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第 1 节 集合
（本卷满分150分，考试时间120分钟。）
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴集合 .
∵ ，则 ，解得 或 ，
∴集合 ，∴ .故选：D.
2．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，则 ， .故选：D.
3．设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，则 ，又 ，所以
.故选：A.
4．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 若 ，则 故选：A．
5．设全集 ，集合 ， ，则下面Venn图中阴影部分
表示的集合是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合 ， ，所以 .
图中阴影部分表示的集合为 .故选：C
6．已知 表示正整数集合，若集合 ，则 中元素的
个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【解析】由题设 ，又 ，
由 ，则 ，
由 ，则 ，
由 ，则 ，
同理， 均属于集合A，
所以第一象限中有13个点属于集合A.故选：D
7．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，解得 ，即集合 所以 故选：
A
8．已知集合 ，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】由椭圆的性质得 ，又 , 所以集合
共有11个元素.
故选：C二、多选题
9．集合 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为 .若集合
， ， 则下列说法中
正确的有（ ）
A．若 ，则实数 的取值范围为
B．存在 ，使
C．无论 取何值，都有
D． 的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 ，所以 ，解得 ，故A正确.
对于B和C，直线 过定点 ，因为 ，故C正确，B错误.
对于D，设原点到直线 的距离为 ，则
，所以 的最大值，即 的最大值，于是 的最大值为
，故D正确.故选：ACD
10．若非空集合G和G上的二元运算“ ”满足：① ， ；② ，对
， ：③ ，使 ， ，有 ；④
， ，则称 构成一个群.下列选项对应的 构成
一个群的是（ ）
A．集合G为自然数集，“ ”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“ ”为有理数的乘法运算
C．集合 (i为虚数单位)，“ ”为复数的乘法运算
D．集合 ，“ ”为求两整数之和被7除的余数
【答案】BCD
【解析】A． 时，不满足③，若 ，则由 得 ，若 ，
则在 中设 ，由 得 ，所以 不能构成群；
B．G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然 ，对任意
， ，③对任意正有理数 ， 也是正有理数，且 ，即
，④有理数的乘数满足结合律，B中可构造群；C． (i为虚数单位)，①可验证 中任意两数（可相等）的乘积仍然属于 ；
② ，满足任意 ，有 ；③ ，满足任意 ，存在 ，有
，实质上有 ；④复数的乘法运算满足结合律，C
中可构造群；
D． ，①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于 ，②
，满足对任意 ， ，③ ， ， ，
除以7余数为0；④加法满足交换律，又 除以7的余数等于 除以7的余数加 除以7
的余数的和再除以7所得余数，因此 ， ，D中可构造群；
故选：BCD．
11．已知集合 ，定义 上两点 ，
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．当 时，设C为 上一点，在△ABC中，若 ，则
C．当 时，设C为 上一点，则
D．若 ， ，设 为 上一点，其中 ，则满足
的点P有125个
【答案】ACD
【解析】对于A，若 ， ，则 ，所以
选项A正确；
对于B，在△ABC中，若 ，则 ，
设 ， ， ，
则 ，
而 ，
，但 不
一定成立，故选项B错误；
对于C，设 ， ， ，根据绝对值不等式的性质有， ， ，
所以 ，故选项C正确；
对于D， ， ①， ②， ③，
所以 ，当且仅当①②③中的等号同时成立时， ，
又 .
所以 ， ， ，又 ，所以x，y，z均为集合 中的
元素， ，故选项D正确.故答案为：ACD
12．两个集合 和 之间若存在一一对应关系，则称 和 等势，记为 ．例如：若
为正整数集， 为正偶数集，则 ，因为可构造一一映射 ．下列说法中正
确的是（ ）
A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同
B．对三个无限集合 、 、 ，若 ， ，则
C．正整数集与正实数集等势
D．在空间直角坐标系中，若 表示球面： 上所有点的集合， 表示平面
上所有点的集合，则
【答案】ABD
【解析】对于A选项，设有限集合 ， ，
充分性：若 ，则两个集合 和 之间若存在一一对应关系，
则对任意的 ，存在 ，使得 与 对应，故 ，充分性成立.
必要性：若 ，即集合 、 的元素个数相等，
可构造映射 ，使得 ，故 ，必要性成立，A对；
对于B选项，对三个无限集合 、 、 ，
若 ，对任意的 ，存在唯一的 ，使得 与 对应，
又因为 ，则存在唯一的 ，使得 与 对应，
故对任意的 ，存在唯一的 ，使得 与 对应，故 ，B对；
对于C选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：
假设正整数集 与正实数集 等势，则存在 与 的一个一一对应 ，将与 中 对应
的元素 记为 ，
则 中的元素可以排成一列： 、 、 、 、 ，显然 中至少有一个单位长度的区
间不包含 ，不妨设此区间为 ，将 三等分，则 、 中至少有一个区间不含 ，以
表示此区间，
将 三等分，其左、右两个区间至少有一个不含 ，记为 ，
依此类推，可得一列闭区间 满足：
（i） ，且 的长度趋于 ；
（ii） ， 、 、 、 .
所以， ，但对任意的 ， ，换言之， 不在 中，这是不可能
的，
这一矛盾说明， 与 不等势，C错；
对于D选项，如下图所示：
球面方程为 ，球面与 轴的正半轴交于点 ，
对于球面上任意一点 （不与点 重合），设直线 交平面 于点 ，
则球面上的点 （不与点 重合）与平面 内的点 能建立一一对应关系，
假定在平面 上有一理想的点称之为无穷远点，它与点 对应，这样 ，D对.
故选：ABD.
三、填空题
13．设集合 ，集合 ，则 ________．【答案】 ##
【解析】因为集合 ， ，
所以 ，故答案为： .
14．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系
列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》
《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有
21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了
《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，
只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有
观看任何一支短视频的人数为________.
【答案】3
【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开
国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有
(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有
(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有 (人)，
因此，至少看了一支短视频的有 (人)，所以没有观看任何一支短
视频的人数为 .故答案为：3
15．已知非空集合A，B满足： ， ，函数 对于下列
结论：
①不存在非空集合对 ，使得 为偶函数；
②存在唯一非空集合对 ，使得 为奇函数；
③存在无穷多非空集合对 ，使得方程 无解．
其中正确结论的序号为_________．
【答案】①③【解析】①若 ， ，则 ， ，
若 ， ，则 ， ，
若 ， ，则 ， ，
若 ， ，则 ， ，
综上不存在非空集合对 ，使得 为偶函数
②若 ，则 或 ，当 ， 时， 满足当 时
，所以 可统一为 ，此时 为奇函数
当 ， 时， 满足当 时 ，所以 可统一
为 ，此时 为奇函数
所以存在非空集合对 ，使得 为奇函数，且不唯一
③ 解的 ， 解的 ，当非空集合对 满足 且 ，则方程
无解，又因为 ， ，所以存在无穷多非空集合对 ，使得方程
无解故答案为：①③
16．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A，A，A 满足①每个集合都恰有7个元素；
1 2 3
②A∪A∪A＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi
1 2 3
（i＝1，2，3），则X+X+X 的最大值与最小值的和为___．
1 2 3
【答案】132
【解析】集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，由集合A，A，A 满足①每个集合都恰有7个元素；
1 2 3
②A∪A∪A＝M可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集
1 2 3
合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取
1，这时X 最小值为22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，
1
14，13，…，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X 最小值为17；
2
9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特
征数最小，这时X 最小值为10；则X+X+X 的最小值为22+17+12＝51．
3 1 2 3
同理可知最大的三个数为21，20，19；
含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34；
含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；
含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；
则X+X+X 的最大值为34+27+20＝81；
1 2 3
所以X+X+X 的最大值与最小值的和为51+81＝132．
1 2 3
故答案为：132．
四、解答题17．设全集 ，集合 ， .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【解析】 (1)当 时， ，
所以 又全集 所以
(2)由（1）知， ，
由 可得： ，则 ，解得： 所以实数 的取值范围为：
18．已知集合 ， .
(1)若 ，求 ；
(2) 是 的___________条件，若实数 的值存在，求出 的取值范围；若不存在，
说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：
如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】 (1)由不等式 ，解得 ，可得
当 时，不等式 ，解得 ，即
，可得 或 ，所以 或
.
(2)由不等式 ，解得 ，
所以 .
若选择条件①，则集合 是 的真子集，得 ，解得 .
当 时， ， ，合乎题意；若选择条件②，则集合 是 的真子集，得 ，解得 .
当 时， ，则 ，合乎题意；
若选择条件③，则集合 ，得 无解，所以不存在满足条件③的实数 .
19．设 ， ，…， ， ，是 个互不
相同的闭区间，若存在实数 使得 ，则称这 个闭区间为聚合区
间， 为该聚合区间的聚合点．
(1)已知 ， 为聚合区间，求t的值；
(2)已知 ， ，…， ， 为聚合区间．
（ⅰ）设 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， ，使
得 ；
（ⅱ）若对任意p，q（ 且p， ），都有 ， 互不包含．求证：存
在不同的i， ，使得 ．
【解析】 (1)由 可得 ，又 ， 为聚合区间，由定义可得 ，
故当且仅当 时成立，故
(2)（ⅰ）由 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设 ，因为
，故 ，又 ，故 ，
不妨设 中的最大值为 ， 中最小值为 ，则
，即 ，故存在区间
（ⅱ）若存在 则 或 ，与已知条件矛盾
不妨设 ，则
否则，若 ，则 ，与已知条件矛盾
取 ，设
当 时， ，又 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
此时取 ，则 ，
当 时，同理可取 ，使得 ，
综上，存在不同的i， ，使得
20．已知集合 ．对集合A中的任意元素
，定义 ，当正整数 时，定义
（约定 ）．
(1)若 ，求 和 ；
(2)若 满足 且 ，求 的所有可能结果；
(3)是否存在正整数n使得对任意 都有
？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
【解析】 (1)由题意 ， ， ，
，
， ， ， .
(2)由 且 ，
①，
当 或1时， ，
同理， 或1时， ，
或1时， ，
或1时， ，
所以①等价于 ，则 ， ，
当 ， ，则 为 满足；当 ， ，则 为 满足，
当 ， ，则 为 满足，
当 ， ，则 为 满足，
综上， 的所有可能结果 、 、 、 .
(3)存在正整数n使 且 ，理由如下：
由 ，则 ，
所以 ，
若 ， ，
所以 ，
若 ，则 ， ，
，所以，对 都有 ，
当 时， 恒成立，
综上，n所有取值为 使 成立.
21．已知数集 具有性质P：对任意的
，使得 成立.
(1)分别判断数集 与 是否具有性质P，并说明理由；
(2)已知 ，求证： ；
(3)若 ，求数集A中所有元素的和的最小值.
【解析】 (1)∵ ，∴ 不具有性质P；
∵ ，∴ 具有性质P；
(2)∵集合 具有性质P：
即对任意的 ，使得 成立，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
即 ，
将上述不等式相加得 ，
∴ ，由于 ，
∴ ，∴ ；
(3)最小值为75．首先注意到 ，根据性质P，得到 ，∴易知数集A的元素都是整数．
构造 或者 ，
这两个集合具有性质P，此时元素和为75．
下面，证明75是最小的和：
假设数集 ，满足 (存在性显然，∵满足
的数集A只有有限个)．
第一步：首先说明集合 中至少有7个元素：
由(2)可知 ，…
又 ，∴ ；
∴ ；
第二步：证明 ；
若 ，设 ，∵ ，为了使得 最小，在集合A中一定不含
有元素 ，使得 ，从而 ；
假设 ，根据性质P，对 ，有 ，使得 ，
显然 ，∴ ，
而此时集合A中至少还有4个不同于 的元素，
从而 ，矛盾，
∴ ，进而 ，且 ；
同理可证： ；
(同理可以证明：若 ，则 )．
假设 ．
∵ ，根据性质P，有 ，使得 ，
显然 ，∴ ，
而此时集合A中至少还有3个不同于 的元素，
从而 ，矛盾，
∴ ，且 ；
至此，我们得到了 ，根据性质P，有 ，使得 ，
我们需要考虑如下几种情形：
① ，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素 ，才能得到元素8，
则 ；
② ，此时集合中至少还需要一个大于4的元素 ，才能得到元素7，则 ；
③ ，此时集合 的和最小，为75；
④ ，此时集合 的和最小，为75．
22．已知集合 ，其中 ．对于
， ，定义 与 之间的距离为 ．
（1）记 ，写出所有 使得 ；
（2）记 ， 、 ，并且 ，求 的最大
值；
（3）设 ， 中所有不同元素间的距离的最小值为 ，记满足条件的集合 的元素个
数的最大值为 ，求证： ．
【解析】（1）已知 ， ，且 ，
所以， 的所有情形有： 、 、 、 ；
（2）设 ， ，
因为 ，则 ，
同理可得 ，
当 时， ；
当 时， .
当 ， 时，上式等号成立.
综上所述， ；
（3）设 是满足条件的最大集合，即 中的元素个数为 ，所以， 、 且 ， ，
，记集合 ，
那么 中的元素个数为 ，
对于 中的任意元素 ，都存在 ，使得 ，
若不然，假设存在 ， 都有 ，
那么集合 中所有不同元素间的距离的最小值为 ，
且 中有 个元素，这与 的最大性矛盾.
所以 中的每个元素必与 中某个元素间的距离不超过 .
从而 ，所以， .
