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第 2 节 两条直线的位置关系
考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条
直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，
会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l ，l ，其斜率分别为k ，k ，则有l ∥l k ＝ k .特别地，当直
1 2 1 2 1 2 1 2
线l ，l 的斜率都不存在时，l 与l 平行.
1 2 1 2 ⇔
(2)两条直线垂直
如果两条直线l ，l 斜率都存在，设为k ，k ，则l ⊥l k · k ＝－ 1，当一条直线斜率
1 2 1 2 1 2 1 2
为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
⇔
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l 的方程A x＋B y＋C ＝0，也满足直线l 的方程A x＋B y
1 1 1 1 2 2 2
＋C ＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交
2
点坐标.
(2)两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l 与l 的公共点的个数 一个 无数个 零个
1 2
直线l 与l 的位置关系 相交 重合 平行
1 2
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P (x ，y )，P (x ，y )间的距离公式为|P P |＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P (x ，y )到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0
(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝.
1 1 2 2
4.对称问题
(1)点P(x ，y )关于点A(a，b)的对称点为P′ (2 a － x ， 2 b － y ).
0 0 0 0
(2)设点P(x ，y )关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
0 0
1.“直线A x＋B y＋C ＝0，A x＋B y＋C ＝0平行”的充要条件是“A B ＝A B 且
1 1 1 2 2 2 1 2 2 1
A C ≠A C ”，“两直线垂直”的充要条件是“A A ＋B B ”＝0.
1 2 2 1 1 2 1 2
2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l 和l 的斜率都存在时，一定有k ＝k l ∥l .( )
1 2 1 2 1 2
(2)如果两条直线l 与l 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
1 2 ⇒
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)两直线l ，l 有可能重合.
1 2
(2)如果l ⊥l ，若l 的斜率k ＝0，则l 的斜率不存在.
1 2 1 1 2
2.(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点
B的坐标可能是( )
A.(2，0) B.(0，2) C.(4，6) D.(6，4)
答案 AC
解析 设B(x，y)，根据题意可得
即
解得或
所以B(2，0)或B(4，6).
3.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
答案 B
解析 设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点
A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为.
4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________答案 －9
解析 由得
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
5.(2020·上海卷)已知直线l ：x＋ay＝1，l ：ax＋y＝1，若l ∥l ，则l 与l 的距离为
1 2 1 2 1 2
________.
答案
解析 直线l ：x＋ay＝1，l ：ax＋y＝1，
1 2
当l ∥l 时，a2－1＝0解得a＝±1.
1 2
当a＝1时，l 与l 重合，不满足题意；
1 2
当a＝－1时，l ∥l ，
1 2
则l ：x－y－1＝0，l ：x－y＋1＝0，
1 2
则l 与l 的距离为d＝＝.
1 2
6.(2022·武汉质检)若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，
则a＋b＋c＝________.
答案 －4
解析 ∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－×＝－1，∴a＝10，
∴直线ax＋4y－2＝0的方程为5x＋2y－1＝0.
将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2.
将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0
得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12，
∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4.
考点一 两直线的平行与垂直
1.已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
解析 直线x＋my－1＝0与直线nx＋y＋1＝0平行，则＝≠，∴mn＝1，充分性成立.
而m＝－1，n＝－1时，mn＝1，但x－y－1＝0与－x＋y＋1＝0重合，必要性不成
立.
2.(2021·烟台期末)若直线l ：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l ：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝
1 2
0垂直，则实数k的值是( )
A.3或－3 B.3或4
C.－3或－1 D.－1或4
答案 A
解析 ∵直线l ：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0，
1
直线l ：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0互相垂直，
2
∴(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，
即k2－9＝0，解得k＝3或k＝－3.
3.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7
＝0的直线方程为________.
答案 4x－3y＋9＝0
解析 法一 由方程组
解得即交点为.
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为
y－＝，即4x－3y＋9＝0.
法二 由垂直关系可设所求直线方程为
4x－3y＋m＝0.
由方程组
可解得交点为，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三 由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3
－3λ)y＋1＋4λ＝0.①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，
代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
4.(多选)已知直线l ：x＋my－1＝0，l ：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(
1 2)
A.若l ∥l ，则m＝－1或m＝3
1 2
B.若l ∥l ，则m＝3
1 2
C.若l ⊥l ，则m＝－
1 2
D.若l ⊥l ，则m＝
1 2
答案 BD
解析 若l ∥l 则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，
1 2
当m＝－1时，l ：x－y－1＝0，l ：x－y－1＝0，l 与l 重合，
1 2 1 2
∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正确；
若l ⊥l ，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C不正确，D正确.
1 2
感悟提升 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考
虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y
的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论
考点二 两直线的交点与距离问题
例1 (1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数 k
的取值范围是________.
答案
解析 由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－＜k＜.
(2)(2022·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取
值范围是________.
答案 [0，10]
解析 由题意得，点P到直线的距离为
＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10].
(3)若两平行直线 3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0 之间的距离为，则 c 的值是________.
答案 2或－6
解析 由题意得＝≠，
∴a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.
由两平行线间的距离公式得
＝，
即＝2，解得c＝2或c＝－6.
感悟提升 (1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再
结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x ，y )到直线x＝a的距离d＝|x －a|，到直线y＝b
0 0 0
的距离d＝|y －b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相
0
等.
训练1 (1)(2021·淮南模拟)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点
在第一象限，则实数k的取值范围为________.
答案
解析 联立
解得x＝，y＝(k≠－2).
∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，
∴>0，且>0，解得－|A B|＝|A P |＋|P B|＝|P A|＋|P B|，
1 1 1 1 0 0 0 0
∴|PA|＋|PB|≥|P A|＋|P B|＝|A B|.
0 0 1
当P点运动到P 时，|PA|＋|PB|取得最小值|A B|.
0 1
设点A关于直线l的对称点为A (x ，y )，
1 1 1
解得
∴A (0，3)，
1
∴(|PA|＋|PB|) ＝|A B|
min 1
＝＝.
