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专题突破卷 08 极值点偏移
1.加法不含参型
1．已知函数
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的最大值；
(2)若函数 在定义域上有两个极值点 和 ，若 ， ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 ，由题意可知，对任意的 ， ，可得出 ，利用导数求
出函数 的最小值，即可求得实数 的最大值；
（2）设 ，由极值点的定义可得出 ，变形可得出 ， ，由此可
学科网（北京）股份有限公司 1得出 ，利用导数求出函数 在 上的最小值，即为所求.
【详解】（1）解：因为 ，其中 ，
则 ，
因为函数 在 上单调递增，对任意的 ， ，即 ，
令 ，其中 ，则 ， ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以， ，故 ，所以， 的最大值为 .
（2）解：由题意可知， ，设 ，
由 可得 ，则 ，
可得 ， ，所以， ，令 ，其中 ，
所以， ，
令 ，其中 ，则 ，
因为 ，由 ，可得 ，由 可得 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
又因为 且 ，
学科网（北京）股份有限公司 2所以，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， .
【点睛】方法点睛：求函数 在区间 上的最值的方法：
（1）若函数 在区间 上单调，则 与 一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数 在区间 内有极值，则要求先求出函数 在区间 上的极值，再与 、
比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数 在区间 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数
的实际应用中经常用到.
2．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)①证明函数 （ 为自然对数的底数）在区间 内有唯一的零点；
②设①中函数 的零点为 ，记 （其中 表示 中的较小值），若
在区间 内有两个不相等的实数根 ，证明： .
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)①证明见解析；②证明见解析；
学科网（北京）股份有限公司 3【分析】（1）由题设有 ，讨论 、 判断 的符号，进而确定 的单调性；
（2）①由题意得 ，利用导数研究函数在 上的单调性，结合零点存在性定理确定证明结
论，
②根据题设确定函数 解析式，应用导数研究单调性，进而应用分析法：要证 只需要证
，构造函数 ，应用导数研究单调性并确定 ，即可证结论.
【详解】（1）由已知 ，
函数 的定义域为 ，导函数
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 有 ，
∴当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述：
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）① 的定义域为 ，导函数 ，
当 时， ，即 在区间 内单调递增，
又 ， ，且 在区间 内的图像连续不断，
∴根据零点存在性定理，有 在区间 内有且仅有唯一零点.
学科网（北京）股份有限公司 4②当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ，
∴当 时， ，故 ，即 ；
当 时， ，故 ，即 ，
∴可得 ，
当 时， ，由 得 单调递增；
当 时， ，由 得 单调递减：
若 在区间 内有两个不相等的实数根 ， ，
则 ，
∴要证 ，需证 ，又 ，
而 在 内递减，
故需证 ，又 ，
即证 ，即
下证 ：
记 ， ，
由 知： ，
记 ，则 ：
当 时， ；
学科网（北京）股份有限公司 5当 时， ，
故 ，而 ，所以 ，
由 ，可知 .
∴ ，即 单调递增，
∴当 时， ，即 ，故 ，得证.
【点睛】关键点点睛：
（1）分类讨论参数的范围，应用导数在对应区间的符号研究函数的单调性；
（2）由导数研究 在 上零点的个数，写出 解析式并判断单调性，利用分析法：将要证明的结
论转化为函数不等式恒成立.
3．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 、 ，证明 .
【答案】(1)单调减区间为 ，单调增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数单调性与导数的关系可求得函数 的增区间和减区间；
（2）设 ，由（1）可得 ，先证 ，即证 ，构造函数
，其中 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，可证得
成立；其次证明出 ，令 ，则 ，将所证不等式变形为即证
学科网（北京）股份有限公司 6，
令 ， ，利用导数分析函数 的单调性，可证得 ，综合可得结论.
【详解】（1）解：因为 的定义域为 ，
则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
（2）证明：不妨设 ，由（1）知：必有 .
要证 ，即证 ，即证 ，
又 ，即证 .
令 ，其中 ，
则 ，
令 ，则
在 时恒成立，
所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 7所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以 ；
接下来证明 ，
令 ，则 ，又 ，即 ，所以 ，
要证 ，即证 ，有 ，
不等式 两边取对数，即证 ，
即证 ，即证 ，
令 ， ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以， 在 上单调递增，则当 时， ，
故当 时，
可得函数 单调递增，可得 ，即 ，所以 ，
综上， .
【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明 （或 ）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
学科网（北京）股份有限公司 8与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（2）证明 （或 ）（ 、 都为正数）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4．已知函数 为其极小值点．
(1)求实数 的值；
(2)若存在 ，使得 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 求出 ，再根据极小值点的定义加以验证即可；
（2）分类讨论 和 ，转化为证明当 ， 时， ，继续转化为证明当 时，
学科网（北京）股份有限公司 9，构造函数 ，利用导数判断单调性可证不等式成立.
【详解】（1） 的定义域为 ，
，依题意得 ，得 ，
此时 ，
当 时， ， ， ，故 ， 在 内单调递减，
当 时， ， ， ，故 ， 在 内单调递增，
故 在 处取得极小值，符合题意.
综上所述： .
（2）由（1）知， ，
不妨设 ，
当 时，不等式 显然成立；
当 ， 时，不等式 显然成立；
当 ， 时，由（1）知 在 内单调递减，因为存在 ，使得 ，所
以 ，
要证 ，只要证 ，
因为 ，所以 ，又 在 内单调递减，
所以只要证 ，又 ，所以只要证 ，
设 ，
则
学科网（北京）股份有限公司 10，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ， 在 上为减函数，所以 ，
即 ，
所以 在 上为减函数，
所以 ，即 .
综上所述： .
【点睛】方法点睛：对于含双变量的不等式的证明一般采用以下两种方法：
①比值代换：设 ，将不等式化为关于 的不等式，再构造函数，利用导数证明即可；
②构造函数 ，其中 为极值点，利用导数判断单调性，根据单调性证明即可.
5．已知函数 ，
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ， ， 是方程 的两个实数根，证明： ．
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数的单调性与导数正负的关系即可求解；
（2）根据已知条件构造 ，利用导数法研究函数的单调性和最值，进而得出 ， 的
范围，再构造函数 ，利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求
解.
学科网（北京）股份有限公司 11【详解】（1）由题可知 的定义域为 ，
.
令 ，则 的两根分别为 ， ．
当 或 时， ；
当 时， ；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ．
（2）原方程可化为 ，
设 ，则 ， ．
令 ，得 ．∵在 上， ，在 上， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，且当 ， 趋向于0时， 趋向于 ，
当 趋向于 时， 趋向于 ．
则 在 和 上分别有一个零点 ， ，
不妨设 ，∵ ，∴ ，
设 ，则
，
．
学科网（北京）股份有限公司 12当 时， ，
∴ 在 上单调递增，而 ，
∴当 时， ， ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ 在 上单调递减，
∴ ，即 ．
【点睛】关键点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构
造方法及利用导数法研究函数的单调性即可.
6．已知函数 ， .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，存在 满足 ，证明 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）由 得 ，令 ， ， 后可转化为证 ，
构造函数 即可求证.
【详解】（1）依题意得 ， ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司 13即 .
（2） 时， ， ，
令 ，得 ，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
， ， ，
因为存在 满足 ，不妨设 ，
则其一个必要条件是 ，
由 得 ，即 ，
令 ， ，
则 ，两边取对数得 ，即 ，
要证 ，只要证 ，
，
故只要证 ，即 ，
设 ，则 ，
故只要证 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 14即 成立，从而原不等式得证.
【点睛】方法点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变为熟悉的极值点偏移问题，进而转化为证明对
数均值不等式即可.
7．已知函数 ， .
(1)当 时，讨论方程 解的个数；
(2)当 时， 有两个极值点 ， ，且 ，若 ，证明：
（i） ；
（ii） .
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）方法1，由 ，可得 ，后令 ，利用导数知识可得其值域即
可知 解的情况；方法2， ，利用导数知识可知 时， 的
单调性与零点情况，又利用 可知当 时， ，即可得 解的情况；
（2）（i）由题可得 ，由 结合 单调性可得 ，后通过构造
可证 ；
（ii）由（i）可知 ，后说明 ，
即可证明结论.
【详解】（1）方法一： ， .
学科网（北京）股份有限公司 15设 ，则 .
设 ，则 ， 单调递减.
， 当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减.
，
当 时，方程有一解，当 时，方程无解；
方法二：设 ，则 .
设 ，则 . 单调递增
当 时， ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
， 方程 有一解.
当 时， .
令 ,
令 ，则 在 上单调递增，又
，则 在 上单调递减，
在 上单调递增，则 .
即 ，
无解，即方程 无解.
学科网（北京）股份有限公司 16综上，当 时，方程有一解，当 时，方程无解．
（2）（i）当 时， ，则 ，
， 是方程 的两根.
设 ，则 ，
令 ，解得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增.
， ， 当 时， ， ， .
由 .
令 ， ， ， .
等价于 .
设 ， ，
则 ，
单调递增， ，
，即 ， ，
综上， ；
（ii）由（i）知， ， .
学科网（北京）股份有限公司 17.
由（i）知， ，
设 ， ，则 .
单调递减， ，即 .
.
设 ， ，
则 .
单调递增，又 ， 当 时， .
， ，即命题得证.
【点睛】关键点睛：本题涉及讨论函数零点及极值点偏移问题.对于零点问题，常利用分离参数法和研究函
数单调性解决，还可以利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题；对于极值点偏移问题，关键
是将多变量转变为单变量，常利用引入参数或不等关系构造新函数证明结论.
2.加法含参型
8．已知函数 （ ）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 有两个不相等的实数根 ，证明： ．
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
【分析】（1）求出 的导数，通过讨论 的范围，判断 的符号，得到函数的单调区间即可.
学科网（北京）股份有限公司 18（2）根据 不单调，令 ，令 ， ，求出 的单调性，
得到 ，从而证出结论.
【详解】（1）函数 的定义域为：
当 时， ， 的单调递增区间为
当 时，当 时， ， 的单调递增区间为 ；
当 时， ， 的单调递减区间为 ；
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间，
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）因为方程 存在两个不同的实数解 ，
因此 不为单调函数，所以 ，
令 ，则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，最小值 ，
，令 ， ，
，
在 上单调递增，且 ，
当 时， ，
， ，
学科网（北京）股份有限公司 19，
的单调递增区间为 ， 、
， .
9．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）函数求导，分类讨论通过判断导函数符号，确定函数单调性.
（2）对 分类讨论，求得 有两个零点时 的范围，及 的范围，构造函数 ，研究在 上
的单调性，可得 ，又 ，及 的单调性可得结论.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
时， 恒成立，所以 在 上单调递减；
时，令 得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明： 时，由（1）知 至多有一个零点.
学科网（北京）股份有限公司 20时，由（1）知当 时， 取得最小值，最小值为 .
①当 时，由于 ，故 只有一个零点；
②当 时， 即 ，故 没有零点；
③当 时， 即 ，
又 ，
由（1）知 在 上有一个零点.
又 ，
由（1）知 在 有一个零点，
所以 在 上有两个零点， 的取值范围为
不妨设 ，则 ，且 ，
令
，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司 21由于 （且仅当
等号成立 ，
所以当 时， 在 单调递减，又 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又由于 ，且 在 上单调递增，
所以 即 .
【点睛】极值点偏移问题是根据极值点的偏移情况，即极值点两侧函数增长速度的差异构造关于其中一个
极值点的一元差函数（或比函数），然后通过探究该函数的单调性解决问题。
10．已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ， 是 的两个不同零点，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当 时，求出 、 ，代入直线的点斜式方程可得答案；
（2）令 ， ，设函数 与 相切于 ，可得 ， ，
，根据 、 的图象可得 时有两个不同的交点， 有两个零点，得 的取值范围为
，求出 ，即证 ，不妨设 ，由 ，则 ，构造函数
学科网（北京）股份有限公司 22，利用导数判断出 ，再由 在 上的单调性可
得答案.
【详解】（1）当 时， ，
， ， ，
曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；
（2）令 ，可得 ，
令 ， ，设函数 与 相切于 ，
由 、 、 可得 ， ， ，
， 的大致图象如下，
当 时， 与 有两个不同的交点，
即 有两个零点，所以 的取值范围为 ，
，当 时， ， 在 上递增，
当 时， ， 在 上递减，
要证 ，只要证 ，
不妨设 ，由 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 23构造函数 ，
，
∵ ，∴ ，∴ 在 是递增，
又 ，∴ ，∴ ，
∴ ，又 ，∴ ，
而 ， ， 在 上递减，∴ ，即 ，
∴ .
【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点一是利用函数图象的交点得到函数零点的个数，二是
构造函数 ，利用函数的单调性证明不等式，考查了学生分析问题、解决
问题以及运算能力.
11．已知函数 （ ）．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， （ ），求证： ．
【答案】(1)当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，根据 的不同取值范围，对 的符号进行讨论即可；
（2）由已知及（1）中单调性，可知 ， 且 ，故只需证明 ，再借助不等式性质和
学科网（北京）股份有限公司 24放缩，即可证出 .
【详解】（1）由已知， 的定义域为 ， ，
①当 时， ， 恒成立，
∴此时 在区间 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（2）若函数 有两个零点 ， （ ），
则由（1）知， ， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，（*）
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴只需证明 ，即有 .
下面证明 ，
学科网（北京）股份有限公司 25设
， ，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 单调递减，
当 时， ， 在区间 单调递增，
∴ ， 在区间 上单调递增，
又∵ ，∴ ，
即 ，
∴由（*）知， ，∴ ，即 .
又∵ ， ，
∴ ，原命题得证.
【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过 和 ，确认只需证 ，再
通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出 ，最后使用不
等式性质和放缩得到 .
12．已知函数 .
(1)若 有唯一零点，设满足条件的 值为 与 证明：① 与 互为相反数；②
学科网（北京）股份有限公司 26；
(2)设 .若 存在两个不同的极值点 、 ，证明 .
参考数据： ，
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据 仅有一个零点结合函数的单调性可得零点 满足
，通过构建新函数可判断该方程有两个根且它们互为导数，从而可得 与
互为相反数，结合其中一个根的范围可证 .
（2）利用零点满足的方程可得 ，结合对数不等式可得 .
【详解】（1）若 ，则 ，此时 无零点，舍.
故 ， ，
令 ，因为 ，故 在 上有且只有一个零点 ，
若 ，则 ，这与 矛盾，故 .
且 时， ，当 ， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
下证：当 时，有 .
证明：当 时， 成立，
设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 27故 在 上为减函数，故 即 ，
故 ，故当 时 且 .
当 时，若 ，则 恒成立，
而当 时，有 ，
设 ，则 ， ，
故当 时， 即：
当 时，有 即 .
当 时， ，由 时的讨论可得：
若 时，有 ，故 成立.
而 即 时，有 成立.
因为 仅有一个零点，故 ，
所以 且 ，
故 ，整理得到 ，
化简得到： ，
令 ，则 ，其中 .
设 ，则 ，
故 在 上均为增函数，
学科网（北京）股份有限公司 28而 ，
，
故 在 上有且只有一个零点，
而 ，
故 在 上有且只有一个零点，
故 在 有且只有两个零点，且它们互为倒数，
故 在 有且只有两个零点 ，
且 即 ，其中 即 .
设函数零点为 时对应的参数值为 ，函数零点为 时对应的参数值为 ，
则 ，且 ，故 ，
故 即 ，但 ，故 ，
故 ，故 互为相反数.
又 ，其中 ，而 在 为减函数，
故 ，同理 ，故 .
（2） ，
设 ，故 为 的两个不同的零点，
故 ，
故 ，
学科网（北京）股份有限公司 29故 ，
不妨设 ，则 ，
若 ，则 ，故 为 上的增函数，
故 至多一个零点，与题设矛盾，故 .
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
即任意 ， 恒成立，故 对任意的 恒成立，
而 ，故 ，故 .
【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，同时结合零点存在定理来判
断，讨论单调性时，导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的方程来求解，当函数值的符
号不易判断时，可以利用放缩法来处理符号问题.
13．已知函数f(x)＝lnx+1， 是f(x)的导函数．
(1)令函数 ，求g(x)的最小值；
(2)若关于x的方程 恰有两个不同的实根x，x．
1 2
①写出实数a的取值范围（不需要证明）；
②证明：|x﹣x|＞ ﹣1．
2 1
【答案】(1)2
(2)①0＜a＜1；②证明见解析
学科网（北京）股份有限公司 30【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（2）①根据函数的单调性得到方程 有两个不同的实根 ， 时，必有0＜a＜1，②根据
的单调性及零点，则 ，从而证出结论．
(1)
因为 ，所以g(x)＝lnx+1+ ，
则 ，令 ，则x＝1，
故当0＜x＜1时， ，g(x)单调递减；当x＞1时， ，g(x)单调递增；
所以当x＝1时，g(x)取最小值，则g(x) ＝g(1)＝2；
min
(2)
①0＜a＜1，
②因为 ，则 恰有两个不同的实根 ， ，
令 ，则 ，解得x＝1，
所以h(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即h(x)在x＝1处取得极大值；又当h(x)＝0时，
，则在 上h(x)＜0，在（ ，+∞）上h(x)＞0，
所以，方程h(x)＝a有两个不同的实根x，x 时，必有0＜a＜1，不妨令x＜x
1 2 1 2
由 ，所以
由h(x)在（1，+∞）上单调递减可知 ，
所以 ，即满足： ．
3.乘积不含参型
14．已知函数 .
(1)证明： .
学科网（北京）股份有限公司 31(2)若函数 ，若存在 使 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造 ，求导后判断函数最大值，得到 ，即
得证；
（2）根据题意判断 ， ，将原题转化为证明 ，构造函数后求导证明即可.
【详解】（1）令 ， ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
∴ 在 递增，在 递减，则 ，
∴ 恒成立，即 .
（2）∵ ， ，∴ ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
∴ 在 递增，在 递减.
又∵ ， ， ， ，且 ， .
要证 ，即证 .
∵ ，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 32又∵ ，∴只证 即可.
令 ， ，
恒成立，
∴ 在 单调递增.
又∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ .
【点睛】极值点偏移的题目常用的手法就是对称构造，本题可先判断 ， ，再转化为证明
，根据 的单调性可以将其转化为证明 ，构造函数后利用导数证明不等式即可.
15．已知函数
(1)求函数 单调区间；
(2)设函数 ，若 是函数 的两个零点，
①求 的取值范围；
②求证： ．
【答案】(1)单调递增区间为 ；单调递减区间为
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）求导后，根据 正负即可得到 的单调区间；
（2）①将问题转化为 与 在 上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果；
学科网（北京）股份有限公司 33②由①可得 ，设 ，利用导数可求得 ，进而得到
，即 ，根据 的范围和 单调性可得结论.
【详解】（1） 定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
（2）①若 是 的两个不同零点，则 与 在 上有两个不同交点；
由（1）知： ，又 ，
在 的图象如下图所示，
由图象可知： ， ，即 的取值范围为 .
②不妨设 ，由①知： ，
， ，
在 上单调递增，在 上单调递减；
设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 34在 上单调递减， ， ，
又 ， ，又 ， ；
， ， 在 上单调递增，
，则 .
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于 （ ）的问题的基本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证得结论.
16．已知函数 ，直线 与曲线 相切．
(1)求实数 的值；
(2)若曲线 与直线 有两个公共点，其横坐标分别为 ．
①求实数 的取值范围；
②证明： ．
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解 ；
（2）①问题转化为 有2个实数根，转化为 与 有2个交点，利用导数分
学科网（北京）股份有限公司 35析函数 ，即可求解 的取值范围；
②构造函数 ， ，利用导数判断函数的单调性，再结合极值点偏移问题的解决方
法，即可证明.
【详解】（1）设切点 ， ，
得 ， ，所以 ，代入直线 方程得 ；
（2）①由（1）知 ，若曲线 与直线 有两个公共点，则等价于 有2个实数根，
，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
，当 趋向于正无穷大时， 趋向于0，当 趋向于负无穷大时， 趋向于负无穷
大，
则 ；
② ，即 ，等价于 ，
令 ， ，
，
因为 ，所以 ，故 ，
所以 在 上单调递增，故 ,
不妨设 ，故 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司 36由已知 ，所以 ，
由①知，当 时， 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 .
【点睛】极值点偏移问题中（极值点为 ），证明 或 的方法：
①构造 ，
②确定 的单调性，
③结合特殊值得到 或 ，再利用 ，得到 与
的大小关系，
④利用 的单调性即可得到 或 .
17．（ 2022春·广东深圳·高二统考期末）设函数 ，已知直线 是曲线 的
一条切线.
(1)求 的值，并讨论函数 的单调性；
(2)若 ，其中 ，证明： .
【答案】(1) ； 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)证明见解析.
【分析】（1）设切点为 ，利用导数几何意义和切线方程可构造方程组得到 ；设
，利用导数可确定 有唯一零点 ，由此可得 ；代入 后，根据 的正负
可得单调区间；
学科网（北京）股份有限公司 37（2）根据 单调性和 的正负可确定 ，将所证不等式转化为 对任意
恒成立；令 ，利用导数可求得 单调递增，得到
，由此可得结论.
(1)
设直线 与曲线 相切于点 ，
， ；
又 ， ，即 ；
设 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ， 有唯一零点 ， ， ，解得： ；
， ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
由（1）知： ；
当 时， ；当 时， ， ；
要证 ，只需证 ；
在 上单调递减， 只需证 ，
学科网（北京）股份有限公司 38又 ，则只需证 对任意 恒成立；
设 ，
；
设 ，则 ，
在 上单调递减， ，
又当 时， ， ，
在 上单调递增， ，
即 在 时恒成立，又 ，
，原不等式得证.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于 （ 满足 ）的问题的基本步
骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证得结论.
18．已知函数 ．
学科网（北京）股份有限公司 39(1)当 ， 和 有相同的最小值，求 的值；
(2)若 有两个零点 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别求出 和 的最小值，列方程即可求出结果；
（1）问题转化为 有两个零点，证明 ，进而只需要证明只需要证明 ，也即是
，从而令 ，构造函数 求出最值即可证出结论．
【详解】（1）由 ．
所以 ．
所以 ．
令 ，则 为 上的增函数，且 ．
所以 在 上单调递减， 上单调递增．
所以 ．
又 ．
所以 ．令 ，则
所以 为 上的增函数．
又 ．
令 ，因为 在 上单调递增，且 ，而 ，因此函数
学科网（北京）股份有限公司 40与直线 有唯一交点，
故方程 在 上有唯一解，
所以存在唯一 ，使得 ．
即 ，故 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ．
所以 ．
故而 ．
（2）由题意 有两个零点 ．
所以 ，即 ．
所以等价于： 有两个零点，证明 .
不妨令 ．
由 ．
要证 ，只需要证明 ．
即只需证明： ．
只需证明： ，即 ．
学科网（北京）股份有限公司 41令 ．
只需证明： ．
令 ．
则 ，即 在 上为增函数．
又 ．
所以 ．
综上所述，原不等式成立．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
19．已知函数 .
(1)求 在 上的最小值.
(2)设 ，若 有两个零点 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，令 ，利用导数可知当 时， ，由此可知 ，得到
单调性，由最值定义可求得结果；
（2）求导后，根据 正负可确定 单调性，从而确定 的取值范围；采用分析法可知要证
，只需证得 ；令 ，利用导数可证得 ，结合
学科网（北京）股份有限公司 42（1）中结论可证得 ，由此可得结论.
【详解】（1） ，
令 ， ，
则当 时， 恒成立， 在 上单调递增， ；
又当 时， ， ， 在 上单调递增，
.
（2）由题意得： ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
有两个零点 ， ， ；
要证 ，只需证 ，
又 ， ， 在 上单调递减， 只需证 ，
又 ， 只需证 ，
即证： ；
设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 43在 上单调递增， ，
；
由（1）知： ， 成立，
综上所述： .
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数的最值、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是利
用极值点偏移的思想进行分析，将所证不等式转化为 的证明，通过构造函数，结合导数知
识证得 成立.
20．已知 是实数，函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个相异的零点 且 ，求证： ．
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）求定义域，求导，对 进行分类讨论，求出 单调性；（2）先结合第一问得到 ，
且得到 ，将不等式变形为 ，故构造函数 ， ，进行证
明.
学科网（北京）股份有限公司 44【详解】（1） 的定义域为 ， ，当 时， 恒成立，故 在
上单调递减；
当 时，令 得： ，令 得： ，故 在 上单调递增，在
上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减；
（2）由（1）可知，要想 有两个相异的零点 ，则 ，不妨设 ，因为
，所以 ，所以 ，要证 ，即证
，等价于 ，而 ，所以等价于证明 ，即
，
令 ，则 ，于是等价于证明 成立，
设 ，
，所以 在 上单调递增，
故 ，即 成立，
所以 ，结论得证.
4.乘积含参型
21．已知函数 有两个不同的零点 .
学科网（北京）股份有限公司 45(1)求 的最值；
(2)证明： .
【答案】(1) ，无最小值
(2)见解析
【分析】（1）求出导函数，由函数 有两个不同的零点，则 在 内必不单调，得 ，进而
得到函数的单调性，即可求出函数的最值．
（2）由题意转化为证明 ，不妨设 ，令 ，只需证明
，设 ，根据函数的单调性，即可作出证明．
（1）
， 有两个不同的零点，
∴ 在 内必不单调，故 ，
令 ，解得 ，
∴ 在 上单增， 上单减，
∴ ，无最小值．
（2）
由题知 两式相减得 ，即 ，
故要证 ，即证 ，即证 ，
不妨设 ，令 ，则只需证 ，
学科网（北京）股份有限公司 46设 ，则 ，
设 ，则 ，∴ 在 上单减，
∴ ，∴ 在 上单增，
∴ ，即 在 时恒成立，原不等式得证．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计
算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进
行： (1)考查导数的几何意义； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)
利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．
22．已知 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值点个数；
(2)若存在 ， ，使 ，求证： ．
【答案】(1)函数 的极值点有且仅有一个
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数进行求导，然后分 和 两种情况对函数的单调性进行研究，即可得到答案；
（2）由 可得 （*），通过证明 单
调递增，（*）转化为 ，接着证明 成立，即可求解
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，
故 在 上单调递增，不存在极值点；
当 时，令 ，则 总成立，
学科网（北京）股份有限公司 47故函数 即 在 上单调递增，
且 ， ，所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
故在 上存在唯一极值点，
综上，当 时，函数 的极值点有且仅有一个．
（2）由 知 ，
整理得， （*），
不妨令 ，则 ，故 在 上单调递增，
当 时，有 ，即 ，
那么 ，
因此，（*）即转化为 ，
接下来证明 ，等价于证明 ，
不妨令 （ ），
建构新函数 ， ，则 在 上单调递减，
所以 ，故 即 得证，
由不等式的传递性知 ，即 ．
学科网（北京）股份有限公司 48【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
23．已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若存在 ，且当 时， ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，分别在 和 的情况下，根据导函数正负确定单调区间和极值；
（2）设 ，由导数可确定 单调递增，推导可得 ；令
，利用导数可求得 ，利用 推导可得 ，
由此可知 ，进而证得结论.
【详解】（1） ， 且 定义域为 ；
当 时， ， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间和极值；
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ；
的极小值为 ，无极大值；
学科网（北京）股份有限公司 49综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间和极值；当 时， 的单
调递减区间为 ；单调递增区间为 ；极小值为 ，无极大值.
（2）不妨设 ，由 得： ；
设 ，则 ，
在 上单调递增， ，
即 ，
，
；
设 ，则 ，
在 上单调递减， ，
， ， ，
， ，
即 ， .
24．已知函数 ， .
(1)求证： ， ；
学科网（北京）股份有限公司 50(2)若存在 、 ，且当 时，使得 成立，求证： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数 ，其中 ，利用导数分析函数 在 上的单
调性，可得出 ，即可证得结论成立；
（2）先证明对数平均不等式 ，其中 ，分析可知 ，不妨设 ，
由已知条件推导出 ，再结合对数平均不等式可证得结论成立.
【详解】（1）证明：构造函数 ，其中 ，
则
，
因为 ，则 ， ，
即当 时， ，所以，函数 在 上单调递减，
故当 时， ，即 .
（2）证明：先证明对数平均不等式 ，其中 ，
即证 ，
学科网（北京）股份有限公司 51令 ，即证 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
本题中，若 ，则 ，
此时函数 在 上单调递减，不合乎题意，所以， ，
由（1）可知，函数 在 上单调递减，不妨设 ，则 ，
则 ，即 ，
所以， ，
因为 ，则 ，
所以， ，
所以， ，
所以， ，所以， ，
由对数平均不等式可得 ，可得 ，所以， .
【点睛】方法点睛：应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
学科网（北京）股份有限公司 5225．已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 上有两个不相等的零点 ，求证： .
【答案】(1)当 时， 单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）先求定义域，再求导，对 进行分类讨论，利用导函数的正负，求出函数 的单调性；
（2）对要证明的不等式进行变形，然后构造函数进行证明.
【详解】（1） ， .
①当 时， 恒成立， 单调递增；
②当 时，由 得， ， 单调递增，
由 得， ， 单调递减.
综上：当 时， 单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上
单调递减.
（2）∵ 在 上有两个不相等的零点 ， ，不妨设 ，
∴ 在 上有两个不相等的实根，
令 ， ，∴ ，
由 得， ， 单调递减，由 得， ， 单调递增，
， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司 53∴
要证 ，即证 ，又∵ ，
只要证 ，即证 ，
∵ ，即证
即证 ，即证 ，即证
令 ， ，∴ ，
令 ， ，则 ，当 时， 恒成立，所以
在 上单调递增，又 ，∴ ，∴ ，∴
∴ 在 上递增，∴ ，∴
∴ .
5.平方型
26．已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ， ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）求得 的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得 的导数，判断 不成立，设 ， ，求得导数，判断 的单调性，
得到 ， 的不等式，再运用分析法，结合构造函数法，求得导数，判断单调性，即可得证．
学科网（北京）股份有限公司 54【详解】（1）当 时， ，导数为 ，
可得切线的斜率为 ，且 ，
所以切线的方程为 ，
即为 ；
（2）证明：由题意可得 ，
若 ，则 ，所以 在 递增，
因此不存在 ，使得 ，所以 ；
设 ， ，则 ，
令 ， ，
所以 在 递减，又 ，所以 在 恒成立，
从而 在 递减，从而 .①
又由 ，可得 ，
所以 .②
由①②可得 .
又因为 ，所以 ，
因此要证 ，
只需证明 ，
即证 ，③
设 ， ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 55所以 在 上为增函数，
又因为 ，所以 ，即③式成立.
所以 获证.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
27．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若 ，且 ，证明: .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分 ， 两种情况，分别研究 的正负，即可得到 的单调性；（2）将
已知的方程两边同时取对数，得到 ，由 进行分析，利用（1）中的结论，不妨令
，分 或 两种情况求解，构造函数 ，利用导数研究其性质，结
合不等式的性质及基本不等式，即可证明.
【详解】（1）
当 时， ， ， 所以 单调递增； ， ， 所以 单调递减；
当 时， ， 所以 单调递减； ， 所以 单调递增；
（2）证明：
， ∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 56即当 时，
由（1）可知，此时 是 的极大值点，因此不妨令
要证 ，即证：
①当 时， 成立；
②当 时
先证
此时
要证 ，即证： ，即 ，即
即： ①
令 ，
∴
∴ 在区间 上单调递增
∴ ，∴①式得证.
∴
∵ ，
∴ ∴ ∴
28．已知函数 ， ．
(1)若 ，求 的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司 57(2)证明：若存在 ， ，使得 ，则 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数后可得函数的单调性，结合单调性可求最大值，从而可求参数的取值范围.
（2）利用极值点偏移可证 ，结合不等式放缩可证 .
【详解】（1） ， ，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 单调递减，
所以 ，要使 ，则有 ，而 ，故 ，
所以 的取值范围为 ．
（2）证明：当 时，由（1）知，当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
设 ，所以 ， ，
①若 ，则 ，成立；
②若 ，先证 ，此时 ，
要证 ，即证 ，即 ， ，
令 ， ，
，
所以 在(1,2)上单调递增，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 58即 ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
即 ．
1．已知函数 的图像在点 处的切线方程为 .
(1)求实数 ， 的值及函数 的单调区间；
(2)当 时，比较 与 （ 为自然对数的底数）的大小.
【答案】(1) ， ，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据导数几何意义即可求出 ， 的值，根据导数和函数的单调性的关系即可求出；
（2）当 时， ，设 ，当 时，显然成立，当 时，
构造函数，根据函数的单调性即可证明.
（1）
解：因为 ，所以 ，
函数 图象在点 处的切线方程为 ，
，
，定义域为 ，
时 ，当 时 ，
学科网（北京）股份有限公司 59的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
（2）
解：当 时， ，
下面证明结论，
当 时， ，由（1）可知 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
又 ，
若 ，则 ， 都大于1，且必有一个小于 ，一个大于 ，
设 ，
当 时，显然 ，
当 时，
，
设 ， ，
，
，
，
，
在 上单调递增，
，
，
，
，
学科网（北京）股份有限公司 60在 上单调递增，
，
，
综上所述，当 时，
2．已知函数 ， ， 是曲线 上两个不同的点.
(1)求 的单调区间，并写出实数 的取值范围；
(2)证明： .
【答案】(1) 的取值范围是 ；
(2)见解析.
【分析】（1）令 ，利用导数求出 的单调性，结合零点存在定理可求参数的取值范围.
（2）根据函数的单调性原不等式等价于 ，即是 ，根据导数研究函数的单
调性，可证明 ，原式可得证.
（1）
由题设可得 有两个不同的解，则 有两个不同的零点.
而 ，
由 得， ；由 得， ，
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
因为 有两个不同的零点，故 即 ，故 .
若 ，则当 时， 恒成立，
故此时 在 上没有零点， 在 上至多1个零点，矛盾.
学科网（北京）股份有限公司 61当 时， ，
下证：当 时， ，
证明：设 ，则 ，
所以 在 上为增函数，故 ，
故 .
所以当 时， ，
故当 时，有 ，
由零点存在定理及 的单调性可得 在 上有两个不同的零点.
故 的取值范围是 .
（2）
不妨设 ，
由(1)知， ，要证 ，只需证
因为 ，所以只需证 ，
只需证 ，只需证 ( )，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
故 在 上为减函数，故 即 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上恒成立，
故 .
学科网（北京）股份有限公司 623．已知 （ 为常数）.
(1)求 的极值；
(2)设 ，记 ，已知 为函数 的两个零点，求证： .
【答案】(1) 的极大值为 ，无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，判断单调性得极值即可；
（2）用导数判断出 的单调区间，构造函数 ,转化为 与 图象两交点的横
坐标为 ， , ，构造函数 和 比较大小，再在 上利用函数 单
调性得 .
（1）
,由 得 ，
且 时， ， 时， ，
故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以，函数 的极大值为 ，无极小值；
（2）
由 ，
，当 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
学科网（北京）股份有限公司 63由条件知 ，即 ,
构造函数 ,知 与 图象两交点的横坐标为 ， ,
，由 得 ， 时 ， 时 ，
易知函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
欲证 ，只需证 ，不妨设 ， ，
考虑到 在 上递增，只需证 ,
由 知，只需证 ,
令 ，
则 ，
即 单调增，注意到 ，
结合 知 ，即 成立，
即 成立.
【点睛】方法点睛:本题考查的是函数的极值问题和极值点偏移问题.求极值时要注意判断在导数为 的点两
侧的符号，异号时为极值点，要记得判断是极大值还是极小值 ，否则不是极值点;在第二问极值点偏移中，
要解决两个问题，一是在 上构造函数 和 比较大小，二是在 上利用函数
单调性.
4．设 .
(1)令 ，求 的单调区间；
学科网（北京）股份有限公司 64(2)当 时，直线 与 的图像有两个交点 ，且 ，求证： .
【答案】(1)当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时，函数 的
单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得 的表达式，对 求导，讨论 与0的大小关系，即可求出函数的单调区间；
（2） 由（1）知， ，根据单调性可知函数 在 处取得极小值也是最小值.构造函数
，利用导数求得 ，即有 ，根据单调性有 ，即有
.
（1）
由 ,
可得 ,
则 .
当 时, 时， ，函数 单调递增；
当 时， 时， ，函数 单调递增； 时， ，函数 单调
递减；
所以，当 时，函数 单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时，函数 单调递增
区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）
由（1）知， .
学科网（北京）股份有限公司 65当 时, 是增函数，
所以当 时， ，故 单调递减；
当 时， ，故 单调递增.
所以 在 处取得极小值，且 ，
所以 .
.
令 ，则 ，
于是 在 上单调递减，故 ，
由此得 即 .
因为 ， 在 单调递增，
所以 ，
即 .
【点睛】本题主要考查导数的应用.解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易
出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转
化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数
的判定转化为函数的单调性问题处理．
5．设 ，函数 ．
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
学科网（北京）股份有限公司 66（2）若 无零点，求实数 的取值范围；
（3）若 有两个相异零点 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析.
【分析】（1）求函数 的导数，当 时 ，点斜式写出切线方程即可；
（2）当 时，由 可知函数有零点，不符合题意；当 时，函数 有唯一零点
有唯一零点，不符合题意；当 时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不
等式，解之即可；
（3）设 的两个相异零点为 ， ，设 ，则 ， ，两式作差可得，
即 ，由 可得 即 ，
，设 上式转化为 ，构造函数 ，证
（1） 即可．
【详解】解：（1）函数的定义域为 ， ，
当 时， ，则切线方程为 ，即 ．
（2）①若 时，则 ， 是区间 上的增函数，
∵ ， ，
∴ ，函数 在区间 有唯一零点；
②若 ， 有唯一零点 ；
③若 ，令 ，得 ，
在区间 上， ，函数 是增函数；
在区间 上， ，函数 是减函数；
学科网（北京）股份有限公司 67故在区间 上， 的极大值为 ，
由于 无零点，须使 ，解得 ，
故所求实数 的取值范围是 ．
（3）证明：设 的两个相异零点为 ， ，设 ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，故 ，故 ，
即 ，即 ，
设 上式转化为 （ ），
设 ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造函
数法，以及转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．
6．已知函数 .
（1）求 的最小值；
（2）若方程 有两个根 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
学科网（北京）股份有限公司 68【分析】（1）先求得定义域为 ，求导得 ，利用导数判断函数的单调性，
再求函数的最小值；
（2）首先转化为 ，即 .要证 ，需证 ，再换元，
，构造函数 ，构造函数求最小值，即可证明.
【详解】（1） ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的最小值为 .
（2）若方程 有两个根 ，
则 ，即 .
要证 ，需证 ，即证 ，
设 ，则 等价于 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，即 ，故 .
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，求极值和最值，构造函数证明不等式.第一问是一
个常见的求导后求单调区间、极值和最值的题目，求解过程注意定义域必须先求出来.第二问是极点偏移问
题.先用分析法分析，然后构造函数 后，利用导数求得函数 是一个增函数，然后根据单调性就可
以证明原不等式成立.
7．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
学科网（北京）股份有限公司 69（2）若函数 的两个零点为 ，证明： .
【答案】（1）单调性见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）对函数求导，根据参数 的符号确定导函数的符号，求出单调性；
（2）构造对称函数，利用函数的单调性证明即可.
【详解】（1） ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ，得 ， 在 上单调递增； ，得 ， 在 上单调
递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减；
（2）若函数 的两个零点为 ，由（1）可得 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减， ，即 .
令 ，则 ，所以 ，
由（1）可得 在 上单调递增，所以 ，故 .
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明不等式.第一问是一个常见的求导后对参
数进行分类讨论的题，求导通分后分子是一个一次函数，则只需要分成两类，结合图象来讨论即可.第二问
是极点偏移问题.构造函数 后，利用导数求得函数 是一个减函数，然后根据单调性就可以证明原
不等式成立.
8．已知函数 在 （ 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数 的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司 70（2）记函数 的两个零点为 ， ，证明： ．
【答案】（1） （2）详见解析
【分析】（1）由题意得 可求 ，再根据导函数零点确定函数单调性变化规律：函数 在
上递增，在 上递减，结合函数在端点处变化趋势，确定函数有两个零点的条件：
， （2）本题实质为极值点偏移，先转化不等式： 为 ，由
，再转化为 ，由 解得 ，从而转化为
，即 ．令 ，转化为 ，然后构造函数
，只需证明其最小值大于零．利用导数可得 在 单调递增，因此
【详解】（1） ，
由 ，且当 时， ，当 时， ，
所以 在 时取得极值，所以 ，
所以 ， ， ，函数 在 上递增，在 上递减， ，
时 ； 时， ， 有两个零点 ， ，
故 ， ；
学科网（北京）股份有限公司 71（2）不妨设 ，由题意知 ，
则 ， ，
欲证 ，只需证明： ，只需证明： ，
即证： ，
即证 ，设 ，则只需证明： ，
也就是证明： ．
记 ， ，∴ ，
∴ 在 单调递增，
∴ ，所以原不等式成立，故 得证．
9．已知函数 .
（1）证明：曲线 在点 处的切线 恒过定点；
（2）若 有两个零点 ， ，且 ，证明： .
【答案】（1）恒过定点 ，证明见解析；
（2）证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出曲线在点 处的切线方程，进而可证得结论；
（2）令 ，可得 ，构造 ，用导数可证得 在
学科网（北京）股份有限公司 72上单调递增，则 ，即 ，故 .
【详解】（1）函数 的定义域为 ，由 ，得 ，则
，又 ，则曲线 在点 处的切线 的方程为 ，
即 ，显然恒过定点 .
（2）若 有两个零点 ， ，则 ， ，得
.
因为 ，令 ，则 ，
得 ，则 ，
所以 .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，所以 .
所以 ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故 .
【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：构造 ，用导数证得 在
学科网（北京）股份有限公司 73上单调递增，进而得到 .
10．已知 ．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，若关于x的方程 存在两个正实数根 ，证明： 且
．
【答案】（1）减区间为： ，增区间为： ；（2）证明见解析．
【分析】（1）对函数求导，根据导数与0的关系，判断函数单调区间；
（2）方法一：由条件，分离参数 ，令 ，利用导数研究函数单调区间及最值情况，利
用数形结合将问题转化为图像交点问题，从而证得参数a的取值范围；令 ，将证明的结论等
价转化为 ，从而 ，令
，通过导数研究其最大值情况，从而证明结论；
方法二：令 ，通过导数求得单调区间，若,有两个零点，只需最小值小于0，从而求得参数
a取值范围；令 ，则 ，变形整理 ，要证 ，则只需证
，即只要证 ，结合对数函数 的图象可知，只需要证 两
点连线的斜率要比 两点连线的斜率小即可．
【详解】（1）解： 的定义域为 ，
学科网（北京）股份有限公司 74又 由 得 ，
当 时， ，
当 时， ，
的减区间为： ，增区间为： ，
（2）证明：方法一：由 存在两个正实数根 ，
整理得方程 存在两个正实数根 ．
由 ，知 ，
令 ，则 ，
当 时， 减函数；当 时， 增函数．
所以 ．
因为 ．所以 的值域为 ，
问题等价于直线 和 有两个不同的交点．
，且 ，
所以 ，从而 ．
令 ，则 ，解得 ，
，而 ，
学科网（北京）股份有限公司 75下面证明 时， ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
在 为减函数， ，
在 为减函数， ，
在 为减函数， ，即 ．
方法二：由 存在两个正实数根 ，
整理得方程 存在两个正实数根 ．
由 ，知 ，
令 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减．
所以 ．
因为 有两个零点，即 ，得 ．
因为实数 是 的两个根，
所以 ，从而 ．
学科网（北京）股份有限公司 76令 ，则 ，变形整理 ，
要证 ，则只需证 ，即只要证 ，
结合对数函数 的图象可知，只需要证 两点连线的斜率要比 两点
连线的斜率小即可．
因为 ，所以只要证 ，整理得 ．
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，即 ，
所以 成立，故 成立．
【点睛】方法点睛：通过导数研究函数的单调区间，最值情况以及交点，零点情况；带参数时，可以分离
参数或者带参分类讨论这两种方法来求得参数取值范围；对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量
间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论.
11．已知定义在 上的函数 ．
（1）若 为定义域上的增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 ， ， ， 为 的极小值，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）由单调性可知 在 上恒成立，分离变量可得 ；利用导数可求得
的最大值，由此可得 的范围；
（2）利用导数，结合零点存在定理可确定 ， 在 上单调递减，在 上单调递增；
学科网（北京）股份有限公司 77构造函数 ，利用导数可求得 单调性，得到 ，从
而得到 ，根据自变量的范围，结合 在 上的单调性可证得结论.
【详解】（1）由 得： ．
为 上的增函数， 在 上恒成立，
即 ，
令 ，则 ，
在 上单调递减， ，即 ，
，即实数 的取值范围为 .
（2）当 时， ，则 ，
， 在 上单调递增，
又 ， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，则 为 的极小值.
设 ， ， ， ，
设 ，
， ．
， ，又 ， ，
在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司 78，
， 在 上单调递增，
，
， ， ，
又 在 上单调递减， ，即 .
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于 （ 为 的两根）的问题的基本步
骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证得结论.
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