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第 3 节 奇偶性、对称性与周期性
考试要求 1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用
函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，
偶函数 都有－x∈I，且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫 关于 y 轴 对称
做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，
奇函数 都有－x∈I，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数f(x)就 关于原点对称
叫做奇函数
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的
任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数
的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这
个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别
地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别
地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关
于点(a，0)对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶
性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)
错误.
2.(多选)下列函数中为偶函数的是( )
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝ln |x| D.y＝2－x
答案 BC
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A
选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是
偶函数.
3.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f＝，则f＝(
)
A.－ B.－ C. D.
答案 C
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所
以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是
以2为周期 的周期函数，f＝f＝f＝.
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等
式f(x)＜0的解集是________.答案 (－2，0)∪(2，5]
解析 由图象知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；
当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，
当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].
5.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.
答案 －7
解析 因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，
故f(x)＝2x－1(x≥0)，
则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则
f＝________.
答案
解析 由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，
又函数f(x)为奇函数，
所以f＝f＝－f＝＝.
考点一 函数的奇偶性
角度1 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解 (1)由得x2＝3，
解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝
＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
感悟提升 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑
定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断
奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是
否成立.
角度2 函数奇偶性的应用
例2 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，
f(x)＝________.
答案 x－1
解析 当x＜0时，－x＞0.
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
(2)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a
＝________.
答案 －3
解析 当x>0，－x<0，f(－x)＝－e－ax.
因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
所以f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a＝8.解得a＝－3.
感悟提升 1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借
助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数
的值.
2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何
直观求解相关问题.
训练1 (1)(多选)(2022·武汉质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(
)
A.y＝xsin x B.y＝xln x
C.y＝ex－1 D.y＝xln(－x)
答案 BC
解析 A中，y＝xsin x为偶函数.
B中，函数y＝xln x的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.
C中，f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则y＝ex－1为非奇非偶函数.
D中，y＝xln(－x)是偶函数.
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________.
①f(x x )＝f(x )f(x )；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.
1 2 1 2
答案 f(x)＝x4(x∈R)(答案不唯一)
解析 因为f(x x )＝f(x )f(x )，所以f(x)可以是幂函数形式的函数；
1 2 1 2
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
因为f′(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数.
因此函数f(x)可以是f(x)＝x4(x∈R).
考点二 函数的周期性及应用
例3 (1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝
2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
答案 C
解析 法一 ∵f(x)在R上是奇函数，
且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.
法二 由题意可设
f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示.
由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋
f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.
(2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，
当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 D
解析 由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋
f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0 ①.
由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－
x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6 ②.
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时.f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图
象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝
－f＝2×－2＝.
感悟提升 1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转
化到已知区间上，进而解决问题.
训练2 (1)(2021·湖南六校联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当
0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为
________.
答案 7
解析 因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋3)＝－，当1＜x≤3时，f(x)＝cos ，则f(2 020)＝________.
答案 －
解析 由已知可得f(x＋6)＝f((x＋3)＋3)＝－＝－＝f(x)，故函数f(x)的周期为6，
∴f(2 020)＝f(6×336＋4)＝f(4).
∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，
则f(4)＝f(1＋3)＝－＝－＝f(2)＝cos ＝－，
∴f(2 020)＝－.
考点三 函数的对称性
例4 (1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－
x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于x＝2对称
B.f(x)的图象关于(2，0)对称
C.f(x)的最小正周期为4
D.y＝f(x＋4)为偶函数
答案 ACD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确.
(2)(2022·福州模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)
图象的交点为(x ，y )，(x ，y )，…，(x ，y )，则∑ (x＋y)等于( )
1 1 2 2 m m i i
A.0 B.m C.2m D.4m
答案 B
解析 ∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋.
∴函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0，1)对称，
∴∑x＝0，∑y＝×2＝m.
i i
感悟提升 对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
训练3 (1)已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A.f(π)＜f(3)＜f()
B.f(π)＜f()＜f(3)
C.f()＜f(3)＜f(π)
D.f()＜f(π)＜f(3)
答案 C
解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∴f(3)＝f(1)，f(π)＝f(4－π).
∵0＜4－π＜1＜，
当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，
∴f(4－π)＞f(1)＞f()，
∴f()＜f(3)＜f(π).
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于x＝2对称.当x∈[0，
4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.
答案 4
解析 ∵f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，
又∵2 022＝252×8＋6，
∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
考点四 函数性质的综合应用
角度1 单调性与奇偶性
例 5 (1)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)＝xf(x).若 a＝g(－log 5.1)，b＝
2
g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
答案 C
解析 易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3＞log 5.1＞2＞20.8，且a＝g(－log 5.1)＝g(log 5.1)，
2 2 2
∴g(3)＞g(log 5.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.
2
(2)(2021·石家庄三模)已知函数f(x＋2)是定义域为R的偶函数，若f(x)在(2，＋∞)
上单调递减，则不等式f(ln x)＜f(1)的解集是( )
A.(0，1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(0，e)∪(e3，＋∞) D.(e，e3)
答案 C
解析 因为f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度得到f(x)的图象，
且f(x＋2)的图象关于y轴对称，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称.
由f(x)在(2，＋∞)上单调递减可得f(x)在(－∞，2)上单调递增，
由f(ln x)＜f(1)，
所以ln x＜1或ln x＞3，
解得0＜x＜e或x＞e3.
感悟提升 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上
的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较
大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x )>f(x )的形式，再结合单调性，脱去
1 2
“f”变成常规不等式，转化为x x )求解.
1 2 1 2
角度2 周期性与奇偶性
例6 函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象
关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________.
答案 4
解析 ∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
∴函数y＝f(x)的图象关于原点对称，
即函数f(x)是R上的奇函数，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
∴f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，
f(2 020)＝f(0)＝0，f(2 022)＝f(2)＝f(0)＝0，
∴f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
感悟提升 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性
进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
角度3 对称性与周期性例7 (多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)
＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)在[－6，－3]上单调递减
C.f(x)关于x＝3对称
D.f(100)＝9
答案 ACD
解析 f(x)的图象关于x＝－3对称，
则f(－x)＝f(x－6)，
又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故A正确；
当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，
∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；
f(x)关于x＝－3对称且T＝6，
∴f(x)关于x＝3对称，故C正确；
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确.
感悟提升 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函
数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个
关系时不要混淆.
训练4 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)是偶函数，且当x∈(0，2]
时，f(x)＝x，则f(－2 022)＋f(2 023)＝( )
A.－3 B.－2 C.1 D.0
答案 C
解析 ∵函数f(x＋2)是偶函数，函数f(x)关于x＝2对称，
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∴f(－x＋4)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f[－(－x)＋4]＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴函数的周期为8，
∴f(－2 022)＋f(2 023)＝－f(2 022)＋f(2 023)＝－f(6)＋f(7)＝f(2)－f(1)＝2－1＝1.
(2)(多选)(2022·威海模拟)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，
则( )A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x＋3)是偶函数 D.f(x)＝f(x＋4)
答案 CD
解析 ∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2).
∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2).
∴f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
∵f(－x－1)＝f(x－1)，
∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，
即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数.
抽象函数
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，
一般用y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义
域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决
这类问题一般采用赋值法解决.
一、抽象函数求值
例1 (1)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(8)＝3，则f()＝
________.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝
________.
答案 (1) (2)7
解析 (1)∵f(8)＝3，∴f(2×4)＝f(2)＋f(4)＝f(2)＋f(2×2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)
＝3，∴f(2)＝1.
∵f(2)＝f(×)＝f()＋f()＝2f()，∴2f()＝1，∴f()＝.
(2)令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3.
令x＝y＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7.
二、抽象函数的性质
例2 (1)(多选)(2021·潍坊调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x
＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足( )
A.f(0)＝0
B.y＝f(x)是奇函数
C.f(x)在[1，2]上有最大值f(2)
D.f(x－1)＞0的解集为{x|x＜1}答案 ABD
解析 令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，
故f(0)＝0，A正确；
令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
即f(x)＝－f(－x)，
故函数f(x)为奇函数，B正确；
设x ＜x ，则x －x ＜0，
1 2 1 2
由题意可得f(x －x )＞0，
1 2
即f(x )＋f(－x )＝f(x )－f(x )＞0，
1 2 1 2
即f(x )＞f(x )，故函数f(x)为R上的减函数，
1 2
∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，C错误；
f(x－1)＞0等价于f(x－1)＞f(0)，
又f(x)为R上的减函数，故x－1＜0，
解得x＜1，D正确.
(2)已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，如果x满
足f(x)－f≤2，则x的取值范围为________.
答案 (3，4]
解析 ∵f＝f(x)－f(y)，
∴f(y)＋f＝f(x).
在上述等式中取x＝4，y＝2，
则有f(2)＋f(2)＝f(4).
又∵f(2)＝1，∴f(4)＝2.
∴f(x)－f≤2
可变形为f(x(x－3))≤f(4).
又∵f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，
∴解得3＜x≤4.
故x的取值范围是(3，4].
1.(2022·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(
)
A.y＝x－1 B.y＝ln x2C.y＝ D.y＝－x2
答案 D
2.(2022·咸阳模拟)已知函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A.－1 B.1 C.0 D.±1
答案 A
解析 由题意，得f(－x)＝－f(x)，
则f(－1)＝－f(1)，
即1＋a＝－a－1，
得a＝－1(经检验符合题意).
3.(2021·武汉模拟)已知偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)
＝－x2＋1，则f(2 021)＝( )
A.2 B.0 C.－1 D.1
答案 B
解析 ∵偶函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，
∴f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＋f(－x)＝0，
∴f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，
则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数y＝f(x)是以4为周期的函数，
∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝f(－1).
又当－1≤x≤0时，f(x)＝1－x2，
故f(2 021)＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.
4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋
f(1)＝( )
A.－2 B.0 C.2 D.1
答案 A
解析 ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，
∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，
f＝f＝－f＝－4＝－2，
∴f＋f(1)＝－2.
5.(多选)(2021·烟台一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，
1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是( )A.f(2 021)＝0
B.2是f(x)的一个周期
C.当x∈(1，3)时，f(x)＝(1－x)3
D.f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)
答案 ABC
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，
∴f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；
f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；
∵当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，
∴当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3，
当x∈(1，3)时，2－x∈(－1，1)，
f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误；
易知当x∈(0，2)时，f(x)＞0，
∵f(x)的最小正周期是4，
∴f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)，故D正确.
6.(多选)(2022·衡水联考)已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，
以下关于函数f(x)的说法正确的为( )
A.f(x)满足f(8－x)＝f(x)
B.8为f(x)的一个周期
C.f(x)＝sin 是满足条件的一个函数
D.f(x)有无数个零点
答案 BCD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)是奇函数，
∴f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(8＋x)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴8为f(x)的一个周期，故B正确；
由f(8＋x)＝f(x)可得f(8－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(8－x)＋f(x)＝0，故A不正确；
f(x)＝sin 满足f(x)＋f(－x)＝0，为奇函数，且图象的一条对称轴为直线x＝2，故C正确；
由f(x)为奇函数且定义域为R知，f(0)＝0，
又f(x)为周期函数，∴f(x)有无数个零点，故D正确.
7.已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
答案 4
解析 令g(x)＝asin x＋btan x，
则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，
∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
8.已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则
f(26)＝________.
答案 1
解析 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(26)＝f(2).
∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，
则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝________.
答案 0
解析 ∵f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为4，
∴f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，即f(1)＝0.
在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，
令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)
＝0.10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，
2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解 ∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2×(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
11.设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所
示.
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S ＝4×＝4.
△OAB12.(2021·杭州二模)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(－∞，0)上
单调递增，且满足f(－1)＝0，则关于x的不等式f(x)＜sin πx的解集为( )
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(0，1)
D.(－1，0)∪(0，1)
答案 C
解析 ∵f(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，
由此可在坐标系中画出y＝f(x)与y＝sin πx的大致图象，如图所示，
由图象可知，当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)＜sin πx，
即当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，
f(x)＜sin πx.
13.(2022·长沙质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间
[1，2]上单调递减，令a＝ln 2，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是( )
A.f(b)0.
由0f(0)＝0，
b＝＝＝2，
则f(b)＝f(2)＝f(0)＝0，
c＝log2＝－1，
则f(c)＝f(－1)＝－f(1)<0，
所以f(c)
