第2练不等式（解析版）-2023年高考一轮复习精讲精练必备_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

第 2 讲 不等式的性质及其解法 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、单选题 1．已知集合 ，则 =（ ） A．[-1，4) B．[-1，2) C．(-2，-1) D． 【答案】A ∅ 【详解】 由题设， ，而 ， 所以 . 故选：A 2．已知二次函数 （ ）的值域为 ，则 的最小值为（ ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【详解】 由于二次函数 （ ）的值域为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 即 时等号成立. 故选：B 3．若实数a，b满足 ，则ab的最大值为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】∵ ， ， ∴ ，即 ，当且仅当 时等号成立， ∴ ． 故选：D． 4．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意知 ， ， 所以 ． 故选：C． 5．已知函数 为偶函数，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为 为偶函数，所以 ，即 解之得 ，经检验符合题意.则 由 ，可得故 的解集为 ， 故选：B. 6．对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 当 时，不等式为 恒成立，故满足要求； 当 时，要满足： ，解得： ， 综上：实数 的取值范围是 . 故选：D 7．函数 的最小值为（ ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】 因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立， ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为4. 故选：A 8．设 ， ，若 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】 解：法一：（基本不等式） 设 ，则 ， 条件 ， 所以 ，即 . 故选：D. 法二：（三角换元）由条件 ， 故可设 ，即 ， 由于 ， ，故 ，解得 所以， ， 所以 ,当且仅当 时取等号. 故选：D. 二、多选题 9．已知 ，则a，b满足（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】 由 ，则 ,则 所以 ，所以选项A正确. ,所以选项B不正确.由 ， 因为 ，故等号不成立 ，则 ，故选项C正确. 因为 ，故等号不成立 ，故选项D正确. 故选：ACD 10．已知正数a，b满足 ，则下列说法一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 由题意可知 ， （当且仅当 时取等号），故A 正确； 取 ，则 ，故BC错误； 因为 ，所以 （当且仅当 时取等号），则 （当且仅当 时取等号），故D正确； 故选：AD 11．已知 ，直线 与曲线 相切，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】 设直线 与曲线 相切的切点为 ， 由 求导得： ，则有 ，解得 ，因此， ，即 ，而 ， 对于A， ，当且仅当 时取“=”，A正确； 对于B， ，当且仅当 ，即 时取“=”， B不正确； 对于C，因 ，则有 ，即 ， 当且仅当 ，即 时取“=”，由 得 ，所以当 时， ，C正确； 对于D，由 ， 得， ， ，而函数 在R上单调递增， 因此， ，D不正确. 故选：AC 12．已知正数a，b满足 ，则（ ） A． 的最大值是 B． 的最大值是 C． 的最小值是 D． 的最小值为 【答案】ABD【详解】 由 得 ，当且仅当 时取等，A正确； 由 得 ，当且仅当 时取等，B正确； 由正数a，b及 知 ， ，可得 ，故 ，C错误； 令 ，则 ，两边同时平方得 ，整理得 ， 又存在 使 ，故 ，解得 ，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．命题“ ”为假命题，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【详解】 若命题“ ”为假命题，则命题“ ”为真命题，即 在 上恒成立， 则 ， 因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 ， 所以 ， 故答案为： 14．已知 ， ， ，则 的最小值为__． 【答案】 【详解】，当且仅当析 ， 时，等号成立. 故答案为： 15．若 ， ， ， ，则 的最小值为______． 【答案】 ## 【详解】 由题意， ， ， ， 得： ， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故 的最小值为 ， 故答案为： 16．设 ， ， ，则 的最小值为______． 【答案】 # . 【详解】 因为 ，所以当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为 ， 故答案为： . 四、解答题 17．已知函数 ． (1)求函数 的值域； (2)已知 ， ，且 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】(1) 解：当 时， ； 当 时， ； 当 时， ，所以 ， 综上函数 的值域为 (2) 因为 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立，要使不等式 恒成立，只需 ，即 恒成立，由 （1）知当 时， 不合题意；当 时， 恒成立；当 时，，解得 ，综上 ，所以x的取值范围为 . 18．已知函数 (1)若不等式 的解集为 ，求实数a的值. (2)若 ，求证: . 【解析】(1) 即 ， 所以 ，即 ，显然 . 当 时， ，则 ，解得： ； 当 时， ，则 ，无解. 综上可知， . (2) 证明： ， 等号成立的条件是 与 同号， ， ， ，当且仅当 ，即 时 等号成立， ， ， .