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第 4 节 直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能
用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离
为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d r ＋ r d < | r － r | d ＝ | r － r | d ＝ r ＋ r
1 2 1 2 1 2 1 2
＋ r
2
的关系
图示
公切线条数 4 0 2 1 3
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x ，y )的圆的切线方程为x x＋y y＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x ，y )的圆的切线方程为(x －a)(x－a)＋(y
0 0 0 0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x ，y )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x x
0 0 0
＋y y＝r2.
0
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|
＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线
方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x ＋x 和x ·x ，则|
M N M N
MN|＝·.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x ，y )作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，
0 0
A，B四点共圆，且直线AB的方程是x x＋y y＝r2.( )
0 0
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条
件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.
2.(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不
必要条件是( )
A.0＜m＜1 B.－1＜m＜0
C.m＜1 D.－3＜m＜1
答案 AB
解析 联立直线与圆的方程得
消去y，
得2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，
根据题意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋16＞0，得－3＜m＜1.
∵{m|0＜m＜1}{m|－3＜m＜1}，{m|－1＜m＜0}{m|－3＜m＜1}，
∴0＜m＜1和－1＜m＜0都是直线与圆相交的充分不必要条件.
3.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，
b)，则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案 ABD
解析 圆心C(0，0)到直线l的距离d＝.
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正
确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l与圆
C相切，故D正确.
4.两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________.
答案 内切
5.直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝______.
答案
解析 由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，
2)，半径r＝.
又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|
＝.
6.(2020·浙江卷)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相
切，则k＝__________，b＝__________.
答案 －
解析 如图，直线分别与两个半径相等的圆相切，由对称性可知，直线与x轴的交
点为A(2，0).
由AB＝2，BM＝1，∠AMB＝90°，得∠MAB＝30°，
可得直线的斜率k＝tan 30°＝，
直线方程为y＝(x－2)＝x－，因此b＝－.
考点一 直线与圆的位置关系1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(
)
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
答案 B
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
d＝＝＜1.
所以直线与圆相交.
2.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.
则以下几个命题正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l与圆C相离
答案 AC
解析 将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由解得
则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，故直线l与圆C恒相交，故AC正确.
3.若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r
的取值范围是( )
A.(＋1，＋∞) B.(－1，＋1)
C.(0，－1) D.(0，＋1)
答案 A
解析 计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图.
直线l：x－y－2＝0与圆相交，l ，l 与l平行，且与直线l的距
1 2
离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线 l 的距离
2
＋1.
感悟提升 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
考点二 圆的切线、弦长问题角度1 圆的弦长问题
例1 (1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的
是( )
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8
D.圆M被y轴截得的弦长为6
答案 ABD
解析 圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心
坐标为(4，－3)，半径为5.过原点的最短弦长为6，选项C不正确.ABD均正确.
(2)(2020·天津卷)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|
AB|＝6，则r的值为__________.
答案 5
解析 由题意知圆心为O(0，0)，圆心到直线的距离d＝＝4.取AB的中点M，连接
OM(图略)，则OM⊥AB.
在Rt△OMA中，r＝＝5.
感悟提升 弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判
别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
角度2 圆的切线问题
例2 (1)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.
答案 x＝2或4x－3y＋4＝0
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于
半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x
－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d
＝＝＝1，解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
(2)点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的
夹角为90°，则点P的坐标为( )A.(2，1) B.(2，2)
C.(2，) D.(2，0)
答案 C
解析 如图所示.
设切点为A，B，则OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，AP＝BP，
AP⊥BP，
故四边形OAPB为正方形，则|OP|＝，
又x ＝2，则P(2，).
P
感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切
线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该
点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
训练1 (1)(2022·郑州调研)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相
交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为( )
A.± B.±2 C.± D.±
答案 A
解析 圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1，－1)，半径为1，故|CB|＝|CA|＝1，
又△CAB为等边三角形，所以点C到直线kx＋y＋1＝0的距离为，即＝，解得k＝
±，故选A.
(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，
则四边形ABCD的面积为______.
答案 10
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r＝，圆心(1，3)与
E(0，1)距离＝，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2＝2，所以四边形ABCD的
面积为S＝|AC|·|BD|＝×2×2＝10.
(3)若一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
则反射光线所在直线的斜率为________.
答案 －或－
解析 点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，
故可设反射光线所在直线的方程为
y＋3＝k(x－2)，
化为kx－y－2k－3＝0，
∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
∴圆心(－3，2)到直线的距离d＝＝1.
化为24k2＋50k＋24＝0，
∴k＝－或k＝－.
考点三 圆与圆的位置关系
例3 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为
2×＝2.
感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与
两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2项
得到.
训练2 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，
则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
答案 B
解析 由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的
距离d＝，
所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝，小于两圆半径之和1＋2，大于
两圆半径之差1，故两圆相交.
(2)已知圆C ：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C ：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，
1 2
B两点.公共弦|AB|的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为
________.答案 2 (x＋2)2＋(y－1)2＝5
解析 两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.
∴圆C 与圆C 的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0，
1 2
联立
解得或
不妨设A(－4，0)，B(0，2)，
∴|AB|＝＝2，
以AB为直径的圆即为面积最小的圆.
∴(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
阿波罗尼斯圆
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.点A，B为两定点，动点P
满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称
之为阿波罗尼斯圆.
例 (1)已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，求点M的轨迹方程.
解 如图所示，设动点M(x，y)，连接MO，MA，有|MA|＝2|
MO|，
即
＝2，
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4①，
则方程①即为所求点M的轨迹方程，它表示以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆.
(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆
心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.
解 点C在直线l：y＝2x－4上，故设C的坐标为(a，2a－4).
因为半径r ＝1，所以圆C的方程是(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.
1
设点M(x，y)，则由|MA|＝2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，
即＝2，
化简整理得x2＋(y＋1)2＝4.
所以点M(x，y)在以D(0，－1)为圆心，r ＝2为半径的圆上.
2
又点M(x，y)在圆C上，所以两圆有公共点的条件是|r －r |≤|DC|≤|r ＋r |，
1 2 1 2
即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤.
即a的取值范围是.1.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
答案 A
解析 由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交.
2.圆O ：x2＋y2－2x＝0和圆O ：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
1 2
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
答案 B
解析 圆O 的圆心坐标为(1，0)，半径长r ＝1，圆O 的圆心坐标为(0，2)，半径长
1 1 2
r ＝2，所以两圆的圆心距d＝，而r －r ＝1，r ＋r ＝3，则有r －r ＜d＜r ＋r ，所
2 2 1 1 2 2 1 1 2
以两圆相交.
3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
答案 B
解析 过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，
∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
连接圆心与切点连线的斜率为k＝＝，
∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，
即2x＋y－7＝0.
4.(2022·济南外国语学校高三测试)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－
2ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 依题意可知直线过圆心(1，－2)，即3＋4a－11＝0，a＝2，故即为(1，－1)，
圆方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
(1，－1)与圆心距离为1，故弦长为2＝4.
5.(多选)(2022·福州调研)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两
点，弦AB的中点为M(0，1)，则下列结论正确的是( )
A.实数a的取值范围为a＜3
B.实数a的取值范围为a＜5C.直线l的方程为x＋y－1＝0
D.直线l的方程为x－y＋1＝0
答案 AD
解析 若弦AB的中点为M(0，1)，则点M(0，1)一定在圆内，且方程表示圆，
即得a＜3，故A正确；
由圆的方程得，圆心坐标为C(－1，2)，
又M(0，1)，则k ＝－1，则k ＝1，
CM AB
由点斜式得，直线l的方程为y－1＝x，
即x－y＋1＝0，故D正确.
6.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：y－1＝k(x－3).则以下几个命题正
确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.圆C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与圆C相交或相切
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
答案 ABD
解析 直线l：y－1＝k(x－3)恒过D(3，1)，A正确；
对于B，令x＝0，则(y－2)2＝24，解得y＝2±2，故圆C被y轴截得弦长为4，故B
正确；
对于C，因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，则点D在圆C内部，直线l与圆C相交，故
C不正确；
对于D，圆心C(1，2)，半径为5，|CD|＝，当截得的弦长最小时，l⊥CD，由于k ＝
CD
－，则l的斜率为2，此时直线的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，故D正
确.
7.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
答案 2
解析 由得两圆公共弦所在直线方程 x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x
－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所求弦长为2.
8.(2021·海南三模)已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的
切线有两条，则实数k的取值范围是________.
答案
解析 因为C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0为圆，所以k2＋4－4k2>0，解得－0，解得k∈R，综上可知－4，所以直线AB与圆M
相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，又4＋<5＋＝10，故A
正确；
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，又－4<－4＝1，故B不正确；
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当
∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3；当∠PBA最大时，点P与Q重合，|
PB|＝3，故C，D都正确.综上，选ACD.
13.(2022·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C ：x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存
1
在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C ：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则
2
r的取值范围是________.
答案 [－1，＋1]
解析 圆C 关于直线x－y＝0对称的圆C 的方程为(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，则圆
1 3
C 与圆C 存在公共点，所以|r－1|≤≤r＋1，所以r∈[－1，＋1].
3 214.已知抛物线P：y2＝2px(p＞0)上的点到其焦点的距离为1.
(1)求p和a的值；
(2)设直线l：y＝x＋m交抛物线P于两点A、B，线段AB的垂直平分线交抛物线P
于两点C、D，求证A、B、C、D四点共圆.
(1)解 y2＝2px的准线为x＝－，因为点到其焦点的距离等于该点到准线距离，
所以＋＝1，故p＝，即y2＝x，又在y2＝x上，所以a＝±.
(2)证明 设A(x ，y )，B(x ，y )，联立得y2－y＋m＝0，
1 1 2 2
则y ＋y ＝1，y ·y ＝m，
1 2 1 2
且1－4m＞0，即m＜，
则|AB|＝|y －y |＝，
1 2
且线段AB中点的纵坐标为＝，
则x＝－m，
所以线段AB中点为M，
因为直线CD为线段AB的垂直平分线，直线CD的方程为y＝－x＋1－m，
联立
得y2＋y＋m－1＝0，
设C(x ，y )，D(x ，y )，
3 3 4 4
则y ＋y ＝－1，y ·y ＝m－1，
3 4 3 4
故|CD|＝|y －y |＝，
3 4
线段CD中点为N，
因为＝(10－8m)＝，
|AN|2＝|AM|2＋|MN|2＝＋2＝，
所以|AN|＝|CD|，
所以点A在以CD为直径的圆上，同理点B在以CD为直径的圆上，所以A、B、C、
D四点共圆.
