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专题 7.6 数列综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·江苏苏州·模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方
式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，
他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：
.已知数列 的通项公式为 ，则其
前9项的和 等于（ ）
A．13280 B．20196 C．20232 D．29520
【答案】B
【分析】先变形得到 ，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】 ，
所以
.
故选：B.
2．（2023·全国·高三对口高考）若两个等差数列 ， 的前n项和 满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列得性质和前 项和公式计算即可.
【详解】由 ，
得 .
故选：B.
3．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）数列 满足 ， ，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求 的值.
【详解】因为 ， ，
所以 ，解得 ，
又 ，解得 ，
又 ， ， ，
显然，接下去 ，
所以数列 是以3为周期的周期数列，
则 .
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的
最大整数，则 称为“高斯函数”，例如： ， ．已知数列 满足
， ， ，若 ， 为数列 的前n项和，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用构造法可得 为等比数列，再运用累加法可得 通项公式，进而求
得 通项公式，再运用裂项相消求和可得结果.
【详解】由 ，得 ．又 ，所以数列
构成以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 .又 ， ，…， ，
叠加可得 ，
即 ，
所以 .
又因为 满足上式，所以 .
所以 .
因为 ，所以 ，
即 ，所以 .
故 .
所以 .
故选：C.
5．（2023·全国·高三对口高考）设 是公比为 的等比数列，其前 项的积为 ，并且
满足条件： ， ， ．给出下列结论：① ；② ；③
；④使 成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断①；利用等比数列的性质及不等
式的性质判断②；利用下标和定理判断③；利用等比数列的性质判断④，从而得出结论．
【详解】对于①： ，
，
，
，
．
又 ，
，且 ，
，故①正确；对于②： ，故②错误；
对于③： ，故③正确；
对于④： ，
，故④正确．
故选：D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，令
，则错误选项是（ ）
A． B．数列 是等差数列 C． 为整数
D．数列 的前2022项和为4044
【答案】C
【分析】由已知当 时，求得 ，当 时，由 ，得
，两式相减化简，再利用累乘法可求得 ，从而可判断
A，可求出 ，从而可判断BC，将 代入 中化简，然后利用分组求和法
求解即可判断D.
【详解】因为 ，
所以当 时， ，故 .
当 时，由 ，
得 ，
所以 ，
整理 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， ，所以A正确，所以 ，
所以 ，
所以 为等差数列，所以B正确，
所以 不是整数，所以C错误，
则 ，
设数列 的前n项和为 ，
则
.
因为 ，
所以 .
故 ，所以D正确.
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，
，则数列 第2023项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 ，再利用累加法计算得到答案．
【详解】由 ，则有 ，得 ，
又 ， ，则 ，
所以 ， ， ， ，
，
相加得．
故选：B．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，若对于
任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． D．
【答案】A
【详解】由题意易知， 成立，故 ；
又 ，故只要 在 上有解，则 ；
又 恒成立，即 ，即 ，则 ；
综上所述，实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（2023春·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知数列 ， ，下列说法正确的有
（ ）
A．若 ，则 为递减数列
B．若 ， ，则 为等比数列
C．若数列 的公比 ，则 为递减数列
D．若数列 的前n项和 ，则 为等差数列
【答案】ABD
【分析】对A计算 可得答案；对B变形得 可得答案；对C举例求出
可得答案；对D. 求出 可得答案.
【详解】对A，当 时， ，即 ，A正确；
对B，因为 ， ，所以 ，由已知得 ，则 是以3为公比的等比数
列，B正确；
对C，当 时， ， ，则 ，故 不是递减数列，C错误；D.由 得 时， ， ，
，检验得， 时，满足 ，所以，
，则 为等差数列，D正确.
故选：ABD.
10．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设 是数列 的前n项和，
且 ， ，则（ ）
A．
B．数列 是公差为 的等差数列
C．数列 的前5项和最大
D．
【答案】AC
【分析】令 可得 即可求 判断A，利用 的关系可得
即可判断B,C，取 求得 即可判断D.
【详解】 ，
， 或 (舍)，故选项A正确；
又 ， ， ，
数列 是公差为 的等差数列，故选项B错误；
由 得 ，
， 数列 的前5项和最大，故选项C正确；
当 时， ，这与 矛盾，
故选项D错误，
故选:AC.11．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）设数列 的前 项和为 ，
且 ，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．
C． D． 的前 项和为
【答案】ACD
【分析】由已知可得数列 是 ，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断
A、B，进而可以求 的值判断C，也易求得 的前 项和判断D.
【详解】由已知 ，当 时，可得
选项A， ，可得数列 是 ，2为公比的等比数列，
故A正确；
选项B，由选项A可得 解得 ，故B错误；
选项 C，数列 是以1为首项，4为公比的等比数列，所以
，故C正确；
选项D，因为 ，故D正确.
故选：ACD.
12．（2023·浙江·校联考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》
中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差
并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项
之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等
差数列，现有高阶等差数列 ､其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式
.则下列结论中正确的是（ ）
（参考公式： ）
A．数列 为二阶等差数列
B．数列 的前11项和最大
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据题中定义，结合累加法、等差数列前 项和公式、题中所给的公式逐一判断即可.
【详解】设 ，
所以数列 前6项分别为 ，
设 ，
所以数列 前5项分别为 ，显然数列 是以 为首项， 为公差的等差数
列，由题中定义可知数列 为二阶等差数列，因此选项A正确；
，
于是有
，
因此有
，
因为
，
所以数列 的前11项和最大不正确，因此选项B不正确；
因此选项
C正确；
，因此选项D不正确；
故选：AC
【点睛】关键点睛：利用累加法，结合题中定义、所给的公式是解题的关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设 且 ，已知数
列 满足 ，且 是递增数列，则a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据数列的单调性结合函数的性质列出不等式求解.【详解】因为 是递增数列，所以 解得 ，
故答案为: .
14．（2023·全国·高三对口高考）根据下面各数列的前几项，写出该数列的一个通项公式：
① __________.②1，3，6，10，15，…，
__________.③1，3，3，5，5，7，7，9，9，…， __________.
【答案】 . .
【分析】通过观察法分析数列的变化规律即可求解.
【详解】① 可改写为
则 .
②1，3，6，10，15，…，
， ， ，…， ，
利用累加法可得 ， .
③1，3，3，5，5，7，7，9，9，…，奇数项 ，偶数项 ，
所以
故答案为： ； ； .
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知数列 与 的
前n项和分别为 ，则 ______；若 对于任意 恒成立，
则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意化简得 ，求得 ，再把不等式的恒成立转化为 对于任意 恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设 ， ，
则 ，
所以
，
所以 .
又由 ，可得 ，
因为 对于任意 恒成立，
即 对于任意 恒成立，
设 ，
因为 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： ； .
16．（2023·山东日照·三模）已知数列 中， ， ， 是 ， 的等差中项，
是其前n项和，若数列 是公差为3的等差数列，则 ___________.
【答案】5248
【分析】利用等差数列的基本性质及求和公式计算即可.
【详解】依题意， ，故 ，
而 ，
所以 ,
且 ，故 是首项为12，公差为9的等差数列，
则 .
故答案为：5248
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据 ，作差求出公比 ，
即可得出答案；
（2）由（1）得 ，可得 ，利用分组求和法计算可得．
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
①， ，
当 时，有 ，
当 时， ②，
由① ②得 ，即 ，
， ，
，
；
（2）由（1）得 ，则 ，
， ，
，
．
18．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
求数列 的通项公式.【答案】
【分析】利用项与和的关系分 ， 求解，从而得到 是以 为首项，公差为 的
等差数列，进而求得 .
【详解】当 时， ，整理得 ， ，解得 ；
当 时， ①，可得 ②，
①－②得 ，即 ，
化简得 ，
因为 ， ，所以 ，
从而 是以 为首项，公差为 的等差数列，
所以 .
19．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知数列 的前 项和
为 ， ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据公式 得到 是常数列，确定 ，计算得
到通项公式.
（2）放缩 ，根据裂项相消法计算得到证明.
【详解】（1） ，则 ，
整理得到 ，故 ，
故 是常数列，故 ，即 ，
当 时， ，
验证 时满足，故（2） ，
故
.
20．（2023·云南保山·统考二模）已知 是数列 的前n项和， ，______.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前3项和为6.从以上两个
条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前6项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，分析可知数列 、 均为公差为 的等差数列，求出
的值，可求得 、 的表达式，可得出数列 的通项公式；
选②，求得 的值，可得出数列 的公差，即可求得 ，再由 可
求得数列 的通项公式；
（2）求出数列 的通项公式用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）选条件①： ， ，则 ，
两式作差得 ，
即数列 ， 均为公差为4的等差数列，
于是 ，
又 ，所以 ，
于是 ，
所以 .
选条件②：因为数列 为等差数列，且 的前3项和为6，则 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 的公差为 ，
所以 ，则 ，
当 时，
又 满足 ，
所以对任意的 ， .
（2）解法一：由（1）得 ，
则
，
，
所以 .
解法二：由（1）得
则
.
21．（2023·全国·校联考二模）已知数列 中，
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 恒成立，试求实数 的取
值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）对 两边同时除以 ，即可证明数列 是等
差数列，再由等差数列的通项公式求出数列 的通项公式；
（2）由（1）求出 ，再由裂项相消法求和求出 ，则 ，即 ，
求解即可.
【详解】（1） 两边同时除以 ，
数列 是首项 ，公差为2的等差数列，
，
.
（2） ，可得 ，
，即 ，即 恒成立.
.
22．（2023·浙江·校联考三模）记 为数列 的前 项和，已知 ，且满足
.
(1)证明：数列 为等差数列；(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法1：由 可得 ，由累加法求出 ，
再证明数列 为等差数列；方法2：由 可得 ，可证
得 为常数数列，求出 ，再证明数列 为等差数列；方法3：由
可得 ，两式相减可明数列 为等差数列；
（2）由（1）知 ，所以 ，方法1：由并项求和法求出数列 的前
项和 ；方法2：由错位相减求和求出数列 的前 项和 .
【详解】（1）方法1：
，
时， ，
累加得： ，
时也成立， .
， 是等差数列
方法2：
，
，
为常数数列， ，
， ， 是等差数列.
方法3：
当 时， ①，
②，
②-①可得：，
是等差数列，因为 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
方法1：并项求和
当 为偶数时，
，
方法2：错位相减求和
①
②
①-②：
