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第 1 节 集合
（本卷满分150分，考试时间120分钟。）
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
5．设全集 ，集合 ， ，则下面Venn图中阴影部分
表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 表示正整数集合，若集合 ，则 中元素的
个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
7．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知集合 ，则A中元素的个数为（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
二、多选题
9．集合 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为 .若集合
， ， 则下列说法中
正确的有（ ）
A．若 ，则实数 的取值范围为
B．存在 ，使
C．无论 取何值，都有
D． 的最大值为
10．若非空集合G和G上的二元运算“ ”满足：① ， ；② ，对
， ：③ ，使 ， ，有 ；④
， ，则称 构成一个群.下列选项对应的 构成
一个群的是（ ）
A．集合G为自然数集，“ ”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“ ”为有理数的乘法运算
C．集合 (i为虚数单位)，“ ”为复数的乘法运算
D．集合 ，“ ”为求两整数之和被7除的余数
11．已知集合 ，定义 上两点 ，
，且 ，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，
，则
B．当 时，设C为 上一点，在△ABC中，若 ，则
C．当 时，设C为 上一点，则
D．若 ， ，设 为 上一点，其中 ，则满足
的点P有125个
12．两个集合 和 之间若存在一一对应关系，则称 和 等势，记为 ．例如：若
为正整数集， 为正偶数集，则 ，因为可构造一一映射 ．下列说法中正
确的是（ ）
A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同B．对三个无限集合 、 、 ，若 ， ，则
C．正整数集与正实数集等势
D．在空间直角坐标系中，若 表示球面： 上所有点的集合， 表示平面
上所有点的集合，则
三、填空题
13．设集合 ，集合 ，则 ________．
14．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系
列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》
《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有
21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了
《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，
只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有
观看任何一支短视频的人数为________.
15．已知非空集合A，B满足： ， ，函数 对于下列
结论：
①不存在非空集合对 ，使得 为偶函数；
②存在唯一非空集合对 ，使得 为奇函数；
③存在无穷多非空集合对 ，使得方程 无解．
其中正确结论的序号为_________．
16．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A，A，A 满足①每个集合都恰有7个元素；
1 2 3
②A∪A∪A＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi
1 2 3
（i＝1，2，3），则X+X+X 的最大值与最小值的和为___．
1 2 3
四、解答题
17．设全集 ，集合 ， .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
18．已知集合 ， .
(1)若 ，求 ；
(2) 是 的___________条件，若实数 的值存在，求出 的取值范围；若不存在，
说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
19．设 ， ，…， ， ，是 个互不
相同的闭区间，若存在实数 使得 ，则称这 个闭区间为聚合区
间， 为该聚合区间的聚合点．
(1)已知 ， 为聚合区间，求t的值；
(2)已知 ， ，…， ， 为聚合区间．
（ⅰ）设 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， ，使
得 ；
（ⅱ）若对任意p，q（ 且p， ），都有 ， 互不包含．求证：存
在不同的i， ，使得 ．
20．已知集合 ．对集合A中的任意元素
，定义 ，当正整数 时，定义
（约定 ）．
(1)若 ，求 和 ；
(2)若 满足 且 ，求 的所有可能结果；
(3)是否存在正整数n使得对任意 都有
？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
21．已知数集 具有性质P：对任意的
，使得 成立.
(1)分别判断数集 与 是否具有性质P，并说明理由；
(2)已知 ，求证： ；
(3)若 ，求数集A中所有元素的和的最小值.
22．已知集合 ，其中 ．对于
， ，定义 与 之间的距离为 ．
（1）记 ，写出所有 使得 ；
（2）记 ， 、 ，并且 ，求 的最大值；
（3）设 ， 中所有不同元素间的距离的最小值为 ，记满足条件的集合 的元素个
数的最大值为 ，求证： ．
