文档内容
考点 03 不等式（9 种题型 11 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考2，第12题 基本不等式 利用基本不等式求最值
2020新高考1，第11题 不等式的概念和性质 比较大小
二、命题规律与备考策略
本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与
运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立
问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为 5分。对于不等式
及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
（多选）4．（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（ ）
A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
【分析】方法一：原等式可化为，（x﹣ ）2+ ＝1，进行三角代换，令
，则 ，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2
的取值范围即可．
方法二：由 x2+y2﹣xy＝1 可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3 ，x2+y2﹣1＝xy
，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣ ）2+ ＝1，
令 ，则 ，
∴x+y＝ ＝2sin（ ） [﹣2，2]，故A错，B对，
∈
∵ x2+y2 ＝ ＝ ＝
学科网（北京）股份有限公司 1[ ，2]，
故C对，D错，
∈
方法二：对于 A，B，由 x2+y2﹣xy＝1 可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3 ，即
，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，
对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy ，
∴x2+y2≤2，故C对；
∵﹣xy≤ ，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+ ＝ ，
∴ ，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分
析问题，转化问题的能力，属于中档题．
（多选）1．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a2+b2≥ B．2a﹣b＞
C．log a+log b≥﹣2 D． + ≤
2 2
【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：①已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则
，故A正确．
②利用分析法：要证 ，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b
＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确．
③ ，故C错误．
④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，
利用分析法：要证 成立，只需对关系式进行平方，整理得
，即 ，故 ＝ ，当且仅当a＝b＝ 时，等号成
立．故D正确．
故选：ABD．
学科网（北京）股份有限公司 2【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学
生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
四、考点清单
一.不等式的基本性质
①对称性：a＞b b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c a＞c；
⇔
③可加性：a＞b a+c＞b+c．
⇒
④同向可加性：a＞b，c＞d a+c＞b+d；
⇒
⑤可积性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
⇒
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
⇒ ⇒
⑦平方法则：a＞b＞0 an＞bn（n N，且
⇒
n＞1）；
⇒ ∈
⑧开方法则：a＞b＞0 （ n N，且n＞1）．
二．不等关系与不等式
⇒ ∈
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做
差比较法的依据．
⇔ ⇒ ⇔
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
三．不等式比较大小
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
四．基本不等式及其应用
1、求最值
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
学科网（北京）股份有限公司 3技巧一：凑项
技巧二：凑系数
技巧三：分离
技巧四：换元
五．不等式的综合
1、不等式的性质
2、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”．
3、常用不等式
4、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法．
比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1的
大小，然后作出结论．
常用的放缩技巧有：
5．常系数一元二次不等式的解法：判别式﹣图象法
步骤：（1）化为一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；
（2）求根的情况：ax2+bx+c＝0 △＞0（＝0，＜0）；
（3）由图写解集：考虑y＝ax2+bx+c（a＞0）图象得解．
6．简单的一元高次不等式的解法：标根法：
其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线（奇穿偶
学科网（北京）股份有限公司 4回）；
（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集．
7．分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每
一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母
但分母恒为正或恒为负时可去分母．
8、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．
②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．
含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法．
一般地，设关于x的含参数a的一元二次形式的不等式为： ．
（1）第一级讨论：讨论二次项系数f（a）是否为零；
（2）第二级讨论：若f（a）≠0时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；
（3）第三级讨论：若f（a）≠0时，△＞0时，先观察两根x ，x 大小是否确定，否则讨
1 2
论两根的大小．
注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“＞”，“＝”，“＜”，应做到不
重不漏．
9．不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征
利用数形结合法．
1）恒成立问题
若不等式f（x）＞A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x） ＞A，
min
若不等式f（x）＜B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x） ＜B．
max
六．指、对数不等式的解法
【概述】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点
就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
七．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，
因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或
是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的
判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对
学科网（北京）股份有限公司 5称轴x＝﹣ ；最值为：f（﹣ ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有
一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x 、x 为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x +x ＝﹣ ，
1 2 1 2
x •x ＝ ；
1 2
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0， ），准线方程为y＝﹣ ，
含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的
关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
八．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形
式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式
ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0 f（x）•g（x）＞0；
⇔
＜0 f（x）•g（x）＜0；
⇔
≥0 ；
⇔
学科网（北京）股份有限公司 6≤0 ．
九．一元二次方程的根的分布与系数的关系
⇔
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有
解时，不妨设它的解为x ，x ，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x +x ）x+ax •x ＝0．即x2
1 2 1 2 1 2
﹣（x +x ）x+x •x ＝0．它表示根与系数有如下关系：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2 1 2 1 2
五、题型方法
一．等式与不等式的性质（共1小题）
1．（2023•丰台区一模）设a，b，c R，且a＞b，则（ ）
∈
A．ac＞bc B． ＜ C．a2＞b2 D．a﹣c＞b﹣c
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】解：∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，因此D正确．
c≤0时，A不正确；a＞0＞b时，B不正确；取a＝﹣1，b＝﹣2，C不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．不等关系与不等式（共6小题）
2．（2023•重庆一模）设x，y R，且0＜x＜y＜1，则（ ）
A．x2＞y2 B．tanx＞tany
∈
C．4x＞2y D．
【分析】对选项进行逐个分析，即可解出．
【解答】解：令x＝ ，y＝ 则x2＜y2，tanx＜tany，故选AB错误；
令x＝ ，y＝ ，则4x＝2y，故选项C错误；
选项D，x+ ＞2 ＝2，y（2﹣y）＝2y﹣y2＜2y＜2，故x+ ＞y（2﹣y），故选
D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
3．（2023•吉林模拟）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0
学科网（北京）股份有限公司 7【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；
B选项，利用基本不等式求出 ；
C选项，作差法比较出大小关系；
D选项，举出反例即可．
【解答】解：A选项， ，故a＜0，b＜0，所以ab＞0， 两边同乘以
ab得，a＜b，A正确；
B选项，因为a＜b＜0，所以 ，且 ，
由基本不等式得 ，故B正确；
C选项，因为a＜b＜0，所以 ，
故 ，
所以 ，C正确；
D选项，不妨取a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，此时ln（b﹣a）＝ln1＝0，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4．（2023•南昌县校级二模）已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（ ）
A．x2﹣1＞0 B． C．sinx﹣x＞0 D．cosx+x＞0
【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断
出结论．
【解答】解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+ ＜﹣2，
又∵sinx，cosx [﹣1，1]，
∴sinx﹣x＞0，cosx+x＜0．
∈
可得：ABC成立，D不成立．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能
力与计算能力，属于基础题．
5．（2023•武汉模拟）下列不等式正确的是（ ）
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若 ，则a＜b
学科网（北京）股份有限公司 8C．若a+b＞0，c﹣b＞0，则a＞c
D．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则
【分析】利用不等式的性质逐个分析各个选项即可．
【解答】解：对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误，
对于B，取a＝1，c＝1，b＝﹣1，则满足 ，但不满足a＜b，故B错误；
对于C，取a＝﹣1，b＝2，c＝3，则满足a+b＞0，c﹣b＞0，但不满足a＞c，故C错误；
对于D，若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则b﹣a＞0，
所以 ﹣ ＝ ＝ ＞0，即 ，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题
6．（2023•宣威市校级模拟）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成
绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目条件直接列出不等式组即可．
【解答】解：数学成绩x不低于100分表示为x≥100，英语成绩y和语文成绩z的总成
绩高于200分且低于240分表示为200＜y+z＜240，
即 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的实际应用，属于基础题．
7．（2023•天津一模）设 ，则（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【分析】根据指数幂和对数的取值，分别判断a，b，c的取值范围，然后比较大小．
【解答】解： ， ，
∵log 4＞1，∴ ，
3
即0＜a＜1，b＞1，c＜0，
∴c＜a＜b．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司 9【点评】本题主要考查对数值和指数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的图象和
性质判断范围是解决本题的关键，比较基础．
三．不等式比较大小（共1小题）
8．（2023•江宁区校级模拟）三个数 a＝ ，b＝（ ）3，c＝log 的大小顺序为
3
（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】根据所给的三个式子和1，和0的关系，把a与30进行比较，把b与 进
行比较，把c同log 1进行比较，得到三个数字的大小关系．
3
【解答】解：∵ ＞30＝1
＝1
＝0
∴a＞b＞c
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，本题解题的关键是看出需要找两个中间量，把三个
数字分成三个层次，本题是考查指数和对数函数的单调性质．
四．基本不等式及其应用（共5小题）
9．（2023•安庆模拟）已知函数f（x）＝log （ax+b）（a＞0，b＞0）恒过定点（2，0），
2
则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果．
【解答】解：由题意可知2a+b＝1，
则 ，
当且仅当 ， 时， 的最小值为 ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
10．（2023•拉萨一模）已知实数x，y满足2x+y＝2，则9x+2×3y的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据基本不等式求解即可．
【解答】解：∵实数x，y满足2x+y＝2，
学科网（北京）股份有限公司 10∴9x+2×3y＝32x+2×3y≥2 ＝2 ＝6 ，当且仅当 时，
等号成立．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
11．（2023•滁州二模）若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc＝18，则2a+3b+3c
的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可．
【解答】解：a2+3ab+3ac+9bc＝18 a（a+3b）+3c（a+3b）＝18 （a+3b）（a+3c）＝
18，
⇒ ⇒
因为a，b，c均为正数，
所以 ，
当且仅当a+3b＝a+3c时取等号，即 时取等号，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
12．（2023•文昌模拟）设 x、y＞1，z＞0，若 z2＝x•y，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知变形可得出2lgz＝lgx+lgy，可得出 ，利
用基本不等式可求得 的最小值．
【解答】解：因为x、y＞1，z＞0，z2＝x⋅y，则lgz2＝lg（xy），即2lgz＝lgx+lgy，
由题意可得lgx＞0，lgy＞0，
所 以 ，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 ．
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司 11【点评】本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础
题．
13．（2023•陕西模拟）已知a，b，c为正实数且a+2b+3c＝5．
（1）求a2+b2+c2的最小值；
（2）当 时，求a+b+c的值．
【分析】（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条
件；
（2）由基本不等式可得 + + ≤5，结合条件得 + + ＝
5，从而求a、b、c的值，即可得a+b+c的值．
【解答】解：（1）由柯西不等式得，
（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2＝25，
故a2+b2+c2≥ ；
当且仅当 ＝ ＝ ，即a＝ ，b＝ ，c＝ 时，等号成立；
故a2+b2+c2的最小值为 ；
（2）由基本不等式可得，
a+2b≥2 ，
a+3c≥2 ，
2b+3c≥ ，
故2（a+2b+3c）≥2（ + + ），
故 + + ≤5，
当且仅当a＝2b＝3c，且a+2b+3c＝5，
即a＝ ，b＝ ，c＝ 时，等号成立，
又∵ ，
∴ + + ＝5，
即a＝ ，b＝ ，c＝ ，
a+b+c＝ ．
【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．
五．不等式的综合（共1小题）
14．（2022•沙河口区校级一模）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小
学科网（北京）股份有限公司 12于10%，即 ，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增
加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示 采光效果变好， ＞
．
【分析】根据题意，设窗户和地板同时增加m平方米，利用作差法分析 和 的大小
即可得答案．
【解答】解：根据题意，设窗户和地板同时增加m平方米，有 ，
则有 ﹣ ＝ ＝ ，
又由a＜b，则 ﹣ ＞0，即 ＞ ，
故采光效果变好，不等式表示为 ＞ ，
故答案为：采光效果变好， ＞ ．
【点评】本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，属于基础题．
六．指、对数不等式的解法（共4小题）
15．（2023•泸县校级模拟）若log 3＜log 3＜0，则（ ）
a b
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
【分析】化log 3＜log 3＜0为log b＜log a＜0，利用函数的单调性求解．
a b 3 3
【解答】解：∵log 3＜log 3＜0，
a b
∴ ＜ ＜0，
即log b＜log a＜0，
3 3
故0＜b＜a＜1，
故选：B．
【点评】本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用，属于基础题．
16．（2023•北京模拟）已知函数 ，则不等式f（x）＜0的解集为
（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞）
C．（1，2） D．（1，+∞）
【分析】令f（x）＝0求得x的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求
出不等式f（x）＜0的解集．
学科网（北京）股份有限公司 13【解答】解：令 ＝0，得log x＝（x﹣1）2，得x＝1或x＝2；
2
在同一坐标系内画出y＝log x与y＝（x﹣1）2的图象，如图所示，
2
则不等式f（x）＜0的解集为（0，1）∪（2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的
问题，是基础题．
17．（2023•海淀区校级模拟）不等式2log x﹣（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集为 { x | 1 ＜ x ＜
3
3} ．
【分析】利用数形结合思想，结合对数函数和二次函数的图象进行求解即可．
【解答】解：由 ，
在同一直角坐标系内画出函数 的图象如下图
所示：
因为f（3）＝g（3）＝1，
所以由函数的图象可知：当x （1，3）时，有f（x）＞g（x），
故答案为：{x|1＜x＜3}．
∈
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属
于基础题．
18．（2023•银川模拟）关于x的不等式ax≥log x（a＞0且a≠1）恒成立，则实数a的取
a
值范围是 [ ， + ∞） ．
【分析】ax≥log x（a＞0 且 a≠1）等价于 ，即 ，令
a
学科网（北京）股份有限公司 14，对f（x）求导，得出f（x）的单调性，即可得出答案．
【解答】解：因为不等式ax≥log x（a＞0且a≠1）恒成立，可知a＞1，lna＞0，
a
由ax≥log x（a＞0且a≠1）可得 ，
a
则xlna⋅exlna≥xlnx＝elnx⋅lnx，
令h（t）＝tet，h′（t）＝et（t+1），
令h′（t）＞0，解得：t＞﹣1；令h′（t）＜0，解得：t＜﹣1，
所以h（t）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减，
当t＜0时，h（t）＝tet＜0，当t＞0时，h（t）＝tet＞0，
因为x＞0，lna＞0，所以xlna＞0，
所以要使xlna⋅exlna≥xlnx＝elnx⋅lnx，故只需xlna≥lnx即可，
故 即可，
令 ，解得：x＝e，
令f′（x）＞0解得：0＜x＜e；令f′（x）＜0解得：x＞e，
所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，
所以实数a的取值范围是 ．
故答案为：[e ，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
七．二次函数的性质与图象（共7小题）
19．（2023•和平区校级一模）若函数f（x）＝x2﹣4x+4在区间[a，a+1]上的最小值为4，
则a的取值集合为 { ﹣ 1 ， 4 } ．
【分析】函数f（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，对称轴为x＝2，再对a分类讨论，即可求
解．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，对称轴为x＝2，
当a+1≤2，即a≤1时，
f（x） ＝f（a+1）＝4，即（a+1）2﹣4（a+1）+4＝4，解得a＝﹣1或a＝3（舍去），
min
故a＝﹣1，
当a＜2＜a+1，即1＜a＜2时，
f（x） ＝f（2）＝0，不符合题意，舍去，
min
学科网（北京）股份有限公司 15当a≥2时，
f（x） ＝f（a）＝4，即a2﹣4a+4＝4，解得a＝4或a＝0（舍去），
min
故a的取值集合为{﹣1，4}．
【点评】本题主要考查二次函数的性质与图象，属于基础题．
20．（2023•海淀区一模）已知二次函数f（x），对任意的x R，有f（2x）＜2f（x），则
f（x）的图象可能是（ ）
∈
A． B．
C． D．
【分析】由题意可得f（0）＞0，所以CD都不可能，对于B，由图象可知f（﹣ ）＞
0，与x＝﹣ 时，f（2x）＝f（﹣ ）＜2f（﹣ ）＜0相矛盾，所以B不可能．
【解答】解：二次函数f（x），对任意的x R，有f（2x）＜2f（x），
令x＝0得，f（0）＜2f（0），即f（0）＞0，故CD都不可能，
∈
对于B，二次函数的对称轴方程为x＝﹣ ，由图象可知f（﹣ ）＜0，
设f（x）的图象与x轴的两个交点为x ，x ，且0＜x ＜x ，
1 2 1 2
则x +x ＝﹣ ＞0，
1 2
所以0＜ ，所以f（﹣ ）＞0，
当x＝﹣ 时，f（2x）＝f（﹣ ）＜2f（﹣ ）＜0，两者相矛盾，故B不可能．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
21．（2023•宁波一模）若函数f（x）＝x2+mx+n在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n2﹣
m2+2n+1的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，4） D．（1，4）
【分析】由已知结合二次方程实根分布及不等式性质即可求解．
学科网（北京）股份有限公司 16【解答】解：由题意得 ，
所以n2﹣m2+2n+1＝（n+1）2﹣m2＝（n+1+m）（n+1﹣m）＞0，
设f（x）的两个零点为x ，x ，则f（x）＝（x﹣x ）（x﹣x ），
1 2 1 2
所以（n+1+m）（n+1﹣m）＝f（1）•f（﹣1）＝（1﹣ ）（1﹣x 2）＜1．
2
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次方程实根分布及不等式的性质的应用，属于基础题．
22．（2023•会泽县模拟）已知二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则ac的
值是 4 ； 的最大值是 6 ﹣ 2 ．
【分析】根据二次函数的性质知a＞0，Δ＝0，然后通过变形利用基本不等式即得．
【解答】解：由题意知：a＞0，f（x）的值域为[0，+∞），
∴Δ＝16﹣4ac＝0，
则ac＝4，c＞0，
所以 ，
又 ，当且仅当 时取等号，
即 ．
故答案为：4； ．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
23．（2023•宛城区校级模拟）已知二次函数 f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n R），若函数f
∈
（x）的值域是[0，+∞），且f（1）≤2，则 的取值范围是（ ）
A．[0，12] B．[1，13] C．[2，12] D．[3，13]
【分析】根据二次函数的性质可得 mn＝1，且m＞0，又因为f（1）≤2，所以m+
≤4，再结合基本不等式求解即可．
【解答】解：∵二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n R）的值域是[0，+∞），
∴Δ＝4﹣4mn＝0，解得mn＝1，且m＞0，
∈
又∵f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 17∴m+ ≤4，
∴ ＝ ＝ + ＝ ＝ ＝
，
由m+ ≤4，m＞0，可得2≤ ≤14，
∴1≤ ≤13，
即 的取值范围是[1，13]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
24．（2023•温州模拟）已知f（x）＝x2﹣ax，|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，则实数
a的最大值为 ．
【分析】代入x＝1，2的值得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：∵|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，
∴|f（f（1））|≤2，即|f（1﹣a）|≤2，
故|2a2﹣3a+1|≤2，
解得： ≤a≤ ，
同理，|f（f（2））|≤2，解得：1≤a≤ ，
故1≤a≤ ，
当a＝ 时，设t＝f（x），此时 ＜1，
∵x [1，2]，∴t＝f（x）在[1，2]递增，
故t [1﹣a，4﹣2a]，
∈
∈
此时 ﹣（4﹣2a）＝ a﹣4＞0，
故y＝f（t）在[1﹣a，4﹣2a]递减，
故|f（t）|≤2在[1﹣a，4﹣2a]上恒成立，
学科网（北京）股份有限公司 18只需 ，
故a ＝ ．
max
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．
25．（2023•和平区校级一模）在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②当x＝2时，f（x）取得
最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1这三个条件中任选一个，补充在下面
的问题中，并作答．
问题：已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且 _______．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域为[3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值．
【分析】（1）分别选①②③，得到关于a，b的方程组，解出即可求出f（x）的解析
式；
（2）根据函数的值域以及二次函数的性质求出m+n的值即可．
【解答】解：（1）若选①，
由题意可得
解得a＝﹣2，b＝﹣1，
故f（x）＝﹣x2+4x﹣1；
若选②，
由题意可得
解得a＝﹣2，b＝﹣1，
故f（x）＝﹣x2+4x﹣1；
若选③，
因为f（x+2）＝f（2﹣x），
所以f（x）图象的对称轴方程为x＝2，
则﹣a＝2，即a＝﹣2，因为f（0）＝﹣1，所以b＝﹣1，
故f（x）＝﹣x2+4x﹣1．
（2）因为f（x）＝﹣x2+4x﹣1在R上的值域为（﹣∞，3]，
所以3n﹣2≤3，即 ，
因为f（x）图象的对称轴方程为x＝2，且 ，
所以f（x）在[m，n]上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司 19则
整理得n2﹣m2+m﹣n＝0，即（n﹣m）（n+m﹣1）＝0，
因为n﹣m≠0，所以n+m﹣1＝0，即n+m＝1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查转化思想，是中档题．
八．一元二次不等式及其应用（共4小题）
26．（2023•青羊区校级模拟）不等式（x﹣1）2＜x+5的解集为（ ）
A．{x|1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|﹣4＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}
【分析】把不等式化为x2﹣3x﹣4＜0，求出解集即可．
【解答】解：不等式（x﹣1）2＜x+5可化为x2﹣3x﹣4＜0，
即（x﹣4）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x＜4，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜4}．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
27．（2023•南昌县校级二模）已知关于x的不等式mx2+nx+6m＞0的解集为{x|2＜x＜3}，
则mx＜n的解集为 { x | x ＞﹣ 5 } ．
【分析】由题意可知2，3是方程mx2+nx+6m＝0的两根，然后利用韦达定理得出m，n
的关系以及m的符号，由此即可求出所求不等式的解集．
【解答】解：由题意可知2，3是方程mx2+nx+6m＝0的两根，
则由韦达定理可得： ，且m＜0，所以n＝﹣5m＞0，
则mx＜n化简为：mx＜﹣5m，解得x＞﹣5，
所以不等式的解集为{x|x＞﹣5}．
故答案为：{x|x＞﹣5}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．
28．（2023•道里区校级一模）已知x+y＝4，且x＞y＞0，则 的最小值为 2 ．
【分析】根据已知条件，将原式进行变形，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：∵x+y＝4，且x＞y＞0，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
令g（y）＝﹣y2+2y，
g（y）＝﹣y2+2y＝﹣（y﹣1）2+1，
当y＝1时，g（y） ＝1，
max
学科网（北京）股份有限公司 20当y＝1，
则x＝4﹣y＝3，满足x＞y＞0，符合题意，
故 的最小值为 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于基础题．
29．（2023•武侯区校级模拟）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}，
则（ ）
A．2 A∩B B．3 A∩B C．4 A∪B D．5 A∪B
【分析】求解集合B，然后求解交集与并集，即可判断元素与集合的关系，得到正确的
∈ ∈ ∈ ∈
选项．
【解答】解：集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}＝{x|x≤3或x≥6}，
A∩B＝{x|2＜x≤3}，
所以3 A∩B，所以B正确；A不正确；
A∪B＝{x＜4或x≥6}，所以C、D不正确；
∈
故选：B．
【点评】本题考查二次不等式的解法，交集以及并集的元素，运算与集合的关系，是基
础题．
九．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共1小题）
30．（2022•河北区校级模拟）若存在正实数y，使得 ，则实数x的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．4
【分析】由已知可转化为关于y的二次方程的实根分布，结合二次方程根的存在条件及
根的分布求解．
【解答】解：由 ，得4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0有正根，
易得x≠0，则Δ＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，
解得x≤﹣1或 或x≥1，
设方程的根分别为y ，y ，
1 2
则y •y ＝ ＞0，y +y ＝ ＞0，
1 2 1 2
解得x＜﹣ 或0＜x＜ ，
学科网（北京）股份有限公司 21综上，x≤﹣1或0＜x ，
所以x的最大值为 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次方程的实根分布，体现了转化思想和方程思想，属于中档
题．
六、易错分析
易错点1：忽视字母的取值范围而致错
1．(多选)对于任意实数 ， ， ， ，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 ； B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ； D．若 ， ，则 .
【错解】对于A，若 ，当 时，则 ，故A错误；对于B，若 ，则
；故B对；对于C，若 ，可得 ，所以 ，故C正确；对于
D，若 ， ，则 ，故D正确.所以选BCD。
【错因】选项B是错的，忽略了 的情况。
【正解】CD
【解析】对于A，若 ，当 时，则 ，故A错误；对于B，若 ，当
时， ，故B错误；对于C，若 ，可得 ，所以 ，故C
正确；对于D，若 ， ，则 ，故D正确.
易错点2：多次运用不等式性质而致错
2、已知 ， ，求 的取值范围.
【 错 解 】 因 为 ， ， 两 式 相 加 得 ， 所 以
，
因为 ， ，两式相加得 ，所以
，
所以 ，即 。
【错因】根据已知条件单独求出a,b各自的范围，会导致它们的范围变大。
【正解】
【解析】令 .
学科网（北京）股份有限公司 22∴ ,解得 ,∴ .
∵ ，∴ .,又 ，
∴ .故 的取值范围为 .
易错点3：忽视不等式中高次项的系数
3．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
由题意知必须满足解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2）．选A
【错因】没有对二次项系数2－m讨论。
【正解】C
【解析】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．
易错点4：应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，
4．当 x(1,2) 时，不等式 x2 mx40 恒成立，则 m 的取值范围是( )
A. m5 B. C. m5 D. m5
x2 4
m
x(1,2) x2 mx40 x
【错解】当 时，由 得 .
，. ，故选B。
【错因】令 ，即 ，而x(1,2)，所以 不成立，即使用基本不等式求
最值时，没有考虑等号问题。
【正解】A
x2 4 x2 4 4
m f(x) x
【解析】 当 x(1,2) 时，由 x2 mx40 得 x .令 x x ，
f(x) (1,2) x[1,2] f(x) f(1)5
则易知 在 上是减函数，所以 时 max ，
x2 4
( ) 5
则 x min ∴ m5 .
学科网（北京）股份有限公司 235.已知递增等差数列 中， ，则 的（ ）
A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或
【错解】因为 ，由等差数列通项公式,设公差为 ,可得 ，变形可
得 ，而由等差数列通项公式可知
，
当且仅当 时取得等号，所以 的最大值为4，选A。
【错因】因为数列 为递增数列,所以 ，由已知得 ，则 ，
而错解中把 当成正值。
【正解】B
【解析】因为 ，由等差数列通项公式,设公差为 ,可得 ，变形可
得 ，因为数列 为递增数列,所以 ，即 ，而由等差
数列通项公式可知 ，由 ,
结合基本不等式可得 ，当且仅当
时取得等号，所以 的最小值为4。
易错点5：忽视一元二次不等式中两根大小而致错
6．已知集合 ，集合 ，命题 ：
，
命题 ： ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
【错解】因为 ， ，若 是 的充分条件，则 ．
因为
则 ， ， ，解得 ．
实数 的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司 24【错因】因为参数a的范围不定，所以a与2a-1的大小关系不定，故需对两根大小分类讨
论。
【正解】 .
【详解】 ， ，若 是 的充分条件，则 ．
因为
当 时， ，显然成立；
当 时， ， ， ，解得
；
当 时， ， ， ，解得
．
实数 的取值范围是 ．
易错点6：忽视分式不等式中的分母不能为零致错
7．不等式≤1的解集是________．
【错解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得(x－1)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥1，所以原
不等式的解集为{x|xx≤－1或x≥1}．
【错因】因为x＋1为分母，所以x＋1不等于零。
【正解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得x＝1或x<－1
或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}．
易错点7：忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
8.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足
解得－2＜m＜2.综上知实数m的取值范围是(－2,2)，
选A．
【错因】没有对二次项系数m讨论。
【正解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2.
综上知实数m的取值范围是(－2,2]．选C
易错点8：忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
9．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
学科网（北京）股份有限公司 25A. B.
C．{x|x≤或x≥2}． D．
【错解】由(x－2)(3－2x)≥0解得x≤或x≥2，故不等式的解集为.选C
【错因】“大于号取两边，小于号取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零，
【正解】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.选B
易错点9：一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
10．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－] B.
C. D．
【错解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当
x＝2时，f(x) ＝－，所以a≤－,选A。
min
【错因】因为1≤x≤3，即x可以取到端点值，所以2－可以取到－，则a<－，不能取等号。
【正解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当
x＝2时，f(x) ＝－，所以a<－.选B。
min
易错点10：有关一元二次方程根的分布条件列不全致错
11． 若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
【错解】设方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根为 则 ，
则 ，即 ，即
解得m<－4，故m的取值范围是(－∞，－4)．
【 错 因 】 条 件 不 能 推 出 ， 例 如 时 ， 满 足
，但 。
【正解】令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，其对称轴方程为x＝，
由题意得，即
解得－50)．
【错解】原不等式可化为 (x－1)<0(a>0).解得0，知原不等式等价于 (x－1)<0.
①当a＝1时，＝1， (x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，得1，得11时，不等式解集为.
七、刷基础
一．选择题（共14小题）
1．（2023•东城区校级模拟）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．|a|＜|b| B．
C． D．lna＞lnb
【分析】根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，即可得出结论．
【解答】解：根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，比较基础．
2．（2023•江宁区校级模拟）三个数 a＝ ，b＝（ ）3，c＝log 的大小顺序为
3
（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】根据所给的三个式子和1，和0的关系，把a与30进行比较，把b与 进
行比较，把c同log 1进行比较，得到三个数字的大小关系．
3
【解答】解：∵ ＞30＝1
＝1
＝0
∴a＞b＞c
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，本题解题的关键是看出需要找两个中间量，把三个
数字分成三个层次，本题是考查指数和对数函数的单调性质．
学科网（北京）股份有限公司 273．（2023•吉林模拟）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；
B选项，利用基本不等式求出 ；
C选项，作差法比较出大小关系；
D选项，举出反例即可．
【解答】解：A选项， ，故a＜0，b＜0，所以ab＞0， 两边同乘以
ab得，a＜b，A正确；
B选项，因为a＜b＜0，所以 ，且 ，
由基本不等式得 ，故B正确；
C选项，因为a＜b＜0，所以 ，
故 ，
所以 ，C正确；
D选项，不妨取a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，此时ln（b﹣a）＝ln1＝0，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4．（2023•河南模拟）已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【分析】根据题意，设f（x）＝ ，求出f（x）的导数，分析可得f（x）在（0，
）上递减，由此可得f（1）＞f（ ），变形可得a＞b，利用作差法可得c﹣a＞0，
即c＞a，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝ ，其导数f′（x）＝ ，
在区间（0， ）上，tanx＞x恒成立，则有sinx＞xcosx恒成立，则有f′（x）＜0在
（0， ）上恒成立，
学科网（北京）股份有限公司 28则函数f（x）在（0， ）上递减，则有f（1）＞f（ ），即 ＞ ＝ ，
即a＞b，
c﹣a＝ ﹣ ＝ ，
而sin1＜sin ＝ ，则c﹣a＞ ＞0，即c＞a，
故c＞a＞b，
故选：B．
【点评】本题考查不等式的大小比较，涉及数字的估算，属于基础题．
5．（2023•朝阳区一模）若a＞0＞b，则（ ）
A．a3＞b3 B．|a|＞|b| C． D．ln（a﹣b）＞0
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD．
【解答】解：∵a＞0＞b，∴a3＞0，b3＜0，即a3＞b3，故A正确；
取a＝1，b＝﹣2，则|a|＞|b|不成立，故B错误；
取a＝1，b＝﹣2，则 不成立，故C错误；
取 ，则ln（a﹣b）＝ln1＝0，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
6．（2023•临高县模拟）给定下列四个命题：命题①a＞b，c＞d a﹣c＞b﹣d；命题②：
⇒
a＞b （ ）a＜（ ）b；命题③： ；命题④：a＜b＜
⇒ ⇒
0 ＜ ．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
⇒
【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．
【解答】解：对于命题①：∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，
故a＞b，c＞d a﹣c＞b﹣d错误；
⇒
对于命题②：∵y＝ 在R递减，故a＞b （ ）a＜（ ）b正确；
对于命题③：∵0＜a＜1，2＜b＜3，∴2＜a+b
⇒
＜4，0＜ab＜3，
学科网（北京）股份有限公司 29故 正确；
对于命题④：∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞0，
⇒
∴ ＞ ，∴ ＞ ，故a＜b＜0 ＜ 正确；
其中真命题的个数是3个，
⇒
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是基础题．
7．（2023•黄浦区模拟）已知x R，下列不等式中正确的是（ ）
∈
A． B．
C． D．
【分析】举反例可排除A、B、C，再利用不等式的性质可证明D正确即可．
【解答】解：取x＝0可得 ＝1＝ ，故A错误；
取x＝0可得 ＝1＝ ，故B错误；
取x＝1可得 ＝ ＝ ，故C错误；
选项D，∵x2+2＞x2+1＞0，∴ ＞ ，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．
8．（2023•河南模拟）已知正实数a，b，点M（1，4）在直线 上，则a+b的最小
值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【分析】根据点M（1，4）在直线 上，代入已知点的坐标，再由a+b＝（a+b）
•（ + ），展开整理后利用基本不等式求最小值．
【解答】解：∵直线l经过点M（1，4），
∴ + ＝1．
∴a+b＝（a+b）•（ + ）＝5+ + ，
学科网（北京）股份有限公司 30又a＞0，b＞0，
∴a+b＝5+ + ≥5+2 ＝9 （当且仅当2a＝b时取“＝”）．
∴a+b的最小值为9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，关键是“1”的代换，是基础题．
9．（2023•河南模拟）已知正实数a，b，满足 ，则a+b的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】将已知不等式两边同时加上a+b，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b≥ + ，
∴（a+b）2≥（ + ）（a+b）＝ + + ≥ +2 ＝ ，
当且仅当4a2＝9b2，即2a＝3b时取等号，
所以a+b≥ ，
a+b的最小值为 ．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
10．（2023•北京模拟）已知函数 ，则不等式f（x）＜0的解集为
（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞）
C．（1，2） D．（1，+∞）
【分析】令f（x）＝0求得x的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求
出不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：令 ＝0，得log x＝（x﹣1）2，得x＝1或x＝2；
2
在同一坐标系内画出y＝log x与y＝（x﹣1）2的图象，如图所示，
2
则不等式f（x）＜0的解集为（0，1）∪（2，+∞）．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司 31【点评】本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的
问题，是基础题．
11．（2023•云南模拟）设x ，x 是关于x的方程x2+（a﹣1）x+a+2＝0的根．若﹣1＜x ＜
1 2 1
1，1＜x ＜2，则实数a的取值范围是（ ）
2
A． B． C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】函数图像开口向上，利用根的分布，即可求解实数a的取值范围．
【解答】解：由题意知，函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+a+2开口方向向上，
若﹣1＜x ＜1，1＜x ＜2，则函数须同时满足三个条件：
1 2
当x＝﹣1时，x2+（a﹣1）x+a+2＞0，代入解得4＞0，恒成立；
当x＝1时，x2+（a﹣1）x+a+2＜0，代入解得2a+2＜0，a＜﹣1；
当x＝2时，x2+（a﹣1）x+a+2＞0，代入解得 ，
综上，实数a的取值范围是 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
12．（2023•海淀区一模）已知二次函数f（x），对任意的x R，有f（2x）＜2f（x），则
f（x）的图象可能是（ ）
∈
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 32【分析】由题意可得f（0）＞0，所以CD都不可能，对于B，由图象可知f（﹣ ）＞
0，与x＝﹣ 时，f（2x）＝f（﹣ ）＜2f（﹣ ）＜0相矛盾，所以B不可能．
【解答】解：二次函数f（x），对任意的x R，有f（2x）＜2f（x），
令x＝0得，f（0）＜2f（0），即f（0）＞0，故CD都不可能，
∈
对于B，二次函数的对称轴方程为x＝﹣ ，由图象可知f（﹣ ）＜0，
设f（x）的图象与x轴的两个交点为x ，x ，且0＜x ＜x ，
1 2 1 2
则x +x ＝﹣ ＞0，
1 2
所以0＜ ，所以f（﹣ ）＞0，
当x＝﹣ 时，f（2x）＝f（﹣ ）＜2f（﹣ ）＜0，两者相矛盾，故B不可能．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
13．（2023•柳州模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2，
则 ＝ ＝ （ ）（a+b）＝ （2+ ） （2+2 ）＝2，
当且仅当 且a+b＝2，即a＝b＝1时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
14．（2023•顺义区二模）已知函数 f（x）＝log （x+1）﹣x，则不等式f（x）＞0的解集
2
是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，+∞）
C．（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【分析】由题意可得x+1＞2x，在同一坐标系中作出y＝x+1与y＝2x的图象，结合图象
即可得解．
【解答】解：由x+1＞0，可得x＞﹣1，
不等式f（x）＞0，即log （x+1）﹣x＞0，
2
log （x+1）＞x＝log 2x，
2 2
学科网（北京）股份有限公司 33所以x+1＞2x，
在同一坐标系中作出y＝x+1与y＝2x的图象，如图所示：
由此可得x+1＞2x的解集为（0，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数的性质、指数函数的性质及转化思想、数形结合思想，作
出图象是关键，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
（多选）15．（2023•潍坊二模）已知实数a＞b＞0，则（ ）
A． B．
C．ab＞ba D．
【分析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， ﹣ ＝ ＜0，则有 ＜ ，A正确；
对于B，a+ ﹣b﹣ ＝（a﹣b）﹣（ ﹣ ）＝（a﹣b）+（ ）＝（a﹣b）（1+
），
又由a＞b＞0，则a+ ﹣b﹣ ＝（a﹣b）（1+ ）＞0，必有a+ ＞b+ ，B正确；
对于C，当a＝4，b＝2时，有ab＝ba，C错误；
对于 D，由于 a＞b＞0，则 ＞ ，两边同时取对数可得：lg ＞lg ＝
，D正确．
学科网（北京）股份有限公司 34故选：ABD．
【点评】本题考查不等式的证明，涉及不等式的性质以及应用，属于基础题．
三．填空题（共1小题）
16．（2023•青浦区二模）已知函数 y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式（ax+b）
（bx+c）（cx+a）＜0的解集是 ．
【分析】根据题意，由二次函数的性质可得 a＞0且方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和
2，由此分析可得b＝﹣3a，c＝2a，则不等式等价于（x﹣3）（3x﹣2）（2x+1）＞0，
解可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数y＝ax2+bx+c的图像，有a＞0，
且方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和2，则有 ，则有b＝﹣3a，c＝2a，
则（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0 （ax﹣3a）（﹣3a+2a）（2a+a）＜0 （x﹣3）
（3x﹣2）（2x+1）＞0，
⇔ ⇔
解可得：﹣ ＜x＜ 或x＞3，即不等式的解集为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查不等式的解法，考查数形结合思想及运算求解能力，属于基础题．
八.刷易错
一．选择题（共3小题）
1．（2023•西固区校级模拟）若 x，y是正数，则 + 的最小值是（
）
A．3 B． C．4 D．
【分析】连续用基本不等式求最小值，由题设知 + ≥2（x+ ）×
学科网（北京）股份有限公司 35（y+ ）整理得知 + ≥2（xy+ +1），其中等号成立的条件是
x＝y，又xy+ ≥2 ＝1等号成立的条件是xy＝ 与x＝y联立得两次运
用基本不等式等号成立的条件是x＝y＝ ，计算出最值是4
【解答】解：∵x，y是正数，
∴ + ≥2（xy+ +1），
等号成立的条件是x+ ＝y+ ，
解得x＝y，①
又xy+ ≥2 ＝1
等号成立的条件是xy＝ ②
由①②联立解得x＝y＝ ，
即当x＝y＝ 时 + 的最小值是4
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基
本不等式时等号成立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否
则最小值取不到．本题是一道易错题．
2．（2022•河西区模拟）已知a R，则“a（1+a）＞0”是“0＜a＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
∈
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出不等式a（1+a）＞0的解集，再根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：解不等式a（1+a）＞0，得a＜﹣1或a＞0，
所以“a（1+a）＞0”是“0＜a＜1”必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了充分与必要条件的判
断问题，是基础题．
3．（2022•岳阳二模）已知关于x的不等式ax2+2bx+4＜0的解集为 ，其中m＜
0，则 的最小值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 36A．﹣2 B．1 C．2 D．8
【分析】根据不等式ax2+2bx+4＜0的解集求出a的值和b的取值范围，再代入 中
利用基本不等式求出它的最小值．
【解答】解：关于x的不等式ax2+2bx+4＜0的解集为 ，其中m＜0，
所以m和 是方程ax2+2bx+4＝0的实数根，
由根与系数的关系知 ，
解得a＝1，b＝﹣（ + ）＞2，
所以 ＝ + ≥2 ＝2，
当且仅当 ＝ ，即b＝4时取“＝”，
所以 的最小值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系，也考查了利用基本不等式求最
值的问题，是基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2022•丹东模拟）如果关于x的不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0的解集为{x|x≠a}，
那么下列数值中，b可取到的数为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据题意，利用不等式成立的条件，求出b的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0可化为（x﹣a）2＞a2﹣b+1，
因为不等式的解集为{x|x≠a}，
所以a2﹣b+1＝0，得b＝a2+1．
验证a＝0时，b＝1；a＝±1时，b＝2；
所以b可取到的值为1和2．
故选：CD．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
三．填空题（共3小题）
5．（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式3x+lgx≤3的解集是 （ 0 ， 1 ） ．
【分析】不等式化为3x≤3﹣lgx，在同一坐标系内画出y＝3x和y＝3﹣lgx的图象，利用
学科网（北京）股份有限公司 37函数的图象求出不等式的解集．
【解答】解：不等式3x+lgx≤3可化为3x≤3﹣lgx，
在同一坐标系内画出y＝3x和y＝3﹣lgx的图象，如图所示：
由3x＝3﹣lgx，得x＝1，
所以由函数的观点知，不等式3x+lgx≤3的解集是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
【点评】本题考查了函数的图象与性质应用问题，也考查了不等式解法与应用问题，是
基础题．
6．（2023•吉林模拟）已知正实数 x，y满足 ，则 的最小值为 9
．
【分析】由x+y＝ 得出5x+5y＝1，再由 ＝ + ，利用乘“1”
法求最小值即可．
【解答】解：因为x+y＝ ，所以5x+5y＝1，
所以 ＝（ + ）[（3x+y）+（2x+4y）]＝1+4+ +
≥5+2 ＝5+2×2＝9，
当且仅当 ＝ ，即y＝2x，即x＝ ，y＝ 时取“＝”，
所以最小值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．
7．（2023•琼中县模拟）已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则x+y的最小值为 2 ﹣ 3
，xy的最大值为 8 ﹣ 4 ．
【分析】由xy+2x+y＝4求得y＝ （0＜x＜2），代入化简x+y＝x+ ，转化为
学科网（北京）股份有限公司 38x+1+ ﹣3，利用基本不等式求最值即可；由4﹣xy＝2x+y≥2 ，转化为不等式，
将xy作为一个整体解不等式即可．
【解答】解：∵xy+2x+y＝4，∴y＝ （0＜x＜2），
∴x+y＝x+ ＝x+1+ ﹣3≥2 ﹣3，
（当且仅当x+1＝ ，即x＝ ﹣1时，等号成立），
故x+y的最小值为2 ﹣3，
∵4﹣xy＝2x+y≥2 ，
（当且仅当2x＝y，即x＝ ﹣1，y＝2 ﹣2时，等号成立），
∴（4﹣xy）2≥8xy，即（xy）2﹣16xy+16≥0，
解得，xy≤8﹣4 或xy≥8+4 （舍去），
故xy的最大值为8﹣4 ，
故答案为：2 ﹣3，8﹣4 ．
【点评】本题考查了最值问题及基本不等式，考查了化简运算的能力及转化思想与整体
思想的应用，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 39
