文档内容
专题 03 利用导函数研究函数的单调性问题
（含参讨论问题）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）.............2
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式
分解型.............................................................................................4
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型.................5
三、专项训练.......................................................................................6
一、必备秘籍
一、含参问题讨论单调性
第一步：求 的定义域
第二步：求 （导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的恒正
部分，将该部分省略，留下的部分则为 的有效部分（如：
，则记 为 的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只
有该部分决定 的正负.第四步：确定导函数有效部分 的类型：
1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分 的图象辅助解题：
①令 ，确定其零点 ，并在 轴上标出
②观察 的单调性，
③根据①②画出草图
2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
借助导函数有效部分 的图象辅助解题：
①对 因式分解，令 ，确定其零点 ， 并在 轴上标出这两个零点
②观察 的开口方向，
③根据①②画出草图
3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对 ，求
②分类讨论
③对于 ，利用求根公式求 的两根 ，
④判断两根 ， 是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出 草图
二、含参问题讨论单调性的原则
1、最高项系数含参，从0开始讨论
2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论
3、考虑根是否在定义域内
二、典型题型
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数 .
(1)若 的图象在点 处的切线与直线 垂直，求 的值;
(2)讨论 的单调性与极值.
3．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分
解型
1．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性．
2．（2024·辽宁·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
3．（23-24高二下·四川南充·期中）已知函数 ．
(1)当 时，求 的在 上的最大值和最小值；
(2)当 时，求 的单调区间．4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数 的定义域为
，其中 为自然对数底数
(1)讨论函数 的单调性；
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)试讨论 的单调性；4．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.
三、专项训练
1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ， .
(1)讨论 的单调性.
2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在 上的最大值和最小值；
(2)讨论函数 的单调性．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，讨论 的单
调性.
4．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数 ， ,讨论 的
单调性.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，讨论 的单调性.6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，讨论 的
单调区间.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知 ．求 的单调区间；
8．（2023高二上·江苏·专题练习）已知函数 ， ，讨论函数
的单调性.9．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，讨论
的单调性．
10．（22-23高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数 ，其中
.
(1)若 在 处取得极值 ，求a的值；
(2)当 时，讨论 的单调性．
