文档内容
2025李永乐线代强化笔记
前言
l、 笔记非逐字矛高， 请配合老师讲解视频使用I
2、 笔记为纯人工键入， 如果小错误， 还请谅解I 一 切以视
频为主
3、 强化阶段持续时间：7月－9月， 请注意时间节点I
4、
强化(6月～9月）
内容 考研常见的题型、 方法、 技巧、 典型错误、 陷阱
参考书 全书、 讲义、 早年真题、 330、 660
听课
线性代数
行列式 矩阵
方程组
向 量
二次型
特征值
3选择 l填空 l解答 32分
数一： 向量空间
二次曲面－二次型 平面－方程组
直线－向量
l、 杠无念、 定理、 公式
2、 题型、 方法、 技巧
基础、 计算 灵活、 综合
1笫一章 行列式一数
基本内容与重要结论
一．计算
一．计算
1．数字型（展开公式）
把笫l行的k 倍加至笫i行把每一行都加到笫1行逐行相加
i
2.抽象型
行列式性质恒等变形
矩阵公式、 法则恒等变形，E恒等变形
特征值、 相似
二．应用
—1
特征多项式 矿，A 相关，无关，正定
克拉默法则 科:
三．证冈＝O?
四． 代数余子式
行列式-数
不同行不同列元素乘积的代数和
D = � （ — l ) T （ 八 丿 2 . , ,, )a 1 i a1 2 h • 气 ，？ （ n !项 ）
a b
= ad-be
C d
展开式
D = a;1 A;1 + a;2九＋· 吽a inAin
D = a11A11 + a2丿少＋· 吽 a n 1A,1J
．
．．．．［
余子式 z a 的余子式为M
门 门
．
Au = (-l 厂 M n-l阶 ＋－ 数
lj
称为 a 的代数余子式
门
笫一章 行列式 数T
I I
二． 行列式的性质
1.经转置行列式值不变 A =A
.．．．.． ·．．．·．
1 31 11 5
k
＿
ka5 ＇,. 71 13ka i7n
a
i
a
in
．．
＿
．．
2．某行有公因数K可 把k提出
. . ．
． ． ．
．． ．．
． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
a.. • • a a . • • a.
特 ． [别 l ． 地 ． ． 若 ． [某n 行元素 八 全为0 丿则n D=O
3．两行互换，行列式的值 I• 变 • 号 • • •
a . • • a a.. • • a
八 丿n t l tn
． ． ． ． ．
— ⇒
=
⇒
•••••
特别地 两行相同 D=O
b b b b b b
a+ a + a+ a a 4
1 l 2 2两行3成比3例 lD2=O I 2 3
q c c c
C C _ ＋ CI c
4.
d
q某行所有
d2
元素都
d3
是两
＿
个
d
数的
d
2和，则
d
3可 把
l d
行列2式3
d d
写成1两个行2列式之和3 1 2 3 1 2 3
才 －的 年 － 值 变
5 巴某/
4丁
K 倍力
口
到 另夕＿卜
1
夕
丁
列 式 白勺 不
'
生
a a a a a3
1 2 3 1
b b b ＿ b 丑 a b 丑 a b +k a
_ 2 l c _ 2 2 3 3
c 3 c ＿ c
c l C
l 3 2
2 3
2 笫一章 行列式 数1 1 1
证：\/a ,b,c a b c 1=0
b+c c+ +b
a a
1
［证］ a
b+c
1 I I 1
C l = I
l l 1
b a b C
c+ a a +b I l a + b+ c a+ b+c a +b+c
l l l
= (a+ b+ c) la b c I = 0
l l l
重要公式
上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
(1)
`
/
)
=
＝
\
/ ] 气
＝ a l l
－
a
1
2
)
2
i
．
n ( n
丸
- 1 )
，1
a ,
n
a 2
n
- l • l'l
n l
(2) 副对角线的行列式 。 。
． ． ．
a1 1 a1 2 • a 1, n -1 a。 ln 。 a I n
． ．
a 21 a22 • a 2, n -1 • a 2, n -1 a 2 n
•• •• •• •• •• •• ••
。 。 。
． ． ．
•
a nl |a nl a n , n -1 a nn
n ( n
- 1
)
= （— 1) 2 • a a 0 n l · I 2, -1 n n
(3)拉普。 拉斯
A A。 ＊
＝冈·I B
I
＊ 。 B B
A ＊ A
＝ =
（ —
l )
m n
l A l · I B I
。
B ＊ B
3
笫一章 行列式 数(4) 范德蒙
1 1 1
X 1 X 2 X 3 I = (X 2 - X 1 ) (X 3 — X 1 ) (x 3 — X 2 )
2 碍
X 1 。 xf 。 。
。 。 b。
a
b。 a 。
[22，数农］ 。 b。 a 。
0,-
。 b。 a 。
b
a
(A)矿＋b 5 (B) —矿＋b 5 (C)a 5 —b 5 (D) — a 5 —b 5
［分析J直接展开
D = a A 1 2 + b A ,5 。 。 。
b。 a 。 。01 lb。 a 。 0, b。
a
。 b。 a 0
= — a1 。 a 。 +b 。 b。 a 。 = a 2 。 a +b 2 b 0
b。 a 。 b。 0 b
a b a
l
0 b
a b 1 la
l
才住理排除
各行均加到笫l行有 a
+b因子，排除(B)(C)
a 12a23 a 3 4a45a51
T (23451) 。 = 1 +1 +1 +1 。偶排列 ＋号
• • 0 。
1。 a
I
。 。1 a 2 • • 0 。
• • 0
1
。
••
。
•• 。•• •• ••
。 。 • • 1 a n-l
• • 0 1
a n
4 笫一章 行列式 数公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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。
0
—X X
［例1.4]D= 。
x 0
— X
0 0 -
X X
［分析J各列均加至笫l列，并按笫1列展开有
4 。 。
＋芝
x q a a a
2 3
。 。
i=I
＋
D=I 。 X 。04 = x 文 。 X 0 .
( ）［
i=I
。 -。 x X —X X
- x X
＋史，）
D=x' x
( 。 。
i=
l
- 。
a 1
I
—
a X。 l
2
［例1.5]计算D=I
a 。 X。 - 1
3
a。 。 X 。 。
4
a
—。l 。
a
—。l 。
I I
D=I
a
1
x+a
2
。 —1 a
1
x+a
2
。 —。 1
|（逐行相加）
2
a
3
。 X。 —l a
1
x +a
2
x +a
3
。 。 —l
a X 。 。a X
4 4
a —。l 。
I
a
1
x+a
2
。 —。l
a x 2 +a x+a 。 。 -。 1
1 2 3
3 2
a
1
x +a
2
x +a
3
x +a
4
。 。
-。 。
1
3 2 4 1
=( a 1 x + a 2 x + a 3 x+ a 4 ) (— 1) + 。 —。 1
-
l
=(a忒＋a 2 x
2
+ a 3 x+ a 4
)（—
1)
4 +l (—
l)
3
= a忒＋a 2 x
2
+ a 3 x+ a 4 .
笫一章 行列式 数 5爪型
二
＼二』 ｀
1 1 1
,l 2 0
［例1.6]计算D=
11 0
1 1 1
1 1 1 11 11———一—— 0 0 0
。 。 2 3 4
1 1
1 0 O
2
。 。 2
D=2x3x411 =24
1
3 0 1 O
。 。 3
1 1
1
0 0 l
. 4
（勹飞－』）＝
=24x 24-12-8-6=- 2
6 笫一章 行列式 数． ．
a, +b a a a
2 3 11
． ．
a a +b a a
I n
2 3
． ．
［例］互＝ a
I
a a +b a
n
2 3
•• •• •• ••
．
•
a a a a +b
I n
2 3
．
•
a a a
1
2 3 11
b
互＝（芝a +b) b
(1) i
． ．
b
．
•
a, +b a a。 a。
2 3 11
— ． ．
b b。 。
— ． ．
互＝ b b
(2)
•• 。•• 。•• ••
— ． ．
b b
．
•
a +b a + 0 a + 0 a + 0
1 2 3 11
．
•
a +O a +b a +O a +O
1 2 3 11
．
(3) a +O a +O G +b • a +O
n
1 2 3
•• •• •• ••
。
．
•
a +O a +O a +b
1 3 11
笫一章 行列式 数 7。 。
。
4 3
。
1 4 3
［例1.7]计算D=I
。 。
1 4 3
。 。
1 4
。I 。
。
1
14
。
3
。
4 3
。 。 。
4 3 01 | 13
13 3
。
1 4 3 ＝ 。 3 ＝ 。 4。
4
［解1] | 。 1 。 4 3 。 。 40
1 4 3 。 。 3
1 41 | 13
1 4
。 。 1 4
4 3
。
1 3
。
3
。 4。 —13 —40 121
40 = 4 x X X -=--=---=--= 12 1.
3 4
1 3
1 3 4 0
。 。 。
121
4 0
。 。 。 。 。 。
［解2]
— —
。 。 。
4 3 13 12 40 39
1 。 4 3 ＝ 。 1 4 3 ＝ 。 1 4 3
。 1 。 4 3 。 。 1 4 3 。 。 1 4 3
。 。1 。4 1 4 1 4
—
I 。
1211
。
1 4 3
。
1 4 3 =-121-(-1) 1+4 。 1 。 4 = 121.
。 。
1 4 3
1
1 4
8 笫一章 行列式 数1
2a
1
2
a 2a x | 11
1
1
2
0 8 年］ a 2a X 2 10
[ 1 设； — X， = ， b=
例 . A • • • • • • I ••
8
1
2
a 2a L X n I 10
2
a 2a
n
是n阶矩阵．证明冈＝（n+I)a .
［分析］G)当n=1时D， =2a ，命题D=(n+l)矿正确
1 n
2a 1 1
2
当n=2时，D = ＝3a ，命D题 =(n + )矿正确
2 n
矿2a
＠设nVn命题几正确
(3) 证明n = k命题正确
笫一章 行列式 数 9公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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2 。 • • 0 2
—
。1 2 • • 0 2
—
l 2 • • 0
�j
=
•• •• •• ••
。 。 。
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。 。 。 2 21 免费网课＋无水印PDF
. . —
1 2
l
［分析。］（把每行
。
都加到笫l行）
。
2 2 。 • • 0。 2 +22 2。 3 • • 0。 2 +2 2 +2 3
厂
— ． ． ． ．
。l 2 。 2 。 2 2
— ． ．
l 2 2 - 1 2 • • 0 2
D=I
。 •• 。 •• 。 •• •• •• 。 •• 。 •• 。 •• •• ••
． ．
。 。 。 • • 2 2 。 。 。 2 2
. . —
• • - 1 2 l 2
。 。 。
。 • • 0 2 +2 2 +· 吽 217
—
。l 2 • • 。0 2
． ．
- 1 2 2
=
I •• •• •• •• ••
。 。 。
• •
。 。 。 2 2
. . —
l
2
10 笫一章 行列式 数X O 1 2x
,3x 3 —2 5
［练］多项式f(x)=
1
3'， 的常数项
6 X 2 —
- - -
x 1 8 5
。
［分析］ f(x)=a x 4 +a了＋a 正＋a,x+a
4 2
。 =
a f(0 。) 。
。
。 1 01
3 5
3。 —2 5
f (o) = =+ 6。 1 - 3
I
6。 2 —3
- —
1 5
- 1 8 —51
l
［分析］（l）按定义行列式一般项
（ - 1
）中心达）
a.l a1 �h. a� a
丿. 2 .,丿.3 4
八
常数项：每行列元素均不含x项乘积的代数和
笫1行只需取j =3
l
笫2行可由j 为2 或4
2
笫3行只能j =1
3
笫4行j 可以4或2
4
f(x)的非零常数项只有2部分：
( - l) r (32 14) l. 3 . 6 . ( — 5)= -(— 90)
(-1 l · 5 · 6 · (-1) = + (-30)
f(3214l
(2门
(x)
=
a
。
x
4
+a冈＋ax
2
+ ax+ a
2 3 4
常。 数。项a =f
(o)
4
。
。 1 ol
3 5
3 —2 51
=
+ 。6 1 —3
。6 1 2 —31
- -
1 5
—l 8 —51
笫一章 行列式 数 11X —m —1 0
-
,0 x m 1
( 2024,396)已知 l—l 0 X - m =a 4 x 4 + . a 3 x 3 + . a 2 x 2 +a l x+a O
m 1 O —X
。 =
则a +a +a +a , +a,
4 3 2
—旷＋4m 2 ,m 4 + 4m 2 ,—旷＋2m 2 ,m 4 — 4m 2 ,-m 4 —4m 2
。
［分析J记f(x) = ，则／（ 1) =a 4 + a 3 +a 2 +a 1 +a
。 。
。1 —m — l 。1 —m -1
—。l m 1 。 — l m。 1
f(l)=
—I l 。1 - m 。 - m —m
m 1 - l l+m 2 m —1
—l m。 1
＝ —m - m
—m 。 —m =—m
2 —
2+m 2
2+m 2 —2
1 1
=m 2 =—m 4 — 4m 2
2 -
2+m 2
特别地
A lB IA+ B A+IB IA+B 0
＝ ＝
-
B lA I B A I I B A B
叶 A+lB ·IA — lB
『三］，B＝
— l f]
本题 A=
［ m
O —m
2
IA+|B ＝ ＝m
m 0
2 - m ＝
2
IA — lB = —4— m
—m - m
：）（：
E E
A+ B
( :)(; E ) ＝
0 － ( B A :) B
12 笫一章 行列式 数方阵的行列式
—
A n阶(B�n阶）
T
—
l.A n阶，IA l=IAI
n
—
2.A n阶，回＝k 口1
3.A,B均n阶，
jABI =J Ai.I BI
2 2
IA 1 =J Al
—
4.A n阶，A*是A的伴随矩阵
n
JA*J =I Al -1
AA*= A*A =I AIE
==>JAA*I = IIAJEI
n n
IAIIA*I = IAl IEI = IA I
1 -
—
5.如A可逆，则 A-I=
冈
AA-I = E JAA-'I= IEI= 1
6.A — n阶，A特征值为人，心·,•丸， 则IA| ＝门入I
7．如A和B相似， 则IAl=IBI
p-'AP=B==> J P-'API =I BI
==> JP-1JIAII P I =I BI
笫一章 行列式 数 13[au]
A=
A— a ll — a l2 — a l3
IAE-AI =| — a A — a — a
21 22 23
— a 3l — a 32 A — a 33
a
A — al2 — a 13 — al l — a 12 — 13
a
=10 A— a 22 — a 23 I+ — a2 1 A— a 22 — 23
O — a 32 A— a 33 — a 31 — a 32 A — 气
a
A 0 — G 13 I IA — a l2 — 13
=10 A — a 23 I+ 10 — a 22 — a 23
0 0 A — G 33 1 10 — a 32 A — 知
— a 11 0 — a 13 — a ll — a 12 — a 13
+ — a 2l A — a 23 I+ — a 21 — a 22 — a 23
— a 31 0 A — a 33 — a 3l — a 32 A— a 33
= IA E — A l = A 3 — ( a , , + a 2 2 + a 3 3 沪 ＋ S 2 A — � I
设A
的特征值为人，儿，入
3
=(A
—人）（入飞）（A—入
3)
=A 3 —（人＋儿＋A 3) 矿＋. ?L —人上人
冈＝人上人
人＋九＋人＝a,,+ a + a
22 33
［例 1.9]已知 a,,a
2
, a
3
,/3，y 均为4 维列向量，
又A=(a,,a 2 ,a 3 ,/3），B= (a,, a 2 , a 3 , v),
若IAI=3 ,IBI =2 ,则IA+2BI=
［分析］
A+ 2B = [ 3 a,,3 a ,3 a ,/3+2v]
2 3
亿，
IA+ 2BI = l3a,,3a
2
,3a
3
,/3+2vl= 27 G
2
,G
3
,/3+2vl
（冈＋ 回）＝
= 27(la,,a 2 ,a 3 ,/3|+ |a l ' a 2 ,a 3 ,2vl)= 27 2 189
［例 1.ll] a,/3， Vi ,V2 ,V 3 4维列向量，IAI =I a,V ,,V 2 , V 31 = m,
团＝1/3，2凡，3厅v
3
I=n，则口 — 2BI=
［分析］ A— 2B= (a — 2/3，—3v 1 , — 5y 2 , — v 3)
IA — 2 B I ＝ — l 5 Q| — 2 /3 ， V " V 2 ， 叫
= -1s(la,v,,V2 ,V2 | — 2 1/3， V,,V2 ,V3 I)＝— 15冈＋5IB|
14 笫一章 行列式 数x y
l l
［ 例 1 . 1 9 ] 已 知 同 ＝ X 2 凡
zI
z l=m，则 2
X3 兄 Z 3
2x +3 y 2y +3 z 1 1 1 1
团＝
2x +3 y 2y +3 z 2 2 2 2
2x +3 y 2y +3 z 3 3 3 3
［分析J记A=[a" a
2
,a
3
],
则B= [2a 1 +3 a 2 ,2a 2 +3 a 3 ,2a 3 +3 a 1 ]
2
［
= a l,a
2
, ] ,
m
［;
: ]
:2
2 0 3
团＝
IAl·l3 2 OI= 35m
0 3 2
2
2
2
z
z
z
+ 1
+ 2
+ 3
3
3
3
x
x
x
1
2
3
=I
yi
yJ
yl
+3 X 1 _
3 X ＋3 2＋ 2
3 x 3 3
+
2
3
2
2
2
z
z
z
l
z
z
3
3
X I 2y 1 +3 z 2y, +3z,
或 B ＿ 2 X 2 2 y2＋ 2y 2 +3 z 2
＿ x 3 2 2y 3 +3 z 3 y3
+
2
2
2
z
z
z
1
2
3
+
+
+
3
3
3
x
x
x
1
2
3
—1
1 0 (3A) +(2A) *
［例l.15] A—3阶，冈＝ — ，E —2阶，D＝ ＝
3 3E B
［解］ D= （— 1) 2 x 3 l3El· 1(3A r 1 + (2A) * I
lkAl=k
勹
Al,(kA)=
¾厂，（
kA) *=k
11-I
A*
ll
切－
D =3 212-.,厂＋4A*I=3 2 丁＋4. l
3 I 13 3
=3 2 -(¾)'1A-'I= 125
IA+BI没有公式法则
回＝ n
k 冈，IABI= IAl·I BI
I A + B I 恒 等 变 形 ， E
笫一章 行列式 数 15［例1.16]设A,B为3 阶矩阵，且冈＝3,IB I =2,
I
［
A
分
+
析
B I
］
=
1 A
a
-
,
1 +
则
s
I
-
厂
1 = 1
＋
EI
B
A
勹
- 1 +
＝
s - 1 叫 ＝ （ 矿 B ) A - 1 + s - 1 ( A A - 1 )
＝树 ＝羡·
( B+ A) A-I1 = 1s-1 I· IB + A I· 1A-1|
［例l.17]A-4阶正交矩阵，IAlp-AP = B,
0 1 1
冈＝1 0 31=2=>1A* l=4
1 1 2
［用行列式性质］
a a a = a a a a a a
A[ ,, 2, 3 ] [ 2 + 3, , + 3心＋3 2+2 3 ]
冈
a a a a a a a a a
·l " 2, 3I＝匠＋ 3, ,+ 3, , + 3 2 + 2 3 1
a a a
—
a
=—
a a
＝忙＋ 3, ,+ 3, 2 3 | 2亿＋G3, ,+ 3,a3 I
— a a = a a a
= 2亿， ', 3 1 2 l ,, 2, 3 1·
忆，a 2, a 3 1 ;i= 0 IAI = 2
厂＝
I
A*I =IA 4
［练习］已知A为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，
—
如果A,A 2E,3A+ 2E均不可逆，则IA+EI=
［分析］ —
同＝0, IA 2EI = 0, l3A + 2EI= 0
— =
IAE Al O==>入
『
［产订＝（
3
= — — — =
l3A+2EI 3 3) ½E Al O
2
-
A: 0, 2,
3
1
A +E: 1, 3,
3
1 · 1 1
. · . |A + E| = 3 · -＝
3
笫一章 行列式 数 17A — 3 1 — l
s o,
［例 —
1.20]若 1 /1 1 I= 则A＝
— —
1 1 A 3
A—3 1 —1 I IA—2 0 2—入
— —
l A 5 1 l=I 1 A 5 1
—1 1 A—3 —1 1 A—3
A—
2 0 0
—
A 5 2
= — = —
1 A 5 2 (A 2)
l A—4
— —
1 1 A 4
=(A—2)（入 2 -9.11+18)=(.11—2)（A—3)(.11— 6)
A=2 3, 6,
A—3 1 —1 I IA—3 A—3 A—3
— —
1 A 5 1 l=I 1 A 5 1 I=
—1 1 A—3。 —1 1 A—3
—
A 3 0
= — — —
I 1 A 6 0 I= (A 2)(A 3)(A-6)
—
1 2
A—
2
A—l —l —a
［例
1.21]若 -1 A+a 1 =0，则A=
—a 1 A—l 。
入－l —l —a A—a—l A—a—1
［分析］ —l A+a 1 ＝ —l A+a 1
—a 。1 A—。l —a 1 A—l
A—a—l
人＋a 2
＝ -1 A+a 2 = (A—a-l)
1 A+a—l
—a 1 入＋a-l
=（ 人－a-1)(/l +a-2)(/l + a+l)
—
A=a +1 , 2-a, -a l
18 笫一章 行列式 数克拉默法则
若方程纽
a,,x, +a 12x2 + • 吽aInx/7 = bl
a2,x1 +a22x2十·吽a2nxn = h2
• •• •• •• •• • (1)
an,x, +a n心＋·吽a
11
11xn = b
11
如果系数行列式D=lal'a2,• ranl-:;i!:.0'
则方程组有惟 一 解，且
．
D D D
XI = I X2 = 2 • • X.. =
�D D D
其中D 丿 ＝ 伈·它丿-1 b a 丿＋1 · 它/1 I
． ．
a 11 ． • a.I i-. 1 b l aI i+l ． • aI n
a 21 • a 2i-l b2 a 2i+l •a
D 丿J =
I . .
•• •• ••
． ．
an l •an i-1 bn a ni+l
扑丘仓 若；齐次方程组
2 n
••
•a nn
al 1X1 + a12X2 + • 吽alnXn = Q
a21X1 +a22X2十·吽a2nxn = 0
• •• •• •• •• • (2)
anlXI +a n2X2 + • 吽annxn = 0
若D;;= 0， 则Ax=O 只有零解
若Ax=O有非零解， 则冈＝0
笫一章 行列式 数 19公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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1 1 1
． ． I 1
XI
aI a2 ． ． a n 1
(96,3) 2 2 2
X2
设A =I a1 a 2 a n ，x = •• ，B = ••| ，其中
•• •• ••
． 1
n- n-l n—l X n
1 •
aI a 2 a n
(i • �n) T
al #a
丿
j, i, j = I, 2, ，则线性方程组A x=B的解是
;i=
［分析］同 ＝ ( — ;)
a a 0
1，，， 门 �n 丿 ;i=
T r
一
于是IA l-:;t:. 0，知A x=B有唯 解
由克拉默法则
=
X3
T
IA I
．
1 2 • n-l
a
I
a
I ．
aI
1 2 • n-l
T a2 a 2 a2
A =I •• •• ••
••
_ l a n a� • • a;- 1
J
「
DI =IA l,D2 = O,D3 = 0,．中，7= 0
f
o, o, • ro
:. x = (1,
20 笫一章 行列式 数2a 1
矿2a 1
矿2a 1
［例 1.8] 设 A= •••••• 是n阶
矿2a l
矿2a
矩阵．证明
(2)当a为何值时，方程组 Ax =b有唯 一 解，并且 X 1
(3)
当a为何值时，方程组有 解，求通解
CX)
11
(2)IAl =(n+l)a :;t:.O<:::::>a:;t:.0
'1
1
0 2a l
2
0 a 2a l
•••••••
。 n-1
矿2a na n
X =
1
n
冈 (n+l)a (n + I)a
： ：
l,B
［例1.19] 设 A=[: 为
3
阶非零矩阵，
1 1 —l
且AB=O，则a=
［分析］由 AB=O有
（
AB=A(/31/3五）＝ A/31 ，A/32 ,A/3�)= (0, 0, 0)
A/3I = O,A/32 = O,A/33 =0
即/31 /32
凡是Ax=O的解
因B;z::.0知Ax=O有非零解
I a 0
冈＝ a I I l=a 2 +a—2=0
—
1 1 1
. ·. a = 1 或－ 2.
笫一章 行列式 数 21矩阵A的秩
l. k阶子式
2
A— mxn，任取k行与K列(k::; m,k五），位于交叉点的k 元素
按A中的位置次序而得到的K阶子式，称为矩阵A的K阶子式
!
A= !
[�
�ll
1阶子式：1,0,—1,4 ,• •
1 31 13 21 18 —l ． ．
、
2 阶子式
. lo I'
11'13 21'14 2
cfc; = 1s
1 3 —51 11 3 2
o
3阶子式： 1 8 I, 10 1 —11,..
1 3 4 I 11 3 2
Ci =4
2．矩f车的和K
矩阵A中非0子式的最高阶数为称 矩阵A 的秩，记为r(A)
1
A=[ r (A)=2
� � ]
�
�
r(A) =r <=> A中有r阶子式不为0
每r+l阶（若还有子） 式全为0
r(A) = 3 <=> A中有3阶子式不为0
且任4阶（若还有子） 式全为0
r(A) <5 <=> A中5阶子式全为0
r(A)2:: 2 <=>A 中有2阶子式不为0
A-::;t:.O<=>r(A) 兰1
A— n阶
r(A)=n<=>IAl-::;t:.O<=>A可逆
冈＝
r(A) 0<=>A 不可逆
22 笫一章 行列式 数－
1 1 1 =1}l
＿。＿4 3 5
6 a 1 3 l 有三个无关
＿＿
b
A-5x6=>r(A)::S 5
＿＿
A－—4x3=>r(A)s3
A-mxn且mr(A)::Sm A(A -E)= 0
A —E 的列向量是Ax= 0 的解
又 A —E;t:.O
:. Ax= 0有非 0 解故冈＝0
24 笫一章 行列式 数(3)［用秩］
． ．矿＝
A即A(A-E)=O
r(A)+r(A-E)�n
又因A—E;z= 0，知r(A—E)
兰
l
故r(A)n,必有行列式IABl=O.
［证］（1）［用秩］ AB—m阶
r(AB)�r (B)�nA =(a/3 )(�/3 )= a(/3 a)/3 =lA
l = /3
飞 ＝ 汇
a ii 迹
n = r-1
A A
4 第二章矩阵(2)
�
[ � ]
�
型
I0 0 0－
- 1 ,夕? ” J 2 ． 3 （第34页）－ 若 A ＿ 2 0 0 ， 贝I ' A2 = A3 =
＿ 1 0
－ －
3
I
－0 0 0 - -0 0 o- － 0 0 I－
O
0 2 0
2 0 0 _ 0 0
o
0 1 ＿ 6
-
1 3 －
－
3
－
0 0
I
－0 0 o－,j o －
。
2
0 ＝
o~
1
3
－
o 1 o 2－3 3 0 0 0 24
0 4 5 0 0 0 0
o
0 0 0 0
0 0 6
o 0 0 0 0 0
0 0- l
o 2 4
o 1 3
0
4
o
5
=0
0
0
6
o 0
0 一 ，
0
o 2 3 2 oo
o 1
0 o
4 5
o oo
0
0
0 5 o
o oo 0
0
0 0
o
o oo
5
第二章矩阵＝
．
o
8－
o
0－
o 0
11
B
�O
O
O
A
+
+
I
）
I
-n
贝
,
B 3
lj
E
3
1
－
－
-
－
3
4
＿ 0
＿
E
n
n
（
34
1
2
1
0
1
0 0
。2
0
2 +C3
11
3－
l
4－
＋
-
0 2
-－
B
＝
－
－
＋
112 －
2
0
0
A-
－
E
「
l
2
O11
O
O
n
--
＿
知
C
n
l
24
l
+
n
已
IB
+
n
l
-
－
－
4
－
颈、－
�
－
－
－
－
Br
症
勹
切
1
0
+＋
第3
A
＿＿＿＿＿＿
＿＿
4
1T(
E
-－
－
（
吐E11
1
100
斤
2
才
rJ 口
L
厂L
A
歹
分
11
(3)相似
如p-1AP=B
—
2 2 n
(p-1AP)(P 1AP)= B :::::>P丁P= B :::::>P丁P=B
—I
===>A
n
=P B
np
一 般 地 A ~ A
_
===> A
n
= P A
n
P �
1
[ P 特 征 向 量 ， A 特 征 值 ］
1 n ［ ：
：
[［
n
=
2
: 3 ] [ 3
6 第二章矩阵』
B O —
2 0 11 1 0 0
［例2.5]已知A=[0 3 0 , =[ 1 0
1
B B ] 4
2 0 21 10 0 0
— B — B
若X满足AX+2 = A+ 2X,则x =
［分析]AX
—
2X= A
Bl
2
—
(A 2E)X= (A 2E)
—
由A 2E= [ 1
1
可逆
1
— 2 B —
X= 4 ( A 2—Er (AB 4 2E —)
If
I l
:. X = (A 2E)-1 (A 2E)
O
=
J 1
[ O l l l
2 2
=
[ I
l
1
—
a
, a
a I 2
2
3r
l
[ , a
a
a 3
7
第二章矩阵二
．
特殊矩阵
1、 A的伴随矩阵A*
A A A
II 21 nl
* A l2 A 22 A 2
A = =I ． ． n
A
A
,n
A2n
nn
A =
（— 1) 1＋丿 i n — l阶子式
lj
丿．
才、 ,} } 公 式 •
亥 •
AA＿＊ A＊＿A AE
l
＿- * —l
A A A*=IA A
— I
＿A＿
＿
＿A＿ a 11
a
l2 -
A =
a ll a 12
I I
a a 22 － a21 a22
21
�::：：二 ］
＿
AA'=
＿[ :;', ::: ][
厂 I I I 12 2 九＋a12A22
I
— a:21I�A 1I I1 :+ :a2222 � A1122 : a:2 1 九 ＋ a22A22 ]
I i
= = A 门＝冈
[ i l� ]
I i[� E
I
求 A*的方法
(1)
直接法：用定义，不要丢＋，－号；不要排错队．
(2) 间接法：A*= A A- 1
I I
A*= IAIA- 1 A*= Al n - 1
I
— 上
(
A 丁＝（A 丁＝ A
冈
(
A 丁＝（A丁，（ kA*)= k'?—I A*
n 2
A*) * = IAl - A
(
8
第二章矩阵［例27. ]A,B均为n阶可逆矩阵，证明：（AB) *=B*A*
［证］由 AA*=IAIE，有
(AB)(AB) * =IABIE
因A,B均可逆，有AB可逆
故(AB) *=IABI(AB) - ]
—1 1
=IAl· IBIB A- = B*A*
丁＋
［例28. ]A,B均为阶3 ，A*BA=(SA BA,
I1
如A= 2 ，则B=
[ ]
3
n
丁＝ n—2
［分析](kA) *= k -'A*,(A IA l A
丁＝ 2 丁＝
(sA 5 (A 150A
A*BA=I SOA+BA
A*B=I SOE+B
AA*B=ISOA+AB
—
(6E A)B= I SOA
Jf
5
—
B=l50(6E Af' A=l50
[
2
]
4
3
9
第二章矩阵公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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［练习(1)](2005,3)设矩阵A=[ au ]3x3满足A*=A ，其中A*
T
为A 的伴随矩阵A， 为A的转置矩阵若， a ,a, ,a,3为三个
11 2
相等的正数则， a 为
ll
J5 3
(A) . (B)3. (C)— 1 . (D) ✓.
3 3
T
［分析］矿＝A 即
－
a a
[ �:: �: �::] = [ ::: 21 31
a22 a32
23 33
a a
－
au = Au \ii } = 1,2,3 ［行列式的展开公式］
i
2
冈＝a飞＋a 12 A 12 +a 1 心＝a� 1 + a 12 ＋忙＝3a� 1
T
n-1
又IA*I = I A I IA* I= I Al
「
有IA =
|
A
l
冈(IA | —1)=0 :.IAl=l ⇒ a 11 = J 1
0.288
13年au+ Au = 0 0.274
0.283
AA*= A*A = IAIE
如A可逆
上 上 ⇒ 上 —l
(1)A· A*＝ A* ·A=E 丁 ＝ 矿或A*=IAIA
冈 冈 冈
l l -l l
⇒
(2) —A-A*= A*· —A= E ((AA**)) .=—A
A A 冈
| | | |
＊
—l — —l
(3)A (A I) =|A IE
—
(£')"
=IA-'IA＝卢尸门） ' =(A-')'＝盲A
1
第二章矩阵＊
［例2.11]设A,B均为2阶矩阵，A ，甘分别为A,B的伴随矩阵
0 A
若冈＝2,IB I = 3，则分块矩阵［ ］的伴随矩阵为
B 0
2。”]
A
( ) [ 2 �＊勹］ （B ）:*
033A* 022 AA 』
(c)
［2: �]- ( D ) [3: �
lo
O Al01 Al* A
［分析］ =
·.. [BO ][BO ] BO E
0 A
2x2
又 ＝ —1 1Al·IBl=6
（ )
B 0
A
° ＊了］
＝ =6 =
[�。厂 心。 ]l [ A 1 :l ] [3:
o Al* 1 X Y
、
几
=[zw]
坟[BO]
由选项知必有XO= ,W = 0;只要求Y或Z
i
[:
;J[:
-1 .
勹
＝6
[
�]=
AZ = 6£ = Z = 6A =3A
[：
/
A :『
0
2[。
09
A 0 0 A
mn
＝冈·IBI = -1 ) IAI · IBI
(
0 B B 0
l
[t 门 =［。A 1 O
:
l]
[�勹＝［A IBlo ]
1
第二章矩阵n r(A)=n
阶 心）＝
A➔n 11 r(A)=n-l
—
0 r(A) IAI* 0 ⇒ IA*I= I A|'？ 1*0
口）＝
. ·. r n
3
— —
( )r(A) < n 1 <=> A中n l阶子式全为0
⇒ Alj =0 即 A*=0 ⇒ r(A*)= 0
2
气
— —
( )r(A)=n 1 Al=O A中有n 1阶子式不1 为0
且
）匀 ）
由AA*=IAIE=O ⇒r(A)+r(A* n⇒r(A* �
又因A中有n-l阶子式不为O⇒=IAu=0，即A**0
）之
有r(A* 1 :.r(A*)=l
．
2 可逆矩阵
设A为 n阶矩阵，如果五阶矩阵B，使AB=BA=E
则称矩阵A是可逆的，称矩阵B是A的逆矩阵
3 [；
5 ［—1 —5 1
0
由[: 3 2
=
] ] ]
3 —
[ 1 5 ［：勹＝［｝�]
— 2
]
：]
[： 3
:］ = ［ 5
可
1 迈 且 [: l -l ; ]
2 2
［定理 . ]若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一，记作A-1
［证］设
B,C都是A 的逆矩阵
即AB=BA= E, AC=C A =E
B =B E =B(AC) =( BA)C =EC=C
2 3
［定理 . ] A 可逆<=>I AI* 0
<=>r(A)=n
<=> A的列向量线性无关
<=> 0不是A的特征值
1
第二章矩阵［证］（1）必要性
如A 可逆， 则存在 A
—
1 使AA
—I
=E
—
IAA II= IEIIAl ·IA-11 = 1 :. I AI * 0
(2) 充分性
如IAI*o,由AA*= A*A= IAIE
A* A*
有 A·—=—·A=E
I
A
I
IA
I
1
.· . A 可 逆 且 A - I = — - A *
冈
［推论］ A B是 n 阶矩阵，如AB=E 则A — I=B
［证］由AB=E有IAIIBl=IE l=l*O :. A可逆
— — —
那么BA=EBA=(AA I)BA=A 1(AB)A=A 1EA=E
—
. ·. A I =B
［定理2.4]A ---+ n阶，如AB=E，则BA=E
［证］因AB=E
I A I I B I = I A B I = EI I = 1 司 A *l O ⇒ 知 A 可 逆
（矿
那么 BA=EBA= A)BA= A-1 (AB)A
= A-1EA=E
-I
(A 厂＝A
(
A丁＝ A
(AB) T = s-' A - 1 (AB) T = B T A T
（
(A 2 ) －l = A -l ) 2 (A 2 ) T =(A T r
(kA) —l = — 1 A —l (kA) T = A T
k
l (A+B)- 没公式 ( A + B ) T = A T + B T
第二章矩阵 11 0 0 0
—
2 3 0 0
[(00,2)例2.16]设A=| |,E为4阶单位矩阵，
—
O 4 5 0
—
O 0 6 7
L
1 l
且 B=(E+Ar (E-A)，则(E+Br =
1 1 l
［分析J由 A➔(E+Ar ➔(E+Ar (E-A)➔(E+Br
1
1 1
(E+Br =[E+(E+A)- (E-A)J -
1 -I
= [ (E+ A)- (E +A)+( E+ A)-1( E- A)]
1
1
= [(E+A 。 )-( 。 E+A 。 +E-A)] -1= [ 2(E+A)-1] - = ½(E+A)
。 。
1
。 。
-1 2
=
I
。 —。
2 3
— 4
3
—
由B=(E+A)-' (E A)
—
有(E+A)B=E A
—
(E +A)+( E + A)B =( E +A )+E A
(E+A)(E+B)= 2E
l l
— (E+A)(E+B)=E :.(E+Br'= — (E+A)
2 2
—
［例2.14]已知A,B 均为n阶矩阵，且A与E AB
—
都是可逆矩阵，证明：E BA可逆
1
— = — = — = —
[iJL]IE BAI IA-'A BAI l(A- B)Al IA-' Bl·IAI
1
= = =
IAl·IA- -Bl IA(厂-B)I IE -ABI* 0
［例］A,B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，证明：E-BA可逆
［证］（反证法）如E-AB不可逆，则IE-BAl=O
— =
于是(E BA)x O有非0解
设a*O,(E-BA)a=O
即有 BAa=a* O
—
. ·. E BA可逆
1
第二章矩阵［例
2.13]已知A是n阶对称矩阵，且A可逆，
2 丁（贮 l
若(A— B) =E，化简(E+A-'B BA- )- l
门
l
［解］原式＝［E T +(A-'B (AA-l -BA-l ) -
= E+
（门
(A-')
T
][(A— B)A- l ]
－l
[
（门］（ 丁 －l
=[E+B A (A— B)
=(E+BA-')A(A— B)-1 =(A+B)(A— B)
2
·: (A— B) =E
(A-B)(A-B)=E
—I
:.( A— B) =A-B
[05]
已知A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，
若B= E +AB,C = A+ CA，则B—C=
(A)E (B)-E (C)A
(D)-A
［分析]B=E+AB 气 E-A)B=E⇒B=(E—A) -I
C=A+CA⇒C(E—A)=A⇒C=A(E—A)
-l
—
...B—C=(E-A) l —A(E-Ar'=(E-A)x(E-Ar'=E
1
第二章矩阵(2022,1)已知A和E-A 可逆，E－ 单位矩阵，
—1
[E—(E—A) ]B=A，则B—A=
［分析](l)E恒等变形
1 －l
E—(E-Ar =(E—A)(E—A) —(E—A)-l
=—A(E—A)-1
1
即－A(E-Ar B=A
因A可逆，有
1
(E-A)- B =-E⇒B=-(E-A)
. ·. B—A=—E
(2)乘
1
[E—(E—Ar ]B=A
[(E-A)-E]B= ( E-A)A
2
-AB=A—A ⇒B=—E+A
1
(3)分配率 [E—(E—Ar ]B=A
1
B—(E—Ar B=A
B—A=(E—A)-lB
(E—A)(B—A)=B
B—A—AB+A 2 =B
3． 内积、正交矩阵
1
第二章矩阵(l)(a,/3） ＝ a,b, +a立＋···+a九
．
b
I
b...,
a T /3 ＝ （a,a 2 ..· a n )1 : 2
b
n
a
1
a
2
矿a=(b
1
九·· ·b
n
)
I �
a
n
若(a,/J)=O称a与fJ正交
T
［例］（ 1,3,—2)勹(3,5,a)正交
（—
1.3+3.5+ 2)·a=O⇒a=9
T
［例］与 (1,1,— 2)勹(0,2,l) 都正交的向量
T
｛设(X
I
'X
2
'X
3
) 和它们都正交
X +X — 2x =0
1 2 3
2x +x =0
2 3
(a,a)＝矿a=a
1
2 + a; +···+a� 称扣
t
2 +a ; +... + a�
为向量a的长度
T
例a=(l,—3,2)
1
I
la|| ＝
汇二
＝
工
单位
化
］
厂
T T
(2)A-n阶 ，满足AA =A A =E，则称A是正交矩阵
T
(1) A是正交矩阵<=>A = A-I
2
(2)A是正交矩阵⇒IAl= 1⇒|Al= +l或—1
(3)A,B均为n阶正交矩阵，则AB是正交矩阵
几何意义
A是正交矩阵<=>A 的列向量都是单位向量且两两正交
1
第二章矩阵－a b － C
l l
I
[` 2 I6]设 A ＿ a b C 是 正 交 矣巨阵
． 2 2 2
“
＿ a b c
J 3 3 3
- a a －生 -－a b C－ － 1 0 0－
l 2 l l I
ATA ＿ b b 从 a －b C＝0 1 0
1 2 5 2 2 2
＿ c c 5 b c 0 0 1
l 3 3 －
- 2 －
a 2 +a
2
2+a
3
2 = 1 － － －
Y
- ab+ab+ab ＿ 0
1 22 33
a 叮 c+ac
2
＋ a
3
c
3
＿ ＿ 0
2
［, 2 I ＿
”
-l ． O -1 －1 0 0l
J
1
O 1 O 0
0
l 1
0
l - 0 － 0
－L l 1 l
$
✓ 五
－
l J
o－ l 2
1
$
2 7
l 0
7
,
1
l l
。 1
$
－ 5
－
[04.4]A— 3阶正交矩阵且 = 1,b =( 1,0 , 0) ，则方程组
a11 T
Ax=b的解
可逆
［分析]A正交⇒A ⇒Ax=b唯一解
由 = 1,
all
－
－1 0 0
a a
． A ＿ 0 a a 且 22 23 # o
．． 22 23 a a
＿ 0 a a 32 33
－ 32 3 3
，
Ax=h
rx ＝ l － －1 0 0
－
－ x －
－1
l I-
a X + a x ＿ 0 0 a a X ＿ 0 唯一解(1,0,0) T
< 22 2 23 3 22 23 2
a x a x＿ 0 0 a a x ＿ 0
＿
j
32 2＋ 33 3
＿
3 2 3 3 3 －
－ － －
－ －
1
第二章矩阵［例
2. 18]设A,B均为n阶正交矩阵，且IAl+IBI=O ,
证明IA+BI=0
［证］ T T 凇（矿＋ T
IA+BI= IEA+BE I = IBB A+BA Al A )AI
T 2
— —
=I BI. (l B+ A) I ·IAI= |Al ·IB+AI＝ |A+BI
:. IA+Bl=O
4
.
n维向量
n个数a,, a2, ·· · , a n 构成的有序数组称为 n维向量
a
l
a 2 T
I 或(a1,a2 ,···,a n) 列向量
a
n
(a1'a2 ,·· ·,an) 行向量
q n)
称为向量的第i个分量(i= I, 2,· · ·,
T
零向量：所有分量都是零，记0=( 0, 0,· · ·,0 )
T T
设 a=(ai,a2 ,···an) JJ=(bi,b2 ···,bn)
a= jJ <=>a, = b1,a2 = b2,·· ·,an = bn
运算
T
(l)a+JJ=亿＋b1 立＋b2'...'an+b n )
T
(2)ka = ( ka"ka 2,·· ·,ka n)
T
Oa= ( 0, 0, • • •, 0) =O
特别地
T
嗖＝（ —亿，—气..., — a n)
数量积（点积）
a · E =I a E I
11 cos 0
(I)a E a.J; o
上 <=> =
(2) a• a =I a 2
1
（
(3)内积： a,JJ) = a1b1 + a立＋···+a丸
1
第二章矩阵公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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l l
b
a T /3 ＝ （a,a .. ·a )I .......: 2 /37 a =(b九..·b )I � 2
2 n n
b a
11 11
若(a,fJ)= O称a与fJ正交
T T
［例］ （1,3,—2) ,(3,5,a) 正交
1·3+3·5+ （— 2)·a= O⇒a= 9
2
(a,a)＝矿a=a 气＋···+a,�
1
称＄对＋句＋···+a�为向量a的长度，记llall
例a= (l,—32, ) T l
1
Ila|| ＝ 汇二汇卢勹 单位化
行最简矩阵
行阶梯矩阵
设 A—mxn 若满足
矩阵如有零行，则零行都在矩阵底部
(1)
每个非零行的主元（即该行最左边的的第 一个非零元）
(2)
所在列下面的元素都是零，则称A为行阶梯矩阵
1 3 2 6 I 1 —1 2 4
I
f ;
[ ［ ［ [
l： :l[
1 2 3 4�
0 5 6 7
0 0 8 9
0 0 0 0
2
第二章矩阵行最简矩阵
设A是mxn 矩阵
若A 是行阶梯矩阵，且还满足：
非零行的主元都是1，且主元所在列的其他元素都是0,
则称A为行最简矩阵
-l O o 2- -1 0 0 01
0
7 0 2 0
0
O l
0
0 0 0
1 1
O O
-
0 0 2
－ － － l1 3
－l O 3 0－
0 7 0
0 1
2 0
5
O l 2
0 0 1
。1 0
O O 0 0 0 0
- -
三 ． 初等变换、 初等矩阵
［定义2.6]矩阵的初等行变换
(1) 用非 0 常数 K 乘矩阵 A 某行（列）的每个元素 倍乘
(2)
互换矩阵某两行（列）元素的位置 互换
(3) 把某行（列）的 K 倍加到另 一行（列）对应元素上 倍加
初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵
1
0
。
:/:
1 ［
] 』』
:
; /』 l
:1
/ / 0:
1
[� :][� : 1� ]
[
�
第二章矩阵 2才 刀 等矩 车P 左乘矩 阵 A 其乘积 PA 就是矩阵 A 作
，
次 与 同 样 的 行 变换
I
一
-
4 4
－l 0 0 1 7－ － 1 7－
7
1 0 2 5
2 6
8 0 6
0 6 ＝ -
0
1 3 3 9
＿
＿ 一－ - -
9
－ - - 4
1 0 0 － 丿
一 a
－
a
1－
2 1 0 1 l
5 2 0
0 1 ＿ ＿ _ +a 2 ＿＿ - 3 门
＿ 。
a
a
3
6
＿
l 0 -一 1
3-
7 －- － al
]
1 0 － － - － - 丿 －1 4 7－
O一－ 4 G
2 0 0 _
O 0 l 5 8 = 0 0 1 5 ＿ ＿ 3 6 9
＿ 1 0
O 1 O 3 6 9 a ＿ ＿ 2 5 8
＿ 0 － 一 一1 4 7 - - － - l 4 － 7 －- 3
l O － － － －
5 5
1 2 2
O O 8 8
＿
6
＿0 2 ＿ 6 2 1
3 1 8
＿
O
l
4 7
－
－一 一1 0
9
10
1 - － 4
l
4
6
－
5 0 l 5
2 1 2 l
8 0 0＿
＿ 6 0 6
3 2 ＿ 3 l
8
＿
9
一 - -
－
［定义2.6]初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵；
1
[: �r =[�三子］ ［六三 ;r �子］
=[�
；。
�l [� � �l
[� � �r �r
=[� � =[� �
「
—l
1
1 0 0 0 0 7
o o
[Ol O2Jl =|
I
O l O
0 0 —
2
第二章矩阵。 。
。
1 1 2 3 1 2 3
。 。
—l 1 4 5 6 -1+4 —2+5 —3+6
。 。
1 7 8 9 7 8 9
。 。
1 1 2 3 1 2 3
。
1 4 5 6 4 5 6
。 。
—7 1 7 8 9 —7+7 —14+8 —21+9
。 。
1 1 2 3 1 2 3
。 。
1 4 5 6 7 8 9
。 。
1 7 8 9 4 5 6
。 。
1 1 2 3 1 2 3
。 。
1 4 5 6 4 5 6
。 。
2 7 8 9 14 16 18
。 。
1 2 3 1 1 2 6
。 。
4 5 6 1 4 5 12
7 8 9 2 。 7 8 18
。 。
1 2 3 1 1 1 1+2 3
。 。
4 5 6 1 4 4+5 6
7 8 9 1 7 7+8 9
2
第二章矩阵－仿仆。 2 -已女
尸 口
＿-
－ a－ a a － － a a a －
＿－
a1l a12 a13
－ －
+1l +13 12
－
a a a a a + a
A a a a B ＝ a2 a2 2
2l 22 23 ， 2 3 23 33 22 32 ，
a
3l 32 33 31 33 32
1 2 3
若A
-l
= [04
5]，则B-l
=
0 0 6
A经行变换：第三行的2倍加到第二行｝
［分析J
得到矩阵B
列变换：2,3两列互换
l 1
：［
B =F;AP,,F; =[ 1 ＝
;ol
［
�]卫
1 0 0 111 2 3 111
旷 ＝ （]':AP,)
—
l ＝ 矿A
—1
矿 ＝ O［ O l] 04 5 [ l —2
［
] ]
O 0 0 0 6 1
l
1 2 �3 r111 I I 1 2 —l
2
=[� � l ; ]=[� � —63]
2
第二章矩阵a a
2 、
＋
2， ， ｀
3 丿
．
＇
`
}
车
'
a a
, I
l
歹
2
＇
第
＿＿
“_
（
女巨
．
．
`
}
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J
加
逆Q
1
0
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2
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一 到
l
a
2
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0
0
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,
，
歹
介
3a
2
1
l
O
,10o
I
第
矩f车p是
,
若 P
亿
－
， 7 －
－
－
(B)
（m
换得到Q
2
变
阶
－
－
3
�
l
A
是 口
-
l 3
-
O
O
2
0－
0－
－
．
－
歹 ．
2
两
一次
2
女＿＿＿＿
圣以
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P
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lJA
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2
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-
歹 斤
一
2
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)
)
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3
［
且
则
cA
CC
侵
第
『� i �][� �
= =
Q P P
�2] PiP,
＝矿厅
于是Q-'AQ = (PI'iI'i)-'A(PI'iI'i) P-lAPRE
— ; :
：
：[ ;
1 1
门
[
I
3 2 m 。
} � l [ l I
�
2
l
L O O I L 2 O O IJLO 0 —2
I J J L
— 0 0 —½
：2
1
:
[
/
2
第二章矩阵［例2.23]已知3阶矩阵A可逆，将A的第2列与第3列
交换得矩阵B,把B的第1列乘以－2得矩阵C,则满足
PA * = c*的矩阵P为
［ 分 析 ] A Pi = B , Pi = [ � �
0 1
BPi =C .
于是A Pi= C £1
Pi 1-
£1
- I A — I = C - 1
0-
1
－ －
l
P
2＝
－－2
0
l
－ －
l
". . p = 2 � - l � - I = 2
I C l = 2 I A -=t=-l O
p-lp -l A * c * ＝
2 1 ．五 汇
1[�
l
� l
½ 1 �丿＝［� �
2
第二章矩阵白勺 l1 ,告
- I
O o-
l 0
1
O
－
0 －
1
0
－
2
)
l
-0
0
0
1
_＿
l
寺 第
（A7
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T
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O
l
O
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1
l
l
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1
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＿＿
l
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-
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－
一］
一
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-
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2
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I
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入
3
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阶
I
，
A
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题
E
l
O
l
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1
10
1
l
_＿
-
lj
3］
，
第1
1由
1
] ＝
-
＿
＿
o
A
l
l
E
2
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析
A
00
7
A
-
－
到
分
－
－
）
2
－
－
2
) l
入
-
（
＿_
—
［2
力 口
[
(
0]［—� -i -�][� � �]
[ ；
—1 1
A: —1, i,—i
A 0 = （ 入 ＋ 1 ） （ 方 ＋ 1 )
l 入
A-1: —l,—i, i
2
第二章矩阵分块矩阵
- -
AB An A
, ，
－ － －
－ － -
向量
线性表示， 秩 { 方程组
矩阵
－
－－
0 0 2
-－ －
1
5 0
1
6 0。 。 。 。 。
-
。－ 。 。 。 。
1 1 1
2。 2。 。 。 。2
。 。 。 2 。 。 3。
1
。 。1 4
-
。 2 。 。
1
1
0 0
24 35
。 。 。 。 。 。
0 0
。 。 。 。 。 。
1 1 1
。 。 。
1 1 1
k k 2k
。 。1 1 。 。 1
n
。 。 。 。
1 1
。 。
1 1
k 。 。1 n 。 k 。 1 。 。
。 。 。 。 。 。
1 1 1
。 。 。 。 。 。
1 1 1
1 1 1
E
I 2k
E n＿
En \
＝ ＿
lj _
＼ lj n
＿
2k- l
＿
－
_ O 0-n 1 -
1
0 K
K 0 _ n
＿ 。
0
O 1
1 －
－ －
2
第二章矩阵分块矩阵的运算
[
4 A2
]I ＋［ I 凡
B
/ I ＝［ I
4 B+
1
4B+ 2
]
A3 A4 B3 B 4 A3 B+ 3 A4 B+ 4
AB Y A +BZ AY+BW
]［ X ] ［ X ]
[ ＝
C D IIZ W I IC D+ Z CY+DW
X
T
T
＝
［：厂 ［；：： ]
设AB, 分别是 nm ，n
[： n =[：
]
n
° o ]
B B
[。
］
A =［ A
阶 阶
B ]° l IO B?
[� �r
=[;, B�']
-0 l o－B
1
－ 1 ,夕rl2加 2 44、－设
A
＿
－
0 O o
－
＝ p Ap 其 中p 为
－ 阶可
逆
、 ， ｀
丿
－ 则
B
＿
A
O
I 1
， ,
3 矩 阵 。2 04 2 2
，
＝
分［ 析 J B : = p -1 A P B.-. 2 004 = p-l A 2 00 4 p
由［。
n
A A n
勹＝［ o ]
O B _J
一 一
又[?
［？ 。汇［ 。
1 1 0
4寻A
2 =[-l —
- ] ] 1
0 1
-
_._
A
2 00 4 =(
A
2 yoo 2 =E ⇒
B
2 004 =p — l
A
2 00 4 p= p — 1EP=E
于是B 2 004 — 2 A 2 =E — 2 A 2 J
] — I ［： ： ：
[ —2
= 1 [ 1 =
-
—
ll ll
2
第二章矩阵公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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［ ： ： ］
＊
为
－
－
-
－
B＊
0
*
2
2A
0
O
＊ A
*
3
0
B
-
－
3
-l
z
－
－
'
－
－
勹—丿
7
或
A
0
B
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y 求
3
*
0
1 A
要
一
一
只
0
B
O
B
6
2
6
-
－
＝
=
0 ,
］丁—|�
—
=
，
＿＿
B*
0
A
O
． B
叶
1
们
门
丿
w
2
—
0
B
IA
0 ,
*
－
－2
＿_
＿* � O
3A
0 1
A
＿ _
B O 7 j
（) 8
厂0
＝6|
B |
* 」
� x
有 z
必 x
－
－
3B
。
[�
.
A
—尸
—
O
A
* O
A
］
0
知
丁�
页
［ O
［ * 2A
E
1
i 分
析
—
—0
又— A -'= A*
|B
冈
厂
0 _
． i _ B
」
冈
1、艾 压
』
由 选 工 [A ：
Z =
:
6
］
E
［ ：==>
Z
;
=
]
＝
6 A
6
-
['
=
：
3
勹A
*
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3
第二章矩阵A
B
2023, 2;3 设 , 为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，
( )
A E
＝
M为矩阵M的伴随矩阵，则［0 B
］
［ A A ［ A
＊ ＊
A B
* *
| A B |
( ) ; I:B * ] ( ) : ，言＊ ］
A A A
＊
叩 项 A * ］ / T"\\I I B 。 I * - 飞 ］
( c ) [o
|
| B 1* I （D)[ |A| B *
A A
［分析]A* =I I - 1 ；
A A
勹＝ [：勹 A l
B
| ||
［。 0 ;
= |[; ]
A
I ll I E 冈忙］
＝ ＝
门
： ［ :
[ ; 勹忙勹 ： 勹
＊ A A
勹 I 飞B * I I B'
IB
厂:·
]
=
[ ]
[
A
B
排 A 除( ) ［ ( ) A A A — A A A
＊
E | B | * － B 五 ］ ＝ ［ 团 * B * * +| |B* ］
A
[ 0 B ] O | B *
|
排除(C)
1
;J ［飞 — A A ＊
[i A B
B ,
l] IB *
A
*
＝
=I l·I| B ［ \ ] B * ]
1
第二章矩阵 3A C
［例 2.28]设H = ，其中A,B分别是m阶和n阶
[0 B ］
可逆矩阵，证明矩阵H可逆，并求其逆．
［解］因 A,B可逆，有
A C
I H I = [: :l = I Al·I B l*O :.H可逆
0 B
= :
[ [i
］肋
设Hl yw
J �]［：门＝［：勹
AXC+ Z=E X=A
—l
AYC+ W=O Y=-A -1cB-1
⇒
BZ=O Z=O
BW=E IW=B-l
故 AC E O尸 E AC I A - o
l
[0 B O E [10 E 0 B-l]
l
-［E A
-l
—A
-1cB-1
E O
B-l ]
[： A —A :s - '
l =[ l
Be
] O
: ]
分块矩阵的初等矩阵
[； O P 门[� �]
和[: :]和
E ] :［ [ O /;p
例
PB:D]
[
[; �] � �]=[PA�C
］
[: �][� �]＝［勹勹
[� :][� �]=[� �]
3
第二章矩阵一
(2)初等行变换 ° ]
O]
l 1
A E E E A A
[ [
0 B O E I I O E O B - '
一[ E 。 O A -l — A -l B —l
EO
B—
l]
［：勹＝［：
l l
A — A A IE — -'B-'B
, ] ; ]
O[
B
AB=C
A(/3 1/34) ＝（归2 Y 3 )
航 ＝y , A凡＝Y , A队＝兀
1 2
A x = y , , A y = y
2
, A z = 兀
(A,C ) ➔ ··· ➔（行最 ： 1 简 : ， ：
2
(!)［亿气 a 3 ][: 1 2
b l3 b 3 2
)
b
＿
13
b －
＝ y 23
b
33
－
＿
几 兀 ］
b1 立＋b2 凸＋b3 ,a 3 =九
b12 a 1 + b气 2 2 ＋b32么 ＝Y 2 Y,,Y 2 ,Y 3 可由亿立 2 ,a 3 线性表出
b 1 屯 ＋ 气b 2 3 ＋ b 3 3 亿 ＝ 乃
AB的列向量可由 A 的列向量线性表出
C的列向量可由A的列向量线性表出
( 2 )
[ ： 3 2
:
2
3
2
2
2
:
2
3
3
3
3
]
［ ／
2
3
]
=
/
l
a A+a 凡＋a 凡 ＝6
ll 12 13 1
a A+a 凡＋a 凡＝心 戊，6 '<5 可由队，凡，队，凡线性表出
2l 2 2 2 3 2 3
a
3l
A + a
3 2
庄 ＋ a
3 3
队 ＝ 戊
AB的行向量可由B的行向量线性表出
C 的行向量可由 B 的行向量线性表出
3
第二章矩阵( 3 )A (/3I，凡，队）＝ （丘兀心）
A /3 l =y l A /3 2 =y 2 A /3 3 =y 3
方程组
A
x=y的解
特别地，AB= O由B的列向量都是齐次方程组Ax= O的解
[ 201 3 ,1 23]设 A , B ,C均为n阶矩阵，若 AB= C且 B可逆，则
(A) 矩阵 C的行向量与矩阵 A的行向量等价．
(B) 矩阵 C的列向量与矩阵 A的列向量等价．
(C) 矩阵 C的行向量与矩阵 B 的行向量等价．
(D) 矩阵 C的列向量与矩阵 B 的列向量等价．
［分析]A B= C CB-'= A
(a，兄）［九］ ＝ （心工）
b 凸＋b I气＋b I亿 ＝ 九
l 2 3
C的列向量可由A的
b 亿＋b2 气＋h a =乃
l2 2 32 3
列向量线性表示
b 亿＋b 气＋b 气 ＝ 几
13 23 33
（霓工）［九］ ＝ （a三） A的列向量可由C的列向量线性表示
［
1 3 3 I I 2 -1 1
［例］已知AX=B，其中 A =[ 2 6 9]，B= 7 4 ， 求X .
—l —3 3 I I
4
13 —-7ll
［解］因A不可逆的，对 X,B分别按列分布
A ( x ,y,z)= (/3 1 /3 2 /3 3 )有 A x ＝ 队，Ay ＝ 庄， Az= /3 3
这3个方程组有相同的系数矩阵A，同时消元
3 3 2 -1 1 I I 1 3 0 -1—7 4＿
＿
—
?
2 l
—63 93 47 143 —7ll1 100 00 l0 l0 0
Io
[ [
il x = —3t — l
l
由第 一个方程组，解出』
X2
=t
= 1
X
3
u 厂
y 1 ＿- 3 - 7 3v+4
类似 地 — ， _
y2
＿ ＿ u , : :
＿2
＝ z = -1
jy3 3
－3 I 1 3 u 7 — 3 +
- - v 4
u
x
飞 ＿
. t 2
＿
l ；仁章］牛巨阵
3
－2025李永乐线代强化笔记
—
第三章 向量 难点
一 相关、 无关
．
(1)计算：Ax=O非零解？
；
冈＝0 n+1个n维
(2)选，证：定义法 秩 r （ 亿 立
2
, · · · , a
s
) 反证法
二 线性表示
．
(1)计算：Ax=b有没有解？
( 2 ) 选 证 ： 秩 r （ 亿 立
2
' . . ． 心 ） ＝ r ( 亿 立
2
, · · · , a
s
, /3 ）
若亿立 ,···,a 无关，亿立 ,···,a ,/J相关...
2 s 2 s
k-=1=-0（能线性表示）
反证法（不能线性表示）
三 秩．
向量组-极大无关组
矩阵r(A)：行 列式，向量，方程组，
r(A)= A的列秩＝A的行秩
四．向量空间（数一）
注： 为2024年前的内容， 在此作为补充！
1
第三章 向量n维向量
n个数 a ,a ,···,a 构成的有序数组称为n维向量
1 2 n
a
I
a
2
或(a
l
'a
2
'...'a
n
)T 列向量
: 1
a
n
(al 'a2'...'a
n
)行向量
零向量：所有分量都是0 0 = (0, 0,· · ·, 0) T
T T
设a = (a 'a '...'a ) /3 ＝(b 'b '...'b )
l 2 n l 2 n
a=/3 仁 al= b,, a2= b 2 , ···,a n = b n
运算
T
(l)a +/3 ＝(a +b心＋b ,···,an +b )
1 2 n
T
(2)ka= ( ka1,ka ,· · ·,ka )
2 n
特别地
（ T
叩＝ 0,0,· · ·,O) = 0
数量积（点积）
a -b = la11Elcos0
@）d 上b<=>a·b=O
2
(2)a. a= lal
＠内积 (a,/3 ）＝ a1b + a九＋···+ a丸
1
b
b
矿'/J=(a,a ···a )| 2
2 n
b
n
a
I
a
/3飞＝
（
bb ..
．九）1 2
l 2
a
n
如(a,JJ)=O称a与JJ正交
2 第三章 向量［ 例 ］ （ 1 , 3 , — 2 )
T
, ( 3 , 5 , a )
T
正 交
（—
1·3+3 ·5+ 2) · a=O⇒a=9.
2
(a,a)＝矿a = a +a�+···＋式称＄叫＋a�+···＋式为
1
向量a的长度
例 ［
a||
］
＝||
a =
j
(
言
1 , —
言
3 ,
i
2 )
:
T
`：
］ 化
位
单
线性相关
［定义3.3]：对n维向量亿立
2,
．．．，也，若习不全为零的实数
k,, k ,· · ·, k ,使Ka +k凸＋···+k凡＝0成立 则称向量组
2 s l 1 ．
气 气 ， ． ． ． ， 包 线 性 相 关 ； 否 则 称 气 气 . . . ， 包 线 性 无 关
．
T T T
1. a = (1,2,3) ，气＝（2,3,4) 立＝（0,0,0)
1
由 皿 ＋ 0 气 ＋ O a
3
= 0 0 0 1 不全为0
·
．.亿立 ,a 线性相关
2 3
T T T
2. a =(1,2,3) 立＝（2,4,6) 立＝（3,0,S)
1
由2a 一气＋0么＝0 2 -1 0 不全为0
1
．·.亿，气立 线性相关
3
丁 丁
3. a, = (1,0,0) ， 气＝（0,1,0)
若k凡＋ k夕 =0
2
[』 l l l
即 k +k = [ �� = [ �
, [ �
第三章 向量 3T （ T （ T
［例3.2]若 = (1,3,4,-2) 立＝ 2,1,3,t) 立＝ 3,-1,2 , 0)
a1
线性相关，则t=
［分析J设x
1a1
+x兄＋X免＝ 0
T T T T
X (1,3,4,—2) 三(2,1, 3, t) + X (3,—1,2,0) =(0,0,0,0)
1 3
'x + 2x + 3x = 0,
1 2 3
3x +X —X = 0,
1 2 3
即{
4x + 3x + 2x = 0,
1 2 3
—2x +tx = 0.
1 2
� 1 2 3 1 2 3
3 1 —1 0 1 2
I ➔ I
［亿气亿］ ＝
4 3 2 0 0 —2t —2
I
—2 t 0 0 0 0
ala2a3
相关<=>Ax=0有非0解<=>r(A)< n
:. t = —1 .
［定理3.2]向量组 亿立
2
,·.·
as
线性相关
<=>存在不全为0的k,,k ,· ··,k ，使
2 s
k
1a1
+k
2a2
+···+k
sas
= 0
<=>存在不全为0的k ,k ,.. . , k ，使
l 2 s
k
k
2
亿，a2 ,·· ·,as )I.? I= o
k
s
仁＞齐次方程组
X
I
X
2
亿，气·· ·, as) I �y.2 I = o 有非零解
：
X
s
～秩
r亿（ ，气...立） ＜ s
［推论］
I. n 个n维向量亿立 2 . .·, a n 线性相关
<=> la1 a2 ... a n I= o
2. n+l 个n维向量必线性相关
4 第三章 向量a相关 <=>a = 0
归a 相关 -＞亿 ，a 共线
2 2
气气立 相关～亿，气立 共面
3 3
若亿a， 线性相关
2
<=>存在不全为0的k , k ，使K互＋k产 =0
l 2 2
k
不妨设k
l
#0 有， a
l
= —二
九
气
/ l
2
]
=k
2
[:
2
(1,2 ,3 ) (2,4 , 6) 相关
T T
T T
(1,2,3) (2,4,S) 无关
线性无关
aa ... a
l 2 s
Oa +O a + · · · +O a =0 (1)
1 2 s
k环＋ k凸＋ ···+ka =0 (2)
s s
如:3 (2) 即k 'k '...'k 不全为零，称线性相关
l 2 s
如果k心 +k凸＋ ···+ka =0 必， 有k =0 , k =0 , · · ·, k =0 则
1 s s 1 2 s
称向量组亿气...a 线性无关
s
证明亿气...as无关
(1) 定义法
设 ka +ka +···+ka =0
l l 2 2 s s
乘
U恒等变形
｛重组
必有 k =0 , k =0 , · · · , k =0
1 2 s
(2) 秩＝证出r(aa ·· ·a ) = S
1 2 5
句r(A)=A 列秩＝A行秩
Wr(AB)臼 min(r (A), r (B))
如A可逆 r(AB)=r (B), r(BA)= r (B)
＠⇒A -mxnB, -nxs且AB =0⇒ r(A) +r (B)句 n
(3) 反证法
第三章 向量 5公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复［真题】免费获取［例3.5]已知n维向量亿立2 ,a 3线性无关，证明3 a ,+2 a 2 ,
气
证［
飞
］ （ 用
3
定
' 如
义 ）
3
—
5 a 1 线 性 无 关
设k,(3 a 1 + 2a2)＋k2 ( a 2
—
化 ） ＋ k 3 ( 4 亿
—
5 亿 ） ＝ 0
— —
即(3k, 5k3) a 1 +(2k,＋亿）气＋（ 亿＋ 4 k3) a 3= 0
由 亿 气 气 无 关 ， 得
—
3kl 5k3 = 0
0
2kl +k2 = (1)
—
亿＋
4从＝0
3
因 2
0
—
5
o * o
1 I= 22
O — 1 4
(1)
齐次方程组 只有零解
.·.必有九＝0k, 2 = 0k, 3 = 0
—
从而泣＋2 a 2 ,气飞 ， 4 亿 5 a 1线性无关
［证二］（秩）
令队＝3亿＋2 a 2 ,凡＝气飞， 凡＝ 4a 3 — 5亿
（ 队 ， 归 /3 , ) ＝ （ 泣 ＋ 2 a 心 飞 ， 4 a 3
—
沁 ） ＝ （ “ 三 ） ［ ：
O
—
：
1
一
5
。 ]
4
3 0 — 5
因 2 1 0 可逆
[
。
/
：
a
3) 3
三fJ/ -Jf /
戈:t\/
— -a
a ＋ a a 5 线性无关
6
第三章向量［例3.6] 设A 是n阶矩阵， a是n维列向量，若A
111-1
a
*
0,
A飞＝0 ,证明向量组a,Aa,A飞，···,A
m—l
a线性无关
［证］设 k,a+ k Aa + k A飞＋··· + k A 111—1 a=O (1)
2 3 111
由A飞＝0⇒ A 111+1 a = O,A 111+2 a =O ,·.· ,
用 A
m-I
左乘
(1)
kA m—1 a=O ·: A 111-1 a-=1=-0 :.k =0
l l
代入(1) k Aa + k A飞＋···+k A m-l a=0 (2)
2 3 m
类似地，用 A
m—
2 左乘 (2) ，可得从＝ 0
同理可知k =0 , ·· · , k =0
3 111
:. a,Aa,A飞，...'A m-Ia线性无关
例［ 3.7]设A是n阶矩阵，亿立
2,
a
3
是n维列向量，若
Aa 1 = a 1 -=I=- 0, Aa 2 = a 1 +a 2 ,Aa 3 = a 2 + a 3 ,
证明：亿立 ,a 线性无关
2 3
［证］（定义）设忨＋k凸＋k兄＝0 (1)
·: (A-E匠＝0, (A —E)气＝芞 (A —E)亿＝气
用 A-E左乘 (1): k产 +k立 =0 . (2)
1 2
用 A — E左乘 (2): k立＝ 0. (3)
由 a ":/=-0
，
得到丸＝0
1
丸＝O⇒ 从＝O⇒ 九＝0
:. a ,a ,a 线性无关
1 2 3
第三章 向量 7A A —
[0 8,2 34例3.8]设 是3阶矩阵，亿立2 为 的分别属于特征值 1,1
A
的特征向量，向量也满足 亿＝a尸a3，证明：釭气立3线性无关
［证］由特征向量定义应
＝—
亿，
A
a2
＝
生
设K
卢1
+k
凸＋
k免＝ 0 (1)
用 A 左乘(1): -k1 a1 + k夕2十九 (a2＋a3) = 0 (2)
-K (3)
(1)-(2) 2k心1 凸＝0
因 亿立2 是不同特征值的特征向量
有亿立2 必线性无关
＝
(3) = =
由 ｛ — 耽 九＝ �
0
:. k, O ,k3 0
代入 (1) 得 k 夕2 = 0,
因a2 是特征向量，知气＃0，从而k2 =0
故亿立2,a3线性无关
A =— A = A ＝
由 a1 亿， a2 a2, a3 气＋也
l
＝ — ＝ l
o
l
lo l
A（心产） （ 亿，气立＋亿） （四三）［；
O O
= 分可迈
P （心心）
令
⇒
A = A = A
P PB 尸 P B ⇒ [ ]
- t � �
［反证法］
因亿立2是A不同特征值的特征向量必线性无关
若亿也a3线性相关，则a3必能由亿立2线性表示．不妨设
CD
a3 = k1a1 + k2a2
用 CD
A左乘 两端，有
气＋a3
=—
k1a1 + k2a2 (2)
－CD
＠ ： a2 =— 2k亿＠
与亿立2线性无关相矛盾
8 第三章 向量设入，左是矩阵A不同的特征值，亿立 是人线性无关
2
的特征向量，a是儿的特征向量，证明：亿立 ,a线性无关
2
［证］按已知有Aa ＝ 位，Aa ＝ 坏a ,Aa ＝ 吵
1 2 2
如 k a +k凸＋ka=O (1)
1 1
用A左乘(1): k 加a +k凸气＋k左a=0 (2)
] 1
用人乘(1)：人K环＋人k a 十人ka= 0 (3)
2 2
(2)—(3):k（左 —人）a = O
因人＃左， a*O :. k=O
代入(1): k a +k凸＝ 0
1 1
由亿立 线性元关 ．.. k = 0, k = 0
2 l 2
故亿立 ,a线性无关
2
设凡＝C网＋c
2
凸＋c
3
1亿
庄＝c 亿＋c 气＋C 亿
l2 2 2 32
队＝C 亿＋c 3气＋C 3气
31 2 3
c
-
l 2 c3
即(/3 1 /3龙）＝ （a三）［：： 1 :: 2 c23
C 1 C
3 32 3 一3
c
乡戈 无关。 可 逆
若亿立 ,a 线性无关，则队，凡，凡 性
2 3
［证］ ” ⇒ II
如队，凡，队无关，则r(B) = r（队，凡，队）＝3
又 r(B)= r(AC) ::=::: r(C) ::=::: 3 .-. r(C)= 3 ,C可逆矩阵
<=
II 11
如 C可逆
r(/3，庄，队）＝r(B) = r(AC) = r(A) = r（亿立 ，亿）＝3
I 2
.·./3
I
'/3
2
,/3
3
线性无关
第三章 向量 9［例3.9]A —mxn,r(A)=n ，亿气” n维无关，证明Aa,,Aa ,A么
3 2
线性无关
［证］（定义法）
设k,Aa, +k Aa +k Aa = 0 (1)
2 2 3 3
有 A(k,a, +k夕 +k凸） ＝ 0
2
因 A —mxn,r(A)=n
齐次方程组
A
x=O只有0解
故k互＋k汇＋k忍＝0 (2)
由亿立 2, a 3 线性无关
从而九＝ O,k = O,k =0
2 3
. ·. A亿，Aa ,Aa 必线性无关
2 3
（秩）（A亿，Aa ,A亿）＝A(亿，亿立）
2
如 A —mxn,r(A)=n，则 r(A B)=r (B)
r(A亿，Aa ,Aa )=r （亿，气心）＝ 3
2 3
. ·. A 亿，Aa ,Aa 必线性无关
2 3
［例3.13]已知向量组气气立 线性无关，则下列向量组中
3
线性无关的是（）
(A)a1 + a ，气＋亿立＋亿
2
(B)a1 + a ，气＋2亿立＋2气＋亿立— a +5亿
2 2
(C) a1 +2a ,2a +3a ,3亿—亿
2 2 3
(D)a1 +a - a ,2a +3气＋l2a ,3a1 +5气＋25气
2 3 2 3
［分才斤J
－ －
l O l
（ ) （ ）
”＋a ＂+a a ＋a ＿ a a“ l l O
3 2 2 3 l l， 2， 3
1 一
O l l
－ －
l l
－ －
r
（
a
l
+
a2 ，
a
2
+
a
3
,
a
3
+ a
l
）
＿＿r l
01
O
O l
1
－ －
1 第三章 向量［ 例 ］ 设 4 = （ 气 . . 心 ） ， B = ( /3 /31 2 . . . /3 ; 11 ) , P 可 逆 且 P A = B
(1)如亿立 ,a 线性无关，则A,/3 ,/3 无关
3 5 3 5
(2)如 a = 2a + 5a，则凡＝2/3 +5/3
111 1 3 1 3
［ 例3 . 12]已知向量组芞气立 3 线性元关，则下列向量组中
线性无关的是（）
(A)亿 — 4归飞＋2a +2a心飞
2
(B匠＋气立＋2亿立＋2a 十亿立 —气＋5气
2
(C)a, +2a +a ,—2a, +3a + a，如＋气＋也
2 3 2 3
(D匠＋气＋a，显＋3气＋22a 芯＋酰－5a
3 3 3
［分析](A)（亿 — 4亿）＋（五＋2a + 2a )—2（也飞）＝0
2 3
1, 1 , — 2
(B)4个向量可由3个向量线性表出
(
r
(
/3
(
C
/31
/3
)
2
/31
1
/3
2
:
九
/3
3
-
）
; /3
＝
） 三
（ a
4
r
三
（ 亿 气
［ ）
也
｝
\ =
：2
3 <
：
4
－
5
l
]
3 11 *0
1 1 1
［例3 . 11]已知n维向量a 1 ,a 2 ,a 3 线性无关，若队，/3 2 ,/3 3
可用亿立 2 ,a 3 线性表出，设[/3 I ,/3 2 ，/3 3 ]
证 明 A , /3
2
, /3
3
线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件
= [
是
a
1
,，
c
气
1 *
立
0
］ c
［证］A=［亿立心］， B=[ /3 ,/3 ，队］
I 2
若/3,,/3
2
,/3
3
线性无关，r(B)= r(/3
I
,/3
2
，队）＝3
r(B) = r(AC)� r(C)� 3,
r(C) = 3,C 可逆，1c1*0
若IC *I O, r(B)= r(AC)= r(A)= r亿，气立）＝3
. .· /3 I , /3 2 , /3 3 线 性 无 关
第三章 向量 1线性表出
线性表出（组合）
［定义3.1]设亿立 ,···,a 是n维向量及 k,,k ,· ··,k 是 一 组实数
2 s 2 s
称k
1
a
1
+ k 2气＋···+ k立
s
是向量亿立
2
,···,a
s
的 一 个线性组合，
k ,k ,···,k 称为这个线性组合的系数
1 2 s
f3
［定义3.2]对n维向量亿立
2
,···,a
s
和 ，若存在实数k
i
,k
2
, · · · k
s
f3
使得/3=k心
I
+ k凸＋...+ k
s
a
s
成立，则称向量 是向量
f3
.
归气 .·,a
s
的线性组合，或称向量 可由亿立
2
,···,a
s
线性表出（示）
f3
［定理3.1]向量 可由亿立 ,···,a 线性表出
2 s
-> 3实数 k l 'k 2 '...'k s 使K l a 1 + k 2气＋···+ k s a s =/3
3 实数 k,,k ,· ··,k 使
-> 2 ． s
k
I
k
2
[a a ,···a ]I'/ I=/3
1 2 s
k
s
仁～方程组
x
l
2
[a l 吓··a sJI � I=/3
X
s
有解
～秩
r(a l，归···,a
s
)=r(亿，气..·a
s
,/3）
1 第三章 向量T （ T （ T
［例3.14]设a,=( 1, 2, 3, a) 立＝ 1, 1, 2,—a) 立＝ 3,5,b+4,2)
— T
/J =(3,4,7, 2)
［解］设
x a +x
气＋X昂＝
/3
1 1 2
对
A=(a,a夕
/3）作初等行变换
。
3
1 1 3 3 『 2 1
。
— 2 1 5 4 1 1 2
A= 1
l —
3 2 b+4 7 b 4
— — — —
a a 2 2 2 a a 2
L_
女口 a*2 。 。 。
。
1 2 1 1 3
b=4
1 1 2 1 3
A ----+ I 。 l 。 。
1 -1 1 -1
b-4
CDa-=1=-2且b-=t=-4 r(A)=3,r(A)=4
/3 不能由亿立 2 ,a 3 线性表示
(2)a*2 , b=4
x = 3, X = 3, x = -1
1 2 3
—
f3 = 3a +3a 也
1 2
女口 a=2 。 。 。
。
1 2 1 『 1
1 1 2
。 妇4
1 2
。
A�I
—。 。 。 。
b 4 1
@a=2且b=4
—
r(A)=r(A)=2 n r(A)= 1
令X = t ⇒ X = 1- 2t, X = 2- t
3 1 2
/3
＝(1—2t匠＋（2—t)佐＋
t
也
\ft
@a=2,b-=1=-4
X = 1, X =2 ,X = 0
1 2 3
/3 ＝ a +2气
1
第三章 向量 1［定义3.4]向量组 (1)亿立 '...a (11)/3 '/3�'.../3
2 s I ／
若 (1) 中每个 a (i = I, 2, · · ·, s) 都可由(11) 中的队，凡，.../3/
i
线性表出，则称向量组 (1) 可由向量组 (11) 线性表出
若 (1) 中存在某 a (i = I, 2, · · · , s) 不能由(11)中的队，凡，.../3/
i
线性表出，则称向量组 (1) 不能由向量组 (11) 线性表出．
［之］［三］［三］ ［文］ ［三］ ［子］
包 ＝队＋2庄， a = 0/3 + 0 /3 a = 3队
2 1 2 3
: (1)可由 (11) 线性表示
.
l l l
队＝ － a , 凡＝—亿 －—气
3
3 2 6
但队 不能由亿立 ,a3 线性表出
2
如向量组 (1)和向量组 (11)可以互相线性表出，则称向量组
(1)和 (11)等价．
矩阵A和B等价： A经初等变换得到 B
［
［三］
｀
(I) ( H )
l 2
al ＝—/3 a =—JJl
1 2
3 3
:. (1)可由 (11) 线性表示
由 JJ 不能由 a ,a 线性表出
2 1 2
:. (11) 不能由 (1) 线性表出
1 第三章 向量［ ［ ［
三
I] 三
］ ］
(I) (11)
l l
气＝—凡 ——队⇒ (I) 可由 (II) 线性表示
2 6
1
队 ＝ — 亿
3
�v,
⇒ (II) 可由 (I) 线性表示
庄 ＝ 亿 ＋ 2 亿
⇒ (I) (II)
等价
例A= � �]- B= � ]
[ [ �
矩阵 A 兰 B 等价
列
向量组
［勹杠］厂］［勹
不等价
行 向 量 组 [ 1, 0], [ 2, 0]与[0, 2 ][ 0, 1]不等价
例A= � �]- B= � �] 等价
[ [
与 等价
｀ 勹］
［言］
[1,oJ,[0,1]与[ 2,0][0,3]等价
：］
［;
1 1
例A=
B= ]
等价
[ 2 2
1 1
与
[/ [/]
］
[ 1 , 2 ] , [ 2 , 4 ] 与 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] 不
等
等
价
价
第三章 向量 1公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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[05,2，例3 .15]确定常数a,使向量组(I) a
1
= (1, 1, a) ，仍＝（1, a, 1) ,
r T
a
3
= ( a,1 ,1 ) ，可由向量组(11)/J;=( 1,1 , a) ,/J2 = （ — 2,a,4f,
T
队＝（ — 2,a,a) 线性表示，但向量组队，凡，队不能由向量组
a,,a ,a 线性表示，求a
2 3
［解］（I)可由(11)线性表示，即方程组
xu/JI +X2丿 凡＋X
切
队＝ a
丿
(J= 1 ,2,3)
同时有解
。
1 — 2 — 2 1 1 a I 1 — 2 — 2 1 1 a
1 a a 1 a 1 飞 a+ 。 2 a+2 。 10 l— a
2
a 4 a a 1 1 a—4 3 — 3 a —(a— 1)
Va,a 可由(II)线性表示
1
a -=1=-4且a#— 2,a 可由(II)线性表示
2
a -=1=-4且a# — 2,a 可由(II)线性表示
3
. ·. a # 4且a#— 2,(I)可由(II)线性表示
(II)不能由(I)线性表示，即
x 1 Ja 1 +x卫2+X 切 么 ＝ 凡 (J= 1 ,2 ,3 )
至少有一个方程组无解
－
[� 7 � � 2 — 2 -［＼ a 1 — 2 I 2
a [ 1 l —a 0 a+2
a+2
4 2
: : ] 2 —a —a'0 3 a+6 a +
沁a,/3 可由亿立 ,a 线性表示
1 2 3
－
a=1时，队不能由(I)线性表示
a=1或a=—2时，队不能由(I)线性表示
.·. a = 1 或a=— 2 时，（ H ）不能由 (I) 线性表示
故a=1时(I)可由(II)线性表示而(II)不能由(I)线性表示
1 第三章 向量［定理3
.
3]如亿立
2
'...'a
r
线性相关，则亿立
2
,...,a，产，..·,a
s
必相关
［子集合相关==>整体必相关］
［
构
定
造
理 3
m
. 4 ]
+ n
设
维
m
向 量
维 向
y
量
I =
气 气 . . · , a s 和 n 维 向 量 队 ， 凡 ， . . . ' /3 s ,
勹
＝ ［ ，···,ys = ［
[;：
］心
；：］
如亿立 '...'a 线性无关，则几，Y ,···Y 线性无关
2 s 2 s
［低维无关==>延伸组高维必无关］
『:-
－ -l2
－
2
4
5
－1－－ :l
[3] ［
无关 ⇒ 1x IIY
2 3 II 5
w II t
－－－
3
3
:
个
: G
无
l
关
[
的
� l
解
[ � l
亿，a ,··•,a，户线性相关，则亿，a ,···,a ,·.·,a 必相关
2 2 r s
［子集合相关 ⇒ 整体必相关］
[
12
] ［ 勹
无 关
⇒ [ �
] [ ; ]
无 关
1
第三章 向量［定理3.5]：向量组亿立 ,···,a (s�2)线性相关
2 5
~ 3 a 可由 亿，．．．立－1,a ,．．．立s线性表出
［ i+l
［定理3
.
6]：如亿立
2 ,
．．．立s线性无关，亿立
2 ,··
·,as,/3线性相关
则f3可由亿，＂
．．．立s线性表示，且表示法唯一
2 ,
>
［定理3.7]：如亿立
2,
．．．立s可由队，凡，...'/3
［
线性表出，且s t
则亿立
2,
．．．立s必线性相关
［多由少表出，则多必相关］
［推论］：如 亿立 ．．．立s线性无关，且亿立 ．．．立s可由
2 , 2,
/3 ,/3�'...'/3 线性表出，则s�t
1 1
［定理3.8]：如 亿立 '.．．立s可由 队，凡，...'/3 线性表出，则
2 1
r(亿，a ,..．心）� r( /3'/3�'...'/3 )
2 I t
［推论］：如向量组(I)和(II)等价，则r(I)= r(II)
[� In [Il[�l
1 第三章 向量[92,1 ， 例3.15]设向量组气 气 立 3 线性相关， 向量组a 2，亿立 4 线性无关 ，
(I) a 1 能否由 气 立 3 线性表出？证明你的结论
(II) a 4 能否由亿立 2 , a 3 线性表出？证明你的结论
(1) ·: a 2 ,a 3 ,a 4 无关 :. a 2 , a 3 无关
又因 a ' a ' a 相关
1 2 3
.·. a 可由a , a 线性表出
] 2 3
(1)(2) ·: ai, a , a 相关
2 3
故弓不全为0 的k 'k 'k 使ka +k a +k a = 0 (1)
l 2 3 1 1 2 2 3 3
若九＝0 ， 则k 2 ,k 3 不全为0 ， 而k 2 a 2 + k 3 a 3 = 0
即有
气
立
3
线性相关⇒ a 2，亿立
4
相关
k k
故必有K l #0 aI = — 2 气 — 3 亿
k k
l l
(11)(1)反证法
如a
4
能由亿立
2
, a
3
表出 ，有亿＝k互＋k
2
a
2
+k
3
亿
由(1)有 a =l a2 +l 亿
l 2 3
（
则亿＝k, (! 气＋l凸）＋k a +k凡＝K占＋k )a + (kJ +k )也
2 2 2 2 2 3 3
即 a 4可由 a 2 , a 3 线性表出与， a 2 , a 3 , a 4 线性无关相矛盾
. ·. a 4不能由亿立 2 ,a 3 线性表出
(2)对于方程组x立＋x a + x a ＝ 也
2 2 3 3
由亿立
2
, a
3
相关，知r亿，a
2
, a
3
) < 3
又 a , a , a4无关，知r亿， 立 邑， ）�3
2 3 气 3
即 方程组无解
r(A)-=1:-r(A)，
. ·. a 4 不能由a,, a 2 , a 3 线性表出
第三章 向量 1［例
3.16]设向量j3可以由向量组亿立2'...'am 线性表出，
但j3不能由向量组亿立
2
'...'am -］线性表出，判断
(1)a,“ 能否由亿立2,•••,am -l'/3线性表出？为什么？
(2)
am
能否由亿立2,...，
am
-I线性表出？为什么？
［解］（
1)/3可由亿立2'...'
am
表出
¢::> 3 /I '/ 2'· · ·'/ m 使 /3 =严＋l凸＋···+I m - lam —I + I mam
由j3不能由亿立2'...'am —
1
线性表出(1)
必 有l #0
m
1
从而己＝ — l （/3 —l江 —l2a2—...—l m - ］am -I) (2)
m
故 a,＂ 必可由亿立2,...，am -I'/3线性表出
(2)
反证法
如 am 能由亿立2'...'am -]线性表出
设汇＝ k1a1 +k凸＋...+km — la，竹— l
那么/3 = l互＋l 2 亿＋...+ l m - 1 am -I十儿(k夕I +k2 亿＋...+ k m -I am -I)
=( l l + / mkl 匠＋（1 2 + I m 丸）气＋•• • +( / m - 1 + / mkm -1)am-I
与j3不能由 a1 ,a2 ,...， am -I线性表出相矛盾
故？ ？ 不能由亿立 2 ,···, am -l线性表出
(1)
构造方程组，证明方程组有解
）
(r
a
凸···a s)=(r
a
凸···a s/3
(2)
找出两个条件：
亿气···
a
s 线性无关
亿气···
a
s/3 线性无关
(3)
证 -=1=-0（能表出）
k
(4) 反证法（不能表出）
2
第三章 向量向量组的秩
［定义3 . 5]在向量组亿立2 '...'a s 中，若存在纠立， 2 '...立，I纺线性无关
而再添加任 一 个a1 (J = 1,2,···,S)就有纠立
2
,...，气立
丿
线性相关，
1
则称四气..'a ir是向量组亿立
2
，．．．立的
s
一 个极大线性无关组
[:] ［三］ ［三］［�]［三］
门
无关
[ ]
1 � 1
[:]［＼］［三］ ［：］[＼]［三］ ［＼］［｝］［三］
。
定理：如气立 , i2 · · · , a ，/i 与 也 l ， 也 2 , ． ． ． ， 也 1 都 是 向 量 组
气
气..·,as的极大无关组则r=t
［ 证 ］ 因 亿 立 i 2 , · · · , a ，/i 是 归 吓 . · , a s 的 极 大 线 性 无 关 组
(p t)
那沁丸jJ = I, 2, · · ·,
必有a 八 ，a i2 ,·· ．，气立炉 线性相关
又 因 气 立 i 2 ' . . . ' a i r 线 性 无 关
(p t)
从而也 = I, 2,· · ·, 可由妇立 '..·,a 线性表示
P i2 ir
于是勺立2 ,...，也t 可由a il 'a i2 '...'a ir 线性表示
又因包l ,a
丿
2,...,a丿1 线性无关
则 有 t ::;; r
同理r::;;t 故必有r=t
第三章 向量 2［定义3. 6]向量组气气，..·,as的极大线性无关组中所含向量
的个数r称为向量组的秩，记为r（亿立 ,…，亿）＝r
2
例［勹[』[』
［；］
极大： r( 亿，三）＝ 1
仔］
［
＼
］
］
［
］
三
极大 r(a三）＝
：［� ] [ �1] 2
1 1
例
[ 2
/
l[3
]
极大：亿气气 y(a,a凸）＝ 3
r(a ,a ,· ·．'a )=s
例 1 2 s
<=>极大无关组中有s个向量
<=>极大：a ,a ,·.·,a
l 2 s
仁＞亿，a ···,a 无关
2 s
归
气..·,a
s
无关
X
I
X
~ （ a ,a ,.．．，a )| ．2 i=O 只有零解
l 2 s
X
s
<=>r (a1年...心）＝ S
r(a
心...心）＝r
1
<=>极大无关组中有r个向量
仁> 3a/ l a 1 2 ...a/，无关
而a/ a1 ...al/ a丿必相关
l 2
2 第三章 向量设A=[a 1 幻..己］，B=[/3 1 /3 2 .../3,？？］ P可逆， 且 PA=B
(1)
如 a a as线性无关，则A /3 /3 无关
1 3 3 5
(2)如汇＝2a
1
+5a
3
，则凡＝2/3
1 ＋
5/3
3
［证］
PA=B
P[a凸..汇］＝ ［/3 1 /3 2 .．．/3 l?？ ]
Pa = /3�
i
( i = l , 2 , · · m · )
(1)
设k /J +k /3 +k /3 = 0
1 1 3 3 5 5
即 k P1 a
1
+ k
3
P a
3
+ k
5
P a
5
= 0
因P可逆，左乘p-1，得
k a +k a +ks么＝0
1 1 3 3
由 a a as线性无关
1 3
:. k = 0,从＝0,从＝0
l
故 /3 1 /3 3 /3 5 必 无 关
r(/3/3龙）＝ r[P(a立凸）］＝ r(a a凸）
1 1
( 2 ) 由 a
m
= 2 a
1
+ 5 亿
则Pa =P(2a + 5亿）＝ 2Pa +5Pa
m l 1 3
即凡＝2/3 +5/3
1 3
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第三章 向量 2［例
3.18]已知n维向量亿，气立3 线性无关，若
/31 =(a+l匠＋气＋气 庄＝泣＋（a+3)a2+3吟
极 性 白＿勺 个 大 线
组乡 生表 戈 出 关 ，f
－
5
5
+ ．
a 5
－
－
O o 0
0
l
1 7 l I
o
－
队
一
一
天，
3
。
5
0
a
-
f
－
九性
3+
3
_＿
a
)
5
3
a
0
，
－
l
－
＿
l
_ l
5
o
队线
A
I
1
(
5
5
+
、 丿
＼
组
大
+
l
l
r
a
+
aa
向 量 该
极
-a
1 3J
）_
fJ3
－＿
+ 3
3
3
-a
- T
－
－
r A
＝
(
队
.
＄
3
I l l
l
o
_ ＿－
2
队
－
－
＼丿
5
．求用
立
几
a
）
a 3
，量
a 2
队
1
5
5
+5
几
＿
_
-
－
A )
凡
U
口余
寸
f
队，
5
5
4
＿ 一队
5 ＋目
关
向
a I
八
+ a
1
1
a
九九
丁—
f ——1
( r
＿＿
－
） 队
而
3
+
3
「
3
队
＿
＿
3
＋
) 3
（
a2
乡
夕寸
凡
＼丿
关
a
9
r
_＿9
6
2
＋
戈其
1J
5
才
，
目
＋
0
凡，
－
－
3
3
fJ
,
a2
队
＋
1
1
2
a
队a
$
ll
八凡
十九并
凡
a
才
1
a
_＿
，＿＿
A
队
3
，
，
,
a
a
:
a1凡且
队
队 5 ＝
若 队 , 无
夕 关/
国 ］
」 [
由r a
队 fJ
，: I
_
＿
仁 若
大
女
CI 冈
而
们 大
极
5
A
从
极
2 第三章 向量如向量组(I)可由向量组(II)线性表出===> r(I):::; r (II)
1 2 f
［证］（f）五...亿(II)/3 /3 .../3
2 s 1 2
因(a,a ··江）亡（a凸···a /3 /3 · · ·月）
:
.
r(I):::; r(I,II)
由(I)可由(II)线性表出
s I
r(a,· ··a /3 .../3�) =r (/3,...队）
即r(I,II)= r(II)
故r(I):::;r (II)
1 11 2 1 1 f
或气a＝ =C
2 I
/3; +
2
C
2
/3� +···+
t 2
c,
f
/3
C1 /3 +C2/3
+···+
C /3
s ls I 2 s ts
a =e /J +C 凡＋...+ c /J,
1 2
(a a ..江）＝（ JJ几...JJ,) [cu]
r(I) = r(BC)::; r (B) =r (II)
ll l 2 31亿
如队凡＝＝ c l2 a亿+＋C 2 凸 2 气＋＋C 32 亿
凡＝ c l3亿＋ c 2 3气＋ c 33亿
凡＝ c l 亿＋ c 4气＋C 34亿
c 4 c2 C
I 2 3
C c c
1 2 I 2 3
(/3 /3 /3龙）＝（a三） ［ ： 3 ： C : 32 c: 33 c: 34 : l
c , c c c
1 2 3 4
r(/3 /3 /3 /3) ＝ r[（如义兄）c ］�r（如义兄）�3<4
I 2 3
.·./3 '/3 ,/3 ，凡必线性相关
第三章 向量 2公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复［真题】免费获取如 ( I ) 不 能 由 ( I I ) 线 性 表 出
1
［三］ ［；。］［三］ ［�][�]
[:]
r (I) = r (II) r (I) < r (II) r (I) > r (II)
(
(
1
1
)
)
与
与
(
(
1
1
1
1
)
)
向
向
量
量
组
组
等
等
价
价
===>
：
r ( 1 ) = r ( I I )
(1) r (I) = r (II)= r (I, II)
( 2 ) ( 1 ) 可 由 ( I I ) 线 性 表 出 且 r ( I ) = r ( I I )
如果向量组(1)和(11)可以互相线性表出，则称向量组等价
向量组和其极大线性无关组等价
向量组的两个极大线性无关组等价
如向量组(1)和(11)等价，则r(I)= r(II)
。
。
1
(I) 。 , 0 r(I) = 2
。1
。 。 2
1 1
(II) 。 。 ，. 。 , 。0 ;
1
r(II) = 2 r(II) =
1
。 。2
1
。 ， 。 r(I) =
1
。 。
。
。 ， r(II) = 2
1
2
( 1 ) 不 能 由 ( 1 1 ) 线 性 表 示
r(1) = r(11) r(1) < r(11) r(1) > r(11)
(1)如r(1)= r(11)，且(1)可由(11)线性表示⇒(1）与(11)等价
(2)如r(1)= r(11) = r(1,11)⇒(1)与(11)等价
2
第三章 向量T T
[05,2，例3.15]确定常数a,使向量组(1) a,= (I,I,a) ,a
2
= (I,a,I) ,
T T T
a
3
=(a,I,I) ，可由向量组(11)/3I = (1,1 ,Q ) ,/32 =( —2, a,4 ) ,
T
/3
3
=—（ 2,a,a) 线性表示，但向量组队，/32 '/3
3
不能由向量组
气气立
3
线性表示，求a
［解］I（ ）可由(11)线性表示，即方程组
xu/31 +X 切凡＋ X切队＝a
丿
(J= 1 ,2 ,3 )
·.·亿立 2 ,a 3 可由队，/32 '/3 3 线性表出
. ·. r
亿，a
2 ,a 3 ):s; r( /3I '/32 ,/3 3 )
又因f3I ,/32 '/3 3 不能由亿立 2 ,a 3 线性表出
. ·. r(a l a兄） ＜ r(/3 1/32/3 3 )::;3
二r(a a乎） ＜ 3
l
1 1 a
2
二忆a
2
叫＝1 a 1 I=— (a+2)(a — 1)=0
a 1 1
:. a = 1或a —2
=
(1)当a = 1时 a 1 = a 2 = a 3 = /31
即亿立
2
,a
3
可由A,/3
2
,/33 线性表出
丁
而凡＝（ —2,1,4 ) 不能由亿立 2 , a 3 线性表出
即队，/3 2 '/3 3 不能由亿立 2 ,a 3 线性表出
(2)
当a =
—2
时
l
2
［包气 a 3 ] = 2
[ } 2 �
�
— —
＝[ 1 2 2
[/3 1 /32 /33 ] I —2 —2
—2 4 —2 ]
有r亿（ 气亿）＝r(/31/32/33 )＝ 2
与r(a立夕3 )< r(/31/32/3 3 ) 相矛盾（含）
:. a=1
第三章 向量 2［ 练 ］ 设 A = （ 如 飞 . . 汇 ） ， B = ( /3 几 . . . 凡 ） ， P 可 逆 ， 且 P A = B
(1)如亿立卢 线性无关，则队，队，队无关
5
(2)如己＝2a +5亿，则凡＝2/3 ＋5/3
1 1 3
［证］PA=B
P(a凸..汇）＝（ f3/3 · · ·凡）
1 2
Pa
i
= /J
i
( i = I , 2 , · · · , m )
(1)设k且＋k /3 +k 龙＝0
3 3
即k,Pa, +k Pa +k Pa =0
3 3 5 5
—l
因P可逆，左乘P ，得k亿＋k邑＋k必＝0
由 亿 ， 亿 立
5
线 性 无 关
:.k, =0,k =0,k =0
3 5
故 队 ， 队 ， 队 无 关
或r(/3 1 /3龙）＝r[P(a心凸）］＝r(a 立凸）
(2)由汇＝2亿＋5亿
则P汇＝P(2a, +5a )=2Pa, +SP也
3
即凡＝2/3, + 5/3
3
2
第三章 向量T T T
［例3.17]a
1
=(l,1,4,2) ，气 ＝（1,-1, —2,4) '么 ＝（－3, 1, a,- 10) ,
T
亿 ＝（1,3,10,Q) ，求向量组四气亿立4 的秩， 求其 一 个极大
线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出
［解］对 （亿立2 a, "亿）作初等行变换 。
— 。 —
1 1 3 1 1 l 2
。 。
1 —l 1 3 1 —2 —l
a[ a 1 三］＝ 1 。 l � 。 。 。
4 -2 a 10 a
—
L
2 4 10
@） 。 。
a#0
。
1 2
。 。
0 1 —1
(aa, a2 汇）➔ ', 。O 。 。
1
。
L_
r(a卢夕凸）＝ 3
极大：al生亿
—
a4 = 2a 气
1
。
(2)a = 0
-
1 1 2
。 -。 -。
0 1 2 1
(aa, a2 凸）➔ ', 。O 。 。 。
r(a心夕汇） ＝2
才及大：al a2
么 ＝— 亿 — 2a五 么 ＝2a1 — 气
第三章 向量 2［例］设向量组I ：亿立 ., .·,a,，可由向量组II :
2 /3P/3�'...'/3S
线性表出，下列命题正确的是
(A) 1
若向量组 线性无关，则r:s;s;
(B)若向量组1线性相关，则r> s;
(C)若向量组II线性无关，则r:s;s;
(D)
若向量组II线性相关，则r > s;
［解］·.·I可由II表出
.· .r （亿立 2 . ' . ·,a卢， ）:s;r（队，凡，．．．，队）:s; s
如1无关则r(1)= r
矩阵的秩r(A)
I . k阶子式
A-mxn，任取k行与K列(k匀mk, :s;n ），位于交叉点的炉元素，
按A中的位置次序而得到的K阶子式，称为矩阵A的K阶子式
［
1 3 —5 2
A= 0 1 8 -l
4
,－
l阶；式3 l, ,]
4
1 31 13 2 1 18 — 1
2阶子式：
0 1
1
，
1'
3 2
1'14
2
1
,···
cfc; 1s
=
1 3 —51 1 1 3 2
o s
3阶子式： 1 I1, 0 1 —II...
'
1 3 4111 3 2
口＝ 4
3
第三章 向量2 ．矩f车的秩
矩阵A中非0子式的最高阶数，称为矩阵 A的秩，记为r(A)
r(A)=3<=>A3 3阶子式不为0
且每个4阶子式（若有）全为0
心）＝r<=>A 中r阶子式不为0
而每个r+l阶子式（若有）全为0
1 2 0
心）之2<=>A 中32阶子式不为0 [2 4 ll
0 a 3
r(A)< 3 <=>A 中3阶子式全为0
A-:;t:.O<=>r(A)之l
分析判断矩阵的秩
l．行列式
2．相关，无关
3方程组的解 n —r(A)
4． 特右E1直
第三章 向量 3［定2.9]经初等变换矩阵的秩不变
［定2.8]r(A)=A列秩＝A行秩
—[�
1 l
A
�
�
�
1 2
II'�r
A中存在 ＃0
0 ⇒r(A)=2
3阶子式全为0 I
A
� ] [�] [』
的列向量
[�] [
[�]
[�]无关，
a
1
也厂勹
t
a ,a
3
{:： 相关
/a +5a
3
极 大 ： a
1
, a
3
A的列秩＝2
A的行向量：（l —1 2 3),(0 0 1 —5),(0 0 0 0)
极 大 ： 队 ， /3
2
A的行秩＝2
［定4.3]Ax= 0有非零解<=>r(A)秩 r(A<) n（未知数）
>A的列向量线性相关
仁
特别地
1 A— mxn ,m < n，则A =O必有非零解
. x
2 A—n 阶， A =O 有非零解～冈＝0
. x
若A =O有非零解，则线性无关解向量的个数为n— r(A)
x
且A=O的任一个解可以由这n— r(A)个线性无关的解
x
线性表示如r/ 'r/ '...'r/ 是A=O的解，则k,ry + k兀＋···+k几
1 2 1 x 1
是Ax=O的解．
［定理4
.
6]［解的性质］
若爪爪...'r/
1
是A
x
=O的基础解系，则 k,rJ
1
+ k
2
rJ
2
+... + k几
是A=O的解 ．k 'k '...'k 是任意常数
x l 2 t
［定理4 4]若A=O有非零解，则线性无关解向量的个数为n- r(A )
. x
［定义4 2]A=x 0的基础解系
.
如
(1)爪飞...' rJ, 是 A
x
=O的解
(2)爪历···,rJ 线性无关
1
( 3 )A =O的任一解都可由历历···,n 线性表出
x t
则称爪飞...'r/
1
是A
x
=O的一个基础解系
2如何证明爪飞...'T/r 是Ax = O的基础解系
( 1 )验 证 A nl = 0
(2) 证明爪飞...,T/r 无关
3( 说 ) 明 t = n — r A( )
t=n —rA( )
1( )线性无关解向量的个数
(2)未知数中自由变量的个数
Ax = O
『
?
l
A ➔
5
T n l =（ 1 —, 5 1, ,0)
➔[l —30 A
1
7] 1 = 3 ( ,01 , 0 , 0 ,
T
)
�7 ] n -r (A) = 4—2
—
T n =（—3, 7, 0, 1) 2
1 4 ]
n — rA( ) = 5—2=3
—2 5
T
n 2 =(—10, 2, 1,Q, )
T
1]3 = -( 40, —, 50, l, )
l 1
[
➔
A
� � � :]
n —rA( ) = 5—2=3
77 1 = 1( ,1— 3, 0 , Q , T ) T 1J 2 =—( 20, —, 4—6, 1, )
3i � :
l l
i]
:
[� � ] [ : :
— —
A=
-
(1)
行最简（相反数）
。 。
1 1
1
。
2 2
9
1
—
A�I 1 —| n r( A) = 2 x3, x 5
2 —2
1
2
( l， l ， ＼T
7]1 = (,,1, ,Q ) T 九 - -1＿- , l ' 0 。 | —
l＼ 2 ，2
9
丿
／- - - ， ＼T
T/2
=
(''0,'}) T n 2 = 2 ＿ 2
,
0 2 ， l
(2)单位阵（相反数）
1
—
(A) 2
A-
� n r = x 2 , x 5
[ � � ]
一:2
（— — T
�I= 5,0, 9,2,l )
＝ 。
女
。 —
1
2 4 2
。 。 —。 。 —。
1 1
A ---+ 5 3
— —
n r(A) =4 2=2
2 -2 4
。 1—
- 3 1 +k l +k 5
l 2
。 。
1 0
1
43
l O 4
-
2
[I
2
1 7-2
尸 : l l 6 l - — 。 3
o : ] 今 2 3-20
7 3
『
4
2 2 -
3 1 l 3
。
+kl +k
2
2 2
。 。1
?
。＿」
「1 。 7 「 —37 「5
—
1 3 5 1
1 1 0
A➔ 2 1 —。 6 。 3 +kl +k
2 1
3 -2 6
LO」 L o 」 L I
l
1 1 —l 4 。 3 I 1 1 - 1 4 。 3
1 3
A� 2 1 —3 1
2 2
5 1
1
1
-5
。 。 。
1 1 3 19
—
1 1 l 1
。 2 。 10
1 3 1 3
➔I 1 - ) 1
2 10 2 10
1 1
1 1
5 5
n — r(A)= 5— 3= 2
J
3 1 19 3 1
— ,—— ,0,0,0 -— ' — — 'O' —— ,1
2 2 。: 10 10 。 5 。
( (
。 — 。
1 3 1 3 1 3 14
— —
A� 2 1 3 今 2 1 3
5 1 5 1
T T
(-3,1,-2,0,Q) (14,0,3,1,-5)
5[043, 练习(87页）］设n阶矩阵A的伴随矩阵A**0，若女女女，女
是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解则， 对应的齐次
线性方程组Ax= 0的基础解系
(A) 不存在
(B)仅含一个非零解向量
(C)含有两个线性无关的解向量
(D)含有三个线性无关的解向量．
［分析］ n— (A)
r
A A A
11 21 nl
A A A
* *
因矿＝ 12 22 n2 I 0 <=> 3A, 0
A A A
In 2n nn
中肴
⇒A n—1阶子式不为0
:.
r
(A)之n-l (1)
又点 —g 是A x=O的非零解
2
:. (A) (a 2 1 ,a 31 ,a 4 1) , (a 2 3 , a 3 3 ,a 4 3 ) ,( a 2 4 , a 34 ,a 4 4丫无关
a a a
11 13 14
a a a2
21 23 4
⇒a = ,a = ,a = 无关
1 I 3 4
a a a
31 33 34
a 4 1 a 43 a 44
.·.选(D)
证明A*x=O的通解是ka, +k 么＋k亿
1 2 3
(1)因A不可逆I，Al=O
A*A= IAIE = 0
⇒芞亿立 是A*x=O的解
4
(2 )由A
12
*O
T T T
二(a 21 a 31四） (a 23 a 33 a 43 ) (a 24 a 34 a 44 ) 无关
⇒a,,亿立4 无关
(3)因IAI= 0,3 3阶子式A *o
12
:. r(A)=3 ⇒ r(A*)= l,n — r(A*)=3
矿x=O的基础解系由3个无关的解构成公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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[?4,1]
(1 + a) X + X + · · · + X =0
1 2 n
2X +(2+a)x +···+2X =0
1 2 n
(n � 2)
n x
1
+ n x
2
+ · · · + ( n + a ) x
11
= 0
试问a为何值时，该方程组有非零解？并求其通解
l+a l+a 。 。
1 1 1 1 1 1
2 2+a 2 2 —2a a。 。
［解］A= 3 3 3+a 3 今 -3a a ． ． ．
n n n n+a」 -na ． ． ． ． ． ．
L
． ． ． a
( ) 如 a=O
1
X +X + · · · + X =0
1 2 n
n-r(A)=n—l
『一
— l —。 1 —。l
1
x = k
1
I 0
。 。
+k +···+k -I
2 n
。 。
l
L
k,,k ...'k-I任意常数
2 n
(2) a-:t=O
如
。 。 。
「
l+a 1 。 1 。 17 a+丿n(n+I) 。 。
2
2 。 。
— 1 ＿ —2 。 1 。
A�I —3
1 -
3
1
—n O 0
—n 0 0 l
1
当a=—
—
n(n+I)时，r(A)=n
—
1
2
n-r(A)=l
T
x=k(I,2,3,···,n) k任意常数
8— 一
0 A a 0
[ 5,
［I,2]
3阶，第 行( b )不全为
c
1 2 3
B= 且AB=O 求Ax=O通
24 6， ， 解
]
3 6 k
AB O A B
解［ 由］ =，有r( )+r( ):::;;3
A 0 B 0
·: -=1=- , -=1=-
A B
:.I:::;;r( ):::;2 , 1:::;r ( ):::;2
如 A B
CD r( )= 2, r( ) =I⇒ k = 9
—
A
由n-r( )=3 2=1
T
Ax O通
= 解：k,(1, 2,3)
A B
＠如r( ) = 1, r( ) =2 ⇒ k -=1=- 9
— —
A
由n r( )=3 2 =1
T T
Ax O通
= 解：k,(I,2,3) 十化(3,6,k)
A B
＠如r( )=I , r( )=I⇒k=9
—
A
由n-r( )=3 2=1
a
b
A c
=
l-
[ [� � ]
�
ax x 0
3
1 +b 2 +cx =
a 0
不妨设 -=1=-
T
— —
l 0 O l
k(, :， , ) +k ( 2 �, , r
0 A
已知A是4阶非 矩阵，也气气
也
是非齐次方程组 x=b的4个
— — — —
1 2 2 3
线性无关的解证． 明a：+a 2亿立 十免 2亿立 气＋a 也
A
是齐次方程组 x=O的基解础 系
证［ 由］ 方程组解的性质，知
－ ＝ －
l 3 3
a 十气 2么 （也飞 )＋匠 a ),
— — —
3
气＋a 2亿立 气＋亿 也
O
都是Ax= 的解
9—
l 2 3 2 2 3 4 3 1 2 3
若k 亿＋a -2a )+k (a +a -2a )+k (a -a +a 亿）＝0
即有 — — —
1 3 l 2 3 1 3 3 2 4
(k +k 匠＋（k +k -k )气＋（ 2k ＋伈＋k )a +（ 2k 从）a = 0
4
因亿气也a 线性无关
3
k, +k = 0
2 3 (1)
k—, +k -k =0
1 2
—2k +—k 十从＝0
2 3
2k l k =0 1 0 1
0 1
l
— 0 1 —2
2 l1 l 1 0 0 1
由 �1
— —
0
_J
O 2 l」LO (1)
因－A)=3=n，于是齐次方程组 只有零解
2 3
从 故必 而 有九＝O—,k = O,k = 0— —
1 2 3 2 3 2 3 4
a +a 2a ,a +a 2亿立 a +a -a 无关
0, r 1
因A* 有 (A);:::=:
又因 r Ax=O有3 r 个线性无关的1 解 :. r 1
4
n- (A) ;:::=:3 ==> (A) ::=; -3= (A) =
r
于 从 是 而 n- (A—)=3 — — =
1 2 4
a +a 2a心＋亿 2a心飞＋免 a 是Ax O的基础解系
且r
设A =[i : �J， (A)= 2，则A'x=O的通解
4
l
r
［分析］心）＝ n
r
(A)=n
—
�1
r
(A)=n— l
0 (A) r(A)=r
唯一解： r(A)=r(A)=n
oo解：r(A)=r(A) r(A)+l=r
A=(a凸..江）， A=(a凸···a /3）
n
［定理4.6]（解的性质）
( )
1 如 历 n 2 是Ax=O的解，则k刀 1 +k刃 2 仍是 Ax=O的解
(2) 如亿立 是Ax =b 的解，则 a-a 是 Ax =O的解
2 1 2
(3)
如a是Ax =b的解，n是Ax =O的解 ，则a+n是Ax=b的解
［定理4.7]（解的结构）
若r(A)=r(A)=rr(A)= n
Ax=b有唯 一 解<=>r(A)=r(A)=n
A
-
、
＿n
＿ -l
A r rl
（）
＿ 2
＿ 1
1 －r
-
2
A r
（ ）＿－
＿
－
(
o
r
0
o
II
＿＿＿＿2
三
x
2
2
n
x
x
2
=
+
I
＋
A
（）
r
,
V X I
X
I 2
X
1 l
1
＿
2 ＿
＿
X＿_3
2 ＿
X
_ X
_ x
l
+
＋
I
X
2屯2
,
V
2
l 1
2
2
＿
＿
=＝x
2
十xX
2
一
x+22
l
XI
X1
2
n = 2 =
�ll
1 1
,
V
I
— 1 � ] = 3 = n + l
［ 2 3
1 1 1
心） ＝
r l —1 �]==2=n
2 2 2
1[23 － 补 ］已知4阶方程A= ［归气也心］，归气气立4
均
为4维列向量，其中气，气立4 线性无关， a
1
=2 a
2
-a
3
,如果
JJ=a
1
十气 ＋ 么＋a
4
,求线性方程组Ax=JJ的通解
［ 解 ］ 生 心 立 4 无 关 ==> r ( A ) = r （ 釭 气 立 ＂ 亿 ） � 3
亿＝2a
2
-a
3
==>a
l
，气，a
3
相关
==> 气 气 ， 亿 立 4 相 关
==>r(A) < 4
:.r(A)=3 n—r(A)= 4 —3=1
［ 亿 ， 气 心 心 ］ I =1 a , ＋ 气 ＋ 么 ＋ 也
(1,1 ,1 , 1) T是Ax=/J的解
又 a —2a + a = 0-==> a —2a +a +Oa = 0
l 2 3 1 2 3 4
r一
1
—2
（ a ]，气亿立4 )1 1� l=O
1
L o
T
(1,—2,1,0) 是Ax=O的解
1公 共 解
若a是(I)的解同时也是(II)的解，就称a是(I)与(II)的公共解
l．已知(I)Ax = O,(II)Bx =0
联 立 仁 ］
x ＝ 0 ( I H )
(III)的解即是(I),(II)的公共解
2 ． 已 知 基 础 解 系 ( I ) 也 气 邑 ( I I ) /J 几
设公共解为y
句
构
A =
y
造
=
（
(
也
x
I I
气
a1
I )
1
x
亿
+
心
x
—
气 2
+ I
队
＋
X
—
2 气
庄
X 凸
＋
）
X
＝
3 亿
y 孔
— y
＋
1 /J
Y
l
2
—
/J 2
Y 2 /J 2 = 0
@
y 必是(II)的解
饥＋l
2
/J义(I)的解<=>l戊＋l
2
/J
2
可由亿也 a
3
表出
查r（亿气”3)= r（亿也叫仇＋l
龙）
3 ． 已 知 A x = O , /J 孔
把(II)的通解k戊＋k/J 代入(I)，找出k ,k 的约束条件
2 2 1 2
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[23 － 补，02,4]基础解系(I厄＝ （1,0,2,3) ,a = (0,1,3,5) ,
2
T
(II) /J 1 = (2,—I,a + 2, 1) r , /J 2 (—1,2,4,a+8)
求 (I) 与 (II) 的非零公共解
［ 解 ］ 设 非 零 公 共 解 为 y ， 则 y = x a1 + 1 x 2 a 2 = — y 1 队 — Y 2 /J 2
即有xa +x凸＋y戊＋y龙＝0
1 1
记 A = （ 亿 ， 气 孔 ， 凡 ）
对Ax
=
O的系数矩阵A作初等行变换
1 0 2 l 1 0 2 l
0 1 —l 2 l —l 2
A 一
= 才
2 3 a+2 4 a+l 0
3 5 1 a +8」L a +l
y * 0 <=> x ,y 不全为零<=> r(A)< 4 <=> a = —1
i i
T T
基础解系 n = (—2,1,1,Q) ,T/ = (1,—2,0,I)
l 2
T
通解 k九＋ k办 ＝ （—2k,+ k 2 'k, -2k 2 'kl'k 2 )
X 。 X Y Y
I 2 1 2
1。 2
尸
2
+ ( k 1 - 2 化 ）
1 -1
r = ( - 2 k + , k 1 ) I y = -k 1 - k 2
2 3 1 14
3 5 1 I I 7
1［例4.19,07, 1234]设线性方程组
［：
三
十 三
三
2
与方程x, +2 x + x=a — 1 (2)有公共解，
2 3
求a的值及所有公共解．
解［ （］ 1 ) 与 ( 2 ) 的 公 共 解 即 为 联 立 方 程 组
(1)
X +X +x=0 ,
1 2 3
x, +2 x +a x=0 ,
2 3
(3)的解，
2
x, +4 x +a x=0 ,
2 3
x +2 x + x=a - I
1 2 3
对增广矩阵作初等。行变换，有 。
1 1 1 。 。1 1 1
1 2 a 1 a — 1
。
。 。
A=I
1 4 a 2 今 10 1 —a a - 1
1 2 1 a-11 IO O O (a — 1)(a —2)
当a* 1且a*2时方， 程组无解从， 而(1)与 (2)没有公共解．
1 0 1 0�
0 1 0 0
当a=l时A， I
今 1'
0 0 0 0
0 0 0 0
T
公共解k(l,O, —1) , k是任意常数
-1 0 0 0
0 1 0 1
T
当a=2 时，A➔I |， 唯一解(0, 1,—l)
0 0 1 -1
0 0 0 0
T
公共解(0, 1, —1) .
1［例］（02,4)基础解系
T T
(1匠＝（5，—3,1,Q ) 立＝（—3, 2,0 ,1 )
T T
(11)/3=(2,—I, a+ 2,1 ) ，凡＝ （—1,2,4,a+8)
I
求(1)与(11)的非零公共解
［解］设y是(1)和(11)的非零公共解
y =k,a, +k a =l孔＋l /3
2 2 2 2
则k a +k a —l几 —l /3 = 0
l 1 2 2 2 2
A=(a,a —队—/3 ) 。
2 2
5 —3 —2 1 。1 —a— 2 —4
—3 。2 1 -2 。 。1 -1 -a-8
A=I
1。 —a— 2 —4 。 。 —3a— 3 2a+2
1 —l —a—8 5a+5 —3a—3
y-:t:-0 已 r(A)< 4 <=> a = —1
1 0 -1 -1
— l —l —。7
A
0
_J
T
(III)通解：（t+ 4u,t + 7u,t,u)
2 —1
-11
I 2
r
= t队＋ U 凡＝ti.,- l+u
I I I 4
l 7
或y=( t + 4u) a + (t + 7u) a = t (a + a )+ u (4a + 7 a )
1 2 1 2 1 2
7 37
� 5 「— 「2�
—3 。2 —l
a, +a =I ＋
2
1。 1
1 1
20 —21 —l
-12 1。4 2
4a +7a =I ＋
1 2
。4 4
7 I I 7
2同解
一
若a是(1)的解则， a 定是(11)的解反， 之若， a是(11)的解，
一
则a 定是(1)的解就， 称(1)与(11)的同解
=
Ax O
=
Bx O
同
n
解
- r (
⇒
A )
r
=
(
n
A )
—
=
r (
r (
B )
B )
如
(1)Ax = 0的解全是(11)Bx = 0的解
与[
气 = 』 A =
x O x 0同解
三］
今(A
= =
Ax O 与 Bx O同解
= 且 = =
<=> r(A) r(B) Ax O的解全是Bx O的解
气 = = A
A) r(B) r[;J
2[05,3]已知齐次方程组
［三
+ = 0 x
｛
X +
b
e
0,
(I) : :;＋ 2 x ::；＝ 3 = 0， 和 （H ） 2x I / b 2 x ` 2 ` 3 ＝ 0
a3 0
X
同解，求a,b,c的值
［解］·: (II)中方程个数＜未知个数 ．．． （H )有非零解
由(I)与(II)同解，故(I)有非零解，IA=Ol
［或，同解r(A=) r(B，) 又r(B<) 3 气AOl= ]
2
1 3
2 2
＝2
3
s1
=
—
a= 0 :. a=
同
1 1 a
l
! �］一 1 ： ＼
f
[
A (I) 的 通 解： K （— 1 ,— 1 , 1
:
[= �
把
(I)的解代入(II):
－ k-bK +kc= 0
2 VK
— —
{ k kb2 + k (C+ 1) = 0
2
熘—
b) = 0 ⇒b = l, c= 或b =O ,c= l
当b = 0, c = l
＝0
(II｛) 2斗气2x ⇒r (BB) =1不同解
x + 3 = 0
1
2。 。
。 。
1 2 3 1 1 1 1
。5 。 。 。 。
2 3 1 1 1 1
1 1 今 。 O—2 － 夕 。 。 0-2
1 b C 。 b C — 1 。 。 b-c+l
2 b 2 c+l b 2 C —l b 2 -b
今 r ( A ) = r ( B )
心 ］ ＝
2
＝2
｛ 或｛
b=l b=O
b-c+I=O⇒
厂
c=2 c=l
矿－b=O 。
。
1 勹［： ）
B = ;］（ 舍
[
� 1
2A r Ax=O (I) ）
同解
Ax = 0 (II)
若a是 (1) 的解，则a 一定是 (1) 的解，反之，若a是 (11) 的解，
(1) (1) (11)
则a必是 的解，就称 与 通解．
n-r(A)=n-r(B)
同解⇒ r(A) = r(B)
T
AAx=0 (1)
同解
Ax=0 (H)
)
r
［证］若 Aa=O，则AAa = 0
即 (II) 的解 一 定是 (I) 的解
T T
若AAa= 0，有矿AAa= 0
r
⇒(Aa) (Aa) =0 :.A a= 0
(I) 一 (II)
即 的解也 定是 的解
T
故AAx = ＿ O 与Ax =O 同解
T
r(AA)= r(A)
b
b
2
i已Aa= 1
b
/？7
b
l
b
2
(Aa) 7 (Aa) = [b 九··· ·b m ] I \2 I =b 广＋房＋···+b,;,"�o
：
b
m
(Aa)
7
(Aa) = 0 <=>咙＝0
<=> Aa= 0
2设A —mxn,B-nxs 如 r(A)= n，证明ABx = O与Bx = O同解
［证］如Ba = O， 有ABa = A(Ba)= AO = O
即(II)的解必是(I)的解
若JJ是(I)的解，有ABJJ= 0
那么BJ]是Ay = O 的解，由r(A)= n
Ay = O 只有0解，从而B/J = O
故JJ是(II)Bx = 0的解
:. ABx = O与Bx = O 同解
如A —mxn,r(A)= n ，则r(AB)= r(B)
(2022,1)设 A,B为n阶矩阵，且Ax = O与Bx = O 同解， 则
证明
(A)方程 ｀ ｀＝0只有0解
E A
(B)方程组 [ : : ] y = O只有0解
0 ABB
万程组 与 。
、 A BI . I [ B A
(CC) [ ]y = 0 � ] y = O同解
0 B
万程组 。 与
、 [AB BI . I[ BA A
(D) : ]y = O ] y = 0同解
0 B
关于 (C)
由忙 Z]？[： ：］,[: ：]？忙勹
设 y 。 = [::]凡， y,-n维列是忙勹 y = O的解
列［：言］＝［；厂］＝
y
0
于是Ay = O,By = 0
l 2
因Ax = O与Bx = O 同解
故By = 0, Ay = 0
l 2
2。 �][:J ＝［罕J
[ = = =
那么 i �]Yo [i
[�
]
o
B A
即 y 。 是
[
O
A
] y = 0 的 解
反之，略
［ 分 析
J
如 冈 ＝ 团 ＝ 0 ， 则
A O E A
＝冈 ·IBl= O. ＝因 ·IABl= O
E B 0 A
B
可知(A),(B)均有非零解
。
(D)如
A=
[�
笥
，B=
[� ]
0
则Ax=O与Bx= O同解
住1-A B= 0， BA = B
。 。 。 。
AB
。 。
1
。
＝ I r= l
[ 。 勹 。 。 1 。
。 。 。 。
1
。 。 。
A 1
B 。 。 。
= I r= 2
]
[ 。 ; 。 。 。 。
1
。 。 。
2－
勹
三：
[23 补，05,3]
｛
［与 ：勹言卢
同解
(I)l2 : (H) ]
: 2 2x �=0
x:
求a,b,c的值
解 解
［ ］·.· (II)中方程个数＜未知数个数．．．（H)有非零
同解 解
由(I)与(II) ，故(I)有非零 ，IAl=O o]
同解
［或， ==>r(A)=r(B)，又r(B)< 3 ==>I AI =
1 2 3
冈＝2 3 51=2-a=O :. a=2
1 1 a
(1) k(-1,-1,l) T
{－(的1)通解： (11):
把 的解代入
—
欢
K kb+2k c = 0 1)
熘 -2k — -kb +k (c + = 0
l, l
b)= 0 ⇒ b= c= 或b= O,c=
2
3
解
x 1 +X =0
(H) { 3 ⇒ r(B)＝不1 同
2x, +2x = 0
2公众号［研池大叔】，免费提供考研网课＋PDF电子书
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a O l
l
[13,123]设A=
[ ]
，B=
]
，当a,b为何值时，存在
1 01'11 b
矩阵C使得AC-CA=B并求所有矩阵C
［
［解］设 C= x X 2 代入到AC— CA=B
I
]
3X 4X
—
[｝ ：]［：： ：：］ [：: ::]［｝；] ［: ；］
=
： 勹 ＝ ［ ： 』
丁
x ax x + ax + X
I 2 2 2
[ [::
X1 X + X4
2
=
, -x +a x3 0
2
— =1
ax1 + x + ax 4
2
— — = 1
xl X3 X4
— =b
X ax3
2
对。增广—矩阵作初。等变。换 。 — —
— l
a。
1 —
l 。l
1
。
a 。 a 1 a 。
1 1
— —
。 l 。1 。 a+l
1 1
—
a b b
1
—
方程组有解- a= 1且b=O
芍飞
飞 ＝1
对
｛
=
X +x3 0
2
T T T
得通解x = (
l
,0,0,0)
十
九(1,—1,1,0 ) + k
2
(1, 0,0 , 1)
故当且仅当<=> a=—1且b=O时
l 十 —
3 C= + 亿
[ \ :l]
K
2l
2
＋
车
a
B3
巨f
一
一女
＿
一
B
化
为
P
B
口
＿
禾
奇
｀
阵
阵
17
a
换
矩
矩
变
逆
为
化
解
1
13_可
歹
。
102
的
换卡
［
乡
A
变1
才 有
，＿＿
＿
＿
牟
p于
0
PA
俞
/
1
女
卡
。
乡
A
＿
＿
圣
忆斗足否Ax 424
Oif
＝
求 a
求斗
洒
能
A
]m
））
力牛
2
1－
21 +
0
－,列 1
－ x a 4
f
(） －
12
（
（
3 [俞
1 1 1
—
冈＝01 -II = a + I = 0 :. a= 1.
2 3 a
l
(
2)对(A,B)作初等行变换
－l
2
1 1 1 1 —1 21 11 0 2 O
0
(A,B) — [01 -l2 2 1]－[01 -l2
2 3 -1 2 0 3 I IO O O 0 －
记B =
(/Ji/J
九），对Ax ＝ 队，Ay ＝ 凡 ，Az ＝ 队
求出每个方程组通解，得AX= B的解
—l—2k
1
—3-2k
2
1—2k
3
X =[2+k 1 2+k 2 1+3k 3 ]
k k k
l 2
割
XI = -5k +3 k +4 k
1 2 3
故满足AP= B的可逆矩阵为
— l - 3
＃0
Bx
不 是 等＝介0
且 / 1 ， 夕/
4 － K
丫 量
向 ， 3 不
k
于
，
21
－
而k
5 -3
－( l
T 2 1A- / ,
亦 B p B， R 4 3
K
n生为2
3
一
2 l 2
k
K 3- l - K
2 + K 一 俞＋ k k
B
乡 ＿ － ＿ 2 2 ，
等 ＿ ＿ （ 俞 。 I 的 通A 丁 2K 同 3
。 与组 变不 1 1 力/2走 )，七 ＿ 初 牛 ＝ 圣 ＿ 才 奂 x4
而 B
八 ) r
o（
不
.
， 量
向 等 1 ,介
、
2
K
I 匕匕
－ 3
丁X
l
2 -
＋ k
x ！
文A 一－
么 ＿ 月 ＿
1
—
丿不/
B1
，
-
A
古
A AB
A
＿
一
一
p 一
因
0
牟 的 ） 所 头 或自
［
亦r 口
女
2勹＝
3 A a A
T
(2001, )设 是n阶矩阵， 是n维列向量，若r
[
: r( ),
则线性方程组
A A
( ) x=a必有解oo ( B )
A
x =
a
必 有 唯
一
解
A
T :]［勹 ＝
0仅有解零
`
A
门［勹＝
(D )
[
a
T
0必有非解O
=
［分析]Ax O仅有零解
A
x = O 必 有 非 零解
A
T
[ : ~
n+1阶，口丁］＝0（n+1个万程n+I个未知数）
1
o]
A
A 三 <
T
[
r =r( ) n n+1..．选( D )
a
a
Ax=
勹＝
A a <; T
心）<; r( , ) r [ : r(A)
⇒ ⇒
a A a
r(A)= r (A, ) x= 必有解
3［例4.15]若Ax=O只有零解，则Ax=b有唯 一 解
［分析]Ax=O只有零解<==>r(A) =n
Ax=b有唯 一 解<==>r(A)= r(A)= n
n
l ＋
n
－＿ A （
） － r
＿
_
＿
＿
＿ a
0
＝ 3
2
T
A
a
-
－
＿
＿
l
2
l 3
2
l
- 2 －
－ －
r
牟
牟
零
俞
l
俞
卡
-
l量
l
－l
l
2
－
－l
l
2
一
门 L
口 列
向 I
有 零
必 斗
有
牟
维力牛
解
只
俞
r
） r
＿
＿
）
r
＿
＿
＝ ）
n
俞
-
o
o
零
-A
-OO住＿
＿
＿一有解
阶
n
A
（
-
A
（
)
r
'
有
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y
x］y
口
、 零
1
_＿
r
r
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T||�
A -
-
－
-
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_
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＿
阶
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A
＿＿＿＿2
1
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＝
＿
＿
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2
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-
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A
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A
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J
T o
a
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x
x
2
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2
X 2
3
A
A
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-
－
斤
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I+
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）
D
分才
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＿
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2x
IX1
01ABC
XIXIXIXIX
A （
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l
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1
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－
』
= 2 = n
r [� r �] =r(A)<;n九＝心
c 4). Laii ＝ 汇 bll
— — —1
卢－B|＝卢－P 1API=IAP Ip_p AP|＝匠（入E-A)PI
平－1
I• IAE-Al · IP|=|入止Al
A~B<=>习可逆P使p-1AP=B
p-1 (A+k E)P= p-1AP+P-1 (kE)P= B +k E
⇒
由A� B A+kE � B+kE
(I)
习
A+kEI=I B+kEI
(2)
⇒
r(A +k E)= r(B +kE)
(3)
二＞入
A+kE
=入
B+kE
如斤AI'i=B，矿B�=C
庐（厅AI'i)�=C
令 P=I'i� 可逆
—
p-1 =
(Pi�)
＝矿旷
l
—1
得P AP=C
由 A~B,B~C=A~C
如何证 A~B
证A~A，再证B~A
如 p-1AP=B
习尸AP)(P-1AP)= B 2
二＞p-1A 2 P=B 2
⇒
p-lAn p =B n An=P Bn p-1
第五章 特征值特征向量 1女 口 A ~ A
An
=PAnp-l
11
a
1
n
= a
2
n
a
3
I
kE＼、n
丿
+
O 1－
O
2
0 3
－
＿
（＿
－
－
11
B
0
0
0
3
11
-
－
a
~
～
）
l
l
l
2
E
a
k
＋
l
l
l
aI
A
1
1
1
＿
（
＿
－
－
1 3－
1 0
，
贝`
”
r (
＼
j
l '
A2 ＋ A 2 E 、 ＿
＿
O 1 J
'
－
） E
2
1
3
)
2( E
B
-
－
－
E
=
B
2
B B
，
矿
+
CB
＋
~
22
A
B
E
E
～
～
＿＿
－ 已女 口
－
因A
A
-
B －
]+
＋
l
．
斤2
2
l
A
B
5
才
例
分
有
又
［
［
1 3－
4 1 3 I I 1
B+2E=[13 0] B-E=[l 0 0
可逆
3 0 3 I 3I
0 0
. ·. r（矿＋A —2E)= r(B-E) =2 －
1 第五章 特征值特征向量A可相似对角化
A ~ A o m可逆失巨阵 P 使 p I A p ＿ A
p
＿
pA
＿
A
＿ －a 0 0－
1
A( ) ( 兀 0 0
Yi Y 几 ＿ 九 Yz ) az
' 2, ， ， 2
＿ 0 0 a
3
/
＼
A yi , A y 2， A 几 ） ＿＿ (a l yi ' a 2 －勹 , a
3
几 ） －
A a A a A a兀
、yi＿ 九 yz＿ yz 几=
l ，
A 的＿ 寺 '1 直 ： a＿a 2 a, f A 3
A的
寺4正向
!，2, 3
， 量 向量
才 才 正 ·yi y y ? P介勹歹.
,2,3
'
· -
o
［ [
＼
若A o
~ 2
－
A的特征值： 1, 3, —2
P=（气气立）
若 p-1AP=B*A,P不是A 的特征向量
定理 A~A <==> A 有n 个线性无关的特征向量
A有n个不同 如入 是K重特征值
l
的特征值 那入！必有K个无关的特征向量
n
AT =A r(入E—A)=n—K
I
亿E—A)x=O
n— r(入E—A)=
I
A— 5阶
5个？
2,2,2 — 1, —l
(2E—A)x=O (— E-A)x=O
第五章 特征值特征向量 1［例5.12]不能相似对角化的矩阵是
［＼ i :
［
[]
（
(A
) 302 )
-—\
B
［ ［
[] （ ： ：］
)
(c)
;; D
3 3 3:
［分析] 上三角：1,3,0
(A
)
(B)r ( B)= 1, tr( B)= 0, 入＝0(三重根）
n-r(OE — B)=3— 1=2
(OE-B)x=O只有2个无关的解
入＝0识有2个无关的特征向亡
．·.不能相似对角化
(C)r(C)= 1, tr(C) = 6, 6,0,0
n —r(OE-C) =3 -1 =2
6 。
． o
入＝0有2个无关特征向量． ．C～ A=[ l
对称矩阵
( )
D
A—2阶，IAl A+RE � B+RE
［：门
— 2 2
A £=[� aB- E=
2 2
因A— E,B- E 不相似
:. A,B不相似
1 -2 -4 I I 5 0 0O l
— —2 —2 =
［们5.17]已知A [ x ]和B [0 y 相似
— — —
4 2 1 I IO 0 4
则y=
［分析］江心
bll
（—
1+x+1=5+y+ 4)
{
(1) —4 A
入＝ 是 的特征值
—
5 2 4
— = 2 — — 2 = —
| 4E-Al l 4 x l 9(x 4)
-
4 2 5
2
( )1 A I = I B I
4
2
4 2
。
— 2 — X 4＿
|5E Al=l 5
＿
4 2
— =—2
5(3x+8) 0y
X
= 4, y = 5.
第五章 特征值特征向量 1A
4 = =
[03, ]设钰阵A ; } 可迈向量a 是经阵 的
［了 l ［[]
l a
＊
．
一个特征向量，入是a对应的特征值，其中A 是A的伴随矩阵
试求a,b和入的值
=
［解］由A*a Aa
飞＝入
AA Aa
入 =
Aa IAla
入［� �
=
A
�][�] 1 {�l
入 =
(3+b) IAI
入 =
(2+2 b) IA lb
入
(l+a+b)=IAI
⇒
= =
(1)-(3)：入(2-a) O a 2
— = ⇒ = 或 －
(l)xb (2)：入（矿＋b-2) 0 b l 2
同＝ ⇒ 入＝
4 1或4
1 第五章 特征值特征向量［例］已知
A= [—�I -� �!]的特征值有重粮，判断A能否
l 2— 5
相似对角化
［解］
A的特征多项式
入l－ a— 3入l－ a— 3
|入E-AI=1 I 入—43I I=1 入4－ 3
1— 2入— 51 0I 入2— 入 ＿ 2
（入2
（＝ 汇2) 8 — 仁lOa+ )
(1) 如入＝2
是重根
则万—8入＋lO入+a—2有 的因式
于2是 2 1 — 6+10+a=0
a. ·. =2
A的特征值：2,2,6
－
3
r(2E-A=) 3 ＿ l
{ l ; �� - 3 ＿
n— r(2AE-3=) —1 2=
－
即入2＝ 2有 个线性无关的特征向量
(2) 如入＝ 2 是单根
则矿—8入＋10+a是完全平方
2
于是8 —4(10+a)=O
a:. 6 =
A的特征值：2,4,4
－
— 3
6
r(4AE-=) ll 3 ＿ 2
{
l ＿
-
n— r4( A-E =) 3—2=1
即入4＝ 1有 个线性无关 － 的特征向量
第五章 特征值特征向量 1求可逆矩阵P使p-1AP=A
l 预处理
．
2．求特征值人，左左
3．求特征向量 妇气心
4.构造可逆矩阵P
P=（亿，三）
［入 左
则p-'AP=
／1
：/:
言三言勹－
l
p-l
用 An =P An
A1;=
－ -n 11
a a ]
l
n
a2 ＿ a2
＿ 11
a
3
a3
－ －
2 第五章 特征值特征向量l
= [ 2 1 0
r � �
[ 21, 23 l A 仅有两个不同的特征值，若A相似于
l a b
对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P，使p-1AP为对角矩阵
［解］由特征多项式
-
入— 2 1 0
|入 E - A l = I - 1 仁 2 0 l = ( A - b ) ( A - 1 ) （ 仁 3 )
—1 - a 入 － b
因A只有两个不同的特征值
. ·. b = 1或b=3
(1)当b=1时
A的特征值：1 ,1 , 3
A�A<=>r(E-A)=l
［=一！
丿［］今[�
E-A- l a
�
�]
从而a=1且A=1的特征向量
a
l
= ( — 1 , 1 , 0 )
T
a
2
= ( 0 , 0 , l )
T
由(3E —A)x=—O
l
�l
—
一［＼
[ 三 I
3E A
�
T
得尸3的特征向量a =(1,1,l)
1
I
令 �=(a三 ＝ � � �]
）
［
J
1l
有矿A� =A= [ 1
第五章 特征值特征向量 2(2)当b= 3 时
A 的特征值： 1 , 3, 3
A~A<=>r( E-A) = 1
3
—
!:＿— ➔[�
l ］
1
E-A = 1
3
[
� �] [
:. a=—1
T T
入＝3的特征向量队＝（1,1,0) 凡＝（0,0, 1)
T
再由(E—A)x=O得仁l 的特征向量队＝（—1,1,l)
i
—
令 E
=（队 JJ ＝
， ：孔）
［
}ll
�
J
3
有矿AP, = 3
[
2 第五章 特征值特征向量［例5.20]设A为2阶矩阵亿， 立 是线性无关的2维列
2
向量且， 满足Aa = a ,Aa =—2a +3气·
1 2 2 1
(I)求矩阵A的特征值；
—
(II)求可逆矩阵 P，使得P 'AP= A.
O —2
［解］（l)A（三）＝（a ,—2a, +3a )＝（三）
2 2 ［
1 3 ]
记 R=亿（ 立）可逆
APi =PiB⇒矿APi =B
入 2
卢 — Bl= ＝（汇1)（汇2)
-1 入－3
B:1 , 2⇒A:1 , 2
(2)对B
T
由(E — B)x = O 解出 A =（—2,1)
T
(2E — B)x=O 解出庄＝（—1,1)
一2
令E
=（队，凡）＝
［ ]
1 -ll
l
有矿BP, = A =
[
2]
矿(PiAPi)Pi = A
—2 —1
得P= PJ', =（三） =（—显＋气飞＋a )
［ ] 2
1 1
『』
有P — 'AP=
A~B,B~A=A~A
矿APi = B 矿， BPi = A⇒矿（矿APi)Pi = A
第五章 特征值特征向量 2［ 例 5
.
2 1 ] 已 知 A = [ �
： ］ 和
B = ［ —
6
1 : ] 相 似
(1)求a和 b
(2)求可逆矩阵P使p-'AP
=
B
［解］（ 1） 由A~B ． 汇 al/ ＝Lbii'IAI = I B I
1+3= 6+b
.· . a = , b = —2
—5 =a + b6 7
{
入— l —4
(2)由
I
Al仁Al= ＝矿 —4入—5
— 2 入 — 3
A的特征值：5，—1
T
由(5E-A)x=O得入＝5的特征向量 a,=(l, l)
T
由(-E-A)x=O得入＝－l的特征向量a = （— 2,1)
2
1 -2
令 R = （三）＝ ［
l l
5 ］
R妞＝ ＝
A [
l]
T
由(5E-B)x=O得B对入＝5特征向量队＝（— ,1)
7
T
由(-E-B)x=O得B对A= -1特征向量凡＝ （－1,1)
令 P, = ( /3 I , /3 2 ) ＝ [
-
71
—
} ］ 有
P, B -' P, = A = [
5
—
1 ]
于是矿AR＝矿B�
—l
耽
AR矿 ＝B
令 P = R E ] ＝ [ ｝ l
— 2
] ［
－
7l
-
l
l
] ］ ＝ ； ［
一
。
1 -5
2 ]
—1
有P AP=B
2 第五章 特征值特征向量1 1 2
［例5.22]已知A=［0 a 2]，且入＝0是A的特征值，求a和A气
1 -1 0
［解］由入＝0是A的特征值
1 1 2
冈＝ 0 a 21 = 4—2a=O :.a= 2
l —1 0
入
—1 —l —2
由IAl仁 A l=I 0 入 —2 —2 ＝ 入 （入—1 )（入—2)
- 入
1 1
A的特征值：1,2,0
T
解(E—A)x= O得入＝ 1的特征向量a =（—l,—2,1)
l
T
解(2E—A)x=O得入＝2的特征向量a =(1,1,0)
2
T
解(OE—A)x=O得入＝0的特征向量a = (— 1,—1,1)
3
— ：
令P=(a,己
＝
） ［－: =』
l
-
1
则p-1AP=A=[ 2
。
那么p-lA nP=An －
＿ ＿＿ ＿＿ ＿
l l l l 1 l O
－ －
An pAnpl 2n O
= ＝ 2 l －1 1 l
－1 l 。 l
O 1 l
2n 2
-1
1
n
2” 2 2 n
-, � － ＿ 2 ＿＿ ＿＿ ＿
l l
-
0
第五章 特征值特征向量 2求矩阵
如 Aa ＝ 坏石，Aa ＝ 左a ,Aa ＝ 人也
1 2 2 3
(l)A（亿，气立） ＝ （加石，左气』凸）
－l
A =（加坏，年在，坏门（亿，气心）
(2)
令
P=（亿立心）
�l
二
人
A
［ 左
-
:_:
［例5.24 ]已知
A
是3阶矩阵，特征值是1,-1, 0对应的特征
T
向量依次为 a =( 1,2a,—l) ,a =(a,a+3,a+2)勹
1 2
T
a
=(a —2,—1,a+l) ，又知a使方程组
3
X + 2x — X = 3
1 2 3
2x + (a + 4) x + 5x = 6 有无穷多解．
1 2 3
X + 2x + ax = 3
1 2 3
(I) 求a. (II) 求矩阵 A 和r( A 2-E).
［解］（I)对方程组增广矩阵作初等行变换，
1
a
4
[� : : �]-[� � a:1 �]
当a=—1与a=O时，方程组均有oo解．
T T
但a=-1时， a =( 1,—2,—l) 立＝（－1,2,1 ) 相关
1
与特征值不同特征向量无关矛盾，舍
T T T
当a=O时立＝（1, 0,—l) 立＝（0,3,2) 立＝（—2,—1, 1)
—
令 ）＝ —
：
［；
1
(11)
l
1
1 �]
[ ]
则P-' P=A= -
A 1
0
2 第五章 特征值特征向量A = P
A P
=
［ 一；1 三
一
＼ 厂 [
l
-
l
o ] ［ ：三 三 ： 飞 ］
＝
［
－
三
—
—三
－
三 ／
2 2
因A~2A A —E~2 A —E
l
:.r(A -E)=r(A -E)=
n
且入＝0归的
［例5.22]已知A= �1 -;1 ;0 ， 特征值，求a和A
[ ]
入 0 A l
［解］由 ＝ 是 特征值
1 1 2
冈＝
0 0
1 -a1 2 0 1 = 4-2a= :. a=2 .
－
入
1 -1 -2
由 1 肛 仁 A l
=
I
— — — — 0 入 入
入
2 2 ＝ 亿 1)(,-1, 2) 1 1
—
的
A 特征值：1,2, 0
入＝ 的 T
1
解(E-A)x=O得 1 特征向量a = (-}, -2r ,})
— 的 0
(2E A)x=O得
入
A=
＝0
2
的 i
特征向量a,=( 1,1, )
T
1
(OE-A)x=O得 特征向量a =( -1, -1, 1)
1
＝ P P
令 P=(a三） :—－ = }l, -lA =A= 2
［ [
n n 1 1
那么p-lA P=A
n = = -1 1
A PNP-l -2 01
[
1
2
n
— 1
n
1 2
— , 2
n
2—
n
2 2 - 1 — 1
＿
。
＿
－
－
0
Oll -l －－ l －－ l l
l l I
－ 2n o
l 。-l 1
－－ －－
第五章 特征值特征向量 2=［2 1 1
a
［例5.22]已知A 3 0 l 与A相似
0 0 0
(1) 求a (2) 求可逆矩阵P，使P
—1
AP=A (3)求A
IOO
［解］由 A的特征多项式
入2 -1 -1
I 入 E-AI= —3 入 —a I= (,-1, -3) 2 亿＋ 1)
入 —
0 0 3
A的特征值：3,3,—1
(1) 因A~A
入＝3必有2个无关的特征向量
:. r(3E—A)=l
1
— — — 1 勹
：
0:l
?[［
:
3E — A [� — —
=
3]
量
向 （。 2 ）T “ 飞 3 l， ，
＿ 3
＿
－ 一
－l
正
＿＿
）T
－ 得 特 才 ，
－
A
p A ＝
o
l
o1
010
I
。 l，
l
O
O
P
AI
OO 131
（
得
－
－
o
I
I
O
3
I 0＿
0＿
I
0
3 P
-
－
。
＿
＿
A)
x_
10
1
尸
＿＿f
17olA
T , a
-
－
10
1
-
-
E
1 A - ，l)
A-1
-
3
4
1
0
l
有 P
l
－
l
O
－
l
l
1
1
0
A
＿＿
( 3
(
＿－
E
I
I
o
－
－
p
仁＼
＿＿
＿＿
＿
由
1
3
＿3
＿量
由 ＿ a
3
－3
I
I
o
)
－
a 3
-lAp
100
A
＿＿入
向
7-
－
a2
p
p
a
寸
又
征 寺 入 一
＿ A
＿
1
（ a
由
＝
。
)f
4
E
_ ＿
）
10
从
2
＼ 得 对
－
P
0
、
—
A 3 100 :』[�
4:
l
1 �— 1 —
3 1
00 3
3 I
OO +
0
O
+
I
13
l
33
3
100 —1
1
＝ _ —3 101 +3 4
0 0 4 _ 3 100
2 第五章 特征值特征向量＿ 一、
实对称矩阵
l实对称矩阵必与对角矩阵相似
2实对称矩阵，特征值不同，特征向量相互正交
⇒ ⇒
内积为0 齐次方程组 求特征向量
3实对称矩阵可用正交矩阵相似对角化
T
Q-1AQ=Q AQ=A
4实对称矩阵特征值 必是实数
0 1 I . . IA -1
=[—
— ＝矿＋1
A 1 ] I AE Al =;I
0 入
l
[18,2]设A是3阶实对称矩阵，a 气气线性无关
－
Aa 1 =2a 1 十气＋a 3 立厄＝气＋2a 3 立厄＝ 气＋也
则A的实特征值是
1 1 2 3
［分析]A(a ，三）＝（2a +a 十亿立＋2a ，飞＋叫
l
=(a,，三） ＼
［：
： O l
l
2 0 0
ll -l
令P=(a,，三） B＝
［
l 2 l
⇒ 。
AP=PB P-1AP=B
入－2 0
—l l =（仁 （矿－ 3)
I入E-BI= 仁 l 2) 2入＋
— —
l 2 入—l
实特征值：入＝2
第五章 特征值特征向量 2［例5,26]设A是3阶实对称矩阵，秩r(A) = 2，若矿＝A,
则A的特征值是
［分析J设Aa＝加，a*O
有 A飞＝矿a
有忨－入）
由矿＝A a= O,a *0
入为0 或 1
l
又 —
A 实对称，r(A) = 2
A-A=[ 且r(A)= 2
.·.A: 1, 1, 0
0 2 0
-
－ l - 2_ -1 - 0 － － 0 -
－ －
0 0
－ l 1 － l －
－ －
－
－ －
－ －
2
＿ 1
l-
-
－
－ ＿ －
－
－ l 0 － - 1 0 －2 ＿ 1 0 -
－
0
1 0
－ l －
－ － 。
＿ ＿
－ 1－
-
l l ＿ － 2 － l l 1- ＿
－
1 1 1
1 -l - - -l
- -
0l
l l02l ＿ 0l l-
1 0
0
＿
0
1 O
0
－ _ - 0 0－
O － －
2 2
3 O
－
3
2
4＿ 4
2 6
2 6
2＿ －
1 3
2－
1 3
4＿ －
玉
4－
玉
-2 -2
＿
＿
3 第五章 特征值特征向量用正交矩阵相似对角化
1 T
求正交矩阵Q使Q-AQ=Q AQ =A
l预处理
2求出A的特征值人，儿，左
3求出A的特征向量亿立 ，也
2
4改造特征向量
如人＃人
只需单位化
如人＝九
若已正交，只要单位化
若不正交，需Schmidt正交化
5构造正交矩阵 Q=（丘兀,y
)
3
－
［人
Q-'AQ=Q T A Q=A= 左
左
－
Schmidt正交化
设亿立 ,a 线性无关
2 3
(1)正交化
(a
2
,/3
1
)
队＝亿， 凡＝气 — /3
p
(/3P/3 )
1
_ (a3,A) ＿ (a"/3 )
2
/3 =a /3l /3 ,
3 3 2
(/3 4) （/3m/3 )
1 2
(2) 单位化
|| ||
` `
I1
rl = 几 ＝ / y 3 =
Y; = � (i = 1,2,3)
第五章 特征值特征向量 3L
们列
＿
]
a = l ＿ ＿ 3
( 3
0 ，
0）T
a 2
7
-
2
'
2n
，
T
（
＿尸 l, 丫
fJ
2＿ 门 －
丁 � 卫
— 4
2 -
门—
4
:
fJ ＿
|
| - 压—＿_
＿ 1 — 5
H
L
4 －
＿－
11 _1
l 3 — _ l －4ll
1 ＿ j 0 0 — yl＿ 陑5
＿ — 5
y
T
一
�3 －2
4＿－
-2
[列 立仆设 A 阵-2 a － 的 特 征 值有 重 根
1
－ 2
4 3
一
-
求 勺
(门 a
白 值
交
（m求
正
女
巨 { QTAQ
_
A
（ 气 ， 使 ＿
—
求
［ ） A El
III
角叶由
A白
勺特
征
多工页式
� 2
3 - -
入 4 7 o 7 入
－ - A 2
|入E － A| ＿ 2 久 2a 2 ＿ 入 -a 2
4 2
_
＿ -3＿ 4 -3
入 入
入
－7 o 0
4 －
_-
4
2 入 a I 入 ＿ _亿 － 7）[矿+ (L a)入 飞＿ 8－
，
2 +1
） 因 4 寺 ，正1 直 有 重 才 良
入 重
CI 如 _ ＿ 7
4
是 才
良贝lJ7
2 o ＿ a). 7 － a ＿ 8 ＿_ o
． a 6 + ,
＿
i 入I 良贝
如 ＿ I 7 是 单 才 iJ0－ ＋ 4 （a ＋8）_ ＿ 0
而a2
+
2
a+
33
＝ 0 无
、 实a
数才
良 ,
从 而 a 6
_
＿
.
3 第五章 特征值特征向量(11)
因亿E-AI＝（仁
7)
（矿—5 仁14)
A 的 特 征 值 ： 人 ＝ 左 ＝ 7 ， 左 ＝ — 2
对入
＝
7，由( 7E—A)x=O
!]-[
� � �]
7E
-
A
—[
! :
T T
得特征向量：a ＝（—1,2,0) ,a =（—1,0,1 )
l 2
对入＝ —2，由（—2E A)一x= 0
-
il —
2
＿0
5 一［［ ： 一［＼ 1
—
2 0
。
[: :8 :5]
(
得特征向量： = 2, 1, 2)
a3 T
由入＝7的特征向量亿立 ，应将其正交化＿
2
!
/3 , =a =
, [ ]
�
』
/3 = � =
; [ - ]- [ ] [-
¼ -i ¼
再单位化
； ；
/l
/l
＿2－
, , 1
1
_
y] 兀 ＝ 几 ＿
＝
3 ＿ 3 2
－
＿
令 Q = ［ 兀 几 心 ］ ＝
1 2
4
-
J
3石 3
2 1
2
- J
3J5
3
2
J
。
-
3 3
-
7
则Q-'AQ=QTAQ=A=[ 7
2
－
第五章 特征值特征向量 3—
(III)A的特征值：人＝左＝7，左＝ 2
A+3E的特征值： 10, 10, 1
:. IA+3El=100
或A� A⇒ A+3E � A+3E
:. IA+3El=IA+3El=100
—
［例5.28]设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且AB 6B= 0,
［｝ :
a
U)
其中B= －2 求a的值；
— l
0 1 3
(II)求矩阵 A 的特征值、特征向量；
00
(III)求A和(A- 3EY
［解］（
I）因AB=6B若B可逆，则A=6E
与r(A)= 2相矛盾，于是必有团＝0
—
1 2 a
—
IBI= I I a 2 I= 4 4a
—
0 1 3
:. a= I
l ) 2
(II)由AB=6B记B=（九心心）有Ay =6 y 'Ay = 6兀
T T
1 2
入＝6是A的特征值Y = (1, 1, 0) y = (2,1 , 1)
是入＝6的线性无关的特征向量
又
r(A)= 2知同＝0 于是入＝0是i的特征值
T
i 2 3
设a= (x , X , X ) 是其特征向量
因实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交
矿历＝0
｛ 1
矿Y =0
＝0
斗飞
1 2 3
2 x +X +X =0
T
得基础解系a =（—1, 1, 1)
.·. A的特征值：6,6,0
T T
l 2
特征向量：九(1, 1,0) 十化(2,1,1 ) k 'k 不全为零
T *
—
3 l
k ( 1,1 , 1) k 0
3 第五章 特征值特征向量－6 －
－ －
（III）令 p ＿ （ yl y a 、 丿 有 p Ap ＿ A ＿ 6
， 2，
＿
、
＿ ＿ 。
l－
-
l －
l
那 么 A = P 欧 － I =
[
I 。
4 2 2
= 2 4 —2
[
—2 4
由P lAP=A 有P ]( A —3E )P=A —3E
y y
p—I (A - E 00 p = ( A -3E 00 =3 100 E
从 而 ( A — 3 E ) 1 o o = P ( 3 1 0 0 E 尸) ＝ 3 1 0 0 E
一
6
6
ol[� �
了 ｝／［
向量的内积
设 a = ( a , a
2
· ·
T T
· a ) ,/J = ( b, b · · · b )
n 2 n
(
［
(
a
例
a
/J,
］
/J,
a
)
)
＝
=
=
吐
(
l
I
· (
2,
—
＋
2
0,
a
)
立
2,
+
)
3
T
＋
3 ·
· ·
fJ
+
·
0
+
=
·
a
1
（
n
—
+
九
2
2
＝
3 ,
· 4
矿
1 ,
=
4 ,
fJ
1
)
5
T
= fJ 五
如： （ a,/J) =0 称 a 与fJ正交
( a , a ) = a t + a � + · · · + a �
称扣 t 2 +a � +... + a�为向量 a 的长度，记ll all
内积的性质
( 1 ) ( a ,/3 ） ＝ （ /3 ， a )
(2)( ka,/3） ＝(a,k/3） ＝k(a,/3）
( 3) (a +/3，r)=(a,y)+(/3，y)
(4)(a ,a)习0等号当且仅当
a
=O时成立
第五章 特征值特征向量 3正 交 矩 阵
T T
A-n阶，若AA =A A= E,则称A是正交矩阵
J「
A是正交矩阵<=>A =A-l
<=>
A的列向量都是单位向量且两两正交
I I
如A 是正交矩阵==> A 为＋ 1或－l
A A T = E ==>
I
A A 勹 ＝ I E I
门＝
IAl·I 1
2
I A 1 = I
[� �][� �l] [� l;』
三
I I I 2 I I I -1
[-2 1] I
忑
ll]
；
[＼ : ;l ] ［}—l ll
( 0 2, 4 ) 已 知 A =
[ �
;
l
�
l ，求 正 交 矩 阵 Q
l
l
—
使Q AI Q=A，并求1A E:的值
3 第五章 特征值特征向量2025李永乐线代强化笔记
第六章 二次型—与特征值、 特征向量的联系
一、 基本概念
二、 标准型
(1) 配方法
(2)正交变换法
三、 正定
r
邓＃ 0恒有x Ax> 0
A正定<=> /4 > 0 <=> p = n
四、 合同A=B
T
C AC B,C可逆
=
PA = Ps qA = qs
注： 为2024年前的题目， 在此作为补充！
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第六章 二次型 1二次型基本概念
1.二次型及其矩阵表示
一
f (X ,X ,X )= X 2 + 5喜＋5忒＋2x凸 －4x心
1 2 3 1
�
：
l
2
［： ：
i[
= [X X X
1 2 3
}
2 ]
3
r
=x Ax
A T =A 二次型的矩阵
f � A （ 对 称 ） 一一 对应
A=[
]
� ; �
x T Ax= x 2 +4x;＋忒＋4x凸＋2xx + 4x心
1 1 3
2．标准型
X2 +5 对—2xf 2喜—5xf
1
l O
= =
A [ 5 ] A [ 2 ]
— —
2 5
3.规范型 1, -1, 0
X2＋斗＋忒，X 2 +x;—xJ
1 1
X2—喜，喜＋xJ
1
2
X
I
4.正惯性指数 负惯性指数
X2 +4寸＋9xJ p = 3,q = 0
1
X2—喜—xJ p = 1,q = 2
1
—3寸－SxJ p= O,q= 2
2 第六章 二次型．二次型的秩
5
r(f) r(A)
f
= = p+q
5
因
2]=3
-2 3
x x
知二次型 t +S � 忒的秩为
6.坐标变换
1 = 11 1
X C Y + C1 Y + c13y3
X2 = C2 1 Y 1 + C2 2 2 Y 2 2 + C2 3y3
lei*
0
= 1
X3 C3 1Y + C3 Y + C3 3y3 l
[： [／ ： 2 2
3
2
]＝ 3
2 2: 22:2 ] [::
3 3 3 2 3 3 3
x=Cy
C
可逆
x
1
曰：若 』::
+
X
—
2
:
X3 不是坐标变换
= 1 x
Y3 X + 3
1 1 0
—
0 1 11 = 0
1 0 1
7．合同
T
C AC=B,C A B A=B
如 可逆，称矩阵 和 合同，记
［} }]［ 1 —1
=
1
由[\l lo] 0 ] [� �]
[: :]=［；订
5
因［� �][: :][�二］ ［： ]
25
＝
5
[｝ }] [： ]
25
＝
第六章 二次型 3(l)A = A
(2)
如A=B，则B=A
(3)
如A=B,B=C，则A=C
T
Pi APi =B , 氏BPi=C
Pi
T
(Pi
T
APi)Pi= C
令p= PiPi有p T AP=C
［定理6.1]二次型x T Ax经坐标变换x=Cy得二次型Y T By'
T
其中 B=C AC
f (x,, x , x ) = x T Ax V x = Cy
2 3
T T
=( Cy) A (Cy) =y 了ACy=y By
T
B= C AC
T
矿＝（cT Ac) =C T A(c丁＝C T AC=B 对称
［定理6.2]任一个二次型x T Ax都日坐标变换x=Cy化成标准形
T
Y Ay = d忒＋d 对＋d yJ
2 3
(1)
配方法分不唯一
(2)
正交变换法
T T
x Ax =y Ay＝人对＋左式＋左yJ 特征值
x=Qy Q= （丘九心） 特征向量
Q
由 A 实对 禾尔 存在正 交矩阵 使 得
，
－ －
人
Q 丿Q A
左
＿＿ ＿
＿
左
－A －
QT Q
即 有 A
=
令 _Q rj
贝
X 几
＿
V
xT
AX (Q
A
(Qy
）
＿ y
丿
＿ TQT Qy
A
＿y
Q
＿
＿y
T A- lA Qy
＿ T
＿y 2
＿人 2Y
＿ Yi
左
兄
＋九 式
+
＿
4 第六章 二次型［例6.4]用配方法化二次型
2
八XI,X 2,X 3) = X 1 +3 寸＋3忒＋2x1x2 —4x心
为标准形，并写出所用坐标变换
2
［解］ f (X1,X 2, X 3) = X1 +3 式＋3忒＋2x1x2 -4x心
2 2
= ［忒＋2x1(x2 -2x3) + (x2 -2x3) ] +3 斗＋3忒—(x2-2x3)
2
=(x1 +x2 -2x3) +2x;-xJ +4x心
2 2
=( x1 + x2 -2x3) +2 (x2 飞
厂
） -3xJ
yl =x1 +X 2 -2x3 1 =y1飞＋3y3
令」凡 ＝ X 2 + X 3 即 X 2 = Y2 - Y3
y3 = X 3 X 3 = Y3
2 y2
＋ 3
z －－ － l
z
2
Z
3
－－ －
-
－
23
l
-
- - yl
旯
兄
－ －
- 2
Y
1－-
气
Z 2
气
0l l －－
1 l
0 l
OOl
)
-
ll
1
Il
o
+ y2
3
0
1
0
－ -1
0
0
－
－
兄
001
兄
－1
1
O
凡－)
2凡
一1
0
_ 0
＿
1一
I
l
o
+
I
-
＝
yi－
3
2
2
-y－
y
y
l
l － － － O
－
XI
2
Xx3
(
y
y
＄丿
(
l l
`
\
4
2
兄
＿＿
-
－
凡
x
3
)+
+4
）
-
-
I
I
- 气
Z 2
气
－
yi
凡
兄
－
－
凡
-
－ －
y
(
）
XI
n丿
凡
旯：
-
l
4
(
2 3
y
2
I
I
0
2
l
(
1
-
行
+
YI
4
＋
3
- 2
-
l
l
－
X X_凡
y
2
)
(
+ 22
Yi y
2 )
ll
O
2
2 2
2
+
I
�
y
2
兄
凡
兄
兄
0
1
0
-
=
yil
兄
+
2
+
＋
2 y
y
-
2
_
+
I
l
O
O
l
l
O
凡[[
+
Jf
＿一
＿＿＿＿
yl2l
yi
y
yi
2 Yl
5
XI
X
2
x
3
凶
切
订
气
订
「
－
＿
＿
＿
＿
＿ －
－
l
－
＝
6\
＿＿
＿＿
＿＿
＿＿气
气
气
丸
X 2
x
3
=
歹rl
f
令
们
令
f
\
－
-
L
2 f= 2z —2z�
l
第六章 二次型 5［例6.6]已知二次型／（X1,X2, X3)
= 2对＋a忒＋2
x2x3 经
正 交 变 换 x = P y 可 化 为 标 准 形 Y 12 +by� -yJ，则a=
［分析］二次型矩阵A和标准形矩阵 A
A
=
[
2
� :
]
A
=
[
l
_ J
经正交变换x=Py
T
pAP=A亦即p-'AP=A
2
+ a = b
. ·.
a=0
{
— 2 = —
b
r 2
［例6.7]已知二次型xAx
=
x, -5x:
＋忒＋2
ax
凸＋2
x
心＋
2bx心
2 2 2
的秩为 , ( ,1 , 丫是A 的特征向量，那么经正交变换二次型的
标准形是
［分析］正交变换下标准型台A特征值
A=
7
[ � � ]
rA( )=2:
入＝0是特征值
2
同＝
= =
－（a-b) 0⇒a b
( 2, 1,2 丫是特征向量：
[ 7 0
7 ] [ � ]
=
� [ � ]
=2
4+a 人
⇒ a = 2 ,A, =3
—
4a 5 ＝人
{
— —
l+（ 5)+1=3+0＋左二左＝ 6
正 交 变 换 下 的 标 准 形 ： 3 对 — 6 y J
6 第六章 二次型T
(24,3)二次型f(x心心）＝x Ax在正交变换下可化成
f
对－2式＋3yJ，则二次型 的矩阵A的行列式与迹
分别为
(A)—6,—2 (B)6,—2 (C)—6,2 (D)6,2
［分析］正交变换下标准形对—2沁＋3yJ
A的特征值：l，—2,3
冈＝点，
－6
2
迹＝ 入， 2
用正交变换化二次型为标准形
f
0.由 写出二次型矩阵A
l预处理
2
3
求
求
特
特
征
征
值
向 量 亿
入 ， 左
立
，
2
左
， 也
4改造特征向量
(1) 如人＃入 只需单位化
丿
(2)
如入＝九
若已正交，只需单位化
若不正交，Schmidt正交化
5 构 造 正 交 矩 阵 Q = （ 九 心 心 ）
人
6
Q
写
得
—
坐
'
x
A Q
T
杯
A
=
变
x =
Q
换
y
1
， 得
T
A
A
Q
y
杯
＝
=
准
人
［
形
y
左
三
x
儿
=
对
Q :
＋
l
� Y i
第六章 二次型 7［例］已知入＝1是二次型
xA T x=a x2 +4x—: 3忒＋4xx—4x心＋ 8x心
1 1 2
矩阵A的特征值，试用正交变换化二次型为标准形，
并写出所用坐标变换
—
［解］二次型矩阵 A- 4:l
:
［ — :—
2
由入＝ 是A的特征值，有
1
l —a — 2 2
I-E Al=-l 2 -3 —4 1 2= 8a 0= :. a =O
2 —4 4
入 — 2 2 入 — 2 2 — 2。 入
由亿-E AI=— 2 入 —4 4— I=— 2 入 —4
2 —4 入＋31 I2 —4 入—l
2
＝（仁 1)（入 — 36)
—
A =l , 6 , 6
T
当}., =1由， （E—A)x=O 解出a =2( ,0, —l)
1
r
当入＝6，由6( E-A)x=0 解出a =(l,5,2)
2
T
当入＝—6，由（—6-E A)x0= 解出a =(l ,-l,2)
3
实对称矩阵特征值不用特征向量已正交单， 位化
卢 几
— — —
[: l /l
[ ]
2 1
y l y * �
2 l 嘉
石 国
－ － 5 － －
X yi
I 1 兄
刃F么 ， 令 X 2 ＝ 。 画 孔 兄
x 2 2
3 1
－ － 5 国 － －
五
有xA T x= y T Ay＝对＋6对 — 6yf
8 第六章 二次型2
1.f (X X, X, ) = x + 3喜—5x:
1 2 3 1
Y =X
1 1
=5 y2 屯
S
✓
Y = x
3 3
2
2. f(x心心）＝ X +4喜—9xJ
1
f ＝ 对 ＋ y � - y J
』
I
2
2
厂 f= Y
1
＋沁—yJ
:3 :
X
f(x 1 x心）＝ ax 1 2+ (a- l)喜＋（ +a2)xJ的规范形为Y 1 2—式—Yi
a+2>a>a —l
（。）
aE 2 ，
2 2 。
y 2 a＿＿
y
>
o
V
o
o
f 5 2
| — a <
\ 5 1
—
_ 范
、
若 开夕
· ／
［例6.12]已知二次型
r
f(x ,x ,x)= x Ax=ax � +a喜＋axf+2x凸＋2x心 —2x心
1 2 3
的 规 范 形 是 对 ＋ 对 ，
( I)
求a 的值；
(II)
求正交变换x=Qy化二次型为标准形
［解］（
I）二次型 A=[ l
钮阵
� —� 1 � l
入—a - 1 - 1
2
由入E-AI= —l入—a 1=入（ —a-1) 亿 —a+2)
1
—1 1入—a
A的特征值：a+ 1, a+ 1 , a —2
因 规 范 形 是 对 ＋ y �
a+1 >0
{ .· . a=2
-
a 2=0
第六章 二次型 9值
伈
＼
、A 的才寺征
，.
33
'
o
对丿 三 由（
E. 0
－ 入 － 3 - A =
, － ）x
_ －
l 1 l 1 l
一 1 I I
l 1 1 f
0
o o
一
l 1 1
0
o o
－＿
二特
对
才
正
向量
a I(
1o)
Ta 2 I
－（l 0 l）T
。
由 IE
1,
)
,
0I
，,
入
＝
o－A x＿
， 1
＿
特
，
正
向量
（ a I
，1
1
）T
才 －
-I
,，
1
令
队 ＿＿al ＿ 1－
l
[ _
2
O
－－
＿
- －
1 1 1
1 1
有 庄 ＿＿ 0 － -－2 _ 1 ＝ 2 - 1
1 0 2
－
－
把 队 fJ x 单 位 1 －
七
3
-1
] －
-l
＿
- -
-
l－
1 1 l
yi ＝
_
1＇ y
2
＝ -， l 兀 ＝
＄
l
2 0 高 2 l
－ － - －
l l 1 －
5 高 - 5
＿
-- 1 －
X yl
I 5 l l
凡
令 X 2 ＿＿ 五 $ 兄
l
x
3 2 5
O
拓 刃 －
－－
“
有 x TA x＿y TAY＿ 2 ＋ ＿
1
＿ ＿ 3
1 第六章 二次型f T
［例6.13]设三元二次型 (Xi, x2, x3) = x Ax的矩阵A满足
2 T
A — 2 A=O，且a1 = [ 0, 1, 1] 是齐次线性方程组Ax=O
的基础解系
f
(I) 求二次型(X1 ,X2,X3)的表达式；
T
(II)若二次型x (A + kE ) x的规范形是对＋式—式，求k.
［解］设 2
Aa＝屈，a*O，则A a＝矿a
2
—
由矿＝ 2 A，有（入 2入）a=O
.· . A的特征值： 0或2
= — =
因al 是Ax O的基础解系n r(A) I
那么r(A) = 2 ，又因A实对称
2
。
A - 2 A的特征值：2 , 2 , 0
[
0 l
T
又Aa, = 0 = 0亿立＝（ 0,1, 1) 是A关于入＝ 0的特征向量
T
设a=(x心心） 是A关于入＝2的特征向量，则
矿亿＝X2+ X3 = 0
T T
（
解出a2 = (1, 0 , 0) 立＝ O，—1,l)
（
A(a1 ，气立）＝ 0 , 2 a2, 2 亿）
［[ l
-
0 O
－l [ ： ［
A =( 0,2 a2,2 a3) (a,，三） ＝ - 2 l
[
] l
2
\
= ]。l
[[ :l l
T 2
x Ax = 2x1 十寸＋忒— 2 x心
(2 ) A的特征值： 2 ,2 , 0
A+kE的特征值：k+ 2 ,k+ 2 ,k
规范形为对＋y�-y;
>
k+ 2 0 (—
. ·. k E 2 , 0)
{
k 0 称， f 是 正 定
。
二
1
0
次 型
V
正定二次型的矩阵称为正定矩阵
(
证1) A正A定
检验 对称
(2)
>证 明正定
aii
0正（ 定必要条件）
顺序主子式权大于0
特i正 征
正立
值
之
全大于0
(1) V 0 ⇒ T > 0
(2)
定义0法： x
*
x Ax
(3) 入p ＞ = n
(
定
1)
理 （正
A
定的必要条件）
0
矩阵 的主对角线元素全大于
( 2 )
I
A
I >
0
A=E
第六章 二次型 1J f ( x l， x 3 x ） 3 II x l 2 +5 x2 2 - 4 X3 2 ＋2 x l x2
-
0-
耳又x ＿一 0 ＃ o f （00 , l －_一 4
白 .
－ l 2 0 1 ll -1 2 1
-
2
-
3 5_
卜
2
5
2
0 5 6— 1 0
2
－ － 1 － －
1 2 1- -l l 1
- -
2 2 1 2
3 1
-
1 l
5 1
2 5
－ － -
－
贝 ［ lJ 17 —615 的 ］ 耳 又二 次 值 型 范 1 x 2 ＋ 是 4 X 2 2 + 4 x 3 2 + 2 tx l X 2 2 x l x 3 十 4 x 2 x 3 正定 ，
t ] 围
［—
! ]
A
=
:1
;
l t�J
= 1 � = = 4 -t2 > 0
�I 2 I t � 4
= A = -4t2 - 4t+8 > 0
�3 I I
—
2,2)
: ( . ·. t E (— 2, 1)
{t: e (—2, 1)
1 第六章 二次型] —1
［例6.17 已知矩阵 A是n阶正定矩阵，证明A 是正定矩阵
［证 ］ 由A正定，知 A T = A，且 同 ＞0
得 （ 丁 （ T 厂 —
A是可逆 ，且 A ＝ A ＝A 厂对称
I'
［ 方法一］
用特征值
设A-1a＝加，a*O
1
那
么—是A的特征值
入
1
因A正定，有—>0
入
从而入＞0 故A-l正定
［
练］设
A-mxn,r(A)=n，证明A
T
A 是正定矩阵
［证］ （ A T A) T =A T (A 丁 ＝ATA
T
A A 是对称矩阵
Vx*O往证x T (A T A )x >0
T
邓＃ 0往证(Ax)(Ax)> 0
Vx*往O 证Ax*O
因A —mxn,r(A)=n
故Ax=只O 有零解
即
Vx*O，必有Ax*O
T
Vx*O，必有(Ax)(Ax)> 0
Vx*，O 必有x T ( A T A ) x>O
T T
．二次型x A Ax 是正定二次型
． ．
T
·. 矩. 阵 A A 正定矩阵
第六章 二次型 1A— mxn,x —nxl
Ax — mxl
b
l
b
让tAx= 2
…
b
m
b
l
b
(Ax) T (Ax)= （妞...九） 2 = b 2 +bJ +... + b,! � 0
1. l
：
b
m
(Ax) r (Ax) = 0 <=> \:/b = 0
i
七
Ax= O
r *
(Ax) (Ax) > 0 <=> 3bi 0
<=>Ax* 0
［例6.20]设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，
证明矩阵
A—B2
可逆
．
［证］（ A—B 丁＝（ A+BTB T =A T + （矿 B T =A+BTB=A—B2
) )
x T (A -B2
)
x = x T (A +B TB
)
x = x T Ax + x TB T Bx = x T Ax + (Bx) T (Bx)
T
由A正定，Vx-=1=-0必有x Ax> 0
r
又 \:Ix -=I=- 0, (Bx) (Bx) 之 0
T 2
V x-=1=-0，必有x (A-B x > 0
)
二次型X T (A—B 2 x是正定二次型
)
A—矿是正定矩阵
2
:. A-B 可逆
1 第六章 二次型四合同 A=B
T
C AC = B,C可逆
P = Ps,q = q
A A B
A,B等价(mxn)
A经初等变换得到 B
<=>�--·PiPi A Q,Q
2
·Q
1
= B �,Q
丿
初等
<=> PAQ=B PQ可逆<=>r(A)= r(B)
A,B相似 (n 阶）
—1
如存在可逆 P,P AP=B
判断相似
1.实对称 A~B<=>九＝心
2.如 A～ A,B ~A ，则A～ B
判断不相似
*
CD IAl-=;t:. IBI; r(A) r(B)
九＃心； 汇
al/ ＃
汇
bII
@)A~A，但B不可相似对角化
@A�B<=>A+kE�B+kE
A , B合同(n 阶实对称）
存在可逆 C , C T AC= B<=> P = Ps,q = qs
A A
定理6.4（惯性定理）
经坐标变换p和q由二次型唯一确定
T T
x Ax=y By
A=B<=>凡＝p ,q =q
B A B
第六章 二次型 12 - 1 - 1
I I o o
=［
1
= l l B l
[07年］纬阵A — 2 - , O O
[ l l
1— -1 2 I Io o o
x
r
B x
=
x
12
+ x � p
=
2 , q
=
0
入—2 1 1
= 仁
入| 贮A| 1 2 1 入＝ 亿—3) '
［ ]
1 1入—2
3
— — —
= 3 = B
A + — = = 3 +
[ 3] ［_[ ! �] E
A : 3 , 3 , 0 p= 2 , q= 0
合同但不相似
B=
［例6.22]矩阵A=[� �J � ：]等价合， 同但不相似
[
B B
r(A) = r( ) A, 等价
a l / ii
汇 ＃汇b A, B不相似
r 对
= = l =
1
xAx x2 +2 p 2, 0
x
r
B
x
=
x
12
+ 4 x �
=
p = 2, q 0
A 和 B 合 同
举2阶矩阵的例子
特征值相同但不相似
［； ［；
= B=
－
A , 3
：］
5]
·: A有两个不同的特征值1, 3
l
=
:.
A-A 3
[
]
l
B =
同理 -A 3
[
]
从而［；勹
-
3
[
; 5]
2 第六章 二次型2 2
A = [ a B =[ 2]
2 2
A: 2, B: ,2
—
—
2
E A
=[� ]
ol
2
r( E-A)= 1
— 2 2 —
n r( E-A)= 1=1
—
2
( E A)x=O只有1个无关的解
2
入＝ 只有1个无关的特征向量
. ·. A不能相似对角化
故A和B 不相似
A~B⇒九＝心
实对称
A ~ B 仁 丸 ＃ 心
T T
JJ。 x Ax,x Bx标准形相同
= =
A , A B
P Ps q q
A = B 合 同
2
第六章 二次型I a 11 21 0 0
[201年3 ］钜阵[a b a 和l [0b 0相l 似的充分
I a 11 10 0 0
必要条件是
(A)a=0,b=2. (B)a=O,b任意常数
(C)a = 2,b = 0. (D)a= 2,b任意常数
［分析J实对称A~B <=>丸＃丸
B: 2, b, 0— — — —
入 l a I I I Jt, 0 入
卢Al=－
l
-a 入— b － ——a 1=1-—a入— b － -—a
- 1 a入 1 l a入 l
入— 仁0 —0 — — 2
= —a — b 2—a入＝ ［ 矿 (b+入2) ＋2b 2a ]
a a入 2
入＝ 2 2是A特征值： 2 2
b -b (b +2 ) + 2b—2a = 0⇒ 2a = 0
A2=b是A特征值： 2 2
b —b(b+2)+2b—2a = 0⇒ 2a = 0
=
:.a O ［Vb选(B) ［
2 0 01 21 1 0
打断A= 02 2] B= 02 l 相l 似
尸 0 团 0 ； 2 1 10 02 心
-1.,B; i ii
［ 如 分析]IA r(A)*r(B)九产 I: a i b
A~B，则A+kE�B+kE
— — 0 0 01 汇 — 01 1 0
而A 2E [002] 2E [O O ll
0 0 0 1 10 0 0
. ·. A禾了B不相似
2 第六章 二次型［例］ A =[� aB= [� :]
矩
列
阵
向
乒
量 组
B
等
［ 勹
价
忙 ］ 与 仪 ］ 勹 ］ 不 等 价
行 向量组
[1,0],[2,0]
与
[0,2],[o,1]
不等价
f
初 ］［；
］[: ：]
等价
[；],［?］三］，
［
勹等价
[ 1, 0], [ 0, 1] [2,0],[o,3]
`与
等价
[1` ;］等价
［工
］三］，勹］等价
[l, 2], [ 2, 4] [1,1],[ 2, 2]
与
等价
第六章 二次型 2［例3
.
16]设向量 fJ可以由向量组亿立
2
'...'a
m
线性表出，
但 fJ 不能由向量组亿立 ,···,a 线性表出，判断
2 m—1
(1)也 能否由亿立 '...'a - '/J线性表出？为什么？
？ 2 m I
(2)a“, 能否由亿立 '...'a 线性表出？为什么？
2 m—1
(1)/J可由因气..·,
a 表出
m
<=> 3 I ,l ,·..,l,?？使/J = l立＋l凸＋...+' -a -I + l 汇
I 2 m 1 m /11
由fJ不能由亿立 '...'a 1线性表出 (1)
2 m—
必有l -=t:- 0
111
1
从而汇＝ —（/J —l江 —l
2
a
2
—...—l
m
-la
m—
I) (2)
l
111
故a 必可由亿立 ,...，a - '/J线性表出
／刀 2 m I
(2)
反证法
如 a"能由亿立 ,...,a 线性表出
1 2 m—1
设汇 ＝ k互＋ k乎＋·· · +k
m
-la
m
-l
那么/J=l凡 ＋l a +... + l -la - +l /11 (k吧＋k a +· · · + k _,a _,)
2 2 m m 1 2 2 m m
= （l1 + l kl厄＋（l + l 丸）气＋·· · +( f - + f k )a l
n? 2 n m 1 m m—I m—
与 fJ 不能由a ,a ,...，a -线性表出相矛盾
1 2 m I
故也 不能由a ,a ,..., a -]线性表出
？ 1 2 m
f3可由向量组亿立 ．．．，气线性表出
2, 1
<=> r（亿气...己）＝r(a凸...也/3)
1
f3不能由亿立 '...'a -I线性表出
2 m
<=>方程组x心 1 +X凸＋...+x m _,a/11 —I = /J
无解
<=> r(a凸..·a ,)+l=r(a凸...已－lf3)
m—
r（亿气...汇）＝ r(a凸...气f3)
1
�r(a凸..·a _,/3)
m
(2)
r(a凸···a l)＋ 1
= m—
�r(a凸...汇－ 汇）
l
故必有r(a凸...a11_1) + } = r (a凸...汇）
1
即a,? 不能由亿气．．．a -l表出
？ m
x之y之z之卢x
如
割x y z t 第六章 二次型
= = =
