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第 1 节 集 合
考试要求 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形
语言的基础上，用符号语言刻画集合.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给
定集合的子集.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、
交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.5.能使用Venn图表
达集合间的基本关系与基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N * 或 N Z Q R
＋
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中
的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真
⊆ ⊇
子集，记作AB(或BA).
⊆
(3)相等：若A B，且 B A ，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
⊆ ⊆
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁ A
U
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } {x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁ A)＝∅，A∪(∁ A)＝U，∁ (∁ A)＝A.
U U U U
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有
2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B ∁ A ∁ B.
U U
4.∁ (A∩B)＝(∁ A)∪(∁ B)，∁ (A∪B)＝(∁ A)∩(∁ B).
U⊆ ⇔ U ⇔ U U⇔ ⊇ U U
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B) (A∪B)恒成立.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
⊆
解析 (1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝
x2＋1上的点集.
(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
2.(易错题)已知集合A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝( )
A.[0，＋∞) B.[－1，＋∞)
C.[－1，0] D.(－1，0)
答案 A
解析 易知A＝[0，＋∞)，B＝[－1，＋∞)，故A∩B＝[0，＋∞).
3.(易错题)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为( )
A.1 B.－C.1或－ D.－1或
答案 B
解析 当m＋2＝3时，m＝1，此时，m＋2＝2m2＋m＝1，故舍去；
当2m2＋m＝3时，解得m＝－(m＝1舍去).
4.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝( )
A.{2} B.{2，3}
C.{3，4} D.{2，3，4}
答案 B
解析 因为A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}，故选B.
5.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则
A∩(∁ B)＝( )
U
A.{3} B.{1，6} C.{5，6} D.{1，3}
答案 B
解析 由题设可得∁ B＝{1，5，6}，
U
故A∩(∁ B)＝{1，6}.
U
6.若集合A，B，U满足ABU，则U＝( )
A.A∪(∁ B) B.B∪(∁ A)
U U
C.A∩(∁ B) D.B∩(∁ A)
U U
答案 B
解析 由题意，ABU，作出韦恩图如图所示，所以B∪(∁ A)＝U，故选B.
U考点一 集合的基本概念
1.(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则
A∩B中元素的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案 C
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，且y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.
2.已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
解析 ∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1，1，3，
又∵x∈Z，∴x值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C.
3.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B为________.
答案 {0，1，2}
解析 由题意知，∵0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，故B＝
{0，1，2}.
4.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023＋b2 024＝________.
答案 0
解析 由题意知a≠0，
因为{1，a＋b，a}＝.
所以a＋b＝0，则＝－1，
所以a＝－1，b＝1.
故a2 023＋b2 024＝－1＋1＝0.
感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集
合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什
么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验
集合中的元素是否满足互异性.
考点二 集合间的基本关系
例1 (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，则集合
A，B，C的关系为( )
A.B A B.A＝B
⊆C.C B D.A C
答案 D
⊆ ⊆
解析 因为x2－2x－3≤0，即(x－3)·(x＋1)≤0，所以－1≤x≤3，则A＝[－1，3]；
又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，
所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]；
因为≤0，所以－5＜x≤4，则C＝(－5，4]，所以A B，A C，B C.故选D.
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的
⊆ ⊆ ⊆
取值范围为________.
⊆
答案 (－∞，3]
解析 ∵B A，
∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；
⊆
若B≠∅，则解得2≤m≤3.
故实数m的取值范围为(－∞，3].
感悟提升 1.若B A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区
⊆
间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对
参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
训练1 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件
A C B的集合C的个数为________.
答案 4
⊆ ⊆
解析 由题意，可得A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}.
又∵A C B，
∴C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，共4个.
⊆ ⊆
(2)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B A，则实数m的取值范围
为________.
⊆
答案 [－2，2)
解析 若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；
若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－，此时B＝，不符合题意.
综上所述，实数m的取值范围为[－2，2).
考点三 集合的运算
例 2 (1)(2021·全国乙卷)已知集合 S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A.∅ B.S C.T D.Z
答案 C
解析 法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合
S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T S，所以S∩T＝T，故选C.
法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T S，所
⊆
以S∩T＝T，故选C.
⊆
(2)设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩(∁ B)＝( )
R
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C.∅ D.{x|0＜x＜2}
答案 B
解析 由题意知A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x≤－1或x≥1}，所以∁ B＝{x|－1＜x＜
R
1}，所以A∩(∁ B)＝{x|0＜x＜1}，故选B.
R
(3)集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(∁ N)＝∅，则a的
U
取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
答案 B
解析 易得M＝{x|2x2－x－1＜0}＝.
∵N＝{x|2x＋a＞0}＝，
∴∁ N＝.
U
由M∩(∁ N)＝∅，则－≤－，得a≥1.
U
感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其
关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是
空心.
训练2 (1)(多选)(2022·潍坊质检)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，
则下列关系式正确的是( )
A.A∩B＝∅
B.A∪B＝{x|－2≤x≤3}C.A∪∁ B＝{x|x≤－1或x＞2}
R
D.A∩∁ B＝{x|2＜x≤3}
R
答案 BD
解析 ∵A＝{x|－1＜x≤3}，
B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|－1＜x≤2}，A错误；
A∪B＝{x|－2≤x≤3}，B正确；
∵∁ B＝{x|x＜－2或x＞2}，
R
∴A∪∁ B＝{x|x＜－2或x＞－1}，C错误；
R
A∩∁ B＝{x|2＜x≤3}，D正确.
R
(2)(2021·邯郸二模)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5＜0}，B＝{x|4x＞2m}，若A∩B中
有三个元素，则实数m的取值范围是( )
A.[3，6) B.[1，2) C.[2，4) D.(2，4]
答案 C
解析 集合A＝{x∈Z|x2－4x－5＜0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|4x＞2m}＝，
∵A∩B中有三个元素，∴1≤＜2，
解得2≤m＜4.
Venn图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的
交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有
限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.
例 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学
生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢
足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案 C
解析 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，
设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋
(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.
(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和
物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学
小组的有________人.
答案 8
解析 设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数
学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人.
1.(2021·重庆三模)若集合A＝{x∈N|(x－3)(x－2)＜6}，则A中的元素个数为(
)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B
解析 A＝{x∈N|x2－5x＜0}＝{x∈N|0＜x＜5}＝{1，2，3，4}.共4个元素.
2.(2021·北京卷)已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|－1<x≤2}
C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x<1}
答案 B
解析 由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选B.
3.(2021·天津卷)设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C
＝( )
A.{0} B.{0，1，3，5}
C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}
答案 C
解析 ∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，∴A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}.
4.设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于( )
A.[0，1] B.(0，1]
C.[0，1) D.(－∞，1]
答案 A
解析 ∵M＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，
∴M∪N＝{x|0≤x≤1}.
5.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M (A∩B)的集合M的
个数是( )
⊆
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 由得
∴A∩B＝{(2，－1)}.
由M (A∩B)，知M＝∅或M＝{(2，－1)}.
6.(2021·上海卷)已知集合A＝{x|x＞－1，x∈R}，B＝{x|x2－x－2≥0，x∈R}，则下
⊆
列关系中，正确的是( )
A.A B B.∁ A ∁ B
R R
C.A∩B＝∅ D.A∪B＝R
⊆ ⊆
答案 D
解析 ∵A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，－1]∪[2，＋∞)，
∴A∪B＝R，D正确，其余选项均错误.
7.(2022·长沙质检)已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B A，则实数a＝(
)
⊆
A.－1 B.2
C.－1或2 D.1或－1或2
答案 C
解析 因为B A，
所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
⊆
①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，满足条件；
当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足条件.
②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此时集合A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去.
综上，a＝－1或a＝2.
8.(2021·河南名校联考)已知集合A＝{x|y＝log (x2－8x＋15)}，B＝{x|a＜x＜a＋
2
1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，3] B.(－∞，4]
C.(3，4) D.[3，4]
答案 D
解析 易知A＝{x|x2－8x＋15＞0}＝{x|x＜3或x＞5}，
由A∩B＝∅，可得所以3≤a≤4.
9.若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，则图中阴影部分所表示的集
合为________.
答案 {x|0＜x≤6}
解析 由题图知阴影部分所表示的集合为
A∩B＝{x|0＜x≤6}.
10.已知集合A＝{x|－5＜x＜1}，B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，若A∩B＝(－1，n)，则m
＋n＝________.
答案 0
解析 ∵A∩B＝(－1，n)，
∴m＝－1，n＝1，
∴m＋n＝0.
11.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，则m＝________.
答案 0或3
⊆
解析 因为B A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合中元素
的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
⊆
12.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝∅，则实数m的取
值范围是________.
答案 [0，＋∞)
解析 ①当2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②当2m＜1－m，即m＜时，需满足或所以0≤m＜.
综上，实数m的取值范围是[0，＋∞).
13.(多选)(2021·济宁模拟)若集合A＝{x|sin 2x＝1}，B＝，则下列结论正确的是(
)
A.A∪B＝B B.∁ B ∁ A
R R
C.A∩B＝∅ D.∁ A ∁ B
R ⊆ R
答案 AB
⊆
解析 A＝{x|sin 2x＝1}
＝
＝，
B＝
＝，
显然集合
⊆，
所以A B，则A∪B＝B成立，所以A正确.
∁ B ∁ A成立，所以B正确，D错误.
R R⊆
A∩B＝A，所以C错误.
⊆
14.(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学
家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金
分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”
的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，
是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，
M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列
选项中，可能成立的是( )
A.M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割
B.M没有最大元素，N有一个最小元素
C.M有一个最大元素，N有一个最小元素
D.M没有最大元素，N也没有最小元素
答案 BD
解析 对于A，因为M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；
对于B，设M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最
大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，
M∩N＝∅，故C错误；
对于D，设M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大
元素，N也没有最小元素，故D正确.
15.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A
的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集
合中，不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 符合题意的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，
7，8}，共6个.
16.若集合A ，A 满足A ∪A ＝A，则称(A ，A )为集合A的一种分拆，并规定：当且
1 2 1 2 1 2
仅当A ＝A 时，(A ，A )与(A ，A )是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则
1 2 1 2 2 1
集合A的不同分拆种数是________.
答案 27
解析 不妨令A＝{1，2，3}，∵A ∪A ＝A，
1 2
∴当A ＝∅时，A ＝{1，2，3}，
1 2
当A ＝{1}时，A 可为{2，3}，{1，2，3}共2种，
1 2
同理A ＝{2}，{3}时，A 各有两种，
1 2
当A ＝{1，2}时，A 可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，
1 2
同理A ＝{1，3}，{2，3}时，A 各有4种，
1 2
当A ＝{1，2，3}时，A 可为A 的子集，共8种，
1 2 1
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆.
