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考点 02 幂指对等函数的图像和性质
1．已知 ， 与 的图象关于原点对称，则 （ ）
A． B．
C．2 D．0
【答案】D
【分析】
由复合函数求得函数 的表达式，再由对称性求得 ，从而可得函数值．
【详解】
设 ，则 ，
所以 ，即 ，
设 是 图象上任一点，它关于原点的对称点 在函数 图象上，所以
，即 ，所以 ，
．
故选：D．
2．（2022·北京·高考真题）己知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】
，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.
【详解】
解：根据图象可知，函数关于 对称，且当 时， ，故排除B、D两项；
当 时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当 时， 单调递减，故排除C项.
故选：A.
4.（2022·湖北·荆州中学模拟预测）设 ，函数 ．若 ，则实数 的取值
范围是_________．
【答案】
【分析】
根据分段函数的定义和指数的运算性质即可得到结果
【详解】
，
所以 即
故答案为：
5．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若幂函数在 在 上单调递增，则 ______.
【答案】1
【分析】
幂函数系数为1，在 上单调递增上递增，有 ，可求解.
【详解】
幂函数在 在 上单调递增
可得 解得故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）“当 时，幂函数 为减函数”是“ 或
2”的（ ）条件
A．既不充分也不必要 B．必要不充分
C．充分不必要 D．充要
【答案】C
【分析】
根据幂函数的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.
【详解】
当 时，幂函数 为减函数，
所以有 ，
所以幂函数 为减函数”是“ 或2”的充分不必要条件，
故选：C
7．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知函数 的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数的奇偶性，排除C、D选项，根据 时， ，可排除B项，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，可得定义域为 ，关于原点对称，
可得 ，
所以函数 为奇函数，所以排除C、D选项，
当 时， ，可排除B.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则关于 的方程 有 个
不同实数解，则实数 满足（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】
令 ，利用换元法可得 ，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根 、 ，
作出函数 的图象，结合题意和图象可得 、 ，进而得出结果.
【详解】
令 ，作出函数 的图象如下图所示：由于方程 至多两个实根，设为 和 ，
由图象可知，直线 与函数 图象的交点个数可能为0､2､3､4，
由于关于x的方程 有7个不同实数解，
则关于u的二次方程 的一根为 ，则 ，
则方程 的另一根为 ，
直线 与函数 图象的交点个数必为4，则 ，解得 .
所以 且 .
故选：C.
9.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数 ，若 是奇函数，
则实数a=______．
【答案】1
【分析】
利用奇函数的性质 列方程求参数.
【详解】
由题意， ，即 ，
所以 ，化简得 ，解得 ．
故答案为：1
10．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数 ，则
______．【答案】4043
【分析】
根据题意，化简得到 ，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
可得
，
设 ，
则
两式相加，可得
，
所以 .
故答案为： .
11．（2020·全国·高考真题（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与 的大
小关系，进而得到结果.
【详解】
由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到 的
大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
12．（2022·河南安阳·模拟预测（理））关于函数 有下述四个结论：
① 的图象关于直线 对称 ② 在区间 单调递减
③ 的极大值为0 ④ 有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】
根据给定函数，计算 判断①；探讨 在 上单调性判断②；探讨 在 和 上单调
性判断③；求出 的零点判断④作答.
【详解】
函数 的定义域为 ，
对于①， ，则 ，
， 的图象关于直线 对称，①正确；
对于②，当 时， ， 在 单调递增，②不正确；
对于③，当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 单调递增，因此 在 处取极大值 ，③正确；
对于④，由 得： ，即 或 ，解得 或 ，
于是得 有3个零点，④正确，
所以所有正确结论的编号为①③④.
故选：D
【点睛】
结论点睛：函数 的定义域为D， ，存在常数a使得 ，
则函数 图象关于直线 对称.
13．（2022·天津·二模）已知 且 ，函数 在 上是单调函数，若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意分析 ， 且 可得 只能是减函数，再结合分段函数的单调性可得
，再画图分析 与 的图象恰有2个交点时满足的不等式求解即可
【详解】
先分析函数 ， 且
易得 ，因为 ，可得图象：
因为函数 在 上是单调函数，故 只能是减函数，且 ，即 .故当
时， ，结合 可得 .故 ，又关于 的方程
恰有2个互异的实数解，即 与 的图象恰有2个交点，画出图象：可得 ，解得 .综上有
故选：A
14.（2022·浙江·效实中学模拟预测）若不等式 对任意的正整数 恒成立，则 的
取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由题意知, 原不等式 或 ，,利用对数函数与指数函数的性质得到关于 的不
等式，求出对任意的正整数 都成立的 的取值即可.
【详解】
原不等式 或 ，
因为 ,
所以 （1）或 （2）.
当 时，（2）成立，此时 .
当 ， 时，（1）成立，
因为在（1）中， ，
令 ，
则 为单调递增函数，所以要使 （1）对 ， 成立，
只需 时成立.
又 时， .
所以使不等式对任意的正整数 恒成立， 的取值范围是： .
故答案为：
【点睛】
本题考查利用对数函数和指数函数的有关性质及分类讨论的思想求解参数范围;分别对两种不同情况进行分
析求出其公共范围是求解本题的关键;属于难度较大型试题.
15．（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）已知函数 ， ，若 ，
，使得 ，则 ______．
【答案】78
【分析】
根据题意可知，y＝f(x)的值域应该是y＝ 值域的子集，据此即可求解m﹒
【详解】
时， ，
时， ，
∵ ， ，
由题意可知， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ﹒
故答案为：78．
