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第 2 节 两条直线的位置关系
考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条
直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，
会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l ，l ，其斜率分别为k ，k ，则有l ∥l k ＝ k .特别地，当直
1 2 1 2 1 2 1 2
线l ，l 的斜率都不存在时，l 与l 平行.
1 2 1 2 ⇔
(2)两条直线垂直
如果两条直线l ，l 斜率都存在，设为k ，k ，则l ⊥l k · k ＝－ 1，当一条直线斜率
1 2 1 2 1 2 1 2
为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
⇔
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l 的方程A x＋B y＋C ＝0，也满足直线l 的方程A x＋B y
1 1 1 1 2 2 2
＋C ＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交
2
点坐标.
(2)两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l 与l 的公共点的个数 一个 无数个 零个
1 2
直线l 与l 的位置关系 相交 重合 平行
1 2
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P (x ，y )，P (x ，y )间的距离公式为|P P |＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P (x ，y )到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0
(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝.
1 1 2 2
4.对称问题
(1)点P(x ，y )关于点A(a，b)的对称点为P′ (2 a － x ， 2 b － y ).
0 0 0 0
(2)设点P(x ，y )关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
0 0
1.“直线A x＋B y＋C ＝0，A x＋B y＋C ＝0平行”的充要条件是“A B ＝A B 且
1 1 1 2 2 2 1 2 2 1
A C ≠A C ”，“两直线垂直”的充要条件是“A A ＋B B ”＝0.
1 2 2 1 1 2 1 2
2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l 和l 的斜率都存在时，一定有k ＝k l ∥l .( )
1 2 1 2 1 2
(2)如果两条直线l 与l 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
1 2 ⇒
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)两直线l ，l 有可能重合.
1 2
(2)如果l ⊥l ，若l 的斜率k ＝0，则l 的斜率不存在.
1 2 1 1 2
2.(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点
B的坐标可能是( )
A.(2，0) B.(0，2) C.(4，6) D.(6，4)
答案 AC
解析 设B(x，y)，根据题意可得
即
解得或
所以B(2，0)或B(4，6).
3.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
答案 B
解析 设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点
A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为.
4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________答案 －9
解析 由得
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
5.(2020·上海卷)已知直线l ：x＋ay＝1，l ：ax＋y＝1，若l ∥l ，则l 与l 的距离为
1 2 1 2 1 2
________.
答案
解析 直线l ：x＋ay＝1，l ：ax＋y＝1，
1 2
当l ∥l 时，a2－1＝0解得a＝±1.
1 2
当a＝1时，l 与l 重合，不满足题意；
1 2
当a＝－1时，l ∥l ，
1 2
则l ：x－y－1＝0，l ：x－y＋1＝0，
1 2
则l 与l 的距离为d＝＝.
1 2
6.(2022·武汉质检)若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，
则a＋b＋c＝________.
答案 －4
解析 ∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－×＝－1，∴a＝10，
∴直线ax＋4y－2＝0的方程为5x＋2y－1＝0.
将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2.
将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0
得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12，
∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4.
考点一 两直线的平行与垂直
1.已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
解析 直线x＋my－1＝0与直线nx＋y＋1＝0平行，则＝≠，∴mn＝1，充分性成立.
而m＝－1，n＝－1时，mn＝1，但x－y－1＝0与－x＋y＋1＝0重合，必要性不成
立.
2.(2021·烟台期末)若直线l ：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l ：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝
1 2
0垂直，则实数k的值是( )
A.3或－3 B.3或4
C.－3或－1 D.－1或4
答案 A
解析 ∵直线l ：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0，
1
直线l ：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0互相垂直，
2
∴(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，
即k2－9＝0，解得k＝3或k＝－3.
3.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7
＝0的直线方程为________.
答案 4x－3y＋9＝0
解析 法一 由方程组
解得即交点为.
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为
y－＝，即4x－3y＋9＝0.
法二 由垂直关系可设所求直线方程为
4x－3y＋m＝0.
由方程组
可解得交点为，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三 由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3
－3λ)y＋1＋4λ＝0.①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，
代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
4.(多选)已知直线l ：x＋my－1＝0，l ：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(
1 2)
A.若l ∥l ，则m＝－1或m＝3
1 2
B.若l ∥l ，则m＝3
1 2
C.若l ⊥l ，则m＝－
1 2
D.若l ⊥l ，则m＝
1 2
答案 BD
解析 若l ∥l 则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，
1 2
当m＝－1时，l ：x－y－1＝0，l ：x－y－1＝0，l 与l 重合，
1 2 1 2
∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正确；
若l ⊥l ，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C不正确，D正确.
1 2
感悟提升 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考
虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y
的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论
考点二 两直线的交点与距离问题
例1 (1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数 k
的取值范围是________.
答案
解析 由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－＜k＜.
(2)(2022·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取
值范围是________.
答案 [0，10]
解析 由题意得，点P到直线的距离为
＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10].
(3)若两平行直线 3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0 之间的距离为，则 c 的值是________.
答案 2或－6
解析 由题意得＝≠，
∴a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.
由两平行线间的距离公式得
＝，
即＝2，解得c＝2或c＝－6.
感悟提升 (1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再
结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x ，y )到直线x＝a的距离d＝|x －a|，到直线y＝b
0 0 0
的距离d＝|y －b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相
0
等.
训练1 (1)(2021·淮南模拟)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点
在第一象限，则实数k的取值范围为________.
答案
解析 联立
解得x＝，y＝(k≠－2).
∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，
∴>0，且>0，解得－<k<.
(2)(多选)(2022·济南调研)已知直线l ：2x＋3y－1＝0和l ：4x＋6y－9＝0，若直线l
1 2
到直线l 的距离与到直线l 的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
1 2
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
答案 BD
解析 设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，
直线l到直线l 和l 的距离分别为d ，d ，
1 2 1 2
由题意知d ＝，d ＝.
1 2
因为＝，所以＝，
即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－
13＝0.
考点三 对称问题
角度1 点关于点对称例2 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l ：2x＋y－8＝0和l ：x－3y＋10＝0截得的
1 2
线段被点P平分，则直线l的方程为________.
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l 与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－
1
a，2a－6)在l 上，代入l 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)
2 2
在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
角度2 点关于线对称
例3 已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点
N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所
在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
角度3 线关于线对称
例 4 直 线 2x － y ＋ 3 ＝ 0 关 于 直 线 x － y ＋ 2 ＝ 0 对 称 的 直 线 方 程 是
________________.
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，
点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x ，y )，
0 0
则得
∵点P′(x ，y )在直线2x－y＋3＝0上，
0 0
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
感悟提升 (1)光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化.
(2)直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，
也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相
等求解.
(3)求直线l 关于直线l对称的直线l ，有两种处理方法：
1 2
①在直线l 上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这
1
两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l 的方程.
2
②设点P(x，y)是直线l 上任意一点，其关于直线l的对称点为P (x ，y )(P 在直线l
2 1 1 1 1 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x ，y ，再代入直线l 的方程，
1 1 1
即得直线l 的方程.
2
训练2 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.
解 (1)设A′(x，y)，
则
解得即A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上.设对
称点为M′(a，b)，
则
解得即M′.
设m与l的交点为N，则由
得N(4，3).又m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1，1)，N(4，3)，
则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二 设Q(x，y)为l′上任意一点，
则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y).
∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
考点四 直线系方程的应用
角度1 平行、垂直直线系
例5 (1)与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程为________.
答案 3x＋4y－11＝0
解析 由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线l过点(1，2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11，
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
(2)经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________.答案 x－2y＝0
解析 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝
0.又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
角度2 过两直线交点的直线系
例6 已知两条直线l ：x－2y＋4＝0和l ：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直
1 2
线l ：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
3
解 法一 解l 与l 组成的方程组得到交点P(0，2)，
1 2
因为k ＝，所以直线l的斜率k＝－，
3
方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
法二 设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，将其代入方程，
得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
法三 设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－
2λ＝0.因为直线l与l 垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的
3
方程为4x＋3y－6＝0.
感悟提升 几种常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).
(3)过直线l ：A x＋B y＋C ＝0与l ：A x＋B y＋C ＝0的交点的直线系方程为A x
1 1 1 1 2 2 2 2 1
＋B y＋C ＋λ(A x＋B y＋C )＝0(λ∈R)，但不包括l .
1 1 2 2 2 2
训练3 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)
等距离的直线方程.
解 设所求直线方程为
2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0.
由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线距离相等，
可得
＝，
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，
解得λ＝或λ＝，
所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.1.如果直线l 的斜率为a，l ⊥l ，则直线l 的斜率为( )
1 1 2 2
A. B.a
C.－ D.－或不存在
答案 D
解析 设直线l ，l 的斜率分别是k ，k ，
1 2 1 2
当a≠0时，由l ⊥l 得k ·k ＝a·k ＝－1，∴k ＝－；
1 2 1 2 2 2
当a＝0时，l 与x轴平行或重合，则l 与y轴平行或重合，∴直线l 的斜率不存在.
1 2 2
故直线l 的斜率为－或不存在.
2
2.已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为( )
A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7
C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7
答案 D
解析 过点(0，7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的
方程为y＝－4x＋7.
3.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小
值为( )
A. B.3 C. D.4
答案 C
解析 因为＝≠，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，所以|PQ|的最小值为.
4.(2021·石家庄调研)若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，
p)，则实数n的值为( )
A.－12 B.－2 C.0 D.10
答案 A
解析 由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2).又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，得n＝－12.
5.已知点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为( )
A.(3，4) B.(4，5)
C.(－4，－3) D.(－5，－4)
答案 D
解析 设点A(a，b)，
∵点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，∴
解得a＝－5，b＝－4，
则点A的坐标为(－5，－4).
6.(2022·广州质检)过点P(1，2)作直线l，若点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则
直线l的方程为( )
A.4x＋y－6＝0或x＝1
B.3x＋2y－7＝0
C.4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0
D.3x＋2y－7＝0或x＝1
答案 C
解析 若A，B位于直线l的同侧，则直线l∥AB.
∵k ＝＝－4，
AB
∴直线l的方程为y－2＝－4(x－1)，
即4x＋y－6＝0；
若A，B位于直线l的两侧，则直线l必经过线段AB的中点(3，－1)，
∴k＝＝－，
l
∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0.
综上，直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
7.(多选)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是(
)
A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C.直线l过定点(0，1)
D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
答案 AC
解析 对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，正确；
对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a＝0
或a＝－1，不正确；
对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点(0，1)，正确；
对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在两轴上的截距分别是－1，1，不
正确.
8.(多选)(2021·长沙模拟)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是
B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C.点(，0)到直线l的距离是2
D.过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
答案 CD
解析 对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角是，故A
错误；
对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂
直，故B错误；
对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确；
对于D，过(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得：x－y－4＝0，故
D正确.
9.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是________.
答案 3x＋4y＋5＝0
解析 在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知
直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
10.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的
距离为3，则l的方程为________.
答案 x＝2或4x－3y－5＝0
解析 法一 两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0，此
时A到直线l的距离为3，符合题意；
当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.
由点到线的距离公式得d＝＝3，解得k＝，故所求直线方程为4x－3y－5＝0.
综上知，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.
法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x
＋(1－2λ)y－5＝0，所以＝3，解得λ＝2或λ＝.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
11.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在
直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，则点A的坐标为________，点C的坐
标为________.
答案 (－1，0) (5，－6)
解析 由方程组得
所以点A的坐标为(－1，0).
又直线AB的斜率k ＝1，x轴是∠A的平分线，所以k ＝－1，
AB AC
则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1).①
又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率k ＝－2，
BC
所以BC边所在的直线方程为
y－2＝－2(x－1).②
解①②组成的方程组得
即点C的坐标为(5，－6).
12.设光线l从点A(－4，)出发，经过x轴反射后经过点B，则光线l与x轴的交点为
________，若该入射光线l经x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线
所在直线的纵截距为________.
答案 (－1，0) －
解析 点A(－4，)关于x轴的对称点为A′(－4，－)，则直线A′B：y＝x＋与x轴交于
点(－1，0)，所以光线l与x轴的交点为(－1，0).
由入射角是60°，得折射角是30°，且光线经过(－1，0)，得出折射光线所在直线方
程为y＝－x－，所以纵截距为－.
13.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，
则m＋n等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 令A(0，2)，B(4，0)，C(7，3)，D(m，n).
根据题意，得折痕为A，B的对称轴，也是CD的对称轴.
AB的斜率为k ＝－，其中点为(2，1)，
AB
所以图纸的折痕所在的直线方程为y－1＝2(x－2)，∴k ＝＝－，①
CD
∵CD的中点为，
∴－1＝2，②
由①②解得m＝，n＝，∴m＋n＝.
14.(多选)已知直线l ：ax－y＋1＝0，l ：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(
1 2
)
A.不论a为何值时，l 与l 都互相垂直
1 2
B.当a变化时，l 与l 分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
1 2
C.不论a为何值时，l 与l 都关于直线x＋y＝0对称
1 2
D.如果l 与l 交于点M，则|MO|的最大值是
1 2
答案 ABD
解析 对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l 与l 互相垂直恒成立，故A正确；
1 2
对于B，直线l ：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l 恒过定点
1 1
A(0，1)；l ：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l 恒过定点B(－
2 2
1，0)，故B正确；
对于C，在l 上任取点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，
1
－x)，代入l ：x＋ay＋1＝0，则等式左边不等于0，故C不正确；
2
对于D，联立解得
即M，
所以|MO|＝＝≤，所以|MO|的最大值是，故D正确.
15.设m∈R，若过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3
＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
答案 5
解析 易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两动直线都垂直，所以无论P
与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).
所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立.
16.已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|
＋|PB|的最小值为________.
答案
解析 设点A 与A关于直线l对称，P 为A B与直线l的交点，∴|P A |＝|P A|，|
1 0 1 0 1 0
PA |＝|PA|.
1在△A PB中，|PA |＋|PB|>|A B|＝|A P |＋|P B|＝|P A|＋|P B|，
1 1 1 1 0 0 0 0
∴|PA|＋|PB|≥|P A|＋|P B|＝|A B|.
0 0 1
当P点运动到P 时，|PA|＋|PB|取得最小值|A B|.
0 1
设点A关于直线l的对称点为A (x ，y )，
1 1 1
解得
∴A (0，3)，
1
∴(|PA|＋|PB|) ＝|A B|
min 1
＝＝.
