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第十九章 一次函数
第2课时19.2.3 变量与函数
一、温故知新（导）
上节课我们学习了一次函数与方程、不等式的关系.那么一次函数与二元一次方程（组）又有怎
样的关系呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1、 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；
2、掌握一次函数的图象求二元一次方程（组）的图象解法.
学习重难点
重点：一次函数与二元一次方程（组）的关系；
难点：二元一次方程（组）的图象解法.
二、自我挑战（思）
1、1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15
m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．（1）请用式子分别表示两个气球所
在位置的海拔 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：min)的函数关系．（2）在某时刻两气球能否位于
同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
2、我们也可以用一次函数的图象解释上述问题的解答，如图 19.2-8，在同一坐标系中，画出一次函
数y=x+5和y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为（20,25），这也说明当上升 min时，
两个气球都位于海拔 m的高度.
图19.2-8
三、互动质疑（议、展）
1 、 一 般 地 ， 因 为 每 个 含 有 未 知 数 x 和 y 的 二 元 一 次 方 程 ， 都 可 以 改 写 为的形，所以每个这样的方程都对应一个 ，于是也对应一条 .这条直线上每个点的
坐标（x，y）都是二元一次方程的 .
2、由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的 ，都对应两个 ，于是也对
应两条 直线 .从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个
相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交
点的 .因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的 .
3、实例：
例： 如图，过点（2，-1）的直线l ：y =kx+b与直线l ：y =2x+4相交于点P（-1，a）．
1 1 2 2
（1）求a的值；
（2）求直线l 的解析式；
1
{y−kx＝b
（3）直接写出 的解．
y−2x＝4
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如
图），则所解的二元一次方程组是（ ）
{ y＝2x+4 { y＝x+4 { y＝x+4 { y＝2x+4
A． B． C． D．
y＝−3x−6 y＝−4x−6 y＝−3x−6 y＝−4x−62、如图所示，已知函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）和y=mx（m为常数，且m≠0）的图象相交
{y＝kx+b
于点P，则关于x,y的二元一次方程组 的解是（ ）
y＝mx
{x=2 {x=1 {x=0 {x=0
A． B． C． D．
y=0 y=1 y=1 y=0
{2x−y＝0
3、已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为（a,-4），则关于x、y的方程组 的解是（
x+ y＝b
）
{ x=2 {x=2 {x=−2 {x=2
A． B． C． D．
y=−4 y=4 y=−4 y=4
4、已知一次函数y=3x-7与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，-1），则方程
{3x−y＝7
组 的解是 ．
kx−y＝0
{2x−y＝2 {x=2
5、方程组 的解是 时，则直线l ：y=2x-2与直线l ：y=ax+b的交点坐标是
y＝ax+b y=2 1 2
．
6、已知一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），与正
比例函数y=mx的图象交于点C．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
{mx−y＝0
（2）若点C（2，a），请直接写出方程组 的解．
kx−y＝−b
六、用
（一）必做题
1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所
示），则所解的二元一次方程组是（ ）{ x+ y−2＝0 { x+ y−2＝0
A． B．
3x−2y−1＝0 2x−y−1＝0
{2x−y−1＝0 {2x−y−1＝0
C． D．
3x+2y−5＝0 3x−2y−1＝0
{ax+ y＝b
2、如图，关于x,y的方程组 的解是（ ）
x−y＝−6
{x=1 {x=5
A． B．
y=3 y=1
{ x=5 {x=−1
C． D．
y=−1 y=5
3、在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b与y=mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，小
星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而减小；
{y−ax＝b {x=−3
②方程组 的解为 ；
y−mx＝n y=2
3
③方程ax+b=0的解为x＝− ；
2
④当x=0时，mx+n=1．
其中结论正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
{2x−y＝2 {x=2
4、方程组 的解是 时，则直线l ：y=2x-2与直线l ：y=ax+b的交点坐标是
y＝ax+b y=2 1 2
．
{y−kx＝4 {x=2
5、已知二元一次方程组 的解为 ，则图中三角形ABC的面积为 ．
y+3x＝b y=6
6、如图，直线y =kx+b与坐标轴交于A（0，2），B（m,0）两点，与直线y =-4x+12交于点
1 2
P（2，n），直线y =-4x+12交x轴于点C，交y轴于点D．
2
（1）求m,n值；
{ y＝kx+b
（2）直接写出方程组 的解为 ；
y＝−4x+12
（3）求△PBC的面积．（二）选做题
7、已知：如图，直线l 与y轴交点坐标为（0，-1），直线l 与x轴交点坐标为（3，0），两
1 2
直线交点为P（1，1），解答下面问题：
（1）求出直线l 、l 的解析式；
1 2
（2）求直线l 、l 与x轴围成的三角形的面积；
1 2
（3）请列出一个二元一次方程组，要求能够根据图象所提供的信息条件直接得到该方程组的
{x=1
解为 ；
y=1
（4）根据图象当x为何值时，l 、l 表示的两个一次函数的函数值都大于 0？
1 2
8、若正比例函数y =-x的图象与一次函数y =2x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为-2．
1 2
{ x+ y＝0
（1）求该一次函数的表达式；（2）直接写出方程组 的解；
−2x+ y＝m
（3）在一次函数y =2x+m的图象上是否存在点B，使得△AOB的面积为9，若存在，求出点
2
B坐标；若不存在，请说明理由．
