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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
考点 01 集合
考点01 集合的含义
例1.下列四个说法中正确的个数是（ ）
①集合N中最小数为1；
②若a N，则﹣a N；
③若a∈N，b N，∉则a+b的最小值为2；
④所有∈小的正∈数组成一个集合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】直接由元素与集合的关系逐一核对4命题得答案．
【解答】解：①集合N中的最小数为0，∴①错误；
0 N，则﹣0 N，∴②错误；
③若a N，b N，则a+b的最小值为2，错误，当a＝b＝0时，a+b＝0；
② ∈ ∈
④所有小的正数组成一个集合错误，违背集合中元素的确定性；
∈ ∈
故选：A．
【知识点】集合的含义
练习：
1.集合M＝{（1，2），（2，1）}中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，写出集合M的元素，分析即可得答案．
【解答】解：根据题意，集合M＝{（1，2），（2，1）}中元素为（1，2）和（2，1），
共2个元素，
故选：B．
【知识点】集合的含义
2.已知R是实数集，集合 ，则阴影部分表示的集合是（ ）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（0，1）
【答案】B
【分析】由图观察利用集合的表示法中的描述法表达阴影部分即可；
【解答】解：已知R是实数集，集合 ，
阴影部分表示的集合是：（
∁R
A）∩B＝{x|0＜x≤1}；即：（0，1]
故选：B．
【知识点】集合的含义
3.（多选题）下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数
D．清华大学2020年入学的全体学生
【答案】BD
【分析】根据集合的定义进行判断即可．
【解答】解：A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不不能，
C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不不能，
∴根据集合元素的确定性可知，B，D，都不能构成集合，
故选：BD．
【知识点】集合的含义
4.对于函数y＝f（x）和其定义域的子集D，若存在常数M，使得对于任意的x D，存在唯一的x D，满
1 2
∈ ∈
足等式 ，则称M为f（x）在D上的均值．下列函数中以 为其在（0，+∞）上的唯
一均值的是 ．
① ； ② ； ③y＝﹣x2+1； ④y＝x﹣1．【答案】①②④
【分析】根据新定义直接判断即可．
【解答】解：对于函数①y＝（ ）x；定义域为（0，+∞），值域为0＜y＜1．对于∀x （0，+∞），
1
∈
∃x （0，+∞）．使 成立，故①对．
2
∈
对于函数②y＝ ，可直接取任意的x （0，+∞），验证求出唯一的x ＝ ，即可得到成
1 2
立．故②对． ∈
对于函数③y＝﹣x2+1，取任意的 x （0，+∞）， ＝ ＝ ，x ＝±
1 2
∈
，可以两个的x D．故不满足条件．
2
对于函数④ y＝x﹣1，定义域为 R，值域为 R 且单调，显然必存在唯一的 x D，使
∈ 2
∈
＝ 成立．故④对．
故答案为：①②④
【知识点】集合的含义
考点02 集合的关系
例2.设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{1，m}，且A∩B有4个子集，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，1）∪（1，3）
C．（﹣2，3） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
【答案】B
【分析】可求出A＝{x|﹣2＜x＜3}，根据题意可得出A∩B＝{1，m}，然后即可得出m A且m≠1，从而可
得出m的取值范围．
∈
【解答】解：A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{1，m}，A∩B有4个子集，
∴A∩B＝{1，m}，
∴m A且m≠1，
∴m的取值范围是（﹣2，1）∪（1，3）．
∈
故选：B．
【知识点】子集与真子集、交集及其运算
练习：
1.已知集合A＝{x|x2﹣ax＝0}，B＝{x|x2+4x+3＝0}，若A∪B所有子集的个数为8，则a可能的取值组成的
集合为（ ）A．{﹣1，﹣3} B．{0，﹣1，﹣3} C．{0，﹣3} D．{0，﹣1}
【答案】B
【分析】根据题意可知，A∪B有3个元素，并且A＝{x|x（x﹣a）＝0}，B＝{﹣1，﹣3}，从而可得出a的
所有可能取值，即得出a可能的取值组成的集合．
【解答】解：∵A∪B的所有子集个数为8，
∴A∪B有3个元素，
又A＝{x|x（x﹣a）＝0}，B＝{﹣1，﹣3}，
∴a＝0或﹣1或﹣3，
∴a可能的取值组成的集合为{0，﹣1，﹣3}．
故选：B．
【知识点】并集及其运算、子集与真子集
2（多选题）.已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2， }，若B A，则实数a的值可能是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2
⊆
D．2
【答案】ABC
【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．
【解答】解：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2， }，B A，
若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合题意，A对；
⊆
若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合题意，B对；
若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合题意，C对；
若a＝1，A＝（﹣∞，1]，不符合题意，D错；
故选：ABC．
【知识点】集合的包含关系判断及应用
3.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方
子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成
“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为 ．
【分析】讨论a＝0和a＞0，求得集合B，再由新定义，得到a的方程，即可解得a的值．
【解答】解：集合A＝{﹣1，2}，
B＝{x|ax2＝2，a≥0}，
若a＝0，则B＝∅，
即有B A；
⊆
若a＞0，可得B＝{﹣ ， }，
不满足B A；
若A，B两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
⊆
可得 ＝2或﹣ ＝﹣1，解得a＝ 或a＝2．
综上可得，a＝0或 或2；故答案为：{0， ，2}．
【知识点】子集与真子集
4.在平面直角坐标系 xOy 中，设点的集合 A＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2＝a2}，
，且A B，则实数a的取值范围是 ．
⊆
【分析】①当a＝0时显然满足题意，
②当a≠0时，因为A B，由圆与直线的位置关系可知：圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝a2与直线x＝
⊆
3，x+y﹣4＝0，x﹣y+2a＝0的位置如图所示，又圆心到直线x+y﹣4＝0的距离为：
＝ ，圆心到直线x﹣y+2a＝0的距离为： ＝|a|，由图得： ，即0
，综合①②可得解．
【解答】解：①当a＝0时显然满足题意，
②当a≠0时由图可知：
圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝a2
与直线x＝3，x+y﹣4＝0，x﹣y+2a＝0的位置如图，
圆心到直线x+y﹣4＝0的距离为： ＝ ，
圆心到直线x﹣y+2a＝0的距离为： ＝|a|，
由图得： ，
即0 ，
综合①②得：
实数a的取值范围是：0 ，
故答案为：[0， ]【知识点】集合的包含关系判断及应用
考点03 集合的运算
例1.已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，则（
∁U
A）
⋃
（
∁U
B）＝（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4]
C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4] D．（﹣3，4]
【答案】B
【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B补集的并集即可．
【解答】解：∵全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，
∴
∁U
A＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，
∁U
B＝{x|x＜﹣3或2＜x≤4}
∴（
∁U
A）
⋃
（
∁U
B）＝（﹣∞，﹣2]∪（2，4]．
故选：B．
【知识点】交、并、补集的混合运算
练习：
1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|log
2
x≤1}，则A∩（
∁U
B）＝（ ）
A．（2，3] B．∅ C．[﹣1，0）∪（2，3] D．[﹣1，0]∪（2，3]
【答案】D
【分析】求出集合A，集合B，从而得到
∁U
B，由此能求出A∩（
∁U
B）．
【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
集合B＝{x|log x≤1}＝{x|0＜x≤2}，
2
∴
∁U
B＝{x|x≤0或x＞2}，
∴A∩（
∁U
B）＝{x|﹣1≤x≤0或2＜x≤3}＝[﹣1，0]∪（2，3]．
故选：D．
【知识点】交、并、补集的混合运算
2.已知集合A，B，定义A﹣B＝{x|x A且x B}，A+B＝{x|x A或x B}，则对于集合M，N下列结论一定正
∈ ∉ ∈ ∈确的是（ ）
A．M﹣（M﹣N）＝N B．（M﹣N）+（N﹣M）＝∅
C．（M+N）﹣M＝N D．（M﹣N）∩（N﹣M）＝∅
【答案】D
【分析】根据题中的新定义表示出M﹣N，N﹣M，即可做出判断．
【解答】解：根据题中的新定义得：M﹣N＝{x|x M且x N}，N﹣M＝{x|x N且x M}，
则（M﹣N）∩（N﹣M）＝∅．
∈ ∉ ∈ ∉
故选：D．
【知识点】交、并、补集的混合运算
3.（多选题）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（ ）
A．A∩B＝{0，1} B．
∁U
B＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8
【答案】AC
【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．
【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，
∴A∩B＝{0，1}，故A正确，
B＝{2，4}，故B错误，
U
A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，
∁
集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误
故选：AC．
【知识点】交、并、补集的混合运算
4.设全集U＝{x|0＜x＜6，x N}，A＝{x|x2﹣5x+q＝0}，B＝{x|x2+px+12＝0}，（
∁u
A）∪B＝{1，3，4，
5}，则集合B＝ ∈
【答案】{3，4}
【分析】全集U＝{x|0＜x＜6，x N}＝{1，2，3，4，5}，根据（
∁u
A）∪B＝{1，3，4，5}，可得2 A，进
而解得q．可得A，
∁u
A，可得3 B．解得p，即可得出B．
∈ ∈
【解答】解：全集U＝{x|0＜x＜6，x N}＝{1，2，3，4，5}，
∈
∵（
∁u
A）∪B＝{1，3，4，5}，
∈
∴2 A，
∴22﹣5×2+q＝0，解得q＝6．
∈
∴x2﹣5x+6＝0，解得x＝2，3．
∴A＝{2，3}，
∴
∁u
A＝{1，4，5}，
∴3 B．
∴32+3p+12＝0，解得p＝﹣7．
∈
由x2﹣7x+12＝0，解得x＝3，4．
∴B＝{3，4}．
故答案为：{3，4}．【知识点】交、并、补集的混合运算
1.设集合A＝〈x|x2≤x}，B＝{x| ≥1}，则A∩B＝（ ）
A．（0，1] B．[0，1]
C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，0）∪（0，1]
【答案】A
【分析】本题先计算集合A和集合B中的不等式，分别得到解集，再进行集合运算即可得到正确选项．
【解答】解：∵A＝〈x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，B＝{x| ≥1}＝{x|0＜x≤1}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}，即A∩B＝（0，1]．
故选：A．
【知识点】交集及其运算
2.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝3x﹣2x+1，x Z}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，1} C．∈{﹣1，0} D．{0，1}
【答案】B
【分析】依据交集的性质可知，所得交集是A的子集，分别讨论y＝﹣1，0，1是2是否有满足条件的整数
解即可．
【解答】解：当﹣1 B即3x﹣2x+1＝﹣1时，解得：x＝0，满足题意；
当0 B即3x﹣2x+1＝0时，3x＝2x+1，
∈
∈
即 ，
显然没有整数解，
故0 B；
当1 B即3x﹣2x+1＝1时，解得x＝2，符合题意．
∉
故A∩B＝{﹣1，1}．
∈
故选：B．
【知识点】交集及其运算
3.某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是 8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班
的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别
为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n
（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且 n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．
【解答】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数
分别为n（A），n（B），n（C），
则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，
因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n
（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n
（A∩B∩C），
所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤ ＝6．
故选：C．
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
4.已知集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以
（﹣1）k再求和，例如A＝{2，3，8}，则可求得和为（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）8•8＝7，对S的所
有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．508 B．512 C．1020 D．1024
【答案】B
【分析】根据集合S，求出它的非空子集A的个数，在所有子集中，各个元素出现的次数，即可解答．
【解答】解：S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对它的非空子集A共有255个，
其中1，2，3，4，5，6，7，8都出现了27次
依题意得：27[（﹣1）1•1+（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）4•4+（﹣1）5•5+（﹣1）6•6+（﹣
1）7•7+（﹣1）8•8]＝512．
故选：B．
【知识点】子集与真子集
5.对于任意集合A，设f （x）＝ ，已知集合S，T X，则对任意的x X，下列说法错误的是（
A
⊆ ∈
）
A．S T f（x）≤f （x） B．f （x）＝1﹣f（x）
S T S
⊆ ⇔
C．f （x）＝f（x）•f （x） D．f （x）＝f（x）+f （x）
S∩T S T S∪T S T
【答案】D【分析】根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运
算加以验证，可得A、B、C都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得
到本题答案．
【解答】解：对于A，因为S T，可得x S则x T，
⊆ ∈ ∈
∵f （x）＝ ，
A
所以f（x）＝ ＝ ，f （x）＝ ，
S T
而
∁X
S中可能有T的元素，但
∁X
T中不可能有S的元素
∴f（x）≤f （x），
S T
即对于任意x X，都有f（x）≤f （x）故A正确；
S T
∈
∵f （x）＝ ，
结合f（x）的表达式，可得f （x）＝1﹣f（x），即f（x）+f （x）＝1，故B正确；
S T S S T
对于C，f （x）＝ ＝ ═ •
S∩T
＝f（x）•f （x），
S T
故C正确；
∵f （x）＝ ，
S∪T
当某个元素x在S中但不在T中，由于它在S∪T中，故f （x）＝1，
S∪T
而f（x）＝1且f （x）＝0，可得f （x）≠f（x）•f （x），
S T S∪T S T
由此可得D不正确．
故错误的是D．
故选：D．
【知识点】集合的包含关系判断及应用
6.已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝ ．
【分析】利用集合交并运算的定义寻求A，B的关系是解决本题的关键．再根据集合相等确定未知数的等
式关系，通过解方程组求解出所求的实数a值．注意元素互异性的应用．
【解答】解：由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性，
所以有 或 ，解得 或 ，故a＝0或 ．
答案：0或
【知识点】交、并、补集的混合运算
7.已知函数f（x）＝x2+ax+a，A＝{x R|f（x）≤x}，B＝{x R|f[f（x）]≤f（x）}，A≠∅，A B，则实数a
的取值范围是 ． ∈ ∈ ⊆
【分析】方法一：设f （x）＝f[f （x）]，f （x）＝x，由题意方程f（x）＝x的存在实根，且都在函数y
n n﹣1 0
＝f（x）的对称轴右侧（含对称轴）．因此有 ；解出即可得出．
解法二：设x ，x （x≤x ）是方程f（x）＝x的两个实根，则f（x）﹣x＝（x﹣x ）（x﹣x ）f
1 2 1 2 1 2
（f（x））﹣f（x）＝（f（x）﹣x ）（f（x）﹣x ）＝[f（x）﹣x+x﹣x][f（x）﹣x+x﹣x]，由
1 2 1 2
题意，对任意x≤x≤x 时，f（f（x））﹣f（x）≤0即x﹣x+1≥0，利用根与系数的关系、不
1 2 1 2
等式的解法即可得出．
【解答】解：方法一：设f（x）＝f[f （x）]，f（x）＝x，由题意方程f（x）＝x的存在实根，
n n﹣1 0
且都在函数y＝f（x）的对称轴右侧（含对称轴）．因此有 ；
解得 或 ．
方法二：设x，x（x≤x）是方程f（x）＝x的两个实根，
1 2 1 2
则f（x）﹣x＝（x﹣x ）（x﹣x ）f（f（x））﹣f（x）＝（f（x）﹣x ）（f（x）﹣x ）＝[f
1 2 1 2
（x）﹣x+x﹣x][f（x）﹣x+x﹣x]
1 2
＝（x﹣x）（x﹣x）（x﹣x+1）（x﹣x+1）．
1 2 1 2
由题意，对任意x≤x≤x 时，f（f（x））﹣f（x）≤0即x﹣x+1≥0，
1 2 1 2
x2+ax+a＝x，即x2+（a﹣1）x+a＝0，
∴x+x＝1﹣a，xx＝a，
1 2 1 2
∴﹣ +1≥0，△＝（a﹣1）2﹣4a≥0．
解得： 或 ．．
故答案为： 或 ..
【知识点】集合的包含关系判断及应用
8.已知集合A＝{x| ＜2x＜8，x R}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1，x R}，若x B成立的一个充分不必要的条件是
x A，则实数m的取值范围是∈ ． ∈ ∈
【答∈案】（2，+∞）
【分析】化简集合A，利用x B成立的一个充分不必要的条件是x A，即可得出．
∈ ∈
【解答】解：∵ ＜2x＜8，∴﹣1＜x＜3．∴A＝（﹣1，3）．∵x B成立的一个充分不必要的条件是x A，
∴3＜m+1，解得m＞2．
∈ ∈
∴实数m的取值范围是（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件、集合关系中的参数取值问题
9.设集合A＝{2n|0≤n≤16，n N}，它共有136个二元子集，如{20，21}，{21，22}…等等．记这136个二元
∈
子集为B ，B ，B ，…B ，．设 ，定义S（B ）＝|x﹣y|，则S
1 2 3 136 1
（B）+S（B）+S（B）…+S（B ）＝ ．（结果用数字作答）
1 2 3 136
【答案】1835028
【分析】由题意可得：S（B ）+S（B ）+S（B ）…+S（B ）＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣
1 2 3 136
21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215），利用等比数列的求和公式即
可得出．
【解答】解：由题意可得：S（B）+S（B）+S（B）…+S（B ）
1 2 3 136
＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣
214）+（216﹣215）
＝ ﹣16×20+ ﹣15×21+……+ ﹣2×214+216﹣215
＝217×15+216﹣（2+22+……+215）﹣（16+15×21+……+2×214+215）
＝217×15+216﹣ ﹣（217﹣18）
＝217×14+20
＝1835028．
故答案为：1835028．
【知识点】子集与真子集
10.已知集合A，B都含有12个元素，A∩B含有4个元素，集合C含有3个元素，且满足C A∪B，
C∩A≠∅，C∩B≠∅，则满足条件的集合C共有 个． ⊂
【答案】1028
【分析】按照C中含有A∩B中元素个数分4类计算可得．
【解答】解：依题意设A＝{a ，a ，a ，a ，a ，a ，a ，a ，x ，x ，x ，x}，B＝{b ，b ，b ，b ，b ，
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 1 2 3 4 5
b，b，b，x，x，x，x}，
6 7 8 1 2 3 4
当C （A∩B）时，集合C共有 ＝4个；
⊆
当C中含有A∩B中2个元素时，集合C共有 • ＝96个；
当C中含有A∩B中1个元素时，集合C共有 • ＝480个；当C中不含A∩B中元素时，集合C共有 • + • ＝448个
故满足题意得C共有1028个．
故答案为：1028个．
【知识点】交、并、补集的混合运算
11.定义集合M与N的新运算如下：M*N={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}．若M={0，2，4，6，8，10，12}，
N={0，3，6，9，12，15}，则（M*N）*M= ．
【答案】N
【分析】方法一：M∩N={0，6，12}，M*N={2，3，4，8，9，10，15}．（M*N）*M={0，3，6，9，12，
15}=N．
方法二：如图所示，由定义可知M*N为图中的阴影区域，（M*N）*M为图中阴影Ⅱ和空白的区
域，（M*N）*M=N．
【解答】解：方法一：∵M∩N={0，6，12}，
∴M*N={2，3，4，8，9，10，15}．
∴（M*N）*M={0，3，6，9，12，15}=N．
方法二：如图所示，由定义可知M*N为图中的阴影区域，
∴（M*N）*M为图中阴影Ⅱ和空白的区域，
∴（M*N）*M=N．
【知识点】交、并、补集的混合运算
12.已知数集A＝{a ，a ，…a}（1≤a ＜a ＜…＜a ，n≥2）具有性质P：对任意的i、j（1≤i≤j≤n），
1 2 n 1 2 n
aa与 两数中至少有一个属于A，当n＝5时，若a＝2，则集合A＝
i j 2
【答案】{1，2，4，8，16}
【分析】推导出1＝ ∈A，a ＝1. ＝a ．当n＝5时，有 ＝a ， ＝a ，推导
1 n 2 3
出a，a，a，a，a 是首项为1，公比为a 等比数列．由此能求出集合A．
1 2 3 4 5 2
【解答】解：A＝{a，a，…，a}具有性质P，
1 2 n
∴aa 与 中至少有一个属于A，
n n
由于1≤a＜a＜…＜a，∴aa＞a
1 2 n n n n
故aa A．
n n
∉从而1＝ ∈A，a＝1．
1
∵1＝a＜a＜…a，n≥2，∴aa＞a（k＝2，3，4，…，n），
1 2 n k n n
故aa A（k＝2，3，4，…，n）．
k n
∉
由A具有性质P可知 ∈A（k＝2，3，4，…，n）．
又∵ ＜ ＜…＜ ＜ ，
∴ ＝1， ＝a，…， ＝a ，
2 n﹣1
从而 + +…+ + ＝a+a+…+a，
1 2 n
∴ ＝a．
n
当n＝5时，
有 ＝a， ＝a，即a＝a•a＝a2，
2 3 5 2 4 3
∵1＝a＜a＜…＜a，∴aa＞aa＝a，∴aa A，
1 2 5 3 4 2 4 5 3 4
∉
由A具有性质P可知 ∈A．
由a•a＝a2，得 ＝ ∈A，
2 4 3
且1＜ ＝a，∴ ＝ ＝a，
2 2
∴ ＝a，
2
即a，a，a，a，a 是首项为1，公比为a 等比数列．
1 2 3 4 5 2
∴集合A＝{1，2，4，8，16}．
故答案为：{1，2，4，8，16}．
【知识点】元素与集合关系的判断1.（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x R}，则下列关系中，正确的是（
） ∈ ∈
A．A B B． ∁R A R B C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R
【答案】⊆D ⊆∁
【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解答】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x R}，
解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x R}，
∈ ∈
R
A＝{x|x≤﹣1，x R}，
∁R
B＝{x|﹣1≤x≤2}；
∈
则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，
∁ ∈
故选：D．
【知识点】集合的包含关系判断及应用
2.（2020•新课标Ⅱ）已知集合 U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则
∁U
（A∪B）＝（ ）
A．{﹣2，3} B．{﹣2，2，3}
C．{﹣2，﹣1，0，3} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}
【答案】A
【分析】先求出A∪B，再根据补集得出结论．
【解答】解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，
则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，
则
∁U
（A∪B）＝{﹣2，3}，
故选：A．
【知识点】交、并、补集的混合运算
3.（2020•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a的方程，解方程可
得a．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣ a}，
由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣ a＝1，
则a＝﹣2．
故选：B．
【知识点】交集及其运算
4.（2020•山东）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（ ）A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
【答案】C
【分析】利用并集定义和不等式的性质直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|1≤x＜4}．
故选：C．
【知识点】并集及其运算
5.（2020•浙江）已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（ ）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|3≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
【答案】B
【分析】直接利用交集的运算法则求解即可．
【解答】解：集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，
则P∩Q＝{x|2＜x＜3}．
故选：B．
【知识点】交集及其运算
6.（2020•江苏）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B＝ ．
【答案】{0，2}
【分析】运用集合的交集运算，可得所求集合．
【解答】解：集合B＝{0，2，3}，A＝{﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{0，2}，
故答案为：{0，2}．
【知识点】交集及其运算
7.（2020•上海）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝ ．
【答案】{2，4}
【分析】由交集的定义可得出结论．
【解答】解：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，
则A∩B＝{2，4}．
故答案为：{2，4}．
【知识点】交集及其运算
8.（2019•江苏）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x R}，则A∩B＝ ．
【答案】{1，6} ∈
【分析】直接利用交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x R}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x R}＝{1，6}．
∈
故答案为：{1，6}．
∈
【知识点】交集及其运算
9.（2020•上海）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A B，则a＝ ．
【答案】3 ⊆
【分析】利用集合的包含关系即可求出a的值．
【解答】解：∵3 A，且A B，∴3 B，∴a＝3，
∈ ⊆ ∈故答案为：3．
【知识点】集合的包含关系判断及应用
10.（2019•嘉定区一模）已知a ，a ，a 与b ，b ，b 是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a|+|x﹣a|+|x
1 2 3 1 2 3 1 2
﹣a|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|解集A是有限集，则集合A中，最多有 个元素．
3 1 2 3
【答案】1
【分析】由题意，可将关于x的方程|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|解的个数问题转化为f
1 2 3 1 2 3
（x）＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|，g（x）＝|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|两个函数图象交点个数问题，将
1 2 3 1 2 3
两个函数变为分段函数，由于两个函数都是折线，分别讨论折线端点处的函数值，作出符合题意
的图象，即可得出图象交点个数，从而得出方程解的个数
【解答】解：令f（x）＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|，g（x）＝|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|，
1 2 3 1 2 3
将关于x的方程|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|解的个数的问题转化为两个函数图象
1 2 3 1 2 3
交点个数的问题
不妨令a＜a＜a＜，b＜b＜b，
1 2 3 1 2 3
由于f（x）＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝ ，
1 2 3
g（x）＝|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|＝ ，
1 2 3
考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段拆线所组成的，且两条射线的斜率对应
相等，两条线段的斜率对应相等．
当a，a，a 的和与b，b，b 的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的
1 2 3 1 2 3
解集是有限集矛盾
不妨令a，a，a 的和小于b，b，b 的和即a+a+a＜b+b+b，﹣a﹣a﹣a＞﹣b﹣b﹣b，
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边 f（x）＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|的射线端点在
1 2 3
上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能．
不妨认为左边f（x）＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互
1 2 3
相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：
故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，
故答案为：1．【知识点】集合中元素个数的最值
11.（2018秋•杨浦区模拟）对任何有限集S，记p（S）为S的子集个数．设M＝{1，2，3，4}，则对所有
满足A B M的有序集合对（A，B），p（A）p（B）的和为
【答案】2⊆40⊆1
【分析】先由B为n（0≤n≤4）元集时，则p ＝2n，且B集合的个数为
（B）
然后在这种情况下分别讨论集合A的个数与集合A的子集个数，推导出通项公式，再将n＝
0，1，2，3，4代入计算即可．
【解答】解：当B为n（0≤n≤4）元集时，则p ＝2n，且B集合的个数为
（B）
又A B
⊆
则①A为n元集时，则p ＝2n且A的个数为
（A）
A为n﹣1元集时，则p ＝2n﹣1且A的个数为
（A）
以此类推
②
A为 元集时，p ＝20且A的个数为
（A）
③ Φ
则p P ＝ 2n（ + +…+ ）
（A） （B）
＝
＝
当n依次取0，1，2，3，4时
p p 的和为 + +…+ ＝2041
（A） （B）
故答案为：2401．【知识点】集合的包含关系判断及应用
12.（2019秋•浦东新区模拟）设集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x A时，若有x﹣
1 A且x+1 A，则称x为集合A的一个“孤立元素”．，那么集合S中所有无“孤立元∈素”的4元子集
有∉ 个．∉
【答案】6
【分析】由S＝{0，1，2，3，4，5}，结合x A时，若有x﹣1 A，且x+1 A，则称x为A的一个“孤立元
素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．
∈ ∉ ∉
【解答】解：∵S＝{0，1，2，3，4，5}，
其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：
共有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，
4，5}共6个
那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．
故答案为：6．
【知识点】子集与真子集
13.（2019•兰州模拟）设x，y R，集合A＝{（x，y）|ax+by+1＝0}，B＝{（x，y）|x2+y2＝1}，且A∩B是
一个单元素集合，若对所有∈的（a，b）∈{（a，b）|a＜0，b＜0}，则集合C＝{（x，y）|（x﹣a）2+（y
﹣b）2≤1}所表示的图形的面积等于 ．
【答案】2π
【分析】先根据A∩B是一个单元素集合，得到直线和圆相切，即a2+b2＝1，结合图象得到集合C的面积
＝半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的 ，问题得以解决．
【解答】解：集合A＝{（x，y）|ax+by+1＝0}，B＝{（x，y）|x2+y2＝1}，且A∩B是一个单元素集合，
∴直线和圆相切，
∴ ＝1，即a2+b2＝1，
∵（a，b）∈{（a，b）|a＜0，b＜0}，C＝{（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，
∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限）
∴如图所示，集合C中圆的边界的移动是半径的为1的圆的边界的移动就是沿着那个半径为2
的那个 圆弧上，
∴集合C的面积＝半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的 ，
∴集合C的面积＝ + ＝2 ，
故答案为：2 ．
π π π
π【知识点】集合的表示法
14.（2019秋•安庆模拟）已知函数 ，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||f（x）|≥1}，
若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是 ．
【答案】0＜t＜1
【分析】首先整理集合B，分两种情况来写出不等式，把含有绝对值的不等式等价变形，得到一元二次不
等式，求出不等式的解集，进一步求出集合 B的范围，根据两个集合只有一个公共元素，得到 t
的值．
【解答】解：∵
要解|f（x）|≥1，需要分类来看，
当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1
∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤﹣1
∴x≥2或x≤0或x＝1
∵x≥0
∴x≥2或x＝1或x＝0．
当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1
∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1
∴﹣2≤x≤0或x 或x
∵x＜0
∴﹣2≤x＜0或x
综上可知B＝{x|﹣2≤x≤0或x 或x≥2或x＝1}
∵集合A∩B只含有一个元素，
∴t＞0且t+1＜2
∴0＜t＜1
故答案为：0＜t＜1
【知识点】一元二次不等式及其应用、交集及其运算、集合关系中的参数取值问题
