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第 3 节 二项式定理
考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解
决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)；
(2)通项公式：T ＝ C a n － k b k，它表示第 k ＋ 1 项；
k＋1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即 C ＝ C
二项式系 当k＜(n∈N*)时，是递增的
增减性
数C 当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式 当n为偶数时，中间的一项 取得最大值
系数最大值
当n为奇数时，中间的两项 与 相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n .
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝
C＋C＋C＋…＝ 2 n － 1 .
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排
列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( )
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系
数不同.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 二项展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中
间两项，故(1)(2)均不正确.
2.(易错题)已知(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的
值为( )
A.1 B.±1 C.2 D.±2
答案 C
解析 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
则二项式的展开式通项为T ＝C()5－k·＝akCx，令＝0，得k＝3，
k＋1
则其常数项为Ca3，
根据题意，有Ca3＝80，可得a＝2.
3.(多选)(2022·淄博调研)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有( )
A.存在n∈N*，展开式中有常数项
B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项
答案 AD
解析 该二项展开式的通项为T ＝C(x3)k＝Cx4k－n，当n＝4k时，展开式中存在
k＋1
常数项，A正确，B错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错
误.
4.(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
答案 C
解析 法一 ∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15.法二 当x＋中取x时，x3y3的系数为C，
当x＋中取时，x3y3的系数为C，
∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15.
5.(易错题)在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和
为________.
答案 1
解析 因为所有二项式系数的和是32，
所以2n＝32，解得n＝5.
在中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
6.(2021·浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a x3＋a x2＋a x＋a ，则a ＝
1 2 3 4 1
________；a ＋a ＋a ＝________.
2 3 4
答案 5 10
解析 (x－1)3展开式的通项T ＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项T ＝Cx4－
r＋1 k＋1
k，
则a ＝C＋C＝1＋4＝5；
1
a ＝C(－1)1＋C＝3；
2
a ＝C(－1)2＋C＝7；a ＝C(－1)3＋C＝0，
3 4
所以a ＋a ＋a ＝3＋7＋0＝10.
2 3 4
考点一 展开式中的通项问题
角度1 求二项展开式的特定项
例1 (1)(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是________(用数字作答).
答案 240
解析 的展开式的通项为T ＝C(x2)6－r·＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得
r＋1
常数项为C24＝240.
(2)的展开式中所有的有理项为________.
答案 x2，－，x－2
解析 二项展开式的通项公式为
T ＝Cx.
k＋1
由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.
令＝r(r∈Z)，
则10－2k＝3r，k＝5－r.∵k∈N，∴r应为偶数，
∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2.
角度2 两个二项式之积、三项展开式问题
例2 (1)(1＋x)6的展开式中x2的系数为( )
A.15 B.20 C.30 D.35
答案 C
解析 因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为
1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.
(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
答案 C
解析 法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T ＝C(x2＋x)3·y2.
3
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二 (x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.
∴x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因
式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30.
感悟提升 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数
符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，
代回通项公式即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规
律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利
用排列组合的知识求解.
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
训练1 (1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为( )
A.－3 B.－2 C.1 D.4
答案 B
解析 (x－1)4的通项为T ＝Cx4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系
k＋1
数为C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2.(2)的展开式中常数项是________.
答案 －1 683
解析 表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中
分别抽取2x，2x，，，－3，则此时的常数项为C·C·22·(－3)＝－360；第二种情况是
从五个中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243；第三种情况是从五个中
分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C·C·21·(－3)3＝－1 080，则展开
式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.
考点二 二项式系数的和与各项系数的和问题
角度1 二项式系数和与系数和
例3 (1)(2022·广州模拟)若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每
一项的系数之和为( )
A.－1 B.1 C.27 D.－27
答案 A
解析 依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为
(1－2)3＝－1.
(2)(多选)(2022·济南调研)若(1－2x)5＝a ＋a x＋a x2＋a x3＋a x4＋a x5，则下列结
0 1 2 3 4 5
论中正确的是( )
A.a ＝1
0
B.a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝2
1 2 3 4 5
C.a －a ＋a －a ＋a －a ＝35
0 1 2 3 4 5
D.a －|a |＋a －|a |＋a －|a |＝－1
0 1 2 3 4 5
答案 ACD
解析 令x＝0，则a ＝15＝1，故A正确；
0
令x＝1得－1＝a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ，所以a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝－1－a ＝－
0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0
2，故B错误；
令x＝－1得35＝a －a ＋a －a ＋a －a ，故C正确；
0 1 2 3 4 5
因为二项式(1－2x)5的展开式的第r＋1项为T ＝C(－2)rxr，
r＋1
所以当r为奇数时，C(－2)r为负数，即a＜0(其中i为奇数)，
i
所以a －|a |＋a －|a |＋a －|a |＝a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝－1，故D正确.
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
感悟提升 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋
b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
2.若f(x)＝a ＋a x＋a x2＋…＋a xn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项
0 1 2 n
系数之和为a ＋a ＋a ＋…＝，偶数项系数之和为a ＋a ＋a ＋…＝.
0 2 4 1 3 5角度2 展开式的逆用
例4 已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a ＋a x＋a x2＋…＋
0 1 2
a x100，则a ＋a ＋a ＋…＋a ＝( )
100 1 2 3 99
A.－1 B.－2 C.299－1 D.
答案 B
解析 记f(x)＝1－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100－1＝[1－(2－
x)]100－1＝(x－1)100－1，
即(x－1)100－1＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x100.
0 1 2 100
令x＝1，得a ＋a ＋a ＋…＋a ＝－1.
0 1 2 100
令x＝0，得a ＝0.
0
又易知a ＝1，所以a ＋a ＋a ＋…＋a ＝－2.
100 1 2 3 99
感悟提升 根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理
右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
训练2 (1)(2022·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式
系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A.29 B.210 C.211 D.212
答案 A
解析 由题意知C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1
＝29.
(2)(多选)(2021·武汉模拟)若(1－2x)2 021＝a ＋a x＋a x2＋a x3＋…＋a x2
0 1 2 3 2 021
021(x∈R)，则( )
A.a ＝1
0
B.a ＋a ＋a ＋…＋a ＝
1 3 5 2 021
C.a ＋a ＋a ＋…＋a ＝
0 2 4 2 020
D.＋＋＋…＋＝－1
答案 ACD
解析 由题意，当x＝0时，a ＝12 021＝1；
0
当x＝1时，a ＋a ＋a ＋a ＋…＋a ＝(－1)2 021＝－1，
0 1 2 3 2 021
当x＝－1时，a －a ＋a －a ＋…－a ＝32 021，
0 1 2 3 2 021
所以a ＋a ＋a ＋…＋a ＝－，
1 3 5 2 021
a ＋a ＋a ＋…＋a ＝；
0 2 4 2 020
＋＋…＋＝a ×＋a ×＋…＋a ×，
1 2 2 021当x＝时，0＝a ＋a ×＋a ×＋…＋a ×，
0 1 2 2 021
所以a ×＋a ×＋…＋a ×＝－a ＝－1.
1 2 2 021 0
(3)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝( )
A.0 B.－2 C.－1＋i D.－1－i
答案 B
解析 x＝＝＝－1＋i，由于Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝(1＋x)2 022－1＝i2 022－1
＝－1－1＝－2.
考点三 二项式系数的最值问题
例5 二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为
整数的项的个数为( )
A.3 B.5 C.6 D.7
答案 D
解析 根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，
∴的展开式的通项为T ＝C·(x)20－k·＝()20－k·C·x20－，要使x的指数是整数，需k是
k＋1
3的倍数，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.
感悟提升 二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的
二项式系数最大，最大值为 ；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系
数最大，最大值为 或 .
训练3 (1)已知(3x－1)n展开式的第5项的二项式系数最大，且n为偶数，则(3x－
1)n展开式中x2的系数为( )
A.－252 B.252 C.－28 D.28
答案 B
解析 由题意可得n＝8，则(3x－1)8的展开式的通项是T ＝C(3x)8－r·(－1)r，令8
r＋1
－r＝2，解得r＝6，则展开式中x2的系数为C32＝252.
(2)(2022·杭州调研)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系
数最小的项的系数为( )
A.－126 B.－70 C.－56 D.－28
答案 C
解析 ∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，的展开式的通项为
T ＝(－1)kCx8－k(k＝0，1，2，…，8)，
k＋1∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数
与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展
开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56.
1.已知的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A. B.－ C.7 D.－7
答案 B
解析 由T ＝Cx4＝5，得x＝－.
4
2.的展开式中x2y3的系数是( )
A.－20 B.－5 C.5 D.20
答案 A
解析 T ＝C·(－2y)r＝C··(－2)r·x5－r·yr.当 r＝3 时，展开式中 x2y3的系数为
r＋1
C×(－2)3＝－20.
3.(2021·青岛二模)已知(x＋1)的展开式中常数项为－40，则a的值为( )
A.2 B.－2 C.±2 D.4
答案 C
解析 的展开式的通项公式为T ＝C(ax)5－r·
r＋1
＝(－1)ra5－rCx5－2r，
令5－2r＝－1可得r＝3，
令5－2r＝0可得r＝，不符合题意，舍去.
∴(－1)3a5－3C＝－40，即10a2＝40，
∴a＝±2.
4.C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝( )
A.3n B.2·3n
C.－1 D.
答案 D
解析 C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝20C＋21C＋22C＋…＋2n－1C＝(21C＋22C＋23C
＋…＋2nC)＝(20C＋21C＋22C＋23C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝.
5.(多选)在二项式的展开式中，有( )A.含x的项 B.含的项
C.含x4的项 D.含的项
答案 ABC
解析 二项式的展开式的通项为T ＝C·35－k·(－2)k·x10－3k，k＝0，1，2，3，4，5，结
k＋1
合所给的选项，知ABC的项都含有.
6.(多选)(2022·枣庄模拟)已知(x－1)5＝a ＋a (x＋1)＋a (x＋1)2＋…＋a (x＋1)5，则
0 1 2 5
( )
A.a ＝－32
0
B.a ＝－80
2
C.a ＋4a ＝0
3 4
D.a ＋a ＋…＋a ＝1
0 1 5
答案 ABC
解析 令x＝－1得(－1－1)5＝a ，即a ＝－32，故A正确.
0 0
令x＝0得(－1)5＝a ＋a ＋…＋a ，即a ＋a ＋…＋a ＝－1，故D不正确.
0 1 5 0 1 5
令x＋1＝y，则(x－1)5＝a ＋a (x＋1)＋a (x＋1)2＋…＋a (x＋1)5就变为(y－2)5＝a
0 1 2 5 0
＋a y＋a y2＋…＋a y5，根据二项式定理知，a 即二项式(y－2)5展开式中y2项的系
1 2 5 2
数，T ＝Cy5－k(－2)k，故a ＝C·(－2)3＝－80，B正确.
k＋1 2
a ＝C(－2)1＝－10，a ＝C(－2)2＝40，故C正确.
4 3
7.(2020·天津卷)在的展开式中，x2的系数是__________.
答案 10
解析 ∵T ＝Cx5－r＝2rCx5－3r，令5－3r＝2，得r＝1，∴T ＝2Cx2＝10x2，
r＋1 2
∴x2的系数是10.
8.在(1－)7＋的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________.
答案 2
解析 (1－)7＋的展开式中含x2的项为C(－)6＋C()5＝Cx2＋Cx2a，则aC＋C＝19，
解得a＝2.
9.(2020·浙江卷)二项展开式(1＋2x)5＝a ＋a x＋a x2＋a x3＋a x4＋a x5，则 a ＝
0 1 2 3 4 5 4
__________，a ＋a ＋a ＝__________.
1 3 5
答案 80 122
解析 由题意，得a ＝C×24＝5×16＝80.
4
当x＝1时，(1＋2)5＝a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝35＝243，①
0 1 2 3 4 5
当x＝－1时，(1－2)5＝a －a ＋a －a ＋a －a ＝－1.②
0 1 2 3 4 5由①－②，得2(a ＋a ＋a )＝243－(－1)＝244，
1 3 5
可得a ＋a ＋a ＝122.
1 3 5
10.已知在的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数.
解 (1)通项公式为T ＝
r＋1
Cxx－＝Cx，
∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)
＝×(10－6)＝2，
∴含x2的项的系数为C＝.
11.(2021·重庆质检)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项
式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面
(横线处)问题中，解决下面两个问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
已知(2x－1)n＝a ＋a x1＋a x2＋a x3＋…＋a xn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，
0 1 2 3 n
________.
(1)求n的值；
(2)求|a |＋|a |＋|a |＋…＋|a |的值.
1 2 3 n
解 (1)选择条件①：
若(2x－1)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则＝5.
所以n＝10.
选择条件②：
若(2x－1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， C＝C.
所以n＝10.
选择条件③：
若(2x－1)n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210.
所以n＝10.
(2)由(1)知n＝10，则(2x－1)10＝a ＋a x1＋a x2＋a x3＋…＋a x10，
0 1 2 3 10
令x＝0，则a ＝1，
0
令x＝－1，则
310＝a －a ＋a －a ＋…＋a
0 1 2 3 10
＝1＋|a |＋|a |＋|a |＋…＋|a |，
1 2 3 10所以|a |＋|a |＋|a |＋…＋|a |＝310－1.
1 2 3 10
12.(2022·长春模拟)在的展开式中，常数项为( )
A.12 B.11 C.－11 D.－12
答案 C
解析 的通项为T ＝C(－1)4－k·，要求常数项，需求(k＝0，1，2，3，4)的展开式中
k＋1
的常数项，的展开式的通项为T ＝C·xk－r·x－2r＝C·xk－3r，令k－3r＝0 k＝3r，即k
r＋1
是3的倍数，所以k＝0或3.
⇒
当k＝0时，C(－1)4－0＝1；当k＝3时，r＝1，C·C·(－1)4－3＝－12，
所以原式展开后的常数项为1＋(－12)＝－11.
13.已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开
式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B
解析 由题意可知，a＝C，b＝C.
∵13a＝7b，
∴13·＝7·，
即＝，解得m＝6.
14.(2022·沈阳测试)在①只有第八项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之
和为47；③各项系数之和为414；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问
题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.
设二项式，若其展开式中，________，是否存在整数k，使得T 是展开式中的常数
k
项？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
解 若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，则n＝14；
若选填条件③，即各项系数之和为414，则4n＝414，即n＝14.
二项式展开式的通项：
T ＝C·()15－k·＝3k－1·C·x.
k
由21－7k＝0，得k＝3.
即存在整数k＝3，使得T 是展开式中的常数项；
k
若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n－1＝47＝214，所以n＝15.
二项式展开式的通项：
T ＝C·()16－k·
k＝3k－1·C·x.
由22－7k＝0，得k＝∉Z，即不存在整数k，使得T 是展开式中的常数项.
k
