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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
考点 06 函数的应用
知识点1:函数的零点问题
例1.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+ ）＝f（﹣x），当 时， ，则函数
π
在区间 上所有零点之和为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】π D π π π
【分析】函数g（x）＝f（x）﹣ 在区间 上所有零点就是函数y＝f（x）与h（x）＝
的交点的横坐标，画出函数f（x），h（x）的图象根据图象可得结果．
【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣ 在区间 上所有零点
就是函数y＝f（x）与h（x）＝ 的交点的横坐标．
由f（x+ ）＝f（﹣x），f（x）为R上的奇函数，得
π
f（x）的对称轴为 且f（x+ ）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x+2 ）＝﹣f（x+ ）＝f（x），
π
∴f（x）的周期T＝ ，
π π
画出函数f（x），h（x）的图象，如下所示，根据图象可得，函数f（x），h（x）的图象共有4个交点，它们关于点（ ，0）对称
π
∴函数g（x）＝（x﹣ ）f（x）﹣1在区间 上所有零点之和为2 +2 ＝4
故选：D．
π π π π
【知识点】函数的零点
练习：
1.已知函数f（x）＝ ，若f（a）＝2，则a＝（ ）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．1或﹣1
【答案】C
【分析】通过讨论a的符号，代入函数的解析式，得到关于a的方程，解出即可．
【解答】解：当a＞0时，f（a）＝2a﹣2＝2，解得a＝2；
当a≤0时，f（a）＝a2+1＝2，解得a＝﹣1；
综上，a＝2或a＝﹣1；
故选：C．
【知识点】函数的零点
2.已知函数f（x）＝ ，若存在x ，x R，x≠x ，使f（x ）＝f（x ）成立，则实数a的
1 2 1 2 1 2
∈
取值范围是（ ）
A．0≤a≤2 B．a≤0 C．a≥2或a≤0 D．a＞2或a≤0
【答案】D
【分析】由题意可得，在定义域内，函数f（x）不是单调的，考虑x≥1时，讨论函数的单调性，即可求得
结论．
【解答】解：依题意，在定义域内，函数f（x）不是单调函数，分情况讨论：①当x≥1时，若f（x）＝x2 ﹣ax 不是单调的，它的对称轴为x＝ ，则有 ＞1，∴a＞2．
②当x≥1时，若f（x）＝x2 ﹣ax 是单调的，则f（x）单调递增，此时 ≤1，可得a≤2．
当x＜1时，由题意可得，f（x）＝ax+1﹣2a应该不单调递增，故有a≤0．
综合得：a的取值范围是（2，+∞）∪（﹣∞，0]．
故选：D．
【知识点】函数的零点
3.函数f（x）＝ 则满足f（a）＝1的a的值为（ ）
A．1，± B．1，﹣ C．﹣ D．1，
【答案】B
【分析】结合已知函数解析式，先对a分类讨论，然后结合f（a）的表达式代入f（a），解方程可求a．
【解答】解：当﹣1＜a＜0时，f（a）＝sin a2＝1，
π
则a＝﹣ ，a＝ （舍），
当a≥0时，f（a）＝2a﹣1＝1，
解可得a＝1，
综上可得a＝1或a＝﹣ ．
故选：B．
【知识点】函数的零点
4.函数 的零点是 ．
【答案】1
【分析】令f（x）＝0，求出方程的根即函数的零点即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域是（0，3）∪（3，+∞），
显然x+1＞0，x﹣3≠0，
令f（x）＝0，即 ＝0，即lnx＝0，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【知识点】函数的零点
5.已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x R，a R}只有一个元素，则a＝ ．
∈ ∈
【分析】通过集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x R，a R}有且只有一个元素，方程只有一个解或重根，求出a
的值即可．
∈ ∈
【解答】解：因为集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x R，a R}有且只有一个元素，
∈ ∈当a＝0时，ax2﹣3x+2＝0只有一个解x＝ ，
当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即△＝9﹣8a＝0即a＝
所以实数a＝0或
故答案为：0或 ．
【知识点】函数的零点
知识点2:函数的最值应用
例1.已知函数 ，若数列{a}满足a＝f（n），且{a}是单调递增数列，则实数
n n n
a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2] D．（2，3）
【答案】B
【分析】根据a＝f（n），且{a}是单调递增数列，可得函数f（x）在[1，+∞）是递增函数；即可求解
n n
【解答】解：{a}是单调递增数列，∴f（1）＜f（2），
n
可得3a﹣2＜2a+2
即a＜4；
当x≥2时，y＝（a﹣1）x+4递增，可得a＞1；
综上可得：1＜a＜4；
故选：B．
【知识点】函数最值的应用
练习：
1.某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用
为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（ ）
A．10 B．15 C．30 D．45
【答案】D
【分析】根据题意列出总费用之和等于 ，然后利用基本不等式求出最小值即可．
【解答】解：由题知一年总运费为 ；
∴一年的总运费与总存储费用之和为4x+ ≥ ，当且仅当 即
x＝45时，等号成立，
∴当x＝45时一年的总费用与总存储费用之和最小．故选：D．
【知识点】函数最值的应用
2.已知函数 ，m，n满足f（m2﹣2n）+f（n2﹣2m）≥0，则|m+7n+4|的取值范围是（ ）
A．[2，12] B．[2，22]
C．[12，22] D．
【答案】B
【分析】根据条件判断函数的奇偶性，结合函数的奇偶性，将不等式进行转化，结合点到直线的距离进行
转化求解即可．
【解答】解：由题意， ，可得f（x）为奇函数，又f（x）是R上
的减函数，
故f（m2﹣2n）+f（n2﹣2m）≥0
f（m2﹣2n）≥﹣f（n2﹣2m）＝f（2m﹣n2）
m2﹣2n≤2m﹣n2 （m﹣1）2+（n﹣1）2≤2，
⇒
所以满足条件的（m，n）表示的区域是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2的内部（含边界），
⇒ ⇒
则点（m，n）到直线x+7y+4＝0的距离 ，
则 （ ﹣ ）≤|m+7n+4x≤ （ + ），
即12﹣10≤|m+7n+4x≤12+10，
即2≤|m+7n+4x≤22，
所以|m+7n+4|的取值范围是[2，22]，
故选：B．
【知识点】函数最值的应用
3.设z＝2x+y，其中x，y满足条件 ，则z的最大值为 ．
【答案】6
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最值即可．
【解答】解：作出可行域，如图，
作出直线y＝﹣2x，并平移，
当直线经过点A时z取最大值，解方程组 ，
得A（3，0），
此时最大值z＝2×3+0＝6，故答案为：6．
【知识点】函数最值的应用、简单线性规划
4.定义：区间[x ，x]（x ＜x ）的长度为x﹣x ，已知函数y＝|log （x+1）|定义域为[a，b]，值域为[0，
1 2 1 2 2 1 0.5
2]，则区间[a，b]的长度的最大值为 ．
【分析】由0≤|log （x+1）|≤2解得﹣ ≤x≤3，从而求最值．
0.5
【解答】解：∵0≤|log （x+1）|≤2，
0.5
∴﹣2≤log （x+1）≤2，
0.5
∴ ≤x+1≤4，
∴﹣ ≤x≤3，
∴区间[a，b]的长度的最大值为
3+ ＝ ；
故答案为： ．
【知识点】函数最值的应用
知识点3:分段函数的应用
例1.已知函数f（x）＝ ，若存在x （0，+∞），使得f（x）≥f（x ）恒成立，则实数
0 0
a的取值范围是（ ） ∈
A．[2 ﹣2，+∞） B．（2 ﹣2，+∞） C．（0，2 ﹣2） D．（0，2 ﹣2]
【答案】A
【分析】由存在x （0，+∞），使得f（x）≥f（x ）恒成立，可得x 是函数f（x）的最小值点，然后对a
0 0 0
分类分析即可求得实数a的取值范围．
∈【解答】解：∵存在x （0，+∞），使得f（x）≥f（x）恒成立，
0 0
∴x 是函数f（x）的最小值点，
0
∈
若a＝0，当x≥0时，f（x）≥1；当x＜0时，f（x）＝0，此时不存在x （0，+∞），使得f
0
（x）＝0，不合题意；
0
∈
若a＜0，f（x）的对称轴为x＝ ＜0，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝
1；
f（x）在（﹣∞，0）上，f（x）＜a＜0，则f（x）没有最小值，不符合题意；
若a＞0，f（x）的对称轴为x＝ ＞0，函数f（x）在[0，+∞）上 ；
函数f（x）在（﹣∞，0）上，f（x）＞f（0）＝a，要使存在x （0，+∞），使得f（x）≥f
0
（x）恒成立，
0
∈
则 ，即a2+4a﹣4≥0，解得a 或a ，
又a＞0，∴ ，即实数a的取值范围是[2 ﹣2，+∞）．
故选：A．
【知识点】分段函数的应用
练习：
1.已知函数f（x）＝ 若f（f（m））≥5，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据函数的解析式初步判断f（m）＜0，然后代入函数解析式进一步求出f（m）的范围，再根
据函数的解析式即可求解．
【解答】解：由已知函数f（x）的解析式可知，当x≥0时，f（x）＝﹣x2≤0，
所以要使f（f（m））≥5，只有f（m）＜0，
即 ，解得f（m）≤﹣5，
当m＜0时，m2+4m≤﹣5，解得不等式无解，
当m≥0时，﹣m2≤﹣5，解得m ，所以m ，
综上，m ，
故选：A．
【知识点】分段函数的应用
2.已知函数f（x）＝ ，若存在x ，x ，x （x ＜x ＜x ），使f（x ）＝f（x ）＝f（x ），
1 2 3 1 2 3 1 2 3则f（x+x+x）的取值范围是（ ）
1 2 3
A．（0，1] B．[0，1] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）
【答案】B
【分析】画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．
【解答】解：作出f（x）的大致图象如图：
由图可知x+x＝﹣2，x＞0，则x+x+x＞﹣2．所以f（x+x+x）∈[0，1]，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
故选：B．
【知识点】分段函数的应用
3.已知函数f（x）＝ ，若f（x）在区间（a，a+3）上既有最大值又有最小值，则实数a
的取值范围为 ．
【答案】（-2，-1]
【分析】画出函数f（x）的图象，若f（x）在（a，a+3）上既有最大值又有最小值，结合图象得到不等式
求解即可．
【解答】解：f（x）的图象如图所示
∵f（x）在（a，a+3）上既有最大值又有最小值，
∴ ，解得﹣2＜a≤﹣1，故a的取值范围为（﹣2，﹣1]．
故答案为：（﹣2，﹣1]．
【知识点】函数的最值及其几何意义、分段函数的应用
4.已知函数f（x）＝ ，记A＝{x|f（x）＝0}，若A∩（﹣∞，2）≠∅，则实数a的取
值范围为 ﹣∞ ．
【分析】利用分段函数的表达式将条件转化为x2＝|x+a|﹣2a在（﹣∞，2）上有解，利用函数与方程之间
的关系，转化为两个函数图象相交问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝ ＝x2﹣|x+a|+2a，
若A∩（﹣∞，2）≠∅，等价为f（x）＝x2﹣|x+a|+2a＝0即x2＝|x+a|﹣2a在（﹣∞，2）上有
解，
即函数y＝x2与h（x）＝|x+a|﹣2a在（﹣∞，2）上有交点，
作出两个函数的图象如图，
则h（x）的图象关于x＝﹣a对称，且顶点坐标为B（﹣a，﹣2a），
则B点位于直线y＝2x上移动，作出直线y＝2x，
由图象知当对称轴x＝﹣a≥0即a≤0时，两个函数y＝x2与h（x）＝|x+a|﹣2a恒有交点，满足
条件．
当﹣a＜0即a＞0时，
当x＞﹣a时，直线h（x）＝x+a﹣2a＝x﹣a与y＝x2相切时，此时两个函数还有交点，
此时x2＝x﹣a，即x2﹣x+a＝0，判别式△＝1﹣4a＝0得a＝ ，
当点B沿着y＝2x向下移动时，直线h（x）＝x+a﹣2a＝x﹣a与y＝x2相离，此时没有交点，
即此时△＝1﹣4a＜0得a＞ ，
综上要使两个函数在（﹣∞，2上有交点，则a≤
故答案为：（﹣∞， ]【知识点】分段函数的应用
知识点4:函数与方程的综合运用
例1.已知函数f（x）＝2m（x2+1）﹣ ，（m R），g（x）＝ex（其中e为自然数的底数，
∈
e＝2.71828…），若函数f（x）与g（x）的图象只有一个交点，则m的值不可能为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【分析】先将函数有一个交点转化成方程有一个解，然后进行替换变成一元二次函数，通过特殊值的代入
判断是否成立，得到答案．
【解答】解：根据函数f（x）与g（x）的图象只有一个交点，
则2m（x2+1）﹣ ＝ex有一个实数根，
即2m（x2+1）ex﹣（m+2）（x2+1）2＝（ex）2，
即（ex）2﹣2m（x2+1）ex+（m+2）（x2+1）2＝0，
即 只有一个实数根，
令 ， ，
所以函数 在R上单调递增，且t＞0恒成立，
t的图象大致如图所示：
所以只需关于t的方程t2﹣2mt+（m+2）＝0 ①有且只有一个正实根，
当m＝3时，方程有t＝5，或t＝1，不符合题意；
当m＝﹣3时，方程t2+6t﹣1＝0，t＝ ，只有t＝ 一个正实根，符合题意；
当m＝2时，方程t2+8t﹣2＝0， ，只有t＝ 一个正实根，符合题意；
故选：B．【知识点】函数与方程的综合运用
练习：
1.若函数f（x）＝ 的值域为[﹣4，4]，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C．[1，2] D．[1，+∞）
【答案】C
【分析】根据分段函数的表达式，先求出当﹣4≤x≤0时的值域，然后求函数的导数，研究当x＞0时，函
数的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：当﹣4≤x≤0时，f（x）＝x2+4x＝（x+2）2﹣4 [﹣4，0]，
当x＞0时，f（x）＝﹣2x3+6x，函数的导数f′（x）＝﹣6x2+6＝﹣6（x2﹣1），
∈
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）是
减函数，
则当x＝1时，取得极大值，f（1）＝﹣2+6＝4，
当﹣2x3+6x＝﹣4，即x3﹣3x﹣2＝0，得x3﹣x﹣2（x+1）＝0
得（x+1）（x2﹣x﹣2）＝0，得，x2﹣x﹣2＝0，
得x＝2或x＝﹣1（舍），
要使函数f（x）的值域为[﹣4，4]，
则1≤m≤2，即实数m的取值范围是[1，2]，
故选：C．【知识点】分段函数的应用、函数与方程的综合运用
2.已知函数 ，若关于x的方程f（x）+kx＝0有4个不同的实数解，则k的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】x≥0时，求出f′（x）＝2ex﹣6，求解函数的最值利用数形结合，转化求解即可．
【解答】解：x≥0时，f（x）＝2ex﹣6x，可得f′（x）＝2ex﹣6，
当x＝ln3时，函数取得极小值也是最小值：6﹣6ln3＜0，
关于x的方程f（x）+kx＝0有4个不同的实数解，
就是函数y＝f（x）与y＝﹣kx的图象有4个交点，
画出函数的图象如图：可知y＝﹣kx与y＝f（x）有4个交点，
临界状态是直线AB与直线EF，根据导数的几何意义，
可求所以应满足： ，得 ．
故选：A．
【知识点】函数与方程的综合运用、利用导数研究函数的极值
3.已知m R，函数f（x）＝ ，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4
∈
个零点，则实数m的取值范围是 ．
【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，
则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t ，t ，且满足t ＞t ＞2m﹣2，再
1 2 1 2
分别讨论m的正负性即可．
【解答】解：函数f（x）＝ 的图象如图：
令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，
因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，
因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，
所以t≥2m﹣2，
故函数f（t）与y＝m有两个交点t，t，且满足t＞t＞2m﹣2，
1 2 1 2
①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；
②当m＝0时，t＝2，t＝﹣ ，满足t＞t＞﹣2，故成立；
1 2 1 2
③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t，t，且满足t＞t＞2m﹣2，
1 2 1 2
则 ，解得 ，
综上m的取值范围是（ ）∪{0}，
故答案为：（ ）∪{0}．【知识点】函数与方程的综合运用
54已知函数f（x）＝x ，g（x）＝x﹣1nx，若对任意的x [ ]，存在x [ ]，使得g（x）≤f
1 2 1
∈ ∈
（x）成立，则实数a的取值范围是 ．
2
【分析】可转化为x [ ]时，g（x） ≤f（x） ，求出g（x）的最大值，即 在x [
max max
∈ ∈
]上有解；构造函数讨论单调性，得出最值解决．
【解答】解：由题意有 ≤0对任意x [ ]恒成立；
∈
当x [ ]时， ；
∈
对任意的x [ ]，存在x [ ]，使得g（x）≤f（x）成立；
1 2 1 2
∈ ∈
可转化为x [ ]时，g（x） ≤f（x） ，
max max
∈
即 在x [ ]上有解；
∈
即 在x [ ]上有解；
∈
令 ，x [ ]，则h（x） ≥0，
max
∈
h（x）图象的对称轴为直线 ，易知 ，
所以 或 ，
故答案为： 或 ．
【知识点】利用导数研究函数的最值、函数与方程的综合运用
1.已知函数 ，则f（2020）＝（ ）
A．9 B．4 C．1 D．0
【答案】C
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2020）＝f（1+3×673）＝f（1），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 ，
则f（2020）＝f（1+3×673）＝f（1）＝12＝1；
故选：C．
【知识点】函数的值、分段函数的应用
2.函数f（x）＝2x﹣3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，0）
【答案】B
【分析】通过函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝2x﹣3x是连续函数，
∵f（0）＝1﹣0＞0，
f（1）＝2﹣3＜0，
∴f（0）f（1）＜0，
由零点判定定理可知函数的零点在（0，1）．
故选：B．
【知识点】函数零点的判定定理
3.已知函数f（x）＝lnx+1， ，若f（m）＝g（n）成立，则m﹣n的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据f（m）＝g（n）＝t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数
的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．
【解答】解：不妨设f（m）＝g（n）＝t，
lnm+1＝ ＝t，（t＞0）
即有m＝et﹣1，n＝ +ln ，
可得m﹣n＝et﹣1﹣ ﹣ln （t＞0），
令h（t）＝et﹣1﹣ ﹣ln （t＞0），
h′（t）＝et﹣1﹣ ，h′（t）在（0，+∞）上是增函数，
且h′（1）＝0，
∴当t＞1时，h′（t）＞0，
当0＜t＜1时，h′（t）＜0，
即当t＝1时，h（t）取得极小值同时也是最小值，
此时h（1）＝1﹣ ﹣ln ＝ +2ln2，
即m﹣n的最小值为 +2ln2．
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
4.已知函数f（x）＝|2x﹣1|，若关于x的方程f2（x）+af（x）+a+2＝0恰有3个不同的实数根，则实数a的
取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（﹣1，﹣ ] C．（﹣1，0） D．（﹣2，﹣ ]
【答案】D
【分析】先根据函数的解析式作出函数 f（x）的图象，然后利用换元法将关于x的方程f2（x）+af（x）
+a+2＝0恰有3个不同的实数根，转化为t2+at+a+2＝0有两个不同的实数根，且t （0，1），
1
t [1，+∞），然后再利用二次方程根的分布列出不等式组，求解即可得到答案．
2
∈
【解答】解：因为函数f（x）＝|2x﹣1|，作出函数图象如图所示，
∈因为关于x的方程f2（x）+af（x）+a+2＝0恰有3个不同的实数根，
所以令t＝f（x），根据图象可得，t2+at+a+2＝0有两个不同的实数根，且 t （0，1），
1
t [1，+∞），
2
∈
∈
记g（t）＝t2+at+a+2，则有 ，
解得 ，
所以实数a的取值范围为 ．
故选：D．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
5.已知函数 f（x）＝ ，则满足 f（2x+1）＜f（3x﹣1）的实数 x 的取值范围是
（ ）
A．（ ，+∞） B．（2，+∞） C．（ ，2） D．（1，2）
【答案】B
【分析】判断f（x）在x≥1上单调递增，可得f（x）的最小值为1，由题意可得3x﹣1＞1，且3x﹣1＞
2x+1，解不等式可得所求范围．
【解答】解：函数f（x）＝ ，可得f（x）在x≥1上单调递增，
可得f（x）的最小值为1，
由f（2x+1）＜f（3x﹣1）可得3x﹣1＞1，且3x﹣1＞2x+1，
即有x＞ 且x＞2，则x＞2．
故选：B．
【知识点】分段函数的应用6.已知函数 与函数g（x）＝﹣x3+12x+1图象交点分别为：P （x ，y ），P （x ，y ），
1 1 1 2 2 2
P（x，y），⋅⋅⋅，P（x，y），则（x+x+⋅⋅⋅+x）+（y+y+⋅⋅⋅+y）＝（ ）
3 3 3 k k k 1 2 k 1 2 k
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】由题意首先确定函数的对称中心，然后确定函数交点的个数，据此即可求得所给代数式的值．
【解答】解：很明显函数 都是奇函数，故题中所给的函数f（x）和g（x）都
关于点（0，1）对称，且x＝0时，函数f（x）没有定义，
考查当x＞0时两函数的性质：
由于 ，故函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
g'（x）＝﹣3x2+12＝﹣3（x+2）（x﹣2），
故当0＜x＜2时，g’（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞2时，g’（x）＜0，g（x）单调递减，
故函数f（x）与函数g（x）在区间（0，+∞）上有两个交点，
由对称性可知，f（x）与函数g（x）在区间（﹣∞，0）上也有两个交点，
且四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和为4，
即（x+x+⋅⋅⋅+x）+（y+y+⋅⋅⋅+y）的值为4．
1 2 k 1 2 k
故选：D．
【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数与方程的综合运用、函数的图象与图象的变换
7.定义在R上偶函数f（x）满足f（x）＝f（﹣2﹣x），且当x [﹣1，1]时，f（x）＝2|x|．若在区间[﹣3，
3]上，函数g（x）＝f（x）﹣tx﹣2t恰有五个不同的零点，则∈实数t的取值范围是（ ）
A．（0， ] B．（0， ] C．[ ， ] D．[ ，+∞）
【答案】A
【分析】原问题可转化为函数y＝f（x）和y＝tx+2t有五个不相同的交点；由偶函数f（x）满足f（x）＝f
（﹣2﹣x），可知f（x）的周期为2；然后作出函数f（x）和y＝tx+2t的图象，结合图象可得，当
y＝tx+2t经过点（3，2）时，恰能满足题意，此时有g（3）＝0，从而解出t的值，进而得t的取
值范围．
【解答】解：在区间[﹣3，3]上，函数g（x）＝f（x）﹣tx﹣2t恰有五个不同的零点，等价于f（x）＝tx+2t
有五个不相等的实数根，即函数y＝f（x）和y＝tx+2t有五个不相同的交点．
∵偶函数f（x）满足f（x）＝f（﹣2﹣x），
∴f（x）＝f（x+2），
∴函数f（x）的周期为2．
作出函数f（x）和y＝tx+2t的图象，如图所示：当y＝tx+2t经过B（3，2）时，两个图象在[﹣3，3]上有5个交点，此时g（3）＝2﹣5t＝0，
解得t＝ ．
∴要使在区间[﹣3，3]上，函数g（x）＝f（x）﹣tx﹣2t恰有五个不同的零点，则0＜t≤ ．
故选：A．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
8.已知函数f（x）＝x2ex+t﹣a，x [﹣1，1]，若对任意的t [1，3]，该方程f（x）＝0总存在唯一的实数解，
则实数a的取值范围是（ ∈） ∈
A．（2 ，e+1] B．（ ，e+1] C．[1+ ，e] D．（1，e]
【答案】B
【分析】本题考查了方程与函数的关系，将方程问题转化为函数问题解决，然后构造函数，利用导数研究
函数的单调性及图象，参考图象后利用恒成立问题最值法处理即可．设f（x）＝x2ex，x [﹣1，
1]，由导函数可得：y＝f（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数，作直线y＝a﹣
∈
t，当直线与y＝f（x）的图象只有一个交点时，有 ，又a﹣3≤a﹣t≤a﹣1，在t [1，
3]恒成立，用最值法求解即可，
∈
【解答】解：设f（x）＝x2ex，x [﹣1，1]，
则f′（x）＝x（x+2）ex，
∈
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，即y＝f（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数，
又f（﹣1）＝ ，f（1）＝e，f（0）＝0，
作直线y＝a﹣t，当直线与y＝f（x）的图象只有一个交点时， ，
又对任意的t [1，3]， ，
又a﹣3≤a﹣t≤a﹣1，
∈
所以 ，
所以3+ ，
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
9.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且对任意实数x恒有f（x）﹣f（﹣x）＝0，当x [﹣1，
∈0]时，f（x）＝x2，若g（x）＝f（x）﹣log x在x （0，+∞）上有三个零点，则实数a的取值范围为（
a
） ∈
A．（3，5） B．（2，3） C．（3，6） D．（4，5）
【答案】A
【分析】由题意可得f（x）为偶函数，作出函数f（x）的图象，把g（x）＝f（x）﹣log x在x （0，+∞）
a
上有三个零点，转化为y＝f（x）与y＝log x在x （0，+∞）上有三个交点，进一步得到关于a的
a
∈
不等式组求解．
∈
【解答】解：∵f（x）﹣f（﹣x）＝0，∴f（x）为偶函数，
又函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且当x [﹣1，0]时，f（x）＝x2，
作出函数f（x）的图象如图：
∈
∵g（x）＝f（x）﹣log x在x （0，+∞）上有三个零点，
a
∴y＝f（x）与y＝log x在x （0，+∞）上有三个交点，
a
∈
∈
∴ ，解得3＜a＜5．
∴实数a的取值范围是（3，5），
故选：A．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
10.已知函数 ，函数g（x）＝f（x）﹣a（a R），若g（x）有四个不同的零点
∈
x，x，x，x，且满足x＜x＜x＜x，则 的取值范围是（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4
A．（﹣1，+∞） B． C． D．（﹣1，1）
【答案】D
【分析】画出函数f（x）的图象，结合函数的图象得到x+x ＝﹣2，xx ＝1，求出
1 2 3 4＝﹣2x+ ，结合函数的单调性求出其范围即可．
3
【解答】解： ＝ ，
作出函数f（x）的图象，如图示：
，
函数g（x）＝f（x）﹣a有4个不同的零点，
故f（x）＝a有4个不同的解，
根据对称性得到x+x＝﹣2，
1 2
由﹣log x＝log x，得：log x+log x＝0，得：xx＝1，
2 3 2 4 2 3 2 4 3 4
∴ ＝﹣2x+ ，
3
∵ ＜x＜1，∴y＝﹣2x+ 是减函数，
3 3
∴﹣1＜﹣2x+ ＜1，
3
故选：D．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
11.已知函数 ，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰
有三个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3） B． C．[﹣3，0） D．
【答案】B【分析】作出函数数 ，其中m＜0的图象，分析两侧的函数图象在x＝m处的
位置关系，从而得到关于m的不等式，求解即可得到答案
【解答】解：当m＜0时，作出函数 的图象如下图所示，
当x＜m时，f（x）＝x2﹣2mx+6＝（x﹣m）2+6﹣m2≥6﹣m2，
所以若要存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，
则必须6﹣m2＜m2（m＜0），
解得 ，
所以m的取值范围是 ．
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
12.已知函数f（x）＝ 若函数g（x）＝[f（x）]2﹣4f（x）+m+1恰有8个零点，则m的
范围为 ．
【答案】2≤m＜3
【分析】利用分段函数的解析式，先作出函数f（x）的图象，然后利用换元法将函数g（x）＝[f（x）]2﹣
4f（x）+m+1恰有8个零点转化为方程t2﹣4t+m+1＝0在t （0，3]必有两个不等的实数根，再结
合图象分析即可得到答案．
∈
【解答】解：画出函数y＝f（x）的图象如图所示，设f（x）＝t，由g（x）＝[f（x）]2﹣4f（x）+m+1＝0，得t2﹣4t+m+1＝0，
因为g（x）有8个零点，
所以方程f（x）＝t有4个不同的实根，
结合f（x）的图象可得在t （0，3]内有4个不同的实根，
所以方程t2﹣4t+m+1＝0必有两个不等的实数根，
∈
即m+1＝﹣t2+4t在t （0，3]内有2个不同的实根，
结合图象可知，
∈
则有3≤m+1＜4，解得2≤m＜3，
所以m的范围为2≤m＜3．
故答案为：2≤m＜3．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
13.已知函数f（x）＝ ，其中m＞0．若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则m的
取值范围是 ；若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是
．
【答案】【第1空】（0，3]
【第2空】（3，+∞）【分析】由题意画出函数f（x）的图象，结合图象可得关于m的不等式，求解得答案．
【解答】解：当m＞0时，函数f（x）＝ 的图象的大致形状如图，
要使f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则m≤4m﹣m2，解得0≤m≤3，
又m＞0，∴0＜m≤3，则m的取值范围是（0，3]；
要使关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则4m﹣m2＜m，即m2＞3m（m＞0），
解得m＞3，则m的取值范围是（3，+∞）．
故答案为：（0，3]；（3，+∞）．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
14.已知函数 若方程f（x）＝m（m R）恰有三个不同的实数解a．b．c（a＜b＜
∈
c），则（a+b）c的取值范围是 ．
【分析】作出函数f（x）的图象，可得a+b＝﹣2， ＜c≤1，可得所求范围．
【解答】解：函数 的图象如图所示，
方程f（x）＝m（m R）恰有三个不同的实数解a．b．c
（a＜b＜c），
∈
可得a+b＝﹣2，f（0）＝1＝f（1）， ＜c≤1，
则（a+b）c＝﹣2c [﹣2，﹣ ），
∈
故答案为：[﹣2，﹣ ）．【知识点】分段函数的应用、函数的零点与方程根的关系
15.已知函数 ，g（x）＝ sinx+cosx+4，若对任意 t [﹣3，3]，总存在
∈
，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】（0，2]
【分析】求出f（x）和g（x）的值域，根据存在性和恒成立问题，求出a的范围．
【解答】解：对于函数f（x），当x≤0时，f（x）＝ ，由﹣3≤x≤0，可得f（t）∈[﹣4，3]，
当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，由0＜x≤3，可得f（x）∈[0，4]，
∴对任意t [﹣3，3]，f（t）∈[﹣4，4]，
∈
对于函数g（x）＝ sinx+cosx+4＝2sin（x+ ）+4，
∵x [0， ]，∴x+ [ ， ]，
∴g（x）∈[5，6]，
∈ ∈ π
∴对于s [0， ]，使得g（s）∈[5，6]，
∈
∵对任意t [﹣3，3]，总存在s [0， ]，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，
∴a+4≤6，
∈ ∈
解得0＜a≤2，
故答案为：（0，2]
【知识点】分段函数的应用
16.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml血液中酒精含量
达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 20%的速
度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为 （参考数据：lg2≈0.30，
lg3≈0.48）【答案】5
【分析】100ml血液中酒精含量达到60ml，由题意得则60（1﹣20%）t＜20由此利用对数的性质能求出整
数t的值．
【解答】解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，
则100ml血液中酒精含量达到60mg，
在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，
他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．
则60（1﹣20%）t＜20，∴0.8t＜ ，
∴t＞ ＝﹣ ＝﹣ ＝
≈ ＝4.8．
∴整数t的值为5．
故答案为：5．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
1.（2018•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝ ，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）
【答案】D
【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝ ，的图象如图：
满足f（x+1）＜f（2x），
可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，
解得x （﹣∞，0）．
故选：D．
∈【知识点】分段函数的应用
2.（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ ，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则
a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【分析】由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间
的关系进行转化求解即可．
【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，
作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：
当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），
故选：C．
【知识点】分段函数的应用3.（2019•天津）已知函数f（x）＝ 若关于x的方程f（x）＝﹣ x+a（a R）恰有两
∈
个互异的实数解，则a的取值范围为（ ）
A．[ ， ] B．（ ， ] C．（ ， ]∪{1} D．[ ， ]∪{1}
【答案】D
【分析】分别作出y＝f（x）和y＝﹣ x的图象，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，
直线与y＝ 在x＞1相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．
【解答】解：作出函数f（x）＝ 的图象，
以及直线y＝﹣ x的图象，
关于x的方程f（x）＝﹣ x+a（a R）恰有两个互异的实数解，
∈
即为y＝f（x）和y＝﹣ x+a的图象有两个交点，
平移直线y＝﹣ x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，
有两个交点，可得a＝ 或a＝ ，
考虑直线与y＝ 在x＞1相切，可得ax﹣ x2＝1，
由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），
综上可得a的范围是[ ， ]∪{1}．
故选：D．
【知识点】分段函数的应用4.（2019•浙江）设a，b R，函数f（x）＝ 若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰
有3个零点，则（ ∈）
A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0
【答案】C
【分析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）
﹣ax﹣b＝ x3﹣ （a+1）x2+ax﹣ax﹣b＝ x3﹣ （a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，
根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x＝ ；y＝f（x）﹣ax﹣
b最多一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝ x3﹣ （a+1）x2+ax﹣ax﹣b＝ x3﹣ （a+1）x2﹣b，
y′＝x2﹣（a+1）x，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b
最多一个零点．不合题意；
当 a+1＞0，即 a＜﹣1 时，令 y′＞0 得 x [a+1，+∞），函数递增，令 y′＜0 得 x [0，
a+1），函数递减；函数最多有2个零点；
∈ ∈
根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一
个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如右图：
∴ ＜0且 ，
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞﹣ （a+1）3．
故选：C．
【知识点】函数与方程的综合运用
5.（2019•海南）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x （0，1]时，f（x）＝x（x
∈﹣1）．若对任意x （﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣ ，则m的取值范围是（ ）
∈
A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．（﹣∞， ] D．（﹣∞， ]
【答案】B
【分析】因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，结合图象可得．
【 解 答 】 解 ： 因 为 f （ x+1 ） ＝ 2f （ x ） ， ∴ f （ x ） ＝ 2f （ x﹣ 1 ） ，
∵x （0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[﹣ ，0]，
∈
∴x （1，2]时，x﹣1 （0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣ ，0]；
∴x （2，3]时，x﹣1 （1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，
∈ ∈
∈ ∈
当x （2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）＝﹣ 解得x＝ 或x＝ ，
∈
若对任意x （﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣ ，则m≤ ．
故选：B．
∈
【知识点】函数与方程的综合运用
6.（2019•揭阳）已知函数 的图象上存在点P，函数g（x）＝ax﹣3的图象上存
在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣4，0] B． C．[0，4] D．
【答案】C【分析】先求出g（x）关于原点对称的函数h（x）＝ax+3，条件转化为f（x）＝h（x）在 ≤x≤2上有解，
作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：g（x）＝ax﹣3关于原点对称的函数为﹣y＝﹣ax﹣3，即y＝ax+3，
若函数g（x）＝ax﹣3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，
则等价为f（x）＝ax+3在 ≤x≤2上有解即可，
即2x+ ＝ax+3，在 ≤x≤2上有解即可，
设h（x）＝ax+3，
则f′（x）＝2﹣ ＝ ，
由f′（x）＞0得1＜x≤2，此时函数为增函数，
由f′（x）＜0得 ≤x＜1，此时函数为减函数，
即当x＝1时，f（x）取得极小值同时也是最小值，为f（1）＝3，即B（1，3），
当x＝ 时，y＝1+4＝5，即A（ ，5），
要使f（x）＝h（x）有解，
则当h（x）过B时，a＝0，过A时， a+3＝5，得a＝4，
即0≤a≤4，
故选：C．
【知识点】函数与方程的综合运用
7.（2020•天津）已知函数f（x）＝ 若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k R）恰有4个零点，
∈
则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣ ）∪（2 ，+∞） B．（﹣∞，﹣ ）∪（0，2 ）C．（﹣∞，0）∪（0，2 ） D．（﹣∞，0）∪（2 ，+∞）
【答案】D
【分析】问题转化为f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，⇒y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，再分三
种情况当k＝0时，当k＜0时，当k＞0时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出k的取值
范围．
【解答】解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k R）恰有4个零点，
则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，
∈
即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，
当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x＝0，x＝ （x＜x）
1 2 2 1
图象如图所示，
当x＝ 时，函数y＝|kx2﹣2x|的函数值为﹣ ，
当x＝ 时，函数y＝﹣x的函数值为﹣ ，
所以两图象有4个交点，符合题意，
当k＞0时，
y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x＝0，x＝ （x＞x）
1 2 2 1在[0， ）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（ ，+∞）还有两个交点，即可，
即x3＝kx2﹣2x在（ ，+∞）还有两个根，
即k＝x+ 在（ ，+∞）还有两个根，
函数y＝x+ ≥2 ，（当且仅当x＝ 时，取等号），
所以 ，且k＞2 ，
所以k＞2 ，
综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2 ，+∞）．
故选：D．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
8.（2020•新课标Ⅲ）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建
立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝
，其中 K 为最大确诊病例数．当 I（t*）＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为（ ）
（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C【分析】根据所给材料的公式列出方程 ＝0.95K，解出t即可．
【解答】解：由已知可得 ＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝ ，
两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，
解得t≈66，
故选：C．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
9.（2019•海南）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业
取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为
解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行．L 点是
2 2
平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的
1 2 2
距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： + ＝（R+r） ．
设 ＝ ．由于 的值很小，因此在近似计算中 ≈3 3，则r的近似值为（ ）
α α α
A． R B． R C． R D． R
【答案】D
【分析】由 ＝ ．推导出 ＝ ≈3 3，由此能求出r＝ R＝ ．
α α α
【解答】解：∵ ＝ ．∴r＝ R，
α α
r满足方程： + ＝（R+r） ．
∴ ＝ ≈3 3，
α
∴r＝ R＝ ．
故选：D．
α【知识点】根据实际问题选择函数类型
10.（2017•天津）已知函数f（x）＝ ，设a R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒
成立，则a的取值范围是（ ） ∈
A．[﹣2，2] B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）＝| +a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f
（x）≥| +a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交的问题，分析可得
f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ 的图象如图：
令g（x）＝| +a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），
在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，
若不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在
g（x）上的上方或相交，
则必有f（0）≥g（0），
即2≥|a|，
解可得﹣2≤a≤2，
故选：A．
【知识点】分段函数的应用
11.（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝log （x2+a），若f（3）＝1，则a＝ ﹣ ．
2
【答案】-7【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）＝log （x2+a），若f（3）＝1，
2
可得：log （9+a）＝1，可得a＝﹣7．
2
故答案为：﹣7．
【知识点】函数的值、函数的零点与方程根的关系
12.（2018•新课标Ⅲ）函数f（x）＝cos（3x+ ）在[0， ]的零点个数为 ．
【答案】3 π
【分析】由题意可得f（x）＝cos（3x+ ）＝0，可得3x+ ＝ +k ，k Z，即x＝ + k ，即可求
出．
π ∈ π
【解答】解：∵f（x）＝cos（3x+ ）＝0，
∴3x+ ＝ +k ，k Z，
π ∈
∴x＝ + k ，k Z，
π ∈
当k＝0时，x＝ ，
当k＝1时，x＝ ，
π
当k＝2时，x＝ ，
π
当k＝3时，x＝ ，
∵x [0， ]，
π
∈ π
∴x＝ ，或x＝ ，或x＝ ，
故零点的个数为3，
π π
故答案为：3
【知识点】函数的零点
13.（2018•上海）设a＞0，函数f（x）＝x+2（1﹣x）sin（ax），x （0，1），若函数y＝2x﹣1与y＝f
（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是 ∈
【分析】把函数y＝2x﹣1与y＝f（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，转化为sinax＝﹣ 在（0，1）
上有两不同根，可得 ＜a≤ ．
【解答】解：函数y＝2x﹣1与y＝f（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，
即方程2x﹣1＝x+2（1﹣x）sin（ax）有两不同根，
也就是（x﹣1）（2sinax+1）＝0有两不同根，∵x （0，1），∴sinax＝﹣ 在（0，1）上有两不同根．
∈
∵a＞0，∴ax＝ 或ax＝ ，k Z．
又∵x （0，1），且a＞0，
∈
∈
∴0＜ax＜a，仅有两解时，应有 ，
则 ＜a≤ ．
∴a的取值范围是（ ]．
故答案为：（ ]．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
14.（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分
别为x，y，z，则 ，当z＝81时，x＝ ，y＝ ．
【答案】【第1空】8
【第2空】11
【分析】直接利用方程组以及z的值，求解即可．
【解答】解： ，当z＝81时，化为： ，
解得 x＝8，y＝11．
故答案为：8；11．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
15.（2018•天津）已知a＞0，函数f（x）＝ ．若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个
互异的实数解，则a的取值范围是 ．
【答案】（4，8）
【分析】分别讨论当x≤0和x＞0时，利用参数分离法进行求解即可．
【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，
得x2+ax+a＝0，
得a（x+1）＝﹣x2，得a＝﹣ ，
设g（x）＝﹣ ，则g′（x）＝﹣ ＝﹣ ，
由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，
由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，
当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，
得x2﹣ax+2a＝0，
得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，
当x≠2时，a＝
设h（x）＝ ，则h′（x）＝ ＝ ，
由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，
由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）
＝8，
要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，
则由图象知4＜a＜8，
故答案为：（4，8）
【知识点】分段函数的应用
16.（2018•浙江）已知 R，函数f（x）＝ ，当 ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是
λ∈ λ．若函数f（x）恰有2个零点，则 的取值范围是 ．
【答案】【第1空】{x|1＜x＜4} λ
【第2空】（1，3] （4，+∞）
【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即
∪
可．
【解答】解：当 ＝2时函数f（x）＝ ，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x
＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：
λ
{x|1＜x＜4}．
函数f（x）恰有2个零点，
函数f（x）＝ 的草图如图：
函数f（x）恰有2个零点，则1＜ ≤3或 ＞4．
故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．
λ λ
【知识点】分段函数的应用、函数与方程的综合运用、函数单调性的性质与判断
17.（2017•上海）设a、b R，若函数 在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取
值范围为 ∈．
【答案】（0，1）
【分析】函数 在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a＝0在区间（1，2）上
两个不相等的实根，
⇒ ⇒
画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z＝f（1）═a+b+1的范围即可．【解答】解：函数 在区间（1，2）上有两个不同的零点，
即方程x2+bx+a＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，
⇒ ⇒ ，
如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z＝f（1）═a+b+1
∴z的最小值为z＝a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z＝a+b+1过点（4，﹣4）时
∴f（1）的取值范围为（0，1）
故答案为：（0，1）
【知识点】函数零点的判定定理
18.（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）＝ ，其
中集合D＝{x|x＝ ，n N*}，则方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是 ．
【答案】8 ∈
【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）＝ ，其
中集合D＝{x|x＝ ，n N*}，分析f（x）的图象与y＝lgx图象交点的个数，进而可得答案．
∈【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）＝ ，
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，
∴在区间[1，2）上，f（x）＝ ，此时f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交
点；
同理：
区间[2，3）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[3，4）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[4，5）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[5，6）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[6，7）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[7，8）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
区间[8，9）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；
在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y＝lgx无交点；
故f（x）的图象与y＝lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；
即方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是8，
故答案为：8
【知识点】函数的零点与方程根的关系
