文档内容
考点 03 不等式（9 种题型 11 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考2，第12题 基本不等式 利用基本不等式求最值
2020新高考1，第11题 不等式的概念和性质 比较大小
二、命题规律与备考策略
本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与
运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立
问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为 5分。对于不等式
及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
（多选）4．（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（ ）
A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
【分析】方法一：原等式可化为，（x﹣ ）2+ ＝1，进行三角代换，令
，则 ，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2
的取值范围即可．
方法二：由 x2+y2﹣xy＝1 可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3 ，x2+y2﹣1＝xy
，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣ ）2+ ＝1，
令 ，则 ，
∴x+y＝ ＝2sin（ ） [﹣2，2]，故A错，B对，
∈
∵ x2+y2 ＝ ＝ ＝
学科网（北京）股份有限公司 1[ ，2]，
故C对，D错，
∈
方法二：对于 A，B，由 x2+y2﹣xy＝1 可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3 ，即
，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，
对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy ，
∴x2+y2≤2，故C对；
∵﹣xy≤ ，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+ ＝ ，
∴ ，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分
析问题，转化问题的能力，属于中档题．
（多选）1．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a2+b2≥ B．2a﹣b＞
C．log a+log b≥﹣2 D． + ≤
2 2
【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：①已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则
，故A正确．
②利用分析法：要证 ，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b
＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确．
③ ，故C错误．
④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，
利用分析法：要证 成立，只需对关系式进行平方，整理得
，即 ，故 ＝ ，当且仅当a＝b＝ 时，等号成
立．故D正确．
故选：ABD．
学科网（北京）股份有限公司 2【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学
生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
四、考点清单
一.不等式的基本性质
①对称性：a＞b b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c a＞c；
⇔
③可加性：a＞b a+c＞b+c．
⇒
④同向可加性：a＞b，c＞d a+c＞b+d；
⇒
⑤可积性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
⇒
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
⇒ ⇒
⑦平方法则：a＞b＞0 an＞bn（n N，且
⇒
n＞1）；
⇒ ∈
⑧开方法则：a＞b＞0 （ n N，且n＞1）．
二．不等关系与不等式
⇒ ∈
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做
差比较法的依据．
⇔ ⇒ ⇔
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
三．不等式比较大小
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
四．基本不等式及其应用
1、求最值
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
学科网（北京）股份有限公司 3技巧一：凑项
技巧二：凑系数
技巧三：分离
技巧四：换元
五．不等式的综合
1、不等式的性质
2、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”．
3、常用不等式
4、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法．
比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1的
大小，然后作出结论．
常用的放缩技巧有：
5．常系数一元二次不等式的解法：判别式﹣图象法
步骤：（1）化为一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；
（2）求根的情况：ax2+bx+c＝0 △＞0（＝0，＜0）；
（3）由图写解集：考虑y＝ax2+bx+c（a＞0）图象得解．
6．简单的一元高次不等式的解法：标根法：
其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线（奇穿偶
学科网（北京）股份有限公司 4回）；
（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集．
7．分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每
一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母
但分母恒为正或恒为负时可去分母．
8、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．
②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．
含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法．
一般地，设关于x的含参数a的一元二次形式的不等式为： ．
（1）第一级讨论：讨论二次项系数f（a）是否为零；
（2）第二级讨论：若f（a）≠0时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；
（3）第三级讨论：若f（a）≠0时，△＞0时，先观察两根x ，x 大小是否确定，否则讨
1 2
论两根的大小．
注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“＞”，“＝”，“＜”，应做到不
重不漏．
9．不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征
利用数形结合法．
1）恒成立问题
若不等式f（x）＞A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x） ＞A，
min
若不等式f（x）＜B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x） ＜B．
max
六．指、对数不等式的解法
【概述】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点
就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
七．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，
因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或
是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的
判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对
学科网（北京）股份有限公司 5称轴x＝﹣ ；最值为：f（﹣ ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有
一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x 、x 为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x +x ＝﹣ ，
1 2 1 2
x •x ＝ ；
1 2
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0， ），准线方程为y＝﹣ ，
含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的
关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
八．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形
式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式
ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0 f（x）•g（x）＞0；
⇔
＜0 f（x）•g（x）＜0；
⇔
≥0 ；
⇔
学科网（北京）股份有限公司 6≤0 ．
九．一元二次方程的根的分布与系数的关系
⇔
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有
解时，不妨设它的解为x ，x ，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x +x ）x+ax •x ＝0．即x2
1 2 1 2 1 2
﹣（x +x ）x+x •x ＝0．它表示根与系数有如下关系：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2 1 2 1 2
五、题型方法
一．等式与不等式的性质（共1小题）
1．（2023•丰台区一模）设a，b，c R，且a＞b，则（ ）
∈
A．ac＞bc B． ＜ C．a2＞b2 D．a﹣c＞b﹣c
二．不等关系与不等式（共6小题）
2．（2023•重庆一模）设x，y R，且0＜x＜y＜1，则（ ）
A．x2＞y2 B．tanx＞tany
∈
C．4x＞2y D．
3．（2023•吉林模拟）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0
4．（2023•南昌县校级二模）已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（ ）
A．x2﹣1＞0 B． C．sinx﹣x＞0 D．cosx+x＞0
5．（2023•武汉模拟）下列不等式正确的是（ ）
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若 ，则a＜b
C．若a+b＞0，c﹣b＞0，则a＞c
D．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则
6．（2023•宣威市校级模拟）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成
绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 7C． D．
7．（2023•天津一模）设 ，则（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
三．不等式比较大小（共1小题）
8．（2023•江宁区校级模拟）三个数 a＝ ，b＝（ ）3，c＝log 的大小顺序为
3
（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
四．基本不等式及其应用（共5小题）
9．（2023•安庆模拟）已知函数f（x）＝log （ax+b）（a＞0，b＞0）恒过定点（2，0），
2
则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
10．（2023•拉萨一模）已知实数x，y满足2x+y＝2，则9x+2×3y的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023•滁州二模）若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc＝18，则2a+3b+3c
的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
12．（2023•文昌模拟）设 x、y＞1，z＞0，若 z2＝x•y，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
13．（2023•陕西模拟）已知a，b，c为正实数且a+2b+3c＝5．
（1）求a2+b2+c2的最小值；
（2）当 时，求a+b+c的值．
学科网（北京）股份有限公司 8五．不等式的综合（共1小题）
14．（2022•沙河口区校级一模）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小
于10%，即 ，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增
加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示 ．
六．指、对数不等式的解法（共4小题）
15．（2023•泸县校级模拟）若log 3＜log 3＜0，则（ ）
a b
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
16．（2023•北京模拟）已知函数 ，则不等式f（x）＜0的解集为
（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞）
C．（1，2） D．（1，+∞）
17．（2023•海淀区校级模拟）不等式 2log x﹣（x﹣1）（x﹣2）＞0 的解集为
3
．
18．（2023•银川模拟）关于x的不等式ax≥log x（a＞0且a≠1）恒成立，则实数a的取
a
值范围是 ．
七．二次函数的性质与图象（共7小题）
19．（2023•和平区校级一模）若函数f（x）＝x2﹣4x+4在区间[a，a+1]上的最小值为4，
则a的取值集合为 ．
20．（2023•海淀区一模）已知二次函数f（x），对任意的x R，有f（2x）＜2f（x），则
f（x）的图象可能是（ ）
∈
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 9C． D．
21．（2023•宁波一模）若函数f（x）＝x2+mx+n在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n2﹣
m2+2n+1的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，4） D．（1，4）
22．（2023•会泽县模拟）已知二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则ac的
值是 ； 的最大值是 ．
23．（2023•宛城区校级模拟）已知二次函数 f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n R），若函数f
∈
（x）的值域是[0，+∞），且f（1）≤2，则 的取值范围是（ ）
A．[0，12] B．[1，13] C．[2，12] D．[3，13]
24．（2023•温州模拟）已知f（x）＝x2﹣ax，|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，则实数
a的最大值为 ．
25．（2023•和平区校级一模）在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②当x＝2时，f（x）取得
最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1这三个条件中任选一个，补充在下面
的问题中，并作答．
问题：已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且 _______．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域为[3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值．
八．一元二次不等式及其应用（共4小题）
26．（2023•青羊区校级模拟）不等式（x﹣1）2＜x+5的解集为（ ）
A．{x|1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|﹣4＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}
27．（2023•南昌县校级二模）已知关于x的不等式mx2+nx+6m＞0的解集为{x|2＜x＜3}，
则mx＜n的解集为 ．
28．（2023•道里区校级一模）已知 x+y＝4，且x＞y＞0，则 的最小值为
．
29．（2023•武侯区校级模拟）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}，
学科网（北京）股份有限公司 10则（ ）
A．2 A∩B B．3 A∩B C．4 A∪B D．5 A∪B
九．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共1小题）
∈ ∈ ∈ ∈
30．（2022•河北区校级模拟）若存在正实数y，使得 ，则实数x的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．4
六、易错分析
易错点1：忽视字母的取值范围而致错
1．(多选)对于任意实数 ， ， ， ，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 ； B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ； D．若 ， ，则 .
易错点2：多次运用不等式性质而致错
2、已知 ， ，求 的取值范围.
易错点3：忽视不等式中高次项的系数
3．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
易错点4：应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，
4．当 x(1,2) 时，不等式 x2 mx40 恒成立，则 m 的取值范围是( )
A. m5 B. C. m5 D. m5
5.已知递增等差数列 中， ，则 的（ ）
A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或
易错点5：忽视一元二次不等式中两根大小而致错
6．已知集合 ，集合 ，命题 ：
，
命题 ： ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
易错点6：忽视分式不等式中的分母不能为零致错
7．不等式≤1的解集是________．
易错点7：忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
8.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
学科网（北京）股份有限公司 11A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
易错点8：忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
9．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
A. B.
C．{x|x≤或x≥2}． D．
易错点9：一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
10．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－] B.
C. D．
易错点10：有关一元二次方程根的分布条件列不全致错
11． 若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
易错点11：解一元二次不等式时忽视两根大小而致错
12．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
七、刷基础
一．选择题（共14小题）
1．（2023•东城区校级模拟）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．|a|＜|b| B．
C． D．lna＞lnb
2．（2023•江宁区校级模拟）三个数 a＝ ，b＝（ ）3，c＝log 的大小顺序为
3
（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
3．（2023•吉林模拟）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0
4．（2023•河南模拟）已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
5．（2023•朝阳区一模）若a＞0＞b，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司 12A．a3＞b3 B．|a|＞|b| C． D．ln（a﹣b）＞0
6．（2023•临高县模拟）给定下列四个命题：命题①a＞b，c＞d a﹣c＞b﹣d；命题②：
⇒
a＞b （ ）a＜（ ）b；命题③： ；命题④：a＜b＜
⇒ ⇒
0 ＜ ．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
⇒
7．（2023•黄浦区模拟）已知x R，下列不等式中正确的是（ ）
∈
A． B．
C． D．
8．（2023•河南模拟）已知正实数a，b，点M（1，4）在直线 上，则a+b的最小
值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
9．（2023•河南模拟）已知正实数a，b，满足 ，则a+b的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
10．（2023•北京模拟）已知函数 ，则不等式f（x）＜0的解集为
（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞）
C．（1，2） D．（1，+∞）
11．（2023•云南模拟）设x ，x 是关于x的方程x2+（a﹣1）x+a+2＝0的根．若﹣1＜x ＜
1 2 1
1，1＜x ＜2，则实数a的取值范围是（ ）
2
A． B． C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
12．（2023•海淀区一模）已知二次函数f（x），对任意的x R，有f（2x）＜2f（x），则
f（x）的图象可能是（ ）
∈
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 13C． D．
13．（2023•柳州模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
14．（2023•顺义区二模）已知函数 f（x）＝log （x+1）﹣x，则不等式f（x）＞0的解集
2
是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，+∞）
C．（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
二．多选题（共1小题）
（多选）15．（2023•潍坊二模）已知实数a＞b＞0，则（ ）
A． B．
C．ab＞ba D．
三．填空题（共1小题）
16．（2023•青浦区二模）已知函数 y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式（ax+b）
（bx+c）（cx+a）＜0的解集是 ．
八.刷易错
一．选择题（共3小题）
1．（2023•西固区校级模拟）若 x，y是正数，则 + 的最小值是（
）
A．3 B． C．4 D．
学科网（北京）股份有限公司 142．（2022•河西区模拟）已知a R，则“a（1+a）＞0”是“0＜a＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
∈
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022•岳阳二模）已知关于x的不等式ax2+2bx+4＜0的解集为 ，其中m＜
0，则 的最小值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．8
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2022•丹东模拟）如果关于x的不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0的解集为{x|x≠a}，
那么下列数值中，b可取到的数为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
三．填空题（共3小题）
5．（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式3x+lgx≤3的解集是 ．
6．（2023•吉林模拟）已知正实数 x，y满足 ，则 的最小值为
．
7．（2023•琼中县模拟）已知正实数 x，y 满足 xy+2x+y＝4，则 x+y 的最小值为
，xy的最大值为 ．
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