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考向 03 不等式性质与一元二
次不等式
（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版）设 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
分析：求出 ，得到 的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条
件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的
理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
(3)解一元二次不等式的步骤：
第一步，将二次项系数化为正数；
第二步，解相应的一元二次方程；
第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解
方程出错；③结果未按要求写成集合．
(4)对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
一、不等式的基本性质
1、不等式的基本性质
（1）不等式的基本性质1
如果 ，那么 ，此性质称为不等式的传递性
（2）不等式的基本性质2
如果 ，那么 ，此性质称为不等式的加法性质（3）不等式的基本性质3
如果 ，那么 ，如果 ，那么 .此性质称为不等式的乘法性质
2、其他性质
（4） （同向相加性）；
（5） （同向相乘性，特别注意符号限制，需满足正号）；
（6） （可乘方性，特别注意符号限制，需满足正号）；
（7） （可开方性，特别注意符号限制，需满足正号）。
（8） （可倒性，特别注意符号性质，需满足正号）
3．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式．
4．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a
＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根x
1
没有实数根
＝0(a＞0)的根 x，x(x＜x) ＝x＝－
1 2 1 2 2
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解
{x |x ＞ x 或 x ＜ x } R
2 1
集
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解
{x |x ＜ x ＜ x }
1 2
集
5.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
解集
不等式
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x |x b } {x |x ≠ a } {x |x a }
(x－a)·(x－b)<0 {x |a 0(<0)时不要忘记a＝0时的情形．
(2)不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（ ）
A．ac+bd>ad+bc B．ac+bdbd D．ac0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·江苏南京市·高三一模）若 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．C． D．
6．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知两个不为零的实数 ， 满足 ，则下列说法
中正确的有（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三其他模拟）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ，则
8．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版））能够说明“设 是任意实
数,若 ,则 ”是假命题的一组整数 的值依次为__________.
9．（2021·浙江高三二模）已知 ， ，若对任意 ，不等式 恒成立，
则 的最小值为___________．
10．（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））定义在R上的奇函数 满足 ，当
时， ，则当 时，不等式 的解为___________.
11．（2021·新疆乌鲁木齐市·高三二模（文））不等式 的解集是___________.
12．（2020年江苏省高考数学试卷）设 ，解不等式 ．1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））设x、y、z为正数，且
，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
2．（广西玉林市陆川中学2018届高三期中考试数学（理）试题）若 ， ，则
A． B． C． D．
3．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷参考版））已知 ，且 ，
则
A．
B．
C．
D．
4．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版））设 ， ，则“
”是“ ”的
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷精编版））已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若 ，则
A．
B．
C．
D．
6．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷精编版））已知实数a，b，c.
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
1．【答案】A
【分析】
利用作差法可判断A、B，利用特值法可判断C、D.
【详解】
解：对于A、B：
a>b，c>d，
ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正确，B错误；
对于C：当b=0，c<0时，ac<0，bd=0，故C错误；
对于D：当a>b>0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；
故选：A.
2．【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举反例．
【详解】
因为 ，不等式两边同时减去 得 ，D正确，
若 ，则AB错误，若 ，C错误．
故选：D．
3．【答案】
【分析】
通过因式分解，解不等式．
【详解】
，
即 ，
即 ，
故 的取值范围是 ．
【点睛】
解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方
程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，
对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
4．【答案】
【分析】
根据特称命题为真命题，结合判别式可得结果.
【详解】
由题意可知，不等式 有解，
∴ ，∴实数 的取值范围为 ，
故答案为：
1．【答案】D
【分析】
A选项可以构造幂型函数来判断；B、D选项借用求导的手段求出函数单调性来判断大小关系；C选项利用
基本不等式可判断出大小关系.
【详解】
解：对于A： ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B：设 ，则 ，所以 上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对于C：已知 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时， 成立，故C正确；
对于D：令 ，则 ，
因为 ，所以 单调递增，则不存在 ，故D错误.
故选：D.
【点睛】
实数间的大小比较，常见解题思路如下(1)构造幂型函数、指数型函数、对数型函数，三角函数等、利用函数性质，结合函数图象进行实数间的
大小比较；
(2)利用基本不等式、不等式性质进行实数间的大小比较；
(3)利用导数判断函数单调性进行实数间的大小比较；
(4)利用函数单调性、对称性、奇偶性、周期性进行实数间的大小比较.
2．【分析】由给定条件分析出a>0，b<0及a与b间的关系，针对各选项逐一讨论即可得解.
【详解】
因 ， ，则a>0，b<0， ，A不正确； ，则 ，B不正确；
又 ，即 ，则 ， ，C正确；由 得 ，D不正确.
故选：C
3．【答案】D
【分析】
当 时，A,B,C均不成立，即可得到答案；
【详解】
对A，当 时，不等式无意义，故A错误；
对B，当 时， ，故B错误；
对C，当 时， ，故C错误；
对D，当 时， 成立，故D正确；
故选：D.
4．【答案】ABD
【分析】
根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】
对于A， ，当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核
心素养.
5．【答案】AC
【分析】
根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.
【详解】
对于A选项, 由于 ,故 ,所以 , 即 ,故A
选项正确;
对于B选项, 由于 ,故 , ,故 ,故B选项错误;
对于C选项, 因为 ,故 ,所以 ,所以 ,故C选项正
确;对于D选项,令 ,则 ,所以 不成立,故D选项错误;
故选:AC
【点睛】
本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等
式的性质或者作差法比较大小，进而判断.
6．【答案】AC
【分析】
对四个选项一一验证：
对于A：利用 为增函数直接证明；
对于B：取特殊值判断；
对于C：若 时，利用同向不等式相乘判断；若 时，有 ，直接判断；若
时，利用不等式的乘法性质进行判断
对于D：取特殊值判断；
【详解】
对于A：因为两个不为零的实数 ， 满足 ，所以 ，而 为增函数，所以 ，
即 ；故A正确；
对于B：可以取 ，则有 ，所以 ；故B不正确；
对于C：若 时，则有 根据同向不等式相乘得： ，即
成立；
若 时，有 ，故 成立；
若 时，则有 ， ，因为 ，所以 ，即 成立；
故C正确；对于D：可以取 ，则有 ，所以 ；故D不正确；
故选：AC
【点睛】
（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就
看可以了.
7．【答案】BC
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可求解.
【详解】
选项A：当 时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，
，所以本命题是真命题；
选项C: ，
，所以本命题是真命题；
选项D: 若 时， 显然不成立，所以本命题是假命题；
故选：BC．
8．【答案】
【解析】
试题分析： ，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进
行验证，答案不唯一．
9．【答案】
【分析】
考虑两个函数 ， ，由此确定 ， 时， ， 有相同的零
点，得出 的关系，检验此时 也满足题意，然后计算出 （用 表示），然后由基本不等式得
最小值．
【详解】
设 ， ，
图象是开口向上的抛物线，因此由 时， 恒成立得 ，
时， ， 时， ， 时， ，
因此 时， ， 时， ， ，
所以 ①， ②，
由①得 ，代入②得 ，因为 ，此式显然成立．
，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数 和，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数 的关系，
从而可求得 的最小值．
10．【答案】
【分析】
根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得 时对应的函数解析式，然后解一元二次不等式
即可.
【详解】
，函数周期为2；
当 时， ，
则当 时， ，
由 知，
当 时， ，
故 时，
则不等式 即 ，解得 ，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：难点在于求得函数在 对应的函数解析式，从而解一元二次不等式.11．【答案】
【分析】
由指数函数的单调性可得 ，求解即可.
【详解】
， ，即 ，解得 ，
故不等式的解集为 .
故答案为： .
12．【答案】
【分析】
根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
【详解】
或 或
或 或
所以解集为：
【点睛】
本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
1．【解析】
令 ，则 ， ，∴ ，则 ，
，则 ，故选D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的 ，通
过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与
1的对数表示.
2．【答案】C
【详解】
试题分析：用特殊值法，令 ， ， 得 ，选项A错误， ，选项B错误，
，选项D错误，
因为
选项C正确，故选C．
【考点】
指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】
比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比
较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
3．【答案】C
【详解】
试题分析：A：由 ，得 ，即 ，A不正确；B：由 及正弦函数的单调性，可知 不一定成立；
C：由 ， ，得 ，故 ，C正确；
D：由 ，得 ，但xy的值不一定大于1，故 不一定成立，故选C.
【考点】函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的
单调性.
4．【答案】C
【详解】
试题分析： ,所以充分性不成立； ，必要性成立，故选C.
【考点】充要条件的判断
【名师点睛】充要条件的三种判断方法：
1.定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假，并注意和图示相结合，例如“p q”为真，则p
是q的充分条件． ⇒
2.等价法：利用p q与非q 非p，q p与非p 非q，p q与非q 非p的等价关系，对于条件或结论是
否定式的命题，一⇒般运用等⇒价法． ⇒ ⇒ ⇔ ⇔
3.集合法：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
⊆
5．【答案】D
【详解】
试题分析： ，
当 时， ， ，
当 时， ，观察各选项可知选D.
【考点】对数函数的性质.
【易错点睛】在解不等式 时，一定要注意对 分为 和 两种情况进行讨论，否则很
容易出现错误．
6．【答案】D
【详解】
试题分析：采用排除法：A.令 可排除此选项，
B.令 可排除此选项，
C.令 可排除此选项，故选D．
【考点】不等式的性质．
【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用
赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．
