𝑛
400
(cid:79)(cid:188)(cid:418)(cid:147)(cid:248)(cid:72)(cid:69)(cid:319)(cid:297)(cid:473)(cid:481)(cid:482)(cid:430)200+200=400(cid:318)(cid:72)(cid:69)(cid:319)(cid:481)(cid:297)(cid:399) 200 + 200 (cid:475)(cid:474)(cid:473)(cid:72)(cid:223)(cid:86)(cid:423)(cid:240)(cid:421)(cid:422)(cid:90) 200 200=
𝑚 𝑛 𝑚 + 𝑛
(cid:318)/(cid:475)(cid:92)
2𝑚𝑛
𝑚+𝑛
( )2 ( )2
(cid:272) = = >0(cid:72)(cid:223)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:79)(cid:188)(cid:418)(cid:297)(cid:473)(cid:147)(cid:248)(cid:37)(cid:38)(cid:389)(cid:479)(cid:480)(cid:305).
2 2( ) 2( )
𝑚+𝑛 2𝑚𝑛 𝑚+𝑛 −4𝑚𝑛 𝑚−𝑛
−𝑚+𝑛 𝑚+𝑛 𝑚+𝑛
