文档内容
第 04 讲 随机事件、频率与概率
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：样本空间和随机事件.........................................................................................................4
知识点2：两个事件的关系和运算.....................................................................................................5
知识点3：概率与频率.........................................................................................................................6
题型一：随机事件与样本空间............................................................................................................7
题型二：随机事件的关系与运算........................................................................................................9
题型三：频率与概率..........................................................................................................................11
题型四：生活中的概率......................................................................................................................14
题型五：互斥事件与对立事件..........................................................................................................16
题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率..................................................................................18
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................22
05课本典例·高考素材........................................................................................................................24
06易错分析·答题模板........................................................................................................................28
易错点：混淆频率和概率..................................................................................................................28
答题模板：互斥、对立事件的辨析..................................................................................................29考点要求 考题统计 考情分析
本节内容是概率的基础知识，考
查形式可以是选择填空题，也可以在
（1）样本空间和随机事件
2024年上海卷第15题，4分 解答题中出现．出题多会集中在随机
（2）两个事件的关系和运算
2023年上海卷第5题，4分 事件的关系以对应的概率求解．整体
（3）频率与概率
而言，本节内容在高考中的难度处于
偏易．
复习目标：
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
（2）理解事件间的关系与运算．知识点1：样本空间和随机事件
1、随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 表示．
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2、样本空间
我们把随机试验 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 的样本空间，一
般地，用． ．表示样本空间，用 表示样本点，如果一个随机试验有 个可能结果 ， ，…， ，
则称样本空间 为有限样本空间．
3、随机事件、确定事件
（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方
便，我们将样本空间 的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当
且仅当 中某个样本点出现时，称为事件 发生．
（2） 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 总会发
生，我们称 为必然事件．
（3）空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为 为不可能事件．
（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．
【诊断自测】下列现象是必然现象的是（ ）
A．某路口每星期发生交通事故1次
B．冰水混合物的温度是
C．三角形的内角和为
D．一个射击运动员每次射击都命中7环
【答案】C
【解析】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，
故A错误；对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是 ，这个事件为不可能现象，故B错误；
对于选项C：三角形的内角和为 ，这个事件为必然现象，故C正确；
对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D
错误；
故选：C.
知识点2：两个事件的关系和运算
1、事件的关系与运算
①包含关系：一般地，对于事件 和事件 ，如果事件 发生，则事件 一定发生，这时称事件 包
含事件 （或者称事件 包含于事件 ），记作 或者 ．与两个集合的包含关系类比，可用下
图表示：
不可能事件记作 ，任何事件都包含不可能事件．
②相等关系：一般地，若 且 ，称事件 与事件 相等．与两个集合的并集类比，可用下
图表示：
③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件 发生或事件 发生，则称此事件为事件 与事件
的并事件（或和事件），记作 （或 ）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件 发生且事件 发生，则称此事件为事件A与事件
B的交事件（或积事件），记作 （或 ）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：
2、互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：在一次试验中，事件 和事件 不能同时发生，即 ，则称事件 与事件
互斥，可用下图表示：如果 ， ，…， 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件 ，． ．，…， 彼此互斥．
（2）对立事件：若事件 和事件 在任何一次实验中有且只有一个发生，即 不发生，
则称事件 和事件 互为对立事件，事件 的对立事件记为 ．
（3）互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者
之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充
分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
【诊断自测】掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件
B，则（ ）
A．
B． 表示向上的点数是1或3或5
C． 表示向上的点数是1或3
D． 表示向上的点数是1或5
【答案】B
【解析】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件 ，“向上的点数是1或5”为事件 ，
所以事件 不等于事件 ，故A错误；
事件 表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误；
事件 表示“向上的点数是1”，故D错误；
故选：B.
知识点3：概率与频率
（1）频率：在 次重复试验中，事件 发生的次数 称为事件 发生的频数，频数 与总次数 的比
值 ，叫做事件 发生的频率．
（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件 发生的频率 总是接近于某个常数，并且在它附近
摆动，这时，就把这个常数叫做事件 的概率，记作 ．
（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件 ，由于事件 发生的频率 随着试验次数的增加稳定于概率 ，因此可以用频率 来估计概率 ．
【诊断自测】在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身
份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬
币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知
道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个
“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ）
A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%
【答案】B
【解析】因为抛硬币出现正面朝上的概率为 ，大约有150人回答第一个问题，
又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，
在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，
共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，
因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为 3.33%.
故选：B
题型一：随机事件与样本空间
【典例1-1】若随机试验的样本空间为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件 是随机事件 B．事件 是必然事件
C．事件 是不可能事件 D．事件 是随机事件
【答案】D
【解析】随机试验的样本空间为 ，
则事件 是随机事件，故A正确；
事件 是必然事件，故B正确；
事件 是不可能事件，故C正确；
事件 是不可能事件，故D错误.
故选：D【典例1-2】在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事
件的是（ ）
A．3件都是正品 B．至少有2件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
【答案】D
【解析】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品.
故选：D
【方法技巧】
确定样本空间的方法
（1）必须明确事件发生的条件．
（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，
要做到既不重复也不遗漏．
【变式1-1】下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这
三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但 ；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降
雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④
【答案】A
【解析】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件；
三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件；
实数a，b都不为0，则 ，③是不可能事件；
某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，
所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.
故选：A
【变式1-2】下列说法正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是 ，因此买100张该种彩票一定会中奖
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是
【答案】B
【解析】对于A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，所以A错；
对于B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，所以B正确；
对于C.某种彩票中奖的概率是 ，因此买100张该种彩票不一定会中奖，所以C错；
对于D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，共有36种可能，
其中能被2整除的可能是两个数同时为奇数或同时为偶数，共有18种可能，所以点数和是2的倍数的概率是 ，所以D错；
故选：B
【变式1-3】 “某点P到点 和点 的距离之和为3”这一事件是
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上都不对
【答案】B
【解析】由于“某点P到点 和点 的距离之和必大于等于4”，故“某点P到点 和点
的距离之和为3”这一事件是不可能事件．
故选：B．
【变式1-4】笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试
验的样本空间 .
【答案】
【解析】由取动物的次数来确定样本点。解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最
多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
故答案为：
题型二：随机事件的关系与运算
【典例2-1】同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件 ，“向上的面至少有一枚是正面”为事件
，则有( )
A． B． C． D． 与 之间没有关系
【答案】C
【解析】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为 {（正，正），（正，反），（反，正），（反，
反）}，
其中事件 {（正，正）}，事件 {（正，正），（正，反），（反，正）}，
所以 .
故选：C.
【典例2-2】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都
没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】用 表示试验的射击情况，其中 表示第1次射击的情况， 表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，
则样本空间 .
由题意得， ， ， ，
则 ， ，且 .即ABC都正确；
又 ， .
.故D不正确.
故选：D.
【方法技巧】
事件的关系运算策略
（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．
（2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全
部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．
【变式2-1】（2024·重庆·模拟预测）对于两个事件 ，则事件 表示的含义是（ ）
A．A与B同时发生 B．A与B有且仅有一个发生
C．A与B至少一个发生 D．A与B不能同时发生
【答案】C
【解析】由 表示的是 与 中至少一个发生.
故选：C.
【变式2-2】掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A表示事件“点数大于3”，B表示事件“点数
为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 表示“点数为2”， 表示“点数5”， 表示“点数为3或2或1或4或6”，
表示“点数为1或3或4或5或6”，
故选：B
【变式2-3】从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.3，是不可能事件的概率为
0.1，则这10个事件中具有随机性的事件的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】这10个事件中必然事件的个数为 ，不可能事件的个数为 ，
所以具有随机性的事件的个数为 ．
故选：B
【变式2-4】如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设 “甲元件故障”， “乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件 和 同时发生，即事件
发生.
故选：C.
【变式2-5】（2024·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；
事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为 ，事件B的概率为 ；则 是下列哪个事
件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数
【答案】D
【解析】由题意，事件 为：两个点数都为奇数，
由概率 指的是事件 的对立事件的概率，
则事件 的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.
故选：D.
题型三：频率与概率
【典例3-1】某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为
．
【答案】 /
【解析】由题意可知事件A出现的频率为 ，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值，
由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件A出现的概率为 ，
故答案为：
【典例3-2】（2024·高三·新疆阿克苏·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自
私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地
区对“键盘侠”持反对态度的有 人．
【答案】
【解析】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，
故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有 .
故答案为： .
【方法技巧】
（1）概率与频率的关系
（2）随机事件概率的求法
【变式3-1】（2024·陕西西安·模拟预测）在一个口袋中放有 个白球和 个红球，这些球除颜色外都相同，
某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共
152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留
一位小数）
【答案】0.7
【解析】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，
所以摸到红球概率的估计值为 .
故答案为：0.7
【变式3-2】下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做
100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；
④随机事件A的概率趋近于0，即 趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的
结果是18次，则出现1点的频率是 ；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 .
【答案】③⑤
【解析】概率指的是无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值
就是概率.
①通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则本题中从该批产
品中任取200件，应该是10件次品左右，不一定出现10件次品，错误；
②100次抛硬币的试验并不是无穷多次试验，出现的频率也不是概率，事实上硬币只有两个面，每个面出现的概率是相等的，所以因此出现正面的概率是0.5，错误；
③随机事件的概率是通过多次试验，算出频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来
越接近概率，所以随机事件A的概率是频率的稳定值，正确；
④随机事件A的概率趋近于0，说明事件A发生的可能性很小，但并不表示不会发生，错误；
⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是 ，正确；
⑥根据概率的定义，随机事件的频率只是这个事件发生的概率的近似值，它并不等于概率，错误；
综上，正确的说法有③⑤.
故答案为：③⑤
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因
此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的 个
黑球和 个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历
生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若 人中有 人回答了“是”，
人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以 人的频率估计概率）
．
【答案】 /
【解析】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到 个白球或黑球的概率均为 ，
所以， 人中回答第一个问题的人数为 ，则另外 人回答了第二个问题，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为 ，即摸到黑球且回答“是”的人数为 ，
则摸到白球且回答“是”的人数为 ，
所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为 .
故答案为： .
【变式3-4】长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的
学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查
一名学生，则他近视的概率约为 ．
【答案】0.375
【解析】设该学校人数为 ，依题意得，近视的人数为 ，玩手机超过1小时的人有 ，近视人数为
，于是玩手机小于1小时但又近视的人数为 ，玩手机小于1小时的总人数为
，这类人的近视率约为 .
故答案为：题型四：生活中的概率
【典例4-1】（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽
样的方法调查了 人，已知非吸烟者占比 ，吸烟者中患肺癌的有 人，根据统计结果表明，吸烟
者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的 倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是 ．
【答案】
【解析】本次研究调查中，非吸烟者有7500人，吸烟者样本量有2500人，
设非吸烟者患肺癌的人数是 人，则 ， ，
因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45人．
故答案为： .
【典例4-2】（2024·北京朝阳·一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，
预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为 ；（ⅱ）当
中签率不超过 时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使
中签率增加 .为了使中签率超过 ，则至少需要邀请 位好友参与到“好友助力”活动.
【答案】
【解析】因为摇号的初始中签率为 ，所以要使中签率超过 ，需要增加中签率 ，
因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加 ，
所以至少需要邀请 ，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动.
故答案为：
【方法技巧】
概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的
大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似
地当作随机事件的概率．
【变式4-1】（2024·江苏南京·三模）19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1
开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量
数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值 的3倍，并提出本福特定律，即在大量b
进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为 ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较
符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福
特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为 ；若 ,
，则k的值为 ．【答案】 5
【解析】由题意可得：
（1）
（2） ，而 ，故 ，则 ．
故答案为：
【变式4-2】为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的
随机调查:向被调查者提出两个问题:（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被
调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题;否则就回答第（2）个问题.被调
查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知
道回答了哪个问题，所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，
由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是 .
【答案】60
【解析】设闯红灯的概率为 ，根据已知中的调查规则，我们分析出回答“是”的两种情况，进而计算出
回答是的概率，又由被调查的600人（学号从1到 中有180人回答了“是”，我们易构造关于 的方
程，解方程求出 值，进而得到这600人中闯过红灯的人数．设闯红灯的概率为 ，
由已知中被调查者回答的两个问题，
（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？
再由调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题
可得回答是有两种情况：
①正面朝上且学号为奇数，其概率为 ；
②反面朝上且闯了红灯，其概率为 ．
则回答是的概率为
解得 ．
所以闯灯人数为 ．
故答案为：60
【变式4-3】（2024·广西·二模）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.
某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其
它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为 .
【答案】0.4
【解析】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，则韦恩图如下： 中有30人， 中有10人，又不买猪肉的人有30位，
∴ 中有20人，∴只买猪肉的人数为：100 ，
∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为 =0.4，
故答案为；0.4
题型五：互斥事件与对立事件
【典例5-1】（2024·高三·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下
的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为
白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】设事件 =｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，
则 所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件 =｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件 ｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件 ｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件 ｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件 、事件 与 均是互斥而非对立的事件.
故选：B
【典例5-2】抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件： “点数为奇数”， “点数为偶数”，
“点数大于2”， “点数小于2”， “点数为3”．则下列结论不正确的是（ ）
A． 为对立事件 B． 为互斥不对立事件
C． 不是互斥事件 D． 是互斥事件
【答案】D
【解析】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正
确；
点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正
确；点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；
点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确.
故选：D.
【方法技巧】
1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发
生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．
2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，
若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
【变式5-1】现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事
件中互为对立事件的是（ ）
A．恰好两件正品与恰好四件正品
B．至少三件正品与全部正品
C．至少一件正品与全部次品
D．至少一件正品与至少一件次品
【答案】C
【解析】根据题意，选项A中事件为互斥事件，不是对立事件；
选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件；
选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件.
故选：C.
【变式5-2】事件A与B独立， 、 分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A：由题意知， ，故A错误；
B：由题意知， ，故B错误；
C：事件A与B独立， 、 分别是A、B的对立事件，
所以A与 独立，则 ，故C正确；
D：
，故D错误．
故选：C
【变式5-3】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件 “出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ）
A．相互独立事件 B．相互互斥事件
C．即相互独立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互独立事件
【答案】A
【解析】由于 表示“出现的点数为4”，所以事件A与B不是互斥事件，
由 ， ， ，有 ，
所以事件A与B是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A
题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率
【典例6-1】某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则
拨号不超过两次就拨对号码的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 第 次拨号拨对号码 .
拨号不超过两次就拨对号码可表示为 ，
所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为 .
故选：B
【典例6-2】某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为 ，第二次面试通过的概率为 ，
若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通
过面试的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为第一次通过面试的概率为 ，第二次面试通过的概率为 ，
所以两次面试都没有通过的概率为： ，
所以该同学通过面试的概率为： .
故选：C.
【方法技巧】
求复杂的互斥事件的概率的两种方法
（1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
（2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 ，即运用逆向思维（正难则
反）．特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便．
【变式6-1】某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子
各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地
均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子
随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为 ．
【答案】 /0.7
【解析】设掷一枚质地均匀的骰子出现点数为1或2为事件 ，则 ，
骰子出现点数为3，4，5，6为事件 ，则 ，
甲箱摸出红球为 ，乙箱摸出红球为 ，设顾客中奖为事件 ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【变式6-2】体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中
的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 .
【答案】 /
【解析】记 “甲投中”， “乙投中”，
则 ,
所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为
.
故答案为：0.38.
【变式6-3】某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题.第一个问题回答正确得
10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，
回答错误得 分.规定：每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功.若某位选手回答前
两个问题正确的概率都是 ，回答第三个问题正确的概率是 ，且各问题回答正确与否相互之间没有影响，
则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ；该选手闯关成功的概率是 .【答案】 / /
【解析】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率是
，
由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分，
只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分，
所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为 .
故答案为： ，
【变式6-4】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的
一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，
则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是 ．
【答案】 /
【解析】前 局中，因第 局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A，设乙第二局当裁判的事件A、乙
1
第三局当裁判的事件A，乙第二局当裁判的事件A，它们互斥，
2 3
乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，第三局胜，则 ,
乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则 ，
乙第四局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局胜，第三局输，则 ，
所以
故答案为： .
【变式6-5】设 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：D.
【变式6-6】（2024·高三·上海·开学考试）已知事件 与事件 是互斥事件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若随机试验为抛掷一枚质地均匀的骰子，事件 ， ，
则事件 与事件 是互斥事件，
此时 ， ， ，
所以 ，A错误；
， ， ，B错误；
，C错误；
因为事件 与事件 是互斥事件，
所以 ，所以 为必然事件，
所以 ，D正确.
故选：D.
1．（2024年上海市1月春考数学试题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第
四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件 ：所选盒中有中国结，事件 ：所选盒中有
记事本，事件 ：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 互斥 D．事件 与事件 相互独立
【答案】B
【解析】选项A，事件 和事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件 不互斥，A错误；
选项B， ， ， ，
，B正确；
选项C，事件 与事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；
选项D， ， ， ，
，
与 不独立，故D错误．
故选：B．
2．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相
互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两
盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 ，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D3．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（江苏卷））将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数
1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，
记事件 为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，
则 为“抛掷3次都没有出现6点向上”，
记事件 为“第 次中，没有出现6点向上”， ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
4．（2007 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（重庆卷））从5张100元，3张200元，2张300元
的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知本题是一个古典概型， 满足条件的事件包含的结果比较多，可以从它的对立事件来考
虑，取出的三张门票的价格均不相同，共有 种取法，试验发生的所有事件总的取法有
种，三张门票的价格均不相同的概率是 ， 至少有2张价格相同的概率为
故答案选：C
1．如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字.（1）用表格表示试验的所有可能结果；
（2）列举下列事件包含的样本点：A=“两个数字相同”，B=“两个数字之和等于5”，C=“蓝色骰子的数字
为2”.
【解析】（1）该试验的所有可能结果如下表：
蓝骰子点
数 1 2 3 4
黄骰子点数
1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4）
2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4）
3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4）
4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4）
（2）A包含的样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）；
B包含的样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；
C包含的样本点：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）.
2．在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c
对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一
种最终可能结果记为acbd（表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d）.
（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；
（2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；
（3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.
【解析】（1）
第一轮的两场比赛中，当 胜出时，比赛最终可能的结果为：
第一轮的两场比赛中，当 胜出时，比赛最终可能的结果为：
第一轮的两场比赛中，当 胜出时，比赛最终可能的结果为：
第一轮的两场比赛中，当 胜出时，比赛最终可能的结果为：
则该试验的样本空间可表示为:
；
（2）事件A包含的所有结果为： ；
（3）事件B包含的所有结果为：
3．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”.
（1）写出样本空间，并列举A和B包含的样本点；
（2）下列结论中正确的是（ ）.
A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P（A）=P（B）【解析】(1) 抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的情况为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，
反）
则样本空间为Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}
A包含的样本点：（正，正），（正，反）
B包含的样本点：（正，反），（反，反）
(2)由于事件 能同时发生，则事件 既不互斥也不对立；
事件 中有不同的样本点，则事件 不相等；
， ，则
故选：D
4．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修
1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.
（1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设 =“一年内需要维修k次”，k=0,1,2,3,请填写下表：
事
件
概
率
事件 是否满足两两互斥？是否满足等可能性？
（2）求下列事件的概率：
①A=“在1年内需要维修”;
②B=“在1年内不需要维修”；
③C=“在1年内维修不超过1次”.
【解析】（1）因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%
所以 ，
事件
0.1
概率 0.75 0.06 0.04
5
事件 满足两两互斥，不满足等可能性.
（2）① ；
② ；
③ .
5．从1-20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，求下列事件的概率；
（1）这个数既能被2整除也能被3整除；
（2）这个数能被2整除或能被3整除；
（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除.
【解析】1-20这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个,
所以 .
（1）1-20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有3个，所以 ;
（2） ;
（3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为
对立事件，则 .
6．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，
B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生
（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
（2）用A，B，C表示下列事件：
①恰好订阅一种学习资料；
②没有订阅任何学习资料.
【解析】(1)由图可知：
区域1表示该生数学、语文、英语三种资料部订阅；
区域4表示该生只订阅数学、语文两种资料；
区域5表示该生只订阅了语文资料；
区域8表示该生三种资料都未订阅.
(2) “恰好订阅一种学习资料”包括：只订阅数学为： ；只订阅语文： ；只订阅英语： ，并
且这三种相互互斥
所以“恰好订阅一种学习资料”用A，B，C表示为：
“没有订阅任何学习资料” 用A，B，C表示为：
7．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：
（1）没有出现6点；（2）至少出现一次6点；
（3）三个点数之和为9.
【解析】该试验的样本空间表示为 ，共有 （个）样本点.
（1）事件“没有出现6点”包含的样本点 满足 ，共有125个，所以其概率为
；
（2）事件“至少出现一次6点”与事件“没有出现6点”互为对立事件，故其概率为 ；
（3）事件“三个点数之和为9”包含的样本点有25个，故其概率为 .
易错点：混淆频率和概率
易错分析：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率可
能不同。(2) 概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关.
【易错题1】众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约
有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调
查一名学生，则该名学生近视的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该校有a名同学，
则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机
不超过2 h.
因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%
所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a，
则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视，
所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为 ．
故选：B．
【易错题2】抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5.
B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5
D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5
【答案】B
【解析】对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确；
对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为
0.5，故B正确；
对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经
验概率约为0.5，故C不正确；
对于D，试验次数每增加一次，不能判断下一次出现正面的频率比它前一次更接近于0.5，D不正确.
故选：B
答题模板：互斥、对立事件的辨析
1、模板解决思路
判断互斥事件、对立事件时，首先要明确两个事件包含的样本点，再判断两个事件的交事件是否是空
集，是空集则两个事件是互斥事件；若这两个互斥事件的并事件是样本空间，则两个事件是对立事件. 注
意事件对立的前提是互斥.
2、模板解决步骤
第一步：明确两个事件包含的样本点，判断交事件是否为空集，并事件是否为样本空间。
第二步：得出结论.
【经典例题1】一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个
小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2个小球恰有一个红球 B．2个小球至多有1个红球
C．2个小球中没有绿球 D．2个小球至少有1个红球
【答案】A
【解析】2个小球恰有一个红球包括2个小球1个红球1个黄球和2个小球1个红球1个绿球，与事件“2
个小球都为红色”互斥而不对立，符合题意，故A正确；
2个小球至多有1个红球包括2个小球都不是红球和2个小球恰有1个红球，则2个小球至多有1个红球与
事件“2个小球都为红色”是对立事件，故B错误；
2个小球中没有绿球包括2个小球都为红色，2个小球都为黄色和2个小球1个红球1个黄球，则事件“2
个小球都为红色”是2个小球中没有绿球的子事件，故C错误；
2个小球至少有1个红球包括2个小球都是红球和2个小球1个红球1个不是红球，则事件“2个小球都为
红色”是2个小球至少有1个红球的子事件，故D错误；故选：A
【经典例题2】某小组有 名男生和 名女生，从中任选 名学生参加比赛，事件“至少有 名男生”与事
件“至少有 名女生” （ ）
A．是对立事件 B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件
【答案】D
【解析】根据题意，从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛，有“2名男生”和“1名男生和1名
女生”两种情况，
易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件，
故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件．
故选：D．
