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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
考点 04 函数的基本性质
知识点1:函数的单调性
例1.已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件 ，且函数 为奇函数，下列有关
命题的说法错误的是（ ）
A．函数f（x）是周期函数
B．函数f（x）为R上的偶函数
C．f（x）的图象关于点 对称函数
D．f（x）为R上的单调函数
【答案】D
【分析】由题意利用函数的周期性、奇偶性、单调性、图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而
得出结论．
【解答】解：定义在R上的函数y＝f（x）满足条件 ，∴f（x+3）＝f（x），
故函数f（x）是周期等于3的周期函数，故A正确；
由 ，∴f（x﹣ + ）＝﹣f（x﹣ ），即 f（x﹣ ）＝﹣f（x﹣ ）．
再根据f（x）周期为3，可得 f（x﹣ ）＝f（x﹣ +3）＝f（x+ ），
∴f（x﹣ ）＝﹣f（x+ ）．
由函数 为奇函数，∴f（x﹣ ）＝﹣f（﹣x﹣ ），
∴f（x+ ）＝f（﹣x﹣ ）．
令x+ ＝t，则f（t）＝f（﹣t），故f（t）为偶函数，故f（x）为偶函数，故B正确；
∵函数 为奇函数，故它的图象关于原点对称，
故把f（x﹣ ） 向左平移 个单位，得到f（x）的图象，∴f（x）的图象关于点 对称，故C正确；
由于f（x）为偶函数，故函数f（x）在（0，+∞）和（﹣∞，0）上单调性相反，
故f（x）在R上不单调，故D错误，
故选：D．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数单调性的性质与判断、函数的周期性
练习：
1.已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（ ），则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的定义域和单调性，分析可得0≤2a﹣1＜ ，解可得a的取值范围，即可得答
案．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在[0，+∞）上的单调减函数，
若f（2a﹣1）＞f（ ），则有0≤2a﹣1＜ ，解可得 ≤a＜ ，
即a的取值范围为[ ， ），
故选：D．
【知识点】函数的单调性及单调区间、函数单调性的性质与判断
2.下列四个函数在（﹣∞，0）上为增函数的是（ ）
y＝|x|+1；② ；③ ；④ ．
①
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【分析】根据x （﹣∞，0），然后对每个函数去绝对值号，判断每个函数的单调性即可．
∈
【解答】解：①y＝|x|+1在（﹣∞，0）上是减函数；②x （﹣∞，0）时， 是常数函数，不是
增函数；
∈
x （﹣∞，0）时， 是增函数；④x （﹣∞，0）时， 是增函数．
③故选∈：C． ∈
【知识点】函数单调性的性质与判断
3.若函数f（x）为R上的单调递增函数，且对任意实数x R，都有f[f（x）﹣ex]＝e+1（e是自然对数的底
∈数），则f（ln2）＝ ．
【答案】3
【分析】设t＝f（x）﹣ex，则f（x）＝ex+t，则条件等价为f（t）＝e+1，结合已知及函数的单调性可求t，
进而可求．
【解答】解：设t＝f（x）﹣ex，则f（x）＝ex+t，则条件等价为f（t）＝e+1，
令x＝t，则f（t）＝et+t＝e+1，
∵函数f（x）为单调递增函数，
∴函数为一对一函数，解得t＝1，
∴f（x）＝ex+1，即f（ln2）＝eln2+1＝2+1＝3．
故答案为：3
【知识点】函数单调性的性质与判断
4.已知函数 ，则不等式f（3﹣x2）+f（2x）＞0的解集为 ﹣ ．
【答案】{x|-1＜x＜3}
【分析】先判断f（x）是奇函数且是R上的增函数，不等式可化为f（3﹣x2）＞f（﹣2x），可得 3﹣x2＞
﹣2x，从而求得它的解集．
【解答】解：由题意得f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ ＝1﹣ ，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数，故它在（﹣∞，0）上也是增函数．
又f（0）＝0，故f（x）是R上的增函数．
由不等式f（3﹣x2）+f（2x）＞0，可得f（3﹣x2）＞f（﹣2x），∴3﹣x2＞﹣2x，解得﹣1＜x＜
3，
故原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3}，
故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．
【知识点】函数单调性的性质与判断
5.已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足 ，如果对于0＜x＜y，都
有f（x）＞f（y），则不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的解集为 ﹣ ．
【答案】[-1，0）
【分析】令x＝y＝1易得f（1）＝0；再令x＝2，y＝ ，可得f（2）值，求出f（4）＝﹣2，由f（﹣x）+f
（3﹣x）≥﹣2，得到f[x（x﹣3）]≥f（4），再由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，
能求出原不等式的解集．
【解答】解（1）∵f（xy）＝f（x）+f（y）
∴令x＝y＝1得f（1）＝f（1）+f（1），
∴f（1）＝0
再令x＝2，y＝ ，
∴f（1）＝f（2）+f（ ）＝0，
∴f（2）＝﹣1
令x＝y＝2，∴令x＝y＝2得f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣2，
∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．
∴函数在（0，+∞）减函数，
∵f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．
∴f（x）+f（x﹣3）≥f（4），
∴f[x（x﹣3）]≥f（4），
∴ ，
解得﹣1≤x＜0
∴原不等式的解集为[﹣1，0），
故答案为：[﹣1，0）．
【知识点】函数单调性的性质与判断、抽象函数及其应用
知识点2:函数的最值与几何意义
例1.定义在R上函数f（x）满足 ，且当x [0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|．若当x [m，
∈ ∈
+∞）时， ，则m的最小值等于 ．
【分析】由已知可得，当x [n，n+1）（n Z）时， ，作出图象，数形
∈ ∈
结合可得f（ ）＝ ，由此可得满足条件的实数m的最小值．
【解答】解：根据题设可知，当x [1，2）时，x﹣1 [0，1），故 ，
∈ ∈
当x [2，3）时，x﹣1 [1，2），故f（x）＝ f（x﹣1）＝ （1﹣|2x﹣5|），
∈ ∈
同理可得：当x [n，n+1）（n Z）时， ，
∈ ∈
∴当n≥4时， ．
作函数y＝f（x）的图象，如图所示．
在 上，由 ，得 ，
由图象可知当 时， ，故m的最小值为 ．
故答案为： ．
【知识点】函数的最值及其几何意义
练习：
1.若实数x、y满足3x2﹣2xy﹣y2＝1，则 的最大值为 ．
【分析】由3x2﹣2xy﹣y2＝（3x+y）（x﹣y）＝1得5x2+2xy+y2＝ [（3x+y）2+（x﹣y）2]＝1+ [3x+y﹣（x
﹣y）]2＝1+2（x+y）2，然后代入后结合基本不等式可求．
【解答】解：实数x、y满足3x2﹣2xy﹣y2＝（3x+y）（x﹣y）＝1，
∴5x2+2xy+y2＝ [（3x+y）2+（x﹣y）2]＝ [3x+y﹣（x﹣y）]2+1＝2（x+y）2+1，
若 存在最大值，则x+y＞0，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
当且仅当2（x+y）＝ 时取等号，此时 的最大值 ．
故答案为： ．
【知识点】基本不等式及其应用、函数的最值及其几何意义
2.已知函数f（x）＝ ，若f（x）在区间（a，a+3）上既有最大值又有最小值，则实数a
的取值范围为 ．【答案】（-2，-1]
【分析】画出函数f（x）的图象，若f（x）在（a，a+3）上既有最大值又有最小值，结合图象得到不等式
求解即可．
【解答】解：f（x）的图象如图所示
∵f（x）在（a，a+3）上既有最大值又有最小值，
∴ ，解得﹣2＜a≤﹣1，
故a的取值范围为（﹣2，﹣1]．
故答案为：（﹣2，﹣1]．
【知识点】函数的最值及其几何意义、分段函数的应用
3.函数f（x）＝ 在（﹣∞，2）上的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【分析】用分母表示出分子，使用基本不等式得出最小值．
【解答】解：f（x）＝ ＝ ＝2﹣x+ ，
∵x＜2，∴2﹣x＞0，
∴2﹣x+ ≥2，当且仅当2﹣x＝ 即x＝1时取等号．
∴f（x）的最小值为2．
故选：B．
【知识点】函数的最值及其几何意义
4.已知函数 的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C
【分析】令 ，判断函数g（x）为定义域上的奇函数，再由奇函数的对称性即可求
得答案．
【解答】解：令 ，
∵ ，∴函数g（x）为奇函数．
∴g（x） +g（x） ＝0，故f（x） ﹣2+f（x） ﹣2＝0，
max min max min
∴f（x） +f（x） ＝4．
max min
故选：C．
【知识点】函数的最值及其几何意义
5.已知函数f（x）＝|x2﹣2x﹣3|在[﹣1，m]上的最大值为f（m），则m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1] B．（﹣1，1+2 ]
C．[1+2 ，+∞） D．（﹣1，1]∪[1+2 ，+∞）
【答案】D
【分析】本题先画出函数f（x）大致图象，然后根据图象对m进行分类谈论，即可得到m的取值范围．
【解答】解：由题意，函数f（x）大致图象如下：
根据题意及图，可知
当﹣1＜m≤1时，f（x） ＝f（m）．
max
令x2﹣2x﹣3＝4，解得x＝1±2 ，
则当1＜m＜1+2 时，f（x） ＝f（1）≠f（m）．
max
．当m≥1+2 时，f（x） ＝f（m）．
max
∴满足题意的m的取值范围为：（﹣1，1]∪[1+2 ，+∞）．
故选：D．
【知识点】函数的最值及其几何意义
知识点3:函数的奇偶性例1.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+2），且x （0，1]时，f
（x）＝log （x+1），则f（2019）+f（2020）＝（ ） ∈
2
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】D
【分析】根据f（x+2）＝﹣f（x）即可得出f（x）的周期为4，根据f（x）是R上的奇函数及f（1）＝1即
可求出f（0）＝0，f（3）＝﹣1，从而可得出f（2019）+f（2020）的值．
【解答】解：因为f（x+2）＝﹣f（x）所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
可得f（x）的最小正周期为4，
由x （0，1]时f（x）＝log （x+1），可得f（1）＝1，
2
∴f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣1．
∈
∴f（2019）+f（2020）＝f（3）+f（0）＝﹣1+0＝﹣1
故选：D．
【知识点】函数的值、函数奇偶性的性质与判断、抽象函数及其应用
练习：
1.定义在R上的偶函数f（x）满足 ，则f（2021）＝（ ）
A．﹣3或4 B．﹣4或3 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据题意，利用特殊值分析可得f（1）＝ ，解可得f（1）的值，结合函数的奇偶性可
得 ＝ ，则有f（x+2）＝f（2﹣x），变形可得f（x+4）＝f（x），即可得函
数的周期性，则有f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），即可得答案．
【解答】解：根据题意，偶函数f（x）满足 ，则f（x）≥0，
若x＝﹣1，则f（1）＝ ＝ ，解可得f（1）＝4或﹣3，
又由f（x）≥0，则f（x）＝4，
f（x）为偶函数，则 ＝ ，则有 f（x+2）＝f（2﹣x），变形可得 f
（x+4）＝f（x），
则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）＝f（1+2020）＝f（1）＝4，
故选：D．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、抽象函数及其应用、函数的值
2.已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0≤x＜1时，f（x）＝2x+a，f（1）＝0，则f
（﹣3）+f（4﹣log 7）＝（ ）
2
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝20+a＝0，解可得a的值，即可得函数的解析式，结合函
数的奇偶性与周期性求出f（﹣3）与f（4﹣log 7）的值，计算即可得答案．
2
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数且当0≤x＜1时，f（x）＝2x+a，
则f（0）＝20+a＝0，解可得a＝﹣1，则f（x）＝2x﹣1，
函数f（x）是定义在R上周期为2的奇函数且f（1）＝0，
则f（﹣3）＝f（1）＝0，
f（4﹣log 7）＝f（2﹣log 7），
2 2
又由2＜log 7＜3，则﹣1＜2﹣log 7＜0，则有0＜log 7﹣2＜1，
2 2 2
则f（log 7﹣2）＝f（log ）＝ ﹣1＝ ，
2 2
则f（4﹣log 7）＝﹣f（log 7﹣2）＝﹣ ；
2 2
则f（﹣3）+f（4﹣log 7）＝0﹣ ＝﹣ ；
2
即答案为：﹣ ．
故选：D．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的周期性
3.已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件 ，且函数 为奇函数，下列有关命
题的说法错误的是（ ）
A．函数f（x）是周期函数
B．函数f（x）为R上的偶函数
C．f（x）的图象关于点 对称函数
D．f（x）为R上的单调函数
【答案】D
【分析】由题意利用函数的周期性、奇偶性、单调性、图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而
得出结论．
【解答】解：定义在R上的函数y＝f（x）满足条件 ，∴f（x+3）＝f（x），
故函数f（x）是周期等于3的周期函数，故A正确；
由 ，∴f（x﹣ + ）＝﹣f（x﹣ ），即 f（x﹣ ）＝﹣f（x﹣ ）．
再根据f（x）周期为3，可得 f（x﹣ ）＝f（x﹣ +3）＝f（x+ ），
∴f（x﹣ ）＝﹣f（x+ ）．
由函数 为奇函数，∴f（x﹣ ）＝﹣f（﹣x﹣ ），
∴f（x+ ）＝f（﹣x﹣ ）．
令x+ ＝t，则f（t）＝f（﹣t），故f（t）为偶函数，故f（x）为偶函数，故B正确；∵函数 为奇函数，故它的图象关于原点对称，
故把f（x﹣ ） 向左平移 个单位，得到f（x）的图象，
∴f（x）的图象关于点 对称，故C正确；
由于f（x）为偶函数，故函数f（x）在（0，+∞）和（﹣∞，0）上单调性相反，
故f（x）在R上不单调，故D错误，
故选：D．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数单调性的性质与判断、函数的周期性
4.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x [0，+∞）时，f（x）是增函数，且f（﹣2）＝0，则不等
式f（x﹣2）＜0的解集为 ． ∈
【答案】（0，4）
【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得 f（x﹣2）＜0 f（|x﹣2|）＜f（2）⇒|x﹣2|＜2，解
可得x的取值范围，即可得答案．
⇒
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x﹣2）＝f（|x﹣2|），f（﹣2）＝f
（2），
又由当x [0，+∞）时，f（x）是增函数，且f（﹣2）＝0，
则f（x﹣2）＜0 f（|x﹣2|）＜f（2）⇒|x﹣2|＜2，
∈
解可得：0＜x＜4，即不等式f（x﹣2）＜0的解集为（0，4），
⇒
故答案为：（0，4）
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
5.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝﹣f（x），当x [﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2
﹣2x，则当x [4，6]时，y＝f（x）的最小值为 ﹣ ． ∈
【答案】-1 ∈
【分析】可根据f（x+2）＝﹣f（x）得出f（x+4）＝f（x），即得出f（x）的周期为4，再根据f（x）是奇
函数，且x [﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，即可求出 x [0，2]时，f（x）＝x2﹣2x．然后设
x [4，6]，从而得出x﹣4 [0，2]，从而可以得出x [4，6]时f（x）＝x2﹣10x+24，这样配方即可
∈ ∈
求出f（x）在[4，6]上的最小值．
∈ ∈ ∈
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝f（x），即f（x）的周期为4，
∵f（x）是奇函数，且x [﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，设x [0，2]，﹣x [﹣2，0]，则f
（﹣x）＝﹣x2+2x＝﹣f（x），
∈ ∈ ∈
∴x [0，2]时，f（x）＝x2﹣2x，
设x [4，6]，则x﹣4 [0，2]，
∈
∴f（x）＝f（x﹣4）＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝x2﹣10x+24＝（x﹣5）2﹣1，
∈ ∈
∴x＝5时，f（x）取最小值﹣1．
故答案为：﹣1．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断知识点4:函数的周期性
例 1.已知函数 f（x）是奇函数，且 f（x+2）＝﹣f（x），若 f（x）在[﹣1，0]上是增函数，
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由f（x+2）＝﹣f（x），得f（x+4）＝f（x），利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小．
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），函数f（x）是奇函数，
∴f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），
∴函数f（x）关于x＝1对称，
且f（x+4）＝f（x），
∴函数是周期为4的周期数列．
∵f（x）在[﹣1，0]上是增函数，
∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（x）在[1，2]上是减函数，
f（ ）＝f（4+ ）＝f（ ）＝f（ ），
∵f（x）在[1，2]上是减函数，且1＜ ＜ ，
∴f（1）＞f（ ）＞f（ ），
即f（ ）＜f（ ）＜f（1），
故选：D．
【知识点】函数的周期性、奇偶性与单调性的综合
练习：
1.已知f（x）是定义在R上周期为2的函数，当x [﹣1，1]时，f（x）＝|x|，那么当x [﹣7，﹣5]时，f
（x）＝（ ） ∈ ∈
A．|x+3| B．|x﹣3| C．|x+6| D．|x﹣6|
【答案】C
【分析】当x [﹣7，﹣5]时，x+6 [﹣1，1]．再利用周期性即可得出．
【解答】解：当x [﹣7，﹣5]时，x+6 [﹣1，1]．
∈ ∈
∴f（x）＝f（x+6）＝|x+6|，
∈ ∈故选：C．
【知识点】函数的周期性
2.已知定义在R上的函数 f （x）满足①f（2﹣x）＝f（x）②f（x+2）＝f（x﹣2）③x ，x [1，3]时，
1 2
∈
＜0则 f（2014），f（2015），f（2016）的大小关系为（ ）
A．f （2014）＞f （2015）＞f （2016）
B．f （2016）＞f （2014）＞f （2015）
C．f （2016）＝f （2014）＞f （2015）
D．f （2014）＞f （2015）＝f （2016）
【答案】C
【分析】根据已知可得函数 f （x）的图象关于直线x＝1对称，周期为4，且在[1，3]上为减函数，进而可
比较f（2014），f（2015），f（2016）的大小．
【解答】解：∵函数 f （x）满足：
f（2﹣x）＝f（x），故函数的图象关于直线x＝1对称；
f（x+2）＝f（x﹣2），故函数的周期为4；
①
②
x，x [1，3]时， ＜0，故函数在[1，3]上为减函数；
1 2
故f（2014）＝f（2），
③ ∈
f（2015）＝f（3），
f（2016）＝f（0）＝f（2），
故f （2016）＝f （2014）＞f （2015），
故选：C．
【知识点】函数的周期性
3.设f（x）是定义域在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上， 其中a，
b R，若 ，则a+3b的值为 ﹣ ．
【答∈案】-10
【分析】利用周期可得f（﹣1）＝f（1），f（ ）＝f（﹣ ），列出方程组即可解出a，b的值．
【解答】解：∵f（x）是周期为2的函数，
∴f（ ）＝f（﹣ ）＝﹣ +1，又f（ ）＝ ＝ ，
∴﹣ +1＝ ，①
又f（﹣1）＝f（1），
∴﹣a+1＝ ，②，
联立①②可得a＝2，b＝﹣4．
∴a+3b＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【知识点】函数的周期性
4.已知f（x）是定义在R上的函数，且满足 ，当2≤x≤3时，f（x）＝2x，则
＝
【分析】通过关系式 可以算出函数的周期为 4，再利用周期为 4 把 化成满足
2≤x≤3的定义域内，得到 ，代入到解析式中求得相
应的值．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴f（x）的周期为4，
∵ ，
∴ ∈[2，3]，
∴ ，
故答案为： ．
【知识点】函数的周期性5.设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x （0，1]时，f（x）＝x（x﹣1），若对任
∈
意x （﹣∞，m]，都有 ，则m的最大值是 ．
【分析∈】先判断f（x+1）＝2f（x）对于函数f（x）图象的变换，确定x所在的区间，求出解析式，得到m
的最大值．
【解答】解：当x （0，1]时，函数f（x）在（0，0.5）上递减，在（0.5，1]上递增，所以f ＝f（0.5）＝
min
∈
﹣ ，
因为f（x+1）＝2f（x），当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，最小值不断变
小，
当图象向左平移2个单位时，最小值变为原来的 ，最小值不断变大．
当x （1，2]时，f ＝f（1.5）＝﹣ ，
min
x﹣1 （0，1]，所以f（x）＝f（x﹣1+1）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2），
∈
当x （2，3]时，f ＝f（1.5）＝﹣1，
min
∈
当x （1，2]，x﹣1 （0，1]，f（x）＝f（x﹣1+1）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3），
∈
∈ ∈
令4（x﹣2）（x﹣3）＝﹣ ，则x＝ ，
根据题意，故m最大值为 ．
故答案为： ．
【知识点】函数的周期性
知识点5:函数恒成立问题
例1.已知f（x）＝x|x|，对任意的x R，f（ax2）+4f（3﹣x）≥0恒成立，则实数a的最小值是（ ）
∈
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为ax2﹣2x+6≥0恒成立，由二次函数的性质即可求
解．
【解答】解：f（x）＝x|x|，定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，
当x≥0时，f（x）＝x2为增函数，所以当x＜0时，f（x）为增函数，
所以f（x）＝x|x|是R上的增函数，且f（kx）＝k2f（x），
因为f（ax2）+4f（3﹣x）≥0，所以f（ax2）≥﹣4f（3﹣x）＝4f（x﹣3）＝f（2x﹣6），
所以ax2≥2x﹣6，即ax2﹣2x+6≥0恒成立，
所以a＞0且△＝4﹣24a≤0，故a≥ ，即a的最小值是 ．
故选：C．
【知识点】函数恒成立问题
练习：
1.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意x [﹣3，3]，不等式f（x+a）≥4f
（x）恒成立，则实数a的取值范围是（ ） ∈
A．[3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．[﹣3，3] D．（0，1）
【答案】A
【分析】由f（x）为奇函数，求得f（x）＝x|x|，判断f（x）在R上递增，原不等式化为x+a≥2x对任意
x [﹣3，3]恒成立，运用参数分离和函数的最值求法，可得所求范围．
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，
∈
可得x＜0时，f（x）＝﹣x2，
则f（x）＝x|x|，
由f（x）在[0，+∞）递增，（﹣∞，0）递增，且f（x）连续，f（0）＝0，
可得f（x）在R上为增函数，
f（x+a）≥4f（x）即为f（x+a）≥f（2x），
可得x+a≥2x对任意x [﹣3，3]恒成立，
即有a≥x对任意x [﹣3，3]恒成立，
∈
则a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．
∈
故选：A．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数恒成立问题
2.若两个正实数x，y满足 ，对这样的x，y，不等式 恒成立，则实数m的取值范围
是（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣4，1）
C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
【答案】A
【分析】利用基本不等式可把问题转化为解不等式m2﹣3m＜4，由此容易得解．
【解答】解：由 ，当且仅当“x＝4y”时取等号，
故m2﹣3m＜4，解得﹣1＜m＜4，
故选：A．
【知识点】函数恒成立问题
3.若不等式ax2+（a﹣4）x+a＜0对于x R恒成立，则a的取值范围是 ﹣∞ ﹣ ．
【答案】（-∞，-4） ∈
【分析】讨论a的符号，根据二次不等式解法列不等式组求出a的范围．【解答】解：若a＝0，不等式等价于﹣4x＜0，即x＞0，显然不符合题意，
若a≠0，由ax2+（a﹣4）x+a＜0对于x R恒成立可得：
∈
，解得a＜﹣4．
故答案为：（﹣∞，﹣4）．
【知识点】函数恒成立问题
4.已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝log x+2x，且x （1，2）时，f（x）＜g（x）恒成立，则a的取值范围
a
为 ． ∈
【答案】（1，2]
【分析】构造函数，利用函数恒成立，通过a的范围判断求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝x2+1，g（x）＝log x+2x，且x （1，2）时，f（x）＜g（x）恒成立，
a
可得log x+2x﹣x2﹣1＞0恒成立，即log x﹣（x﹣1）2＞0在x （1，2）时，恒成立；
a a
∈
显然a （0，1）不成立，所以a＞1，此时log x＞0，y＝log x是增函数，
a a
∈
log x﹣（x﹣1）2＞0在x （1，2）时，恒成立，可得log x＞1，
a a
∈
解得a （1，2]．
∈
故答案为：（1，2]．
∈
【知识点】函数恒成立问题
5.己知函数f（x）＝2tx+ln（x﹣n+2），g（x）＝ ﹣t，若函数h（x）＝ ﹣（1﹣n）x+n﹣8在
（﹣∞，+∞）上是增函数，且 f（x）g（x）≤0 在定义域上恒成立，则实数 t 的取值范围是
．
【分析】利用导数可得n＝2，则 在（0，+∞）上恒成立，且t＝0时显然不满足条
件，再以t＜0及t＞0两种情况讨论即可．
【解答】解：h′（x）＝4x2﹣2nx﹣（1﹣n），由题意，h′（x）≥0恒成立，则（﹣2n）2+16（1﹣n）
≤0，即n2﹣4n+4≤0恒成立，所以n＝2，
∴f（x）＝2tx+lnx，
∴ ≤0在（0，+∞）上恒成立，t＝0时显然不满足条件，
①当t＜0时， 恒成立，则2tx+lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，显然，当x＝e时，函数 （x）取得最小值为 ，
φ
∴ ；
②当t＞0时，（2tx+lnx）（tx﹣1）≥0在（0，+∞）上恒成立，
当tx﹣1≥0，即 时，2tx+lnx≥0恒成立，则 ，解得0＜t≤e2，当tx﹣1≤0，即 时，2tx+lnx≤0恒成立，则 ，解得t≥e2，
故t＝e2，
综上，实数t的取值范围是 ．
故答案为： ．
【知识点】函数恒成立问题
1.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，则
不等式f（3x﹣1）＞f（x+5）的解集为（ ）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，2） C．（3，+∞） D．（2，+∞）
【答案】C
【分析】根据题意可得出f（x）在R上是增函数，从而由原不等式可得出3x﹣1＞x+5，然后解出x的范围
即可．
【解答】解：不妨设a＞b，∵（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，∴f（a）＞f（b），
∴f（x）是R上的增函数，
原不等式等价于3x﹣1＞x+5，解得x＞3，
∴原不等式的解集为（3，+∞）．
故选：C．
【知识点】函数单调性的性质与判断
2.已知函数 是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8 ）
【答案】D
【分析】先分区间保证函数f（x）单调递增，再使函数在端点x＝1处满足（4﹣ ）×1+2≤a1即可．
【解答】解：因为f（x）为R上的增函数，所以有：
当x＞1时f（x）＝ax单调递增，则a＞1 ；
①
当x≤1时f（x）＝ 单调递增，则4﹣ ＞0，解得a＜8 ；
②
且（4﹣ ）×1+2≤a1，解得a≥4 ．
综合①②③，得实数a取值范围是[4，8）．
③
故选：D．【知识点】函数单调性的性质与判断
3.设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝
max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．0 D．
【答案】A
【分析】先通过比较求出函数的解析式，再各段求出最小值即可．
【解答】解：令x2﹣x﹣1≥x+2，解得x≥3或x≤﹣1，
则M（x）＝ ，
当x≥3或x≤﹣1时，M（x） ＝M（﹣1）＝1，
min
当﹣1＜x＜3时，函数没有最小值，
综上：函数的最小值为1，
故选：A．
【知识点】函数的最值及其几何意义
4.若函数f（x）＝ 在（﹣∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为（ ）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[1，15] D．[1，17]
【答案】C
【分析】当x＝1时，f（x）＝2x+2此时的最大值为4，可知a≥1，而x＞1时，f（x）＝log （x+1）单调性
2
递增，其f（x） ≤4，然后求出a的范围；
max
【解答】解：由题意，当x≤1时，f（x）＝2x+2，此时的最大值为4，
当x＞1时，f（x）＝log （x+1）单调性递增，其最大值f（x） ≤4，
2 max
令log （x+1）≤4，解得x≤15，
2
所以a的取值范围为[1，15]．
故选：C．
【知识点】函数的最值及其几何意义
5.已知f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x﹣2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（ ）的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．
【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x﹣2，
则f（ ）＝ ﹣2＝﹣ ，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣ ）＝﹣f（ ）＝ ，故选：C．
【知识点】函数的值、函数奇偶性的性质与判断
6.已知定义在R上的函数y＝f（x+1）﹣3是奇函数，当x （1，+∞）时，f'（x）≥x+ ﹣3，则不等式[f
（x）﹣3]ln（x+1）＞0的解集为（ ） ∈
A．（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（e，+∞）
C．（0，1）∪（e，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【答案】D
【分析】根据已知可得对∀x （0，+∞），均有f'（x+1）≥0，从而可得y＝f（x+1）﹣3在（0，+∞）上
单调递增，由函数的奇偶性可知函数y＝f（x+1）﹣3在R上单调递增，作出函数y＝f（x+1）﹣3
∈
的大致图象，利用图象的平移可得f（x）﹣3的图象，数形结合即可求得不等式的解集．
【解答】解：因为x （1，+∞）时，f'（x）≥x+ ﹣3，
则可令x＝x+1，此时x＞0，
1 1
∈
所以当x （0，+∞）时，f'（x+1）≥x+ ﹣2，
1 1 1
即对∀x （∈ 0，+∞），均有f'（x+1）≥0，
因为y＝f（x+1）﹣3，所以y′＝f′（x+1），
∈
所以y＝f（x+1）﹣3在（0，+∞）上单调递增，
由函数y＝f（x+1）﹣3是奇函数，
所以函数y＝f（x+1）﹣3在R上单调递增，
故可大致画出函数y＝f（x+1）﹣3的图象，
对于f（x）﹣3只需要将y＝f（x+1）﹣3向右平移1个单位即可得到，
当x＞0时，ln（x+1）＞0，此时只需要f（x）＞3即可，
由图象可知，此时x （1，+∞），
当﹣1＜x＜0时，ln（x+1）＜0，此时只需要f（x）＜3即可，
∈
由图象可知，此时x （﹣1，0）．
综上，不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
∈故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数奇偶性的性质与判断
7.已知函数f（x）对任意x R都有f（x+2）＝﹣f（x），且当x [0，2）时，f（x）＝log （x+1），则f
2
（2021）﹣f（﹣2021）＝∈（ ） ∈
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【分析】根据f（x+2）＝﹣f（x），求得f（x）的周期为4，从而可求函数值．
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是周期为4的周期函数，
∵当x [0，2）时，f（x）＝log （x+1），
2
∴f（2021）＝f（1）＝log 2＝1，
2
∈
由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x）＝﹣f（x+2），
f（﹣2021）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，
∴f（2021）﹣f（﹣2021）＝2．
故选：A．
【知识点】函数的值、抽象函数及其应用
8.已知函数f（x）是R上的偶函数．若对于x≥0都有f（x）＝f（2+x），且当x [0，2）时，f（x）＝log
2
（x+1），则f（﹣2019）+f（2020）的值为（ ） ∈
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先求出函数的周期T＝2，所以f（﹣2019）+f（2020）＝f（2019）+f（2020）＝f（1）+f（0），
在代入解析式求值即可．
【解答】解：因为f（x）为R上的偶函数，
所以f（x）＝f（﹣x），
又因为对于x≥0，都有f（x）＝f（2+x），
所以函数f（x）的周期T＝2，
f（﹣2019）+f（2020）＝f（2019）+f（2020）
＝f（1）+f（0）
＝log （1+1）+log （0+1）
2 2
＝1+0
＝1．
故选：C．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的周期性
9.对∀x R，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．﹣∈ 2＜a≤2 B．﹣2≤a≤2 C．a＜﹣2或a≥2 D．a≤﹣2或a≥2
【答案】A
【分析】对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围．
【解答】解：不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x R恒成立，
当a﹣2＝0，即a＝2时，﹣4＜0恒成立，满足题意；
∈当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，
需 ，即有 ，
解得﹣2＜a＜2．
综上可得，a的取值范围为（﹣2，2]．
故选：A．
【知识点】函数恒成立问题
10.正数a，b满足9a+b＝ab，若不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是
（ ）
A．[3，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）
【答案】A
【分析】求出a+b＝（a+b）（ + ）＝10+ + ≥10+6＝16（当且仅当b＝3a时取等号），问题转化
为m≥﹣x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m
的取值范围．
【解答】解：∵正数a，b满足 + ＝1，
∴a+b＝（a+b）（ + ）＝10+ + ≥10+2 ＝10+6＝16（当且仅当b＝3a时取等
号）．
由不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，
可得﹣x2+2x+18﹣m≤16对任意实数x恒成立，
即m≥﹣x2+2x+2对任意实数x恒成立，
即m≥﹣（x﹣1）2+3对任意实数x恒成立，
∵﹣（x﹣1）2+3的最大值为3，
∴m≥3，
故选：A．
【知识点】函数恒成立问题
11.已知函数 ，则f（x）的递减区间是 ．
【分析】根据对勾函数的性质画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间即可．
【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：，
结合图象，函数f（x）在（0， ），（1，2）递减，
故答案为：（0， ），（1，2）．
【知识点】函数单调性的性质与判断
12.已知f（x）＝ 是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是 ．
【分析】由题意可得 ，由此求得a的取值范围．
【解答】解：由于f（x）＝ 是定义在R上的减函数，∴ ，
求得 ≤a＜ ，
故答案为：[ ， ）．
【知识点】函数单调性的性质与判断
13.函数f（x）＝|3﹣x|+|x﹣7|的最小值等于 ．
【答案】4
【分析】通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，画出函数的图象，结合图象求出函数的最小
值即可．
【解答】解：f（x）＝|3﹣x|+|x﹣7|＝ ，
画出函数f（x）的图象，如图示：，
结合图象，函数的最小值是4，
故答案为：4．
【知识点】函数的最值及其几何意义
14.设函数f（x）＝ ．
①若a＝1，则f（x）的最小值为 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
【分析】①代入a的值，求出f（x）在各个区间的最小值即可判断；
②通过讨论a的范围，再讨论x≥1和x＜1的情况，求出满足f（x）恰有2个零点的a的范围
即可．
【解答】解：①若a＝1，x≥1时，f（x）＝log x﹣1，f（x）在[1，+∞）递增，f（x）的最小值是f（1）＝
2
﹣1，
x＜1时，f（x）＝5（x﹣1）（x﹣3）＝5（x2﹣4x+3），f（x）在（﹣∞，1）递减，f（x）＞f
（1），
故f（x）的最小值是﹣1；
a＝0时，x≥1时，f（x）＝log x，f（x）递增，f（x）有1个零点是x＝1，
2
x＜1时，f（x）＝5x2，f（x）有1个零点是x＝0，
②
故a＝0时，f（x）恰有2个零点，符合题意；
a＞0时，x≥1时，f（x）＝log x﹣a，f（x）递增，f（x）≥f（1）＝﹣a＜0，f（x）在
2
[1，+∞）1个零点，
x＜1时，f（x）＝5（x﹣a）（x﹣3a），若f（x）在（﹣∞，1）恰有1个零点，
则零点是x＝a＜1，3a＞1，解得： ＜a＜1，
a＜0时，x≥1时，f（x）＝log x﹣a，f（x）递增，f（x）≥f（1）＝﹣a＞0，f（x）在
2
[1，+∞）0个零点，
x＜1时，f（x）＝5（x﹣a）（x﹣3a）恰有2个零点，则x＝a＜0，x＝3a＜0，符合题意，
当a＝ 时，f（x）＝ ，当x＜1时，函数1个零点是 ，
当x＞1时，函数1个零点是 ，共2个零点，
故a＝ 符合题意，
综上，若f（x）恰有2个零点，则a≤0或 ≤a＜1，
故答案为：﹣1，（﹣∞，0]∪[ ，1）．
【知识点】函数的最值及其几何意义
15.若函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时， ，则函数y＝f（x）在R上的解
析式为f（x）＝ ．
【分析】利用已知奇函数定义，先由 x＞0时函数解析式求出x＜0时的解析式，再由奇函数性质求解 f
（0），即可求解．
【解答】解：因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时， ，
设x＜0，则﹣x＞0，
故f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（ ）﹣x﹣1＝﹣1﹣2x，
由奇函数性质得，f（0）＝0，
故f（x）＝ ．
故答案为： ．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数奇偶性的性质与判断
16.设奇函数f（x）的定义域为R，且对任意实数x满足f（x+1）＝﹣f（x），若当x [0，1]时，f（x）＝2x
∈
﹣1，则f（ ）＝ ．
【分析】利用已知的f（x+1）＝﹣f（x）得到函数的周期，再利用奇偶性结合周期性将给定值转换到给定
区间，求得结果即可
【解答】解：∵f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+1）
∴f（x+1）＝﹣f（x+2）
∴f（x）＝f（x+2）
∴f（x）为周期为2的奇函数．
∴ ．
∵f（x）周期为2，
∴
故 ．
【知识点】函数的周期性
17.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f（x）＝x2，则当x＜0时，f（x）＝ ；若对任
意的x [a﹣1，a+1]，恒有f（x+a）＞a2f（x），则实数a的取值范围是 ．
∈
【分析】由当x≥0时，f（x）＝x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）＝﹣x2，从而f（x）在R上是
单调递增函数，且满足a2f（x）＝f（ax），再根据不等式f（x+a）＞a2f（x）＝f（ax），在x [a
﹣1，a+1]，恒成立，利用一次函数的单调性，可得不等式，即可得出答案．
∈
【解答】解：当x≥0时，f（x）＝x2，
∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝﹣x2，
∴f（x）＝x|x|，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足a2f（x）＝f（ax），
∵不等式f（x+a）＞a2f（x）＝f（ax）在x [a﹣1，a+1]恒成立，
∴x+a＞ax即（a﹣1）x﹣a＜0在x [a﹣1，a+1]恒成立，
∈
∈
即有 ，即为 ，
可得 ＜a＜ ，
故答案为：﹣x2，（ ， ）．
【知识点】函数恒成立问题
18.设 f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x [﹣2，1）时， ，则
∈
＝ ．【分析】推导出f（ ）＝f（﹣ ）＝4×（﹣ ）2﹣2＝ ，由此能求出 ＝f（ ）＝ ．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，
当x [﹣2，1）时， ，
∈
∴f（ ）＝f（﹣ ）＝4×（﹣ ）2﹣2＝ ，
＝f（ ）＝ ．
故答案为： ．
【知识点】函数的值、函数的周期性
1.（2020•新课标Ⅱ）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（ ）
A．ln（y﹣x+1）＞0 B．ln（y﹣x+1）＜0
C．ln|x﹣y|＞0 D．ln|x﹣y|＜0
【答案】A
【分析】方法一：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调
递增，且f（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．
方法二：根据条件取x＝﹣1，y＝0，即可排除错误选项．
【解答】解：方法一：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，
令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），
所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，
故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0．
方法二：取x＝﹣1，y＝0，满足2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，
此时ln（y﹣x+1）＝ln2＞0，ln|x﹣y|＝ln1＝0，可排除BCD．
故选：A．
【知识点】函数单调性的性质与判断
2.（2019•新课标Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）
A．f（log ）＞f（2 ）＞f（2 ）
3B．f（log ）＞f（2 ）＞f（2 ）
3
C．f（2 ）＞f（2 ）＞f（log ）
3
D．f（2 ）＞f（2 ）＞f（log ）
3
【答案】C
【分析】根据log 4＞log 3＝1， ，结合f（x）的奇偶和单调性即可判断．
3 3
【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数
∴ ，
∵log 4＞log 3＝1， ，
3 3
∴0
f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴ ＞ ＞ ，
故选：C．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数单调性的性质与判断
3.（2019•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y＝
【答案】A
【分析】判断每个函数在（0，+∞）上的单调性即可．
【解答】解： 在（0，+∞）上单调递增， 和 在（0，+∞）上都是减函数．
故选：A．
【知识点】函数单调性的性质与判断
4.（2017•上海）函数f（x）＝（x﹣1）2的单调递增区间是（ ）
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．
【解答】解：函数f（x）的对称轴是x＝1，开口向上，
故f（x）在[1，+∞）递增，
故选：B．
【知识点】函数的单调性及单调区间
5.（2017•山东）若函数exf（x）（e＝2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（ ）
A．f（x）＝2﹣x B．f（x）＝x2 C．f（x）＝3﹣x D．f（x）＝cosx
【答案】A
【分析】根据已知中函数f（x）具有M性质的定义，可得f（x）＝2﹣x时，满足定义．
【解答】解：当f（x）＝2﹣x时，函数exf（x）＝（ ）x在R上单调递增，函数f（x）具有M性质，
故选：A．
【知识点】函数单调性的性质与判断
6.（2020•海南）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（5，+∞） D．[5，+∞）
【答案】D
【分析】由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令t＝x2﹣4x﹣5，由外层函数y＝lgt是其定义域内的
增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递
增，需内层函数 t＝x2﹣4x﹣5 在（a，+∞）上单调递增且恒大于 0，转化为（a，+∞）⊆
（5，+∞），即可得到a的范围．
【解答】解：由x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5．
令t＝x2﹣4x﹣5，
∵外层函数y＝lgt是其定义域内的增函数，
∴要使函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，
则需内层函数t＝x2﹣4x﹣5在（a，+∞）上单调递增且恒大于0，
则（a，+∞）⊆（5，+∞），即a≥5．
∴a的取值范围是[5，+∞）．
故选：D．
【知识点】复合函数的单调性
7.（2018•全国）f（x）＝ln（x2﹣3x+2）的递增区间是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1， ） C．（ ，+∞） D．（2，+∞）
【答案】D
【分析】令t＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）＞0，求得函数的定义域，根据f（x）＝lnt，本题即求函数t在
定义域内的增区间，结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间．
【解答】解：令t＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）＞0，求得x＜1或x＞2，
故函数的定义域为{x|x＜1或x＞2 }，f（x）＝lnt，
本题即求函数t在定义域内的增区间．
结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为（2，+∞），
故选：D．
【知识点】复合函数的单调性
8.（2019•上海）已知 R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ x），存在常数a R，使f（x+a）为偶函数，
则 的值可能为（ ω∈ ） ω ∈
ω
A． B． C． D．【答案】C
【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．
【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ x），存在常数a R，
f（x+a）为偶函数，
ω ∈
则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ （x+a）]，
由于函数为偶函数，
ω
故：a＝6，
所以： ，
当k＝1时． ＝
故选：C．
ω
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
9.（2019•海南）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1
【答案】D
【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x＜0时的f（x）．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1，
∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，
即f（x）＝﹣e﹣x+1．
故选：D．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数奇偶性的性质与判断
10.（2019•天河区）已知偶函数f（x），当x [0，2）时，f（x）＝﹣ ，当x [2，+∞）时，f（x）＝
∈ ∈
log x，则f（﹣4）+f（﹣ ）＝（ ）
2
A．﹣4 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣4）与f（﹣ ）的值，结合函数的奇偶性可得f（4）与f（
）的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，当x [0，2）时，f（x）＝﹣ ，则f（ ）＝﹣ ＝﹣ ，
当x [2，+∞）时，f（x）＝log x，f（4）＝log 4＝2，
2 2
∈
∈
又由f（x）为偶函数，则f（﹣4）＝f（4）＝2，f（﹣ ）＝f（ ）＝﹣ ；
则f（﹣4）+f（﹣ ）＝2﹣ ＝ ；故选：D．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
11.（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f
（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解
即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，
故选：C．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
12.（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）
≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．
【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；
故f（﹣1）＜0；
当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，
此时 ，此时1＜x≤3，
当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，
即 ，得﹣1≤x＜0，
综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，
即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，
故选：D．
【知识点】奇偶性与单调性的综合
13.（2019•天津）已知a R．设函数f（x）＝ 若关于x的不等式f（x）≥0在R上
∈
恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]
【答案】C
【分析】分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．
【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；
当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0 2a≥ 恒成立，
⇔
令g（x）＝ ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣（1﹣x+ ﹣2）≤
﹣（2 ﹣2）＝0，
∴2a≥g（x） ＝0，∴a＞0．
max
当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0 a≤ 恒成立，
⇔
令h（x）＝ ，则h′（x）＝ ＝ ，
当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，
当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，
∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，
∴a≤h（x） ＝e，
综上a的取值范围是[0，e]．
故选：C．【知识点】函数恒成立问题
14.（2017•天津）已知函数f（x）＝ ，设a R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上
∈
恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣ ，2] B．[﹣ ， ] C．[﹣2 ，2] D．[﹣2 ， ]
【答案】A
【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3，再由二
次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（ x+ ）≤a≤ + ，再由基
本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．
【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，
即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，
即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3，
由y＝﹣x2+ x﹣3的对称轴为x＝ ＜1，可得x＝ 处取得最大值﹣ ；
由y＝x2﹣ x+3的对称轴为x＝ ＜1，可得x＝ 处取得最小值 ，
则﹣ ≤a≤ ①
当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，
即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，
即有﹣（ x+ ）≤a≤ + ，
由y＝﹣（ x+ ）≤﹣2 ＝﹣2 （当且仅当x＝ ＞1）取得最大值﹣2 ；
由y＝ x+ ≥2 ＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．
则﹣2 ≤a≤2
②
由①②可得，﹣ ≤a≤2．
另解：作出f（x）的图象和折线y＝| +a|
当x≤1时，y＝x2﹣x+3的导数为y′＝2x﹣1，由2x﹣1＝﹣ ，可得x＝ ，
切点为（ ， ）代入y＝﹣ ﹣a，解得a＝﹣ ；
当x＞1时，y＝x+ 的导数为y′＝1﹣ ，
由1﹣ ＝ ，可得x＝2（﹣2舍去），
切点为（2，3），代入y＝ +a，解得a＝2．
由图象平移可得，﹣ ≤a≤2．
故选：A．
【知识点】函数恒成立问题、分段函数的应用
15.（2019•北京）设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝ ﹣ ；若f（x）是R
上的增函数，则a的取值范围是 ﹣∞ ．
【答案】【第1空】-1
【第2空】（-∞，0]
【分析】对于第一空：由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得分
析可得a的值，即可得答案；
对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得 f（x）的导数f′（x）
＝ex﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，变形可得：a≤e2x恒成立，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex+ae﹣x，
若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得a＝﹣1，
函数f（x）＝ex+ae﹣x，导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x
若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，
变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]；
故答案为：﹣1，（﹣∞，0]．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数单调性的性质与判断16.（2018•浙江）已知 R，函数f（x）＝ ，当 ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是
λ∈ λ
．若函数f（x）恰有2个零点，则 的取值范围是 ．
【答案】【第1空】{x|1＜x＜4} λ
【第2空】（1，3] （4，+∞）
【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即
∪
可．
【解答】解：当 ＝2时函数f（x）＝ ，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x
＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：
λ
{x|1＜x＜4}．
函数f（x）恰有2个零点，
函数f（x）＝ 的草图如图：
函数f（x）恰有2个零点，则1＜ ≤3或 ＞4．
故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．
λ λ
【知识点】分段函数的应用、函数与方程的综合运用、函数单调性的性质与判断
17.（2017•山东）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称
函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ．
f（x）＝2﹣x f（x）＝3﹣x f（x）＝x3 f（x）＝x2+2．
①【答案】①④② ③ ④
【分析】把①②代入exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入exf（x），求导数判断．
【解答】解：对于①，f（x）＝2﹣x，则g（x）＝exf（x）＝ 为实数集上的增函数；
对于②，f（x）＝3﹣x，则g（x）＝exf（x）＝ 为实数集上的减函数；
对于③，f（x）＝x3，则g（x）＝exf（x）＝ex•x3，g′（x）＝ex•x3+3ex•x2＝ex（x3+3x2）＝ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，
∴g（x）＝exf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）＝x2+2，则g（x）＝exf（x）＝ex（x2+2），
g′（x）＝ex（x2+2）+2xex＝ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，
∴g（x）＝exf（x）在定义域R上是增函数．
∴具有M性质的函数的序号为①④．
故答案为：①④．
【知识点】函数单调性的性质与判断
18.（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+ （a＞0）的最小值为5，则a＝ ．
【答案】9
【分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成 f（x）
＝3x+1+ ﹣1，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．
【解答】解：f（x）＝3x+ ＝3x+1+ ﹣1≥ ﹣1＝5，
所以a＝9，经检验，3x＝2时等号成立．
故答案为：9．
【知识点】函数的最值及其几何意义
19.（2019•浙江）已知a R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t R，使得|f（t+2）﹣f（t）|≤ ，则实数a的
最大值是 ∈． ∈
【分析】由题意可得|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|≤ ，化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|≤ ，去绝对值化简，结合
二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得a的范围，进而得到所求最大值．
【解答】解：存在t R，使得|f（t+2）﹣f（t）|≤ ，
∈
即有|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|≤ ，
化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|≤ ，
可得﹣ ≤2a（3t2+6t+4）﹣2≤ ，
即 ≤a（3t2+6t+4）≤ ，
由3t2+6t+4＝3（t+1）2+1≥1，
可得0＜a≤ ，可得a的最大值为 ．故答案为： ．
【知识点】函数的最值及其几何意义
20.（2020•江苏）已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x ，则f（﹣8）的值是 ．
【答案】-4
【分析】由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），由已知可得f（8），进而得到f（﹣8）．
【解答】解：y＝f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
当x≥0时，f（x）＝x ，可得f（8）＝8 ＝4，
则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
21.（2019•海南）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝ ﹣ ．
【答案】-3
【分析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，
又∵当x＜0时，f（x）＝﹣eax，
∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，
∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
22.（2018•天津）已知a R，函数f（x）＝ ．若对任意x [﹣3，+∞），f（x）≤|x|
恒成立，则a的取值范∈围是 ． ∈
【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．
【解答】解：当x≤0时，函数f（x）＝x2+2x+a﹣2的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向上，
要使x≤0时，对任意x [﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，
则只需要f（﹣3）≤|﹣3|＝3，
∈
即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，
当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）＝﹣x2+2x﹣2a，在射线y＝x的下方或在y＝x上，
由﹣x2+2x﹣2a≤x，即x2﹣x+2a≥0，由判别式△＝1﹣8a≤0，
得a≥ ，
综上 ≤a≤2，
故答案为：[ ，2]．【知识点】函数恒成立问题
