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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
专题 03 函数及其表示方法
一、单选题
1.若函数f（x）＝ln（e2x﹣aex+1）对x R恒有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（2，+∞∈） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，2）
【答案】D
【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求出a的取值范围即可．
【解答】解：由题意得：e2x﹣aex+1＞0恒成立，
即a＜ ＝ex+ 恒成立，
∵ex+ ≥2，当且仅当ex＝1即x＝0时“＝”成立，
故a＜2，
故选：D．
【知识点】函数的定义域及其求法
2.已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数 的定义域为（ ）
A．（1，2） B．（0，2） C．（0，1） D．（﹣1，1）
【答案】A
【分析】根据函数f（x）的定义域，列出使函数g（x）有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（﹣1，1），
令 ，
解得 ，
即1＜x＜2，
所以函数 的定义域为（1，2）．
故选：A．
【知识点】函数的定义域及其求法
3.已知函数 的值域为[0，+∞），则m的取值范围是（ ）
A．[0，4] B．（0，4] C．（0，4） D．[4，+∞）
【答案】D【分析】当m＝0时，mx2+mx+1＝1对任意实数x恒成立，不合题意；要使函数 的值域
为[0，+∞），需二次三项式mx2+mx+1对应的二次函数开口向上且判别式大于等于0，由此联立
不等式组求解．
【解答】解：当m＝0时，mx2+mx+1＝1对任意实数x恒成立，不合题意；
要使函数 的值域为[0，+∞），则
，解得m≥4．
∴m的取值范围是[4，+∞）．
故选：D．
【知识点】函数的值域
4.设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x [2，3]时，f（x）＝x，则x [﹣2，0]时，f（x）的解析
式为（ ） ∈ ∈
A．f（x）＝2+|x+1| B．f（x）＝3﹣|x+1| C．f（x）＝2﹣x D．f（x）＝x+4
【答案】B
【分析】①当x [﹣2，﹣1]时，则x+4 [2，3]，由题意可得：f（x+4）＝x+4．再根据函数的周期性可得f
（x）＝f（x+4）＝x+4．②当x [﹣1，0]时，则2﹣x [2，3]，由题意可得：f（2﹣x）＝2﹣x．再
∈ ∈
根据函数的周期性与函数的奇偶性可得函数的解析式．
∈ ∈
【解答】解：①当x [﹣2，﹣1]时，则x+4 [2，3]，
因为当x [2，3]时，f（x）＝x，
∈ ∈
所以f（x+4）＝x+4．
∈
又因为f（x）是周期为2的周期函数，
所以f（x）＝f（x+4）＝x+4．
所以当x [﹣2，﹣1]时，f（x）＝x+4．
②当x [﹣1，0]时，则2﹣x [2，3]，
∈
因为当x [2，3]时，f（x）＝x，
∈ ∈
所以f（2﹣x）＝2﹣x．
∈
又因为f（x）是周期为2的周期函数，
所以f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x．
因为函数f（x）是定义在实数R上的偶函数，
所以f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x．
所以由①②可得当x [﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|．
故选：B．
∈
【知识点】奇函数、偶函数、函数的周期性、函数解析式的求解及常用方法
5.函数f（x）＝axm（1﹣2x）n（a＞0）在区间[0， ]上的图象如图所示，则m、n的值可能是（ ）A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝3，n＝1
【答案】D
【分析】由图得，原函数的极大值点约为 0.375．把选项代入验证看哪个对应的极大值点符合要求即可得
出答案．
【解答】解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，
由图得，原函数的极大值点约为0.375．
当m＝1，n＝1时，f（x）＝ax（1﹣2x）＝﹣2a（x﹣ ）2+ ．在x＝ 处有极大值，故A错
误；
当m＝1，n＝2时，f（x）＝axm（1﹣2x）n＝ax（1﹣2x）2＝a（4x3﹣4x2+x），
所以f′（x）＝a（2x﹣1）（6x﹣1），a＞0，令f′（x）＝0 x＝ ，x＝ ，
⇒
即函数在x＝ 处有极大值，故B错误；
当m＝2，n＝3时，f（x）＝axm（1﹣2x）n＝ax2（1﹣2x）3，有f'（x）＝a（1﹣2x）2（2x﹣
10x2），
令f′（x）＝0 x＝0，x＝ ，x＝ ，即函数在x＝ 处有极大值，故C错误；
当m＝3，n＝1时，f（x）＝axm（1﹣2x）n＝ax3（1﹣2x）＝a（x3﹣2x4），
⇒
有f′（x）＝ax2（3﹣8x），令f′（x）＝0，⇒x＝0，x＝ ，即函数在x＝ 处有极大值，故
D正确．
故选：D．
【知识点】函数的图象与图象的变换、函数解析式的求解及常用方法
6.函数f（x）＝sin（ ）+cos（ ）的图象大致是（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令 ，结合复合函数的单调性可知函数f（x）先增后减，进而
排除选项A，B；再根据 时，f（x）＜0，f（0）＝1，排除选项D，进而得解．
【解答】解：函数f（x）的定义域为R，令 ，可知函数t（x）在R上
单调递增，且t（x）的值域为（﹣1，1），
又因为 ，结合复合函数的单调
性，可知函数f（x）先增后减，故选项A，B错误；
当 时，f（x）＜0，f（0）＝1，故选项D错误．
故选：C．
【知识点】函数的图象与图象的变换
7.已知函数f（x）＝ ，则方程f2（x）﹣f（x）＝0的不相等的实根个数（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】方程f2（x）﹣f（x）＝0可解出f（x）＝0或f（x）＝1，方程f2（x）﹣f（x）＝0的不相等的实根
个数即两个函数f（x）＝0或f（x）＝1的所有不相等的根的个数的和，根据函数f（x）的形式，求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数y＝0，y＝1的图象与函数f（x）的图象的交点个
数的问题．
【解答】解：方程f2（x）﹣f（x）＝0可解出f（x）＝0或f（x）＝1，
方程f2（x）﹣f（x）＝0的不相等的实根个数即两个函数f（x）＝0或f（x）＝1的所有不相等
的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y＝0，y＝1的图象与函数
f（x）的图象的交点个数相同，
如图，由图象，y＝1的图象与函数f（x）的图象的交点个数有四个，y＝0的图象与函数f
（x）的图象的交点个数有三个，
故方程f2（x）﹣f（x）＝0有七个解，
故选：C．
【知识点】函数的零点与方程根的关系、分段函数的解析式求法及其图象的作法
8.如图，已知函数f（x）的图象关于坐标原点对称，则函数f（x）的解析式可能是（ ）
A．f（x）＝x2ln|x| B．f（x）＝xlnx C． D．
【答案】C【分析】据题意可知f（x）是奇函数，从而可以排除A，B；当x＞0时， ，从而排除选项
D，只能选C．
【解答】解：∵f（x）的图象关于原点对称；
∴函数f（x）是奇函数；
f（x）＝x2ln|x|为偶函数，f（x）＝xlnx是非奇非偶函数，∴A，B都错误；
∵x＞0时， ，∴D错误．
故选：C．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
二、多选题
9.下列函数中，值域为[2，+∞）的是（ ）
A．y＝x+ ，x＞0
B．＝cosx+ ，x （﹣ ， ）
∈
C．y＝
D．y＝x+
【答案】ABC
【分析】根据基本不等式 （a＞0）即可判断选项A，B，C都正确，对于选项D，x＜0时，y＜0，
从而判断选项D错误，从而得出正确的选项．
【解答】解：A．x＞0时， ，当且仅当x＝1时取等号，符合题意，该选项正确；
B. 时，0＜cosx≤1， ，当且仅当cosx＝1时取等号，符合
题意，该选项正确；
C. ，当且仅当 ，即x＝0时取等号，该选项正确；
D．当x＜0时， ，该选项错误．
故选：ABC．
【知识点】函数的值域10.已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从 M
到N的函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝|x| C．y＝x+2 D．y＝x2
【答案】BD
【分析】根据题意，由函数的定义依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝2x，当x＝4时，y＝8 N，故A错误；
对于B，y＝|x|，任取x M，总有y＝|x|| N，故B正确，
∉
对于C，y＝x+2，当x＝4时，y＝6 N，故C错误，
∈ ∈
对于D，y＝x2，任取x M，总有y＝x2 N，故D正确．
∉
故选：BD．
∈ ∈
【知识点】函数的概念及其构成要素
11.下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x与g（x）＝
B．f（x）＝ 与g（x）＝
C．f（x）＝x﹣1与g（x）＝
D．f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1
【答案】BD
【分析】根据相同函数的定义：定义域和对应关系都相同．
【解答】解：对于A：f（x）＝x与g（x）＝|x|的对应关系不同，因此不是同一函数；
对于B：f（x）＝ ＝ 与g（x）＝ ，因此是同一函数；
对于C：f（x）＝x﹣1与g（x）＝ ＝ ＝x﹣1，（x≠﹣1），定义域不同，
因此不是同一函数；
对于D：f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1，定义域和对应关系都相同，因此是同一函数．
故选：BD．
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
12.若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】求出二次函数的对称轴方程，可知当m＝2时函数有最小值，再由f（0）＝﹣4结合二次函数的对称性可得m的可能取值．
【解答】解：函数y＝x2﹣4x﹣4的对称轴方程为x＝2，
当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时取最大值﹣4，x＝m时有最小值m2﹣4m﹣4
＝﹣8，解得m＝2．
则当m＞2时，最小值为﹣8，而f（0）＝﹣4，由对称性可知，m≤4．
∴实数m的值可能为2，3，4．
故选：ABC．
【知识点】函数的值域、函数的定义域及其求法
13.已知符号函数sgn（x）＝ ，下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝sgn（x）是奇函数
B．对任意的x≥0，sgn（x ）＝1
C．对任意的x R，x•sgn（x）＝|x|
D．y＝2x•sgn（∈﹣x）的值域为（﹣∞，1）
【答案】AC
【分析】由已知结合函数单调性的定义及指数函数的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：sgn（x）＝ 的图象如图所示，图象关于原点对称，为奇函数，A正确；
当x＝0时，x ＝0，sgn（x ）＝0，当x＞0时，x ＞0，sgn（x ）＝1，B错误；
因为x•sgn（x）＝ ＝|x|，C正确；
因为y＝2xsgn（﹣x）＝ 其值域为[0，1）∪（﹣∞，﹣1]，D 不正确．
故选：AC．【知识点】函数的值域
14.已知定义在 R上的函数f（x），其导函数 f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是
（ ）
A．f （a）＞f （e）＞f （d）
B．函数f （x）在[a，b]上递增，在[b，d]上递减
C．函数f （x）的极值点为c，e
D．函数f （x）的极大值为f （b）
【答案】ABD
【分析】根据导数与函数单调性的关系及所给图象可得f（x）的单调性，判断函数的极值即可．
【解答】解：由导数与函数单调性的关系知，当f′（x）＞0时f（x）递增，f′（x）＜0时f（x）递减，
结合所给图象知，x （a，c）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（a，c）上单调递增，
∈
x （c，e）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（c，e）上单调递减，
∈
函数f（x）在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；
f（c）＞f（e），
故选：ABD．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的图象与图象的变换
三、填空题
15.已知函数 ，则该函数的定义域是 ．【答案】（-1，1）
【分析】根据对数函数成立的条件即可得到结论．
【解答】解：要使函数有意义，则 ，即（x﹣1）（x+1）＜0，即﹣1＜x＜1，
即函数的定义域为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
【知识点】函数的定义域及其求法
16.若函数f（x）＝ （a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log +log ＝ ﹣ ．
a
【答案】-1
【分析】因为f（1）＝0，所以f（x）是[0，1]上的递减函数，根据f（0）＝1解得a＝2，再代入原式可得．
【解答】解：因为f（1）＝0，所以f（x）是[0，1]上的递减函数，
所以f（0）＝1，即 ＝1，解得a＝2，
所以原式＝log +log ＝log ）＝﹣1，
2 2
故答案为：﹣1．
【知识点】函数的值域、函数的定义域及其求法
17.对于函数y＝f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y＝f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数y＝f（x）在定义域D上封闭．如果函数 （k≠0）在R上封闭，那么实数k的取
值范围是 ﹣∞ ﹣ ．
【答案】（1，+∞）∪（-∞，-1）
【分析】由题意便知方程组 至少有两个解，从而可得到 至少有两个解，从而
有k＝1+|x|＞1，这样即求出k的取值范围．
【解答】解：根据题意知方程 至少有两个不同实数根；
即 至少有两个实数根；
∴ ；
∴k＝1+|x|＞1；
由 ＝﹣x至少有两个不同实数根，
同理可得k＜﹣1．
∴实数k的取值范围为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．
故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．
【知识点】函数的定义域及其求法、函数的值域
18.设奇函数f（x）定义在（﹣ ，0）∪（0， ）上，其导函数为f′（x），且f（ ）＝0，当0＜x＜
π π π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于 x 的不等式 f（x）＜2f（ ）sinx 的解集为 ﹣
．
【分析】设g（x）＝ ，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．
【解答】解：设g（x）＝ ，
∴g′（x）＝ ，
∵f（x）是定义在（﹣ ，0）∪（0， ）上的奇函数，
π π
故g（﹣x）＝ ＝ ＝g（x）
∴g（x）是定义在（﹣ ，0）∪（0， ）上的偶函数．
∵当0＜x＜ 时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0
π π
∴g'（x）＜0，
π
∴g（x）在（0， ）上单调递减，
∴g（x）在（﹣ ，0）上单调递增．
π
π
∵f（ ）＝0，
∴g（ ）＝ ＝0，
∵f（x）＜2f（ ）sinx，
即g（ ）•sinx＞f（x）；
①当sinx＞0时，即x （0， ），g（ ）＞ ＝g（x）；
∈ π
所以x （ ， ）；
∈ π
②当sinx＜0时，即x （﹣ ，0）时，g（ ）＝g（﹣ ）＜ ＝g（x）；
∈ π
所以x （﹣ ，0）；
∈
不等式f（x）＜2f（ ）sinx的解集为解集为（﹣ ，0）∪（ ， ）．
π
故答案为：（﹣ ，0）∪（ ， ）
【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的定义域及其求法
π
19.函数 的单调递增区间为 ﹣∞ ﹣ ，值域为 ﹣∞﹣ ．
【分析】通过求导判断函数的单调递增区间，根据单调性判断函数的值域．
【解答】解： ＞0，解得x＞ 或x＜﹣ ，函数 的单调递增区间为（﹣∞，﹣
）和（ ，+∞），单调递减区间为（﹣ ， ），
即函数在x＝﹣ 处有极小值f（﹣ ）＝﹣4 ，在x＝ 处有极小值f（ ）＝4 ，
所以函数的值域为（﹣∞，﹣4 ）∪（4 ，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣ ）和（ ，+∞），（﹣∞，﹣4 ]∪[4 ，+∞）．
【知识点】函数的单调性及单调区间、函数的值域
20.若f（x）＝|x﹣a|•|x﹣3a|，且x [0，1]上的值域为[0，f（1）]，则实数a的取值范围是 ．
【分析】结合图象，分类讨论即可∈得解．
【解答】解：结合图象，
①当a＝0时，显然成立；
②当a＜0时，f（x）在[0，1]上递增，最小值为3a2≠0，不成立；
③ 当 a ＞ 0 时 ， 要 使 值 域 为 [0 ， f （ 1 ） ] ， 则 需 满 足 ， 即
，故 ；
综上，实数a的取值范围为 ．
故答案为： ．
【知识点】函数的值域
21.设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x [0，1]时，f（x）＝log （x+1），则函数f（x）在
2
[1，2]上的解析式是 ﹣ ∈
【答案】f（x）=log （3-x）
2
【分析】设x （1，2），则x﹣2 （﹣1，0），2﹣x （0，1），由已知表达式可求得f（2﹣x），再由f
（x）为周期为2的偶函数，可得f（x）＝f（x﹣2）＝f（2﹣x），从而得到答案．
∈ ∈ ∈
【解答】解：∵f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，
当x [0，1]时，f（x）＝log （x+1），
2
∴设x （1，2），则x﹣2 （﹣1，0），2﹣x （0，1），
∈
∴f（2﹣x）＝log [（2﹣x）+1]＝log （3﹣x），
2 2
∈ ∈ ∈又f（x）为周期为2的偶函数，
所以f（x）＝f（x﹣2）＝f（2﹣x）＝log （3﹣x）．
2
故答案为：f（x）＝log （3﹣x）．
2
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
22.甲乙两地相距500km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v不能超过120km/h．已知汽车每小时运输成
本为 元，则全程运输成本与速度的函数关系是y＝ ，当汽车的行
驶速度为 km/h时，全程运输成本最小．
【分析】由已知可得汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为： ，结合汽车每小时运输成本为
元，可得：全程运输成本与速度的函数关系式，再由基本不等式可得 v＝100时，y
取最小值．
【解答】解：∵甲乙两地相距500km，
故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为： ，
又由汽车每小时运输成本为 元，
则全程运输成本与速度的函数关系是 y＝ •（ ）＝ （0＜
v≤120），
由基本不等式得 ≥2 ＝3600，
当且仅当 ，即v＝100时，取最小值，
故答案为： （0＜v≤120），100
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
23.函数y＝5sin（ x+ ）（﹣15≤x≤10）的图象与函数y＝ 图象的所有交点的横坐标之和为
．
【答案】-7
【分析】由函数解析式可得两函数图象均关于点（﹣1，0）对称，再分析可得在（﹣1，0）内两函数图象
有一个交点，画出图象的大致形状，即可求得两图象所有交点的横坐标之和．
【解答】解：函数y＝5sin（ x+ ）的图象关于点（﹣1，0）对称，
对于函数y＝ ，当x＝﹣1时，y＝0，当x≠﹣1时，可得y＝ 在（﹣1，0）上单调递增，
在（0，+∞）上单调递减，且当x （﹣1，+∞）时，
∈
y＝ 的最大值为 ，函数图象关于点（﹣1，0）对称；
对于函数y＝5sin（ x+ ），当x＝0时，y＝5sin ＞ ＝ ，
故在（﹣1，0）内两函数图象有一个交点．
根据两函数图象均关于点（﹣1，0）对称，画出两函数在[﹣15，10]上的大致图象，
得到交点横坐标之和为﹣1+（﹣2）×3＝﹣7
【知识点】函数的图象与图象的变换、正弦函数的图象
24.已知函数y＝ 与函数y＝ 的图象共有k（k N*）个公共点，A （x ，y ），A （x ，y ），…，
1 1 1 2 2 2
∈
A（x，y），则 （x+y）＝ ．
k k k i i
【答案】2
【分析】f（x）关于（0，1）对称，同理g（x）＝ 关于（0，1）对称，如图所示，两个图象有且只有
两个交点，即可得出结论．
【解答】解：由题意，函数f（x）＝ ＝2﹣ ，
f（﹣x）+f（x）＝2，∴f（x）关于（0，1）对称，同理g（x）＝ 关于（0，1）对称，
如图所示，两个图象有且只有两个交点，
∴ （x+y）＝2，
i i故答案为2．
【知识点】函数的图象与图象的变换
25.函数f（x）＝ ，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有五个不同
的实数解，则a的取值范围是 ．
【分析】程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有五个不同的实数解x，即要求f（x）＝常数有3个不同的f
（x），根据题意，先做出函数f（x）的图象，结合图象可知，只有当f（x）＝a时，有3个根，
再结合方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有2个不同的实数解，可求
【解答】解：方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有五个不同的实数解，
解：∵题中原方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有且只有5个不同实数解，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）＝a时，它有三个根．
所以有：1＜a＜2 ①．
再根据2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有两个不等实根，
得：△＝（2a+3）2﹣4×2×3a＞0
⇒ ②
结合①②得：1＜a＜ 或 a＜2．
故答案为：（1， ）∪（ ，2）．【知识点】指数型复合函数的性质及应用、函数的零点与方程根的关系、分段函数的解析式求法及其图象
的作法
26.设定义域为R的函数 若关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有7个
不同的实数根，则实数m＝ ．
【答案】2
【分析】题中原方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有7个不同的实数根，即要求对应于f（x）＝某个常
数有3个不同实数解，
故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）＝4时，它有三个根．故关于x的
方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有7个不同的实数根．
【解答】解：∵题中原方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有7个不同的实数根，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）＝4时，它有三个根．
故关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有一个实数根4．
∴42﹣4（2m+1）+m2＝0，
∴m＝2，或m＝6，
m＝6时，方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有5个不同的实数根，所以m＝2．
故答案为：2．【知识点】函数与方程的综合运用、分段函数的解析式求法及其图象的作法
