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第 6 节 双曲线
考试要求 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F F |)的点的轨迹
1 2 1 2
叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数
学表达式：集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|F F |＝2c，其中a，c为常数且a>0，
1 2 1 2
c>0.
(1)若 a < c ，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若 a > c ，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图 形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A ( － a ， 0) ， A ( a ， 0) A (0，－a)，A (0，a)
1 2 1 2
性 渐近线 y＝±x y ＝ ± x
质 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
线段A A 叫做双曲线的实轴，它的长度|A A |＝2a；线段B B
1 2 1 2 1 2
实虚轴 叫做双曲线的虚轴，它的长度|B B |＝2b；a叫做双曲线的实
1 2
半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF | ＝c＋a，|
1 2 1min
PF | ＝c－a.
2min
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F ，F 为双曲线的两个焦点，且∠F PF
1 2 1 2
＝θ，则△F PF 的面积为.
1 2
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F (0，4)，F (0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(
1 2
)
(2)平面内到点F (0，4)，F (0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
1 2
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.( )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e ，e ，则＋＝1.(
1 2
)
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
解析 (1)因为||MF |－|MF ||＝8＝|F F |，表示的轨迹为两条射线.
1 2 1 2
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y
轴上的双曲线.
2.(易错题)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )
A.若C为椭圆，则1＜t＜3
B.若C为双曲线，则t＞3或t＜1
C.曲线C可能是圆
D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2
答案 AD
解析 若t＞3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；
若t＜1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；
若2＜t＜3，则0＜3－t＜t－1，故方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；
若1＜t＜2，则0＜t－1＜3－t，故方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，则方程＋＝1，即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.
3.(2021·全国甲卷)已知F ，F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F PF ＝
1 2 1 2
60°，|PF |＝3|PF |，则C的离心率为( )
1 2
A. B. C. D.
答案 A
解析 设|PF |＝m，|PF |＝3m，则|F F |＝＝m，所以C的离心率e＝＝
2 1 1 2
＝＝＝.
4.(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的
焦距为________.
答案 4
解析 双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，
又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.
设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，
所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
5.(易错题)双曲线－＝1上一点P到焦点F (－5，0)的距离为7，则点P到焦点
1
F (5，0)的距离为________.
2
答案 13
解析 在双曲线－＝1中，a＝3，由题意得|PF |＝7，
1
由双曲线的定义可得||PF |－|PF ||＝2a＝6，
1 2
即|7－|PF ||＝6，
2
解得|PF |＝13或|PF |＝1，
2 2
又|PF |≥c－a＝2，所以|PF |＝13.
2 2
6.(2020·北京卷)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦
点到其渐近线的距离是__________.
答案 (3，0)
解析 由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x轴上，所以双曲线C的右
焦点坐标为(3，0).
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
即x－y＝0，
所以焦点(3，0)到渐近线的距离为
d＝＝.考点一 双曲线的定义及应用
例1 (1)(2022·滨州质检)－＝4表示的曲线方程为( )
A.－＝1(x≤－2)
B.－＝1(x≥2)
C.－＝1(y≤－2)
D.－＝1(y≥2)
答案 C
解析 的几何意义为点M(x，y)到点F (0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到点
1
F (0，－3)的距离，则－＝4表示点M(x，y)到点F (0，3)的距离与到点F (0，－3)的
2 1 2
距离的差为4，且4＜|F F |，所以点M的轨迹是以F ，F 为焦点的双曲线的下支，
1 2 1 2
且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则－＝4表示的曲
线方程为－＝1(y≤－2).
(2)已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F PF ＝60°，则
1 2 1 2
△F PF 的面积为________.
1 2
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF |－|PF |＝2a＝2，
1 2
在△F PF 中，由余弦定理，得
1 2
cos∠F PF ＝＝，
1 2
∴|PF |·|PF |＝8，
1 2
∴S ＝|PF |·|PF |·sin 60°＝2.
△F1PF2 1 2
感悟提升 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF |－|PF ||＝
1 2
2a，运用平方的方法，建立与|PF |·|PF |的联系.
1 2
训练1 (1)已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1和圆C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C
1 2 1
及圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
2
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆 M与圆C 及圆C 分别外切于 A和
1 2
B.
根据两圆外切的条件，
得|MC |－|AC |＝|MA|，
1 1
|MC |－|BC |＝|MB|，
2 2
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC |－|AC |＝|MC |－|BC |，即|MC |－|MC |＝|BC |－|AC |＝2，
1 1 2 2 2 1 2 1所以点M到两定点C ，C 的距离的差是常数且小于|C C |＝6.
2 1 1 2
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C 的距离大，与
2
C 的距离小)，
1
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
(2)(2022·广州模拟)过双曲线x2－＝1的左焦点F 作一条直线l交双曲线左支于
1
P，Q两点，若|PQ|＝10，F 是双曲线的右焦点，则△PF Q的周长是________.
2 2
答案 24
解析 由题意，得|PF |－|PF |＝2，|QF |－|QF |＝2.
2 1 2 1
∵|PF |＋|QF |＝|PQ|＝10，
1 1
∴|PF |＋|QF |－10＝4，∴|PF |＋|QF |＝14.
2 2 2 2
∴△PF Q的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ|＝14＋10＝24.
2 2 2
考点二 双曲线的标准方程
1.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________.
答案 －y2＝1
解析 法一 椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0).
设双曲线标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2，1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
法二 设所求双曲线标准方程为＋＝1(1<λ<4)，
将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，则
双曲线C的标准方程为________.
答案 －＝1
解析 由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程
为－＝1.
3.经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为所求双曲线经过点P(3，2)，
Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线标准方程为－＝1.
4.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方
程是________________.
答案 －＝1
解析 设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解
得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
感悟提升 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴
上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位
置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条
件求解.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
考点三 双曲线的简单几何性质
角度1 求双曲线的渐近线
例2 (1)(2022·杭州模拟)设F ，F 是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是
1 2
双曲线C右支上一点，若|PF |＋|PF |＝4a，且∠F PF ＝60°，则双曲线C的渐近线
1 2 1 2
方程是( )
A.x±y＝0 B.2x±y＝0
C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
答案 C
解析 ∵F ，F 是双曲线的左、右焦点，
1 2
点P在双曲线右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF |－|PF |＝2a，
1 2
又知|PF |＋|PF |＝4a，
1 2
∴|PF |＝3a，|PF |＝a.
1 2
在△PF F 中，由余弦定理的推论可得
1 2
cos 60°＝，
即＝，∴3a2＝10a2－4c2，
即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
即x±2y＝0.(2)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A ，A ，过F作
1 2
A A 的垂线与双曲线交于B，C两点，若A B⊥A C，则该双曲线的渐近线的斜率为(
1 2 1 2
)
A.± B.± C.±1 D.±
答案 C
解析 不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且
垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，，又A ，
1
A 的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，所以A1B＝，A2C＝，因为
2
A B⊥A C，所以A1B·A2C＝0，
1 2
即(c＋a) (c－a)－·＝0，
即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，
故＝1，即＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.
角度2 求双曲线的离心率
例3 (1)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径
的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 A
解析 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为
(c，0).则c＝，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可
知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为
M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt△OPM中，|
OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.
(2)(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过
1 2
F 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A＝AB，F1B·F2B＝0，则C的
1
离心率为________.
答案 2
解析 因为F1B·F2B＝0，所以F B⊥F B，如图.
1 2
所以|OF |＝|OB|，所以∠BF O＝∠F BO，
1 1 1
所以∠BOF ＝2∠BF O.因为F1A＝AB，所以点A为F B的中
2 1 1
点，又点O为F F 的中点，所以OA∥BF ，所以F B⊥OA，因
1 2 2 1
为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF O＝，tan∠BOF ＝.
1 2
因为tan∠BOF ＝tan(2∠BF O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝
2 1
c，所以双曲线的离心率e＝＝2.(3)(2022·石家庄模拟)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双
曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐
角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(1，1＋) D.(2，1＋)
答案 B
解析 由题意易知点F的坐标为(－c，0)，A，B，E(a，0)，因为△ABE是锐角三角形，
所以EA·EB＞0，即EA·EB＝·＞0，整理得3e2＋2e＞e4，∴e(e3－3e－3＋1)＜0，∴e(e
＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2)，又e＞1，∴e∈(1，2).
感悟提升 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e
的方程(或不等式)求解.
2.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0.
训练2 (1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)
的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率
为( )
A. B. C.2 D.
答案 D
解析 由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝
±x.
将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，
所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.
由|AB|＝4|OF|可得＝4，
即b＝2a，b2＝4a2，
故双曲线的离心率e＝＝＝.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，一条渐近线为l，过
1 2
点F 且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF |＝2|MF |，则双曲线C的离心率
2 1 2
为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 不妨设渐近线l的方程为y＝x，则点M在第四象限，由双曲线的定义知|
MF |－|MF |＝2a，又|MF |＝2|MF |，所以|MF |＝4a，|MF |＝2a.设过点F 且与l平行
1 2 1 2 1 2 2的直线的倾斜角为α，则tan α＝，所以cos α＝＝，所以cos∠F F M＝.在△F F M
1 2 1 2
中，由余弦定理cos∠F F M＝，得＝，整理得c2＝5a2，即c＝a，所以e＝＝.
1 2
考点四 双曲线几何性质的综合应用
例4 (1)已知M(x ，y )是双曲线C：－y2＝1上的一点，F ，F 是C的两个焦点，若
0 0 1 2
MF1·MF2<0，则y 的取值范围是( )
0
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为F (－，0)，F (，0)，－y＝1，所以MF1·MF2＝(－－x ，－y )·(－x ，－y )
1 2 0 0 0 0
＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－0，b>0)的两
条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
解析 不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a联立，
可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b.
∴S ＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，
△ODE
∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.
当且仅当a＝b＝2时，等号成立.
∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8.
感悟提升 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程
对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知
识的联系.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来
解决.
训练3 (1)(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为
圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则( )
A.渐近线方程为y＝±x
B.渐近线方程为y＝±x
C.∠MAN＝60°D.∠MAN＝120°
答案 BC
解析 由题意可得e＝＝，设c＝2t，a＝t，t＞0，则b＝＝t，
所以圆A的圆心为(t，0)，半径长为t，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x，
圆心A到渐近线的距离d＝＝t，
所以弦长|MN|＝2＝2＝t＝b，
可得△MNA是边长为b的等边三角形，即有∠MAN＝60°.故选BC.
(2)(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F (－
1
c，0)，F (c，0)，若双曲线存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是
2
________.
答案 (1，1＋)
解析 在△PF F 中，由正弦定理知
1 2
＝，又＝，
∴＝，
所以P在双曲线右支上，设P(x ，y )，如图，
0 0
又∵|PF |－|PF |＝2a，∴|PF |＝.
1 2 2
由双曲线几何性质知|PF |＞c－a，
2
则＞c－a，即e2－2e－1＜0，
∴1＜e＜1＋.
椭圆、双曲线中的“二级结论”
1.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是
2.(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)焦半径公式|PF |＝a＋ex ，|PF |＝a－ex ，F ，F 分别为左、
1 0 2 0 1 2
右焦点.
(2)双曲线－＝1(a，b＞0)的焦半径公式|PF |＝|a＋ex |，|PF |＝|a－ex |.
1 0 2 0
3.双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为
－＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k与离心率e的关系：e＝＝.
4.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x ，y )与两焦点构成的△PF F 叫做焦点三角形，
0 0 1 2∠F PF ＝θ，△PF F 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
1 2 1 2
①当P为短轴端点时，θ最大.
②S＝|PF ||PF |·sin θ＝b2tan ＝c|y |，当|y |＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，
1 2 0 0
最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c).
(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦
1 2
点，则S ＝，其中θ为∠F PF .
△PF1F2 1 2
例 (1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为(
)
A.5 B. C. D.
答案 D
解析 法一 由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，可知＝2，即b＝2a.
又c2＝a2＋b2＝a2＋4a2＝5a2，所以e2＝＝5，即e＝.
法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，可知渐近线的斜率k＝±2.
根据结论(3)，得e＝＝＝.
(2)椭圆＋＝1的焦点为F ，F ，P为椭圆上一点，若∠F PF ＝60°，则△F PF 的面
1 2 1 2 1 2
积是( )
A. B.
C.16 D.32
答案 A
解析 法一 由椭圆＋＝1的焦点为F ，F 知|F F |＝2c＝6，
1 2 1 2
在△F PF 中，不妨设|PF |＝m，|PF |＝n，则|PF |＋|PF |＝m＋n＝2a＝10.
1 2 1 2 1 2
由余弦定理得|F F |2＝|PF |2＋|PF |2－2|PF |·|PF |cos∠F PF ，
1 2 1 2 1 2 1 2
即(2c)2＝m2＋n2－2mncos 60°，即36＝(m＋n)2－3mn＝100－3mn，解得mn＝.
所以S ＝·|PF |·|PF |·
△F1PF2 1 2
sin∠F PF ＝mnsin 60°＝.
1 2
法二 依题意知b＝4，
根据结论(1)，得S ＝b2tan＝16×tan ＝.
△F1PF2
1.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝( )A. B.4 C.2 D.
答案 D
解析 由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，
∴c2＝a2＋1.
∴5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.
2.(2021·北京卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)过点(，)，离心率为2，则双曲线的方程为(
)
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 双曲线离心率e＝＝2，故c＝2a，b＝a，将点(，)代入双曲线方程，得－＝1，
故a＝1，b＝，故双曲线方程为x2－＝1.
3.(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线
方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得点(3，0)到双曲线的一条渐
近线的距离为＝.
4.已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF |＝2|PF |，则
1 2 1 2
cos ∠F PF ＝( )
1 2
A. B. C. D.
答案 C
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF |－|PF |＝2a＝2，又|
1 2
PF |＝2|PF |，
1 2
∴|PF |＝4，|PF |＝2，
1 2
在△PF F 中，|F F |＝2c＝4，由余弦定理，得
1 2 1 2
cos ∠F PF ＝＝.
1 2
5.(多选)(2021·重庆诊断)在平面直角坐标系中，有两个圆C ：(x＋2)2＋y2＝r和C ：
1 2
(x－2)2＋y2＝r，其中常数r ，r 为正数且满足r ＋r ＜4，一个动圆P与两圆都相切，
1 2 1 2
则动圆圆心的轨迹可以是( )
A.两个椭圆B.两个双曲线
C.一个双曲线和一条直线
D.一个椭圆和一个双曲线
答案 BC
解析 由题意得，圆C 的圆心为C (－2，0)，半径为r ，圆C 的圆心为C (2，0)，半
1 1 1 2 2
径为r ，所以|C C |＝4，设动圆P的半径为r.
2 1 2
因为r ＋r ＜4，所以两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一
1 2
个内切.
①若均内切，则|PC |＝r－r ，|PC |＝r－r ，此时||PC |－|PC ||＝|r －r |，
1 1 2 2 1 2 1 2
当r ≠r 时，点P的轨迹是以C ，C 为焦点的双曲线，
1 2 1 2
当r ＝r 时，点P在线段C C 的垂直平分线上.
1 2 1 2
②若均外切，则|PC |＝r＋r ，|PC |＝r＋r ，
1 1 2 2
此时||PC |－|PC ||＝|r －r |，
1 2 1 2
则点P的轨迹与①相同.
③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C 内切，与圆C 外切，则
1 2
|PC |＝r－r ，|PC |＝r＋r ，|PC |－|PC |＝r ＋r .
1 1 2 2 2 1 1 2
同理，当与圆C 内切，与圆C 外切时，
2 1
|PC |－|PC |＝r ＋r .
1 2 1 2
此时点P的轨迹是以C ，C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.
1 2
6.(多选)(2022·长沙调研)已知F ，F 分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P
1 2
是其一条渐近线上一点，且以线段F F 为直径的圆经过点P，则( )
1 2
A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B.以F F 为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
1 2
C.点P的横坐标为±1
D.△PF F 的面积为
1 2
答案 ACD
解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知|F F |＝2，
1 2
所以以F F 为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
1 2
点P(x ，y )在圆x2＋y2＝2上，
0 0
不妨设点P(x ，y )在直线y＝x上，
0 0
所以由解得|x |＝1，
0
则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF F 的面积为×2×1＝，故D正确.
1 2
7.已知a>b>0，椭圆C 的方程为＋＝1，双曲线C 的方程为－＝1，C 与C 的离心
1 2 1 2
率之积为，则C 的渐近线方程为________.
2
答案 x±y＝0
解析 椭圆C 的离心率为，双曲线C 的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝
1 2
b，所以双曲线C 的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
2
8.如图，F 和F 分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，
1 2
以|OF |为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F AB是等边三角形，则双曲
1 2
线的离心率为________.
答案 ＋1
解析 设|F F |＝2c，连接AF (图略)，
1 2 1
∵△F AB是等边三角形，且F F 是⊙O的直径，
2 1 2
∴∠AF F ＝30°，∠F AF ＝90°，
2 1 1 2
∴|AF |＝c，|AF |＝c，2a＝c－c，
1 2
∴e＝＝＝＋1.
9.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A
与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点.若∠MAN＝60°，则 C 的离心率为
________.
答案
解析 如图，点M，N所在的渐近线为ay－bx＝0，圆
A的圆心A(a，0)到渐近线的距离d＝，又M，N均为圆
A 上的点，∴|AM|＝|AN|＝b，又∠MAN＝60°，
∴△MAN为等边三角形，在△MAN内，A到边MN的
距离为d＝|AM|·sin 60°＝b，∴有＝b，解得a2＝3b2，∴3c2＝4a2，∴e＝＝＝.
10.(2021·东北三省三校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F ，F 在坐标轴上，
1 2
离心率为，且过点P(4，－).
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0.(1)解 ∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即－＝1.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F (－2，0)，F (2，0)，
1 2
∴k ＝，k ＝，
MF1 MF2
k ·k ＝＝－.
MF1 MF2
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故k ·k ＝－1，∴MF ⊥MF .
MF1 MF2 1 2
∴MF1·MF2＝0.
法二 由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F (－2，0)，F (2，0)，
1 2
MF1＝(－2－3，－m)，MF2＝(2－3，－m)，
∴MF1·MF2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴MF1·MF2＝0.
11.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作
圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率.
解 (1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x ，y )，
0 0
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
所以x ＝y ，①
0 0
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，
即y ＝c，所以x ＝c，
0 0
所以点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
所以3－8＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e>1，所以e＝，
所以双曲线的离心率为.
12.(多选)(2022·福州调研)设F ，F 为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过
1 2
左焦点F 且斜率为的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是(
1
)
A.直线l倾斜角的余弦值为
B.若|F P|＝|F F |，则C的离心率e＝
1 1 2
C.若|PF |＝|F F |，则C的离心率e＝2
2 1 2
D.△PF F 不可能是等边三角形
1 2
答案 AD
解析 设直线倾斜角为α，则tan α＝，
所以cos α＝，A正确；
P在第一象限内，若|F P|＝|F F |，则|F P|＝|F F |＝2c，|PF |＝2c－2a，
1 1 2 1 1 2 2
由余弦定理得＝，整理得3e2－8e＋4＝0，
解得e＝2或e＝(舍去)，B错误；
若|PF |＝|F F |，则|PF |＝|F F |＝2c，|PF |＝2c＋2a，
2 1 2 2 1 2 1
由余弦定理得cos∠PF F ＝
1 2
＝，整理得3e2－e－4＝0，
解得e＝或e＝－1(舍去)，C错误；
由|PF |＞|PF |，知△PF F 不可能是等边三角形，D正确.
1 2 1 2
13.(2021·长沙模拟)已知F ，F 是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，经过点F
1 2 2
且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且≤∠F AF ≤，则该双
1 2
曲线离心率的取值范围为________.
答案 [，]
解析 不妨设A在第一象限，将x＝c代入y＝x得A，
所以tan∠F AF ＝
1 2
＝∈，即≤≤1，即≤≤1 1≤≤3 1≤≤3 1≤e2－≤3 5≤e2≤13 ≤e≤.
14.(2022·青岛诊断)已知曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
右焦点F到直线x＝的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知
A(1，0)，若DF·BF＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.
(1)解 依题意有＝，c－＝，
∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，
∴b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明 设直线l的方程为
y＝x＋m(m＞0)，
B(x ，x ＋m)，D(x ，x ＋m)，BD的中点为M，
1 1 2 2
由得2x2－2mx－m2－3＝0，
∴x ＋x ＝m，x x ＝－，
1 2 1 2
又DF·BF＝1，即(2－x )(2－x )＋(x ＋m)(x ＋m)＝1，
1 2 1 2
∴m＝0(舍)或m＝2，
∴x ＋x ＝2，x x ＝－，M点的横坐标为＝1，
1 2 1 2
∵DA·BA＝(1－x )(1－x )＋(x ＋2)(x ＋2)＝5＋2x x ＋x ＋x ＝5－7＋2＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴AD⊥AB，∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，
∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴.
∴过A、B、D三点的圆与x轴相切.
