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第 8 节 抛物线
考试要求 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性
质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做
抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
y2＝－2px x2＝－2py
y2＝2px (p>0) x2＝2py (p>0)
标准方程 (p>0) (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O(0，0)
对称
y＝0 x＝0
轴
焦点 F F F F
离心
性 e＝1
率
质
准线
x＝－ x＝ y＝－ y＝
方程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口
向右 向左 向上 向下
方向
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x ，y )到焦点F的距离|PF|＝x ＋，也称为抛物线
0 0 0
的焦半径.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(
)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准
线方程是x＝－.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而
非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，
准线方程是y＝－.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行于抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
2.(易错题)抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A.(0，－1) B.(0，1)
C.(1，0) D.(－1，0)
答案 A
解析 抛物线y＝－x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，p＝2，＝1，故焦点为(0，
－1).
3.(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(
)
A.y2＝x B.x2＝y
C.y2＝－x D.x2＝－y
答案 BC
解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m
＝，所以y2＝－x或x2＝y.
4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于
A，B两点，则|AB|＝________.
答案
解析 由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，设直线AB的方程为
y＝(x－1).
由得3x2－10x＋3＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，
1 2
所以|AB|＝x ＋x ＋2＝.
1 2
5.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为
C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方
程为________.
答案 x＝－
解析 法一 由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝
tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
法二 由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝·6，解得p＝3或p＝
0(舍去)，
所以C的准线方程为x＝－.
6.(2022·龙岩一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF
为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则FA·FB的值等于________.
答案 6－2
解析 设B(x ，y ).由方程组
0 0
消去y并整理，
得x2＋4x－1＝0(x≥0)，解得x ＝－2.
0
由题意，得F(1，0)，A(－1，0)，
∴FA＝(－2，0)，FB＝(x －1，y ).
0 0
∴FA·FB＝(－2，0)·(x －1，y )＝－2(x －1)＝2－2x ＝2－2(－2)＝6－2.
0 0 0 0
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(
)
A.x＝－4 B.x＝－3
C.x＝－2 D.x＝－1
答案 A
解析 直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝－4.
2.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.
答案 y2＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距
离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
3.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l
于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为
________.
答案 y2＝3x
解析 如图，分别过A、B作AA ⊥l于A ，BB ⊥l于B ，由抛
1 1 1 1
物线的定义知：|AF|＝|AA |，|BF|＝|BB |，∵|BC|＝2|BF|，∴|
1 1
BC|＝2|BB |，∴∠BCB ＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A F，则
1 1 1
△AA F为等边三角形，过F作FF ⊥AA 于F ，则F 为AA
1 1 1 1 1 1
的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A F |＝|AA |＝|AF|，即p
1 1 1
＝，∴抛物线方程为y2＝3x.
4.(2022·广州模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y )在抛
0
物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y ＝________，p＝________.
0
答案 2 4
解析 作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，
∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝＝＝，
∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，
∴|PM|＝|MK|＝4，
又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，
∴解得
感悟提升 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置
开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需
一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
考点二 抛物线的几何性质及应用
角度1 焦半径和焦点弦
例1 (1)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B
两点，且AF＝tFB(t＞1)，|AB|＝，则t＝( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B解析 ∵焦点F(1，0)，设直线l为x＝λy＋1(λ≠0)，代入抛物线方程得y2－4λy－4
＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，由韦达定理得y y ＝－4，①
1 1 2 2 1 2
由AF＝tFB，即(1－x ，－y )＝t(x －1，y )，有y ＝－ty ，②
1 1 2 2 1 2
∴由①②得y ＝，y ＝－2或y ＝－，y ＝2，即x ＝t，x ＝，
2 1 2 1 1 2
∴|AB|＝x ＋x ＋p＝＋t＋2＝，化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝(舍).
1 2
(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物
线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程
为________.
答案 y＝±x
解析 设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
由抛物线的定义：
|AF|＝y ＋，|BF|＝y ＋，|OF|＝，
1 2
所以|AF|＋|BF|＝y ＋＋y ＋＝y ＋y ＋p＝4|OF|＝2p，
1 2 1 2
可得：y ＋y ＝p，
1 2
联立方程：⇒－＝1 －＋1＝0，
由根与系数的关系得y ＋y ＝－＝·b2＝p，
⇒ 1 2
∴p＝p ＝⇒＝.
∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
⇒
角度2 与抛物线有关的最值问题
例2 (1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)
的距离之和最小，则该点的坐标为________.
答案
解析 如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依题
意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、
点P与点A的距离之和最小，故点 P的纵坐标为1.将y＝1
代入抛物线方程求得x＝－，则点P的坐标为.
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，
1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
答案
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由
抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的
距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交
的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.
(3)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离
为________.
答案 2
解析 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA ⊥l交l于点A ，过点B
1 1
作BB ⊥l交l于点B ，设弦AB的中点为M，过点M作MM ⊥l交l于点M ，则|
1 1 1 1
MM |＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA |＋|
1 1
BB |≥6，2|MM |≥6，|MM |≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.
1 1 1
感悟提升 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出
“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线
上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
训练1 (1)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距
离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2 B. C. D.3
答案 A
解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物
线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
∴点P到准线 l的距离与点 P到直线 3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点
F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y
轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
答案 2
解析 由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得
最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝
4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
考点三 直线与抛物线的综合问题
例3 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x
轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若AP＝3PB，求|AB|.解 设直线l的方程为y＝x＋t，A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x ＋x ＋.
1 2
又|AF|＋|BF|＝4，所以x ＋x ＝.
1 2
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，
则x ＋x ＝－.
1 2
从而－＝，得t＝－(满足Δ>0).
所以l的方程为y＝x－.
(2)由AP＝3PB可得y ＝－3y .
1 2
由可得y2－2y＋2t＝0，
其中Δ＝4－8t>0，
所以y ＋y ＝2，从而－3y ＋y ＝2，
1 2 2 2
故y ＝－1，y ＝3.
2 1
代入C的方程得x ＝3，x ＝.
1 2
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
感悟提升 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若
过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x ＋x ＋p，若不过焦点，则必须用一般弦
1 2
长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用
“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
训练2 (2022·湖州模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛
物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解 (1)设直线AP的斜率为k，
k＝＝x－，因为－＜x＜，
所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1).
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是x ＝.
Q
因为|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(x －x)
Q＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
抛物线的几个“二级结论”的应用
抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题
时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x ，y )，B(x ，y )，则
1 1 2 2
(1)x ·x ＝.
1 2
(2)y ·y ＝－p2.
1 2
(3)|AB|＝x ＋x ＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
1 2
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
例1 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，
则|AB|等于( )
A.4 B. C.5 D.6
答案 B
解析 [通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为
y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得x ·x ＝1，①
A B
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得x ＋1＝2(x ＋1)，
A B
即x ＝2x ＋1，②
A B
由①②解得x ＝2，x ＝，
A B
所以|AB|＝|AF|＋|BF|
＝x ＋x ＋p＝.
A B
[优解]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设
A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
法二 因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
例2 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两
点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 [通法]由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝
0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|y －y |＝＝6.
A B
因此S ＝|OF||y －y |＝××6＝.
△OAB A B
[优解]由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离
d＝|OF|·sin 30°＝，
故S ＝|AB|·d＝×12×＝.
△AOB
1.抛物线x2＝y的焦点到准线的距离是( )
A.2 B.1 C. D.
答案 D
解析 抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距
离，又p＝.故选D.
2.若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为(±，0)，
所以＝，解得p＝8.
3.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A. B. C.(1，0) D.(2，0)
答案 B
解析 将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，E(2，－
2)，由OD⊥OE，可得OD·OE＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝
2x.其焦点坐标为.
4.(多选)(2021·烟台调研)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM
的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则( )
A.C的准线方程为x＝－4
B.F点的坐标为(0，4)
C.|FN|＝12
D.三角形ONF的面积为16(O为坐标原点)
答案 ACD
解析 不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l
于点B，NA⊥l于点A.
由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4，0)，A正确，B错误.
故|AN|＝4，|FF′|＝8，在直角梯形ANFF′中，中位线|BM|＝＝6，
由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，
故|FN|＝|FM|＋|NM|＝6＋6＝12，C正确，而|ON|＝＝8，
S ＝×8×4＝16，D正确.
ONF
5.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，
则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 依题意，设点A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，
1 1 2 2 3 3
又焦点F，所以x ＋x ＋x ＝3×＝，
1 2 3
则|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋＋＝(x ＋x ＋x )＋＝＋＝3.
1 2 3
6.(多选)(2022·武汉模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C
上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若△ABF的面积为9，则(
)
A.|BF|＝3
B.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2＝6x
答案 BCD
解析 因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|；又|BF|＝|FD|＝|FA|，
所以∠ABD＝90°，|FA|＝|AB|，可得△ABF为等边三角形，B正确；
过F作FC⊥AB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为－，所以
A的横坐标为，代入抛物线可得y＝3p2，|y |＝p，
A
△ABF的面积为9，即(x －x )|y |＝··p＝9，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝
A B A
6x，D正确；
焦点坐标为，所以焦点到准线的距离为×2＝3，C正确；
此时点A的横坐标为，所以|BF|＝|AF|＝|AB|＝＋＝6，A不正确.
7.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1
米后，水面宽________米.
答案 2
解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为 x2＝
－2py(p＞0).
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－
2y.
设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米.
8.已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦
点F与l相切，则抛物线的方程为________.
答案 y2＝8x
解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，
∴圆心到准线的距离等于3，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
9.直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝
________，＋＝________.
答案 2 1
解析 由题意知＝1，从而p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，
从而＋＝1.
当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为y＝k(x－1)，
联立
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则
从而＋＝＋＝＝＝1.
综上，＋＝1.
10.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )(x ＜x )两点，且|AB|＝9.
2 2 1 2
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值.
解 (1)抛物线的焦点坐标为，则直线AB的方程是y＝2，
与y2＝2px联立，化简得4x2－5px＋p2＝0，
所以x ＋x ＝.又|AB|＝x ＋x ＋p＝9，
1 2 1 2
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0得x2－5x＋4＝0.
又x ＜x ，
1 2
从而x ＝1，x ＝4，y ＝－2，y ＝4，
1 2 1 2
从而A(1，－2)，B(4，4).
设OC＝(x ，y )，所以(x ，y )＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
3 3 3 3
又y＝8x ，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1).
3
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
11.(2022·北京昌平区模拟)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点作直线l与抛
物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点.
(1)解 把P(1，1)代入y2＝2px得p＝，
∴抛物线C的方程为y2＝x，
焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明 ∵BM⊥x轴，
∴设M(x ，y )，N(x ，y )，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2 1 A 1 B
根据题意显然有x ≠0.
1
若要证A为BM的中点，
只需证2y ＝y ＋y 即可，
A B 1
左右同除以x 有＝＋，
1
即只需证明2k ＝k ＋k 成立，其中k ＝k ＝1，k ＝k .
OA OB OM OA OP OB ON
当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，
所以直线MN斜率存在且不为零.
设直线MN：y＝kx＋(k≠0)，
联立消y得，k2x2＋(k－1)x＋＝0，
考虑Δ＝(k－1)2－4××k2＝1－2k，
由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k<.
由根与系数关系可知：x ＋x ＝，①
1 2
x x ＝.②
1 2
k ＋k ＝k ＋k ＝＋＝＋＝2k＋.
OB OM ON OM
将①②代入上式，有2k＋＝2k＋＝2k＋2(1－k)＝2，
即k ＋k ＝k ＋k ＝2＝2k ，
ON OM OB OM OA
∴2y ＝y ＋y 恒成立，
A B 1
∴A为BM的中点，得证.
12.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径
的圆过点(0，2)，则C的方程为( )
A.y2＝4x或y2＝8x
B.y2＝2x或y2＝8x
C.y2＝4x或y2＝16xD.y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 ∵以MF为直径的圆过点(0，2)，
∴点M在第一象限.
由|MF|＝x ＋＝5，
M
可得M.
从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为.
∵点N的横坐标恰好等于圆的半径，
∴圆与y轴切于点(0，2)，
从而2＝，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，
∴抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
13.(多选)(2022·青岛质检)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛
物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.|AB|≥4
B.|OA|＋|OB|＞8
C.若点P(2，2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3
D.△OAB面积的最小值是2
答案 ACD
解析 由题意知F(1，0)，不妨设A在第一象限，
(1)若直线l斜率不存在，
则A(1，2)，B(1，－2)，
则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝2，S ＝×4×1＝2，显然B错误；
△OAB
(2)若直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x－1)，显然k≠0，
联立方程组
消元得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝＝2＋，
1 2
∴|AB|＝x ＋x ＋2＝4＋＞4，
1 2
原点O到直线l的距离d＝，
∴S ＝×|AB|×d
△OAB
＝××＝2＞2，
综上，|AB|≥4，S ≥2，故A正确，D正确.
△OAB
过点A向准线作垂线，垂足为N，
则|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|.
又P(2，2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|＋|AF|取得最小值3，故C
正确.故选ACD.
14.已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别
为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE
的面积.
(1)证明 设D，A(x ，y )，
1 1
则x＝2y .
1
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x ，故＝x .
1 1
整理得2tx －2y ＋1＝0.
1 1
设B(x ，y )，同理可得2tx －2y ＋1＝0.
2 2 2 2
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点.
(2)解 由(1)得直线AB的方程为
y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x ＋x ＝2t，x x ＝－1，
1 2 1 2
y ＋y ＝t(x ＋x )＋1＝2t2＋1，
1 2 1 2
|AB|＝|x －x |
1 2
＝×＝2(t2＋1).
设d ，d 分别为点D，E到直线AB的距离，
1 2
则d ＝，d ＝.
1 2
因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d ＋d )＝(t2＋3).
1 2
设M为线段AB的中点，则M.
因为EM⊥AB，而EM＝(t，t2－2)，AB与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.
因此，四边形ADBE的面积为3或4.
