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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
考点 02 常用逻辑用语
知识点1、四种命题的真假关系
例1.命题“△ABC中，若AB2+BC2＜AC2，则△ABC是钝角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这
四个命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，由余弦定理分析可得原命题为真而其逆命题为假，结合四种命题的关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，原命题为“△ABC中，若AB2+BC2＜AC2，则△ABC是钝角三角形”，
若AB2+BC2＜AC2，则cosB＝ ＜0，则B为钝角，则△ABC是钝角三角形，
则原命题是真命题，
其逆命题为“若△ABC是钝角三角形，则AB2+BC2＜AC2”，
△ABC是钝角三角形，而B不一定是钝角，即AB2+BC2＜AC2不一定成立，
则其逆命题是假命题，
则原命题的逆否命题为真，否命题为假，
故有2个是真命题；
故选：C．
【知识点】四种命题的真假关系、命题的真假判断与应用
练习：
1.已知原命题：已知ab＞0，若a＞b，则 ＜ ，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中
真命题的个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据四种命题之间的关系，写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假性．
【解答】解：原命题：已知ab＞0，若a＞b，则 ＜ ，
∵ab＞0，∴ ＞0，又a＞b，∴ ＞ ，
即 ＞ ，即 ＜ ，原命题是真命题；
逆命题：已知ab＞0，若 ＜ ，则a＞b，
∵ab＞0， ＜ ，
∴ ＜ ，
即b＜a，即a＞b，逆命题是真命题；
否命题：已知ab＞0，若a≤b，则 ≥ ，
由逆否命题真假性相同，判断否命题是真命题；
逆否命题：已知ab＞0，若 ≥ ，则a≤b，
由逆否命题真假性相同，判断它是真命题；
综上，这四个命题中真命题有4个．
故选：D．
【知识点】四种命题、四种命题的真假关系
2.下列说法中正确的是（ ）
A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
B．“a＞b”是“a+c＞b+c”的充分不必要条件
C．“若a2+b2＝0，则a，b全为0．”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0
D．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
【答案】A
【分析】根据一个命题的否命题与它的逆命题互为逆否命题，真假性相同，判断A正确；
根据题意判断充分性与必要性是否成立，得出B错误；
根据“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，判断C错误；
根据一个命题的逆命题与它的逆否命题真假性不同，判断D错误．
【解答】解：对于A，一个命题的否命题与它的逆命题互为逆否命题，它们的真假性相同，∴A正确；
对于B，“a＞b”时“a+c＞b+c”成立，
“a+c＞b+c”时“a＞b”也成立，是充要条件，∴B错误；
对于C，“若a2+b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是
“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，∴C错误；
对于D，一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，∴D错误．
故选：A．
【知识点】四种命题的真假关系
3.有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin ＞0，则 是第一，二象限的角；
④若sinα＝sin ，α则 ＝2k + ，k Z；
α β α π β ∈
⑤已知 为第二象限的角，则 为第一象限的角．其中正确命题的序号有 ．
【答案】α①
【分析】根据三角函数的定义，终边相同的角所有的三角函数的值均相等；终边不同的角如果终边关于 X
轴对称，则余弦值相等，终边关于Y轴对称，则正弦值相等，终边关于原点对称，则正切值相等；
若sin ＞0，则 的终边落在第I、II象限或Y轴的非负半轴上；若sin ＝sin ，则 、 的终边重
α α α β α β
合或关于Y轴对称；若 为第二象限的角，则 为第I、III象限的解，据此逐一对5个结论进行
分析即可得到正确的答案．
α
【解答】解：三角函数的定义得，①正确；
与﹣ 的终边不同，但cos ＝cos（﹣ ），故②错误；
若 ＝ ，则sin ＞0，但 不是第一，二象限的角，故③错误；
α α α
令 ＝ ， ＝ ，则sin ＝sin ，但 ≠2k + ，k Z，故④错误；
α β α β α π β ∈
＝ 为第二象限的角，但 ＝ 为第三象限的角，故⑤错误．
故答案为：①
α
【知识点】终边相同的角、象限角、轴线角、四种命题的真假关系
4.已知：命题“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1，则
①否命题是“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是减函数，则m＞1，”，是真命题；
②逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数”，是假命题；
③逆否命题是“若m＞1，则函数在f（x）＝ex﹣mx（0，+∞）上是减函数”，是真命题；
④逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，是真命题．
其中正确结论的序号是 ．（填上所有正确结论的序号）
【答案】④
【分析】先分别判断原命题的真假，再结合四种命题的关系和各命题的形式进行判断．
【解答】解：“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则f'（x）＝ex﹣m≥0在（0，+∞）上恒
成立，
即m≤ex在（0，+∞）上恒成立，故m≤1．则原命题正确．
①原命题的否命题是“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上不是减函数，则m＞1”，因为
“增函数”的否定不是“减函数”，所以①错误．
②逆命题是“若 m≤1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数”．当 m≤1，则
f'（x）＝ex﹣m＞0在（0，+∞）恒成立，故逆命题正确．所以②错误．
③逆否命题是“若m＞1，则函数在f（x）＝ex﹣mx（0，+∞）上不是减函数”，所以③错误．
④逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，因为原命题和逆否命题为等价命题，所以④为真命题，所以④正确．
故只有有④正确．
故答案为：④．
【知识点】四种命题的真假关系
知识点2、充分条件、必要条件和充要条件
例1.设x R，则“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的（ ）
A．充∈分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式，根据取值范围即可判断逻辑关系．
【解答】解：由2x＞4 x＞2，
由x2+2x﹣3＞0 （x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，
⇒
由x＞2，能够推出x2+2x﹣3＞0，
⇒
故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的充分条件，
由x＜﹣3或x＞1，不能够推出2x＞4，
故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的不必要条件．
故选：A．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
练习：
1.已知| |＝3，| |＝4，则“| + |＝7”是“向量 与 共线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据| + |＝7，得到两个向量的夹角为0，又向量 与 共线，可得两个向量的夹角为0或 ，结
合充分条件和必要条件的定义，分析即可． π
【解答】解：因为| + |＝7，则有 ，
又| |＝3，| |＝4，
则有cos ＝1，所以 ＝0，
又向量 θ与 共线，则θ有 ＝0或 ，
θ π
所以“| + |＝7”是“向量 与 共线”的充分而不必要条件．故选：A．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
2.下列叙述正确的是（ ）
A．已知命题p：∃x R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x R，均有x2+x+1＞0
B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”∈是真命题
C．“x＞2”是“x2＞∈4”的必要不充分条件
D．已知命题p：∀x R，x+ ≥2；命题q：∃x [0， ]，使sinx+cosx＝ ，则p∧q为真命题
0 0 0
【答案】B ∈ ∈
【分析】由四个命题之间的关系，充分不必要条件，必要不充分条件即可判断．
【解答】解：选项A，￢p：∀x R，均有x2+x+1≥0，故A错误；
选项B，逆否命题为：已知x，y R，x＝2且y＝1，则x+y＝3；该命题为真命题，故选项B正
∈
确；
∈
选项C“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件，故选项C错误；
选项D，当x＜0时，命题p错误，故选项D错误；
故选：B．
【知识点】命题的真假判断与应用、命题的否定、充分条件、必要条件、充要条件
3.下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③﹣1＜x＜0；④﹣1＜x＜1；⑤x＞﹣1．其中可以作为x2＜1的一个
充分不必要条件的所有序号为 ．
【答案】②③
【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由x2＜1，解得﹣1＜x＜1，
故①x＜1是必要不充分条件，
0＜x＜1是充分不必要条件，
﹣1＜x＜0是充分不必要条件，
②
﹣1＜x＜1是充要条件，
③
x＞﹣1是必要不充分条件，
④
故选：②③．
⑤
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
4.已知集合A＝{x|（ ） ≤1}，B＝{x|log （x+a）≥1，a R}，若x A是x B的必要不充分条件，
3
则实数a的取值范围是 ． ∈ ∈ ∈
【答案】（-∞，0]
【分析】先根据指数函数和对数函数的单调性求出集合A，B，再根据必要不充分条件与集合包含关系之间
的联系即可求解．
【解答】解：由（ ≤1得，x2﹣x﹣6≥0，解得x≤﹣2或x≥3，
由log （x+a）≥1得，x+a≥3，解得x≥3﹣a，
3
因为x A是x B的必要不充分条件，所以B⫋A，
∈ ∈即3﹣a≥3，解得a≤0．
故答案为：（﹣∞，0]
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
知识点3、复合命题及其真假
例1.已知命题p：∃x R，使sinx＝ ；命题q：∀x R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真∈命题； ∈
②命题“p∧（￢q）”是假命题；
③命题“（￢p）∨q”是真命题；
④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．
其中正确的是（ ）
A．②④ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】B
【分析】先判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：∵|sinx|≤1，∴：∃x R，使sinx＝ 错误，即命题p是假命题，
∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x R，都有x2+x+1＞0恒成立，即命题q是真命题，
∈
则①命题“p∧q”是假命题；故①错误，
∈
②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确，
③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确，
④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误，
故选：B．
【知识点】复合命题及其真假
练习：
1.已知命题p：∀x R，x2﹣x+1＜0；命题q：∃x R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q ∈ B．￢p∧q ∈C．p∧￢q D．￢p∧￢q
【答案】B
【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：x2﹣x+1＝（x﹣ ）2+ ＞0恒成立，故命题p：∀x R，x2﹣x+1＜0为假命题，
当x＝﹣1时，x2＞x3，成立，即命题q：∃x R，x2＞x3，为真命题，
∈
则￢p∧q为真，其余为假命题，
∈
故选：B．
【知识点】复合命题及其真假
2.命题p：“关于x的方程x2+ax+2＝0的一个根大于1，另一个根小于1”命题q：“函数 的定义域内为减函数”．
若p∨q为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣∞，3] D．R
【答案】B
【分析】求出命题p为真命题的a的范围，再由导数研究函数h（x）的单调性，可得命题q为假命题，由
p∨q为真命题，得p为真命题，由此可得a的范围．
【解答】解：由关于x的方程x2+ax+2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，
得12+a+2＜0，则a＜﹣3，
即p：a＜﹣3；
由 ，得h′（x）＝ ＝ （x≠0）．
当x＞0时，h′（x）＜0，
当x＜0时，令g（x）＝﹣xex﹣1，g′（x）＝﹣ex（x+1），
若x＜﹣1时，g′（x）＞0，若﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减．
∴ ＜0，即h′（x）＜0．
∴h（x）在（﹣∞，0）上为单调减函数，在（0，+∞）上为单调减函数．
∴命题q为假命题．
要使p∨q为真命题，则命题p为真命题，即a＜﹣3．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．
故选：B．
【知识点】复合命题及其真假
3.已知 m＞0，命题 p：函数 f（x）＝log （2﹣mx）在[0，1]上单调递减，命题 q：函数 g（x）＝
m
的定义域为R，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围 ．
【答案】[2，+∞）
【分析】直接利用函数的单调性，函数的定义域的应用和真值表的应用求出结果．
【解答】解：命题p：函数f（x）＝log （2﹣mx）在[0，1]上单调递减，
m
由于m＞0，设u（x）＝2﹣mx，在x [0，1]上单调递减，
∈
所以 ，解得1＜m＜2．命题q：函数g（x）＝ 的定义域为R，
所以k（x）＝x2+2x+m满足△＝4﹣4m＜0，解得m＞1．
由于p∧q为假命题，p∨q为真命题，
故①p真q假， ，故m＝∅．
p假q真， ，解得m≥2．
综上所述：参数m的取值范围为[2，+∞）．
②
【知识点】复合命题及其真假
4.已知命题p：∃x∈R，（m+1）（x2+1）≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立．p∧q为假命题，则实
数m的取值范围为 ．
【答案】[2，+∞）
【分析】因为且命题为假，所以p与q都假，根据p与q都假求出m的范围再相交．
【解答】解：因为p∧q为假命题，所以p与q都是假命题，
由p是假命题得：m+1＞0，解得m＞﹣1；
由q是假命题得：△=m2﹣4≥0，解得m≤﹣2或m≥2，
∴ ，∴m≥2，
故答案为：[2，+∞）．
【知识点】复合命题及其真假
知识点4、全称量词和存在量词
例1.下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（ ）
A． 是无理数
B．∃πx N，使2x 为偶数
0 0
C．对任∈意x R，都有x2+2x+1＞0
D．所有菱形∈的四条边都相等
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， 是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，不符合题意，
对于B，∃x N，使2x 为偶数，不是全称量词命题，不符合题意，
0 0
π
∈对于C，对任意x R，都有x2+2x+1＞0，是全称量词命题，
但当x＝﹣1时，x2+2x+1＝0，为假命题，不符合题意，
∈
对于D，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题并且是真命题，符合题意，
故选：D．
【知识点】命题的真假判断与应用、全称量词和全称命题
练习
1.已知命题“∃x R，使4x2+x+ ”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
∈
A．a＜0 B．0≤a≤4 C．a≥4 D．
【答案】D
【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论．
【解答】解：∵命题“∃x R，使4x2+x+ （a﹣2）≤0”是假命题，
∈
∴命题“∀x R，使4x2+x+ （a﹣2）＞0”是真命题，
∈
即判别式△＝12﹣4×4× （a﹣2）＜0，
即a＞ ，
故选：D．
【知识点】存在量词和特称命题
2.函数f（x）满足f'（x）＝f（x）+ ，x [ ，+∞），f（1）＝﹣e，若存在a [﹣2，1]，使得f（2﹣
∈ ∈
）≤a3﹣3a﹣2﹣e成立，则m的取值范围是（ ）
A．[ ，1] B．[ ，+∞） C．[1，+∞） D．[ ， ]
【答案】A
【分析】由已知可设函数f（x）＝exlnx﹣ex，结合函数的导数以及单调性求出m的范围即可．
【解答】解：∵f′（x）＝f（x）+ ，x [ ，+∞），
∴令f（x）＝exlnx﹣ex， ∈
则f′（x）＝ ＝ ，由f′（x）＝ ＝ ，
令t（x）＝ ，则 ，
当x＝1时，t（x）取得最小值为0，
∴f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数．
若存在a [﹣2，1]，使得f（2﹣ ）≤a3﹣3a﹣2﹣e成立，
∈
只需求出a [﹣2，1]时，a3﹣3a﹣2﹣e的最大值且使f（2﹣ ）小于等于这个最大值．
设g（a）＝a3﹣3a﹣2﹣e，a [﹣2，1]，
∈
g′（a）＝3a2﹣3＝3（a+1）（a﹣1），
∈
当a （﹣2，﹣1）时，g′（a）＞0，g（a）为增函数，
当a （﹣1，1）时，g′（a）＜0，g（a）为减函数，
∈
∴当a＝﹣1时，g（a） ＝﹣e，即当a＝﹣1时，g（a）＝﹣e．
max
∈
又∵f（x）＝exlnx﹣ex是增函数且f（1）＝﹣e．
∴ ，
∴m [ ，1]．
故选：A．
∈
【知识点】存在量词和特称命题
3.已知函数．f（x）＝ax2+2x﹣ex，若对∀m，n （0，+∞），m＞n，都有 成立，则a的取
值范围是（ ） ∈
A． B．（﹣∞，1] C． D．（﹣∞，e]
【答案】C
【分析】根据条件将问题转化为 y＝f（x）﹣2x 在（0，+∞）单调递增，进一步转化为 a≤ 在
（0，+∞）上恒成立问题，求出函数y＝ 的最小值即可．
【解答】解：∵f（x）对∀m，n （0，+∞），m＞n，都有 成立，
∴f（x）对∀m，n （0，+∞），m＞n，都有f（m）﹣2m＜f（n）﹣2n，
∈
令g（x）＝f（x）﹣2x＝ax2﹣ex，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∈
∴g'（x）＝2ax﹣ex≤0，在（0，+∞）上恒成立，∴a≤ 在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）＝ （x＞0），则
h'（x）＝ ，
令h'（x）＝0，则x＝1，
∴当x＞1时，h'（x）＞0，此时h（x）递减；当0＜x＜1时，h'（x）＜0，此时h（x）递增，
∴ ，
∴要使∴a≤ 在（0，+∞）上恒成立，
只需a≤ ，
∴a的取值范围为：（﹣∞， ]．
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、全称量词和全称命题
4.写出一个使得命题“∀x R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题的实数a的值： ．
【答案】-1 ∈
【分析】将条件转化为“∃x R，ax2﹣2ax+3≤0成立，检验a＝0是否满足条件，当a≠0 时，必须a＜0或
∈
，从而解出实数a的取值范围，进而得解．
【解答】解：命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即“∃x R，ax2﹣2ax+3≤0成立”是真命题 ①．
当a＝0时，①不成立，
∈
当a≠0 时，要使①成立，必须a＜0，或 ，
∴a＜0或a≥3
故答案为：﹣1．
【知识点】全称量词和全称命题
5.已知f（x）＝xex，g（x）＝﹣（x+1）2+a，若∃x，x [﹣2，0]，使得f（x）≤g（x）成立，则实数a的
1 2 2 1
取值范围是 ． ∈
【分析】∃x ，x [﹣2，0]，使得f（x ）≤g（x ）成立，等价于f（x） ≤g（x） ，利用导数可求得f
1 2 2 1 min max
（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．
∈【解答】解：∃x，x [﹣2，0]，使得f（x）≤g（x）成立，等价于f（x） ≤g（x） ，
1 2 2 1 min max
f′（x）＝ex+xex＝（1+x）ex，
∈
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
所以当x＝﹣1时，f（x）取得最小值f（x） ＝f（﹣1）＝﹣ ；
min
当x＝﹣1时g（x）取得最大值为g（x） ＝g（﹣1）＝a，
max
所以﹣ ≤a，即实数a的取值范围是a≥﹣ ．
故答案为：[﹣ ，+∞）．
【知识点】存在量词和特称命题
1.“a＝2”是“函数f（x）＝|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分条件不必要 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：∵函数f（x）＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上为增函数，
∴要使函数f（x）＝|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数，则a≤2，
∴“a＝2”是“函数f（x）＝|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”充分不必要条件．
故选：A．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
2.若m，n都是正整数，则m+n＞mn成立的充要条件是（ ）
A．m＝n＝2 B．m＝n＝1
C．m＞1且n＞1 D．m，n至少有一个为1
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法，进行判断即可．
【解答】解：因为m+n＞mn，
所以（m﹣1）（n﹣1）＜1．
而m，n N*，所以（m﹣1）（n﹣1）∈Z，所以（m﹣1）（n﹣1）＝0．
所以m＝n＝1．
∈
故选：B．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
3.以下说法中正确的是（ ）
x R，x2﹣x+1＞0；
①∀ ∈②若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；
x R，x2＞0的否定是∃x R，使x2≤0；
0 0
③④“∀若∈ x＞y，则x2＞y2”的逆∈否命题为真命题．
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象判断选项①，利用复合命题的真假法判断选项②，利用含有量词的命题的否
定判断选项③，利用原命题的真假可判断选项④．
【解答】解：函数y＝x2﹣x+1的图象开口向上，且△＝（﹣1）2﹣4＜0，
所以∀x R，x2﹣x+1＞0，故选项①正确；
因为p∨q为真命题，则其中一个为假命题或者都是真命题，
∈
因此p∧q不一定为真命题，故选项②错误；
含有量词的命题的否定是：先改变对应的量词，再否定结论，
所以∀x R，x2＞0的否定是∃x R，使x2≤0，故选项③正确；
0 0
取x＝﹣1，y＝﹣3，则x＞y，但x2＜y2，
∈ ∈
所以原命题为假命题，则它的逆否命题为假命题，故选项④错误．
故选：B．
【知识点】命题的真假判断与应用
4.设命题p：∃x （0，+∞），x2≤x﹣2，则￢p为（ ）
0 0 0
A．∃x （0，∈+∞），x2＞x﹣2 B．∀x （0，+∞），x2≤x﹣2
0 0 0
C．∃x ∈（0，+∞），x2≥x﹣2 D．∀x∈（0，+∞），x2＞x﹣2
0 0 0
【答案】D∈ ∈
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出即可．
【解答】解：命题p：∃x （0，+∞），x2≤x﹣2，
0 0 0
则￢p为∀x （0，+∞），x2＞x﹣2．
∈
故选：D．
∈
【知识点】命题的否定
5.下列命题正确的是（ ）
A．命题“∃x R，使得2x＜x2”的否定是“∃x R，使得2x≥x2”
∈ ∈
B．若a＞b，c＜0，则
C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2
D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的∈充分不必要条件
【答案】D
【分析】A由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；
B由条件，注意举反例，即可判断；
C由二次函数的图象，即可判断；
D先求出不等式x2﹣5x+6＞0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．
【解答】解：对于A，命题“∃x R，使得2x＜x2”的否定是“∀x R，使得2x≥x2”，故A错误；
∈ ∈对于B，由条件知，比如a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则 ＝﹣ ＜ ＝ ，故B错误；
对于C，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k R）在[1，4]上具有单调性，则 ≤1或 ≥4，故k≤2
或k≥8，故C错误；
∈
对于D，x2﹣5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，故“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要
条件，正确．
故选：D．
【知识点】命题的真假判断与应用
6.设命题p：∃x R，2x＞2012，则￢p为（ ）
A．∀x R，∈2x≤2012 B．∀x R，2x＞2012
C．∃x∈R，2x≤2012 D．∃x∈R，2x＜2012
【答案】A∈ ∈
【分析】根据已知中命题p为：∃x R，2x＞2012，结合存在性命题的否定方法，我们易写出命题￢p，得
到答案．
∈
【解答】解：∵命题p为：∃x R，2x＞2012，
∴命题￢p为：∀x R，2x≤2012，
∈
故选：A．
∈
【知识点】命题的否定、存在量词和特称命题
7.下列选项错误的是（ ）
A．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．
B．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”．
C．若命题“p：∀x R，x2+x+1≠0”，则“ ”．
D．若“p∨q”为真∈命题，则p，q均为真命题．
【答案】D
【分析】由二次不等式的解法和充分必要条件的定义，可判断A；由命题的逆否命题的形式可判断B；
由全称命题的否定为特称命题，可判断C；由复合命题的真值表可判断D．
【解答】解：对于A，x2﹣3x+2＞0化为x＞2或x＜1，由x＞2可得x2﹣3x+2＞0，反之不成立，故A正确；
对于B，“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”，故B正确；
对于C，命题“p：∀x R，x2+x+1≠0”，则“ ”，故C正
确；
∈
对于D，“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，故D错误．
故选：D．
【知识点】命题的真假判断与应用
8.已知定义在R上的两个函数y＝f（x）、y＝g（x）的最大值，最小值分别为M，m与M ，m ．给出如下
f f g g
两个命题：①若M＜m ，则不等式f（x）≤a≤g（x）对一切x R恒成立的充要条件是M≤a≤m ；②
f g f g
若m＜M ，则不等式f（x）≤a≤g（x）在x R上有解的充要条∈件是m≤a≤M ．关于两个命题的真假，
f g f g
∈下面判断正确的是（ ）
A．命题①、②均为真命题
B．命题①为真命题，命题②为假命题
C．命题①、②均为假命题
D．命题①为假命题，命题②为真命题
【答案】A
【分析】根据充要条件的定义即可判断．
【解答】解：对于命题①，当不等式f（x）≤a≤g（x）对一切x R恒成立，则M≤a≤m，
f g
当M≤a≤m 时，不等式f（x）≤a≤g（x）对一切x R恒成立，①为真命题；
f g
∈
对于命题②，当不等式f（x）≤a≤g（x）在x R上有解，则m≤a≤M，②为真命题．
f g
∈
故选：A．
∈
【知识点】命题的真假判断与应用
9.已知函数f（x）＝ex﹣lnx﹣2，下列说法正确的是 ．
f（x）有且仅有一个极值点；
①f（x）有零点；
②
③若f（x）极小值点为x，则0＜f（x）＜ ；
0 0
④若f（x）极小值点为x，则 ＜f（x）＜1．
0 0
【答案】①③
【分析】先求出导函数f'（x），∴ ，设g（x）＝xex﹣1，x （0，+∞），利用
∈
导数得到函数g（x）＝xex﹣1在（0，+∞）上单调递增，又∵ ，g
（1）＝e﹣1＞0，故存在唯一x ，使得g（x ）＝0，所以f（x）有且仅有一个极值点，
0 0
再利用x ，分析f（x）的范围即可．
0 0
【解答】解：f（x）＝ex﹣lnx﹣2，x （0，+∞），
∈
∴ ，
设g（x）＝xex﹣1，x （0，+∞），
∴g'（x）＝ex+xex＞0恒成立，
∈
∴函数g（x）＝xex﹣1，在（0，+∞）上单调递增，又∵ ，g（1）＝e﹣1＞0，
∴存在唯一x ，使得g（x）＝0，∴f（x）有且仅有一个极值点，
0 0
∵当x 时，g（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x （x ，1）时，g
0
（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∈
∴x 是f（x）的极小值点，且满足x ，
0 0
∵ ，∴ ，
∴ ＝ ，
∵对勾函数y＝x+ 在（ ，1）上单调递减，∴ ，
∴ ，
∴函数f（x）恒大于0，无零点，
综上所述：正确的是①③，
故答案为：①③．
【知识点】命题的真假判断与应用、利用导数研究函数的极值
10.已知“ ﹣mx+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】m＜2
【分析】根据特称命题的性质进行求解即可．
【解答】解：∵“ ﹣mx+1≤0”是假命题，∴对任意的x [ ，2]，x2﹣mx+1＞0恒成
立，
∈
∴m＜x+ ，对任意的x [ ，2]恒成立，
∈
∵x+ ＝2，当且仅当x＝ 即x＝1时等号成立，
∴m＜2，
故答案为：m＜2．
【知识点】存在量词和特称命题
11.函数f（x）＝x3﹣12x+3，g（x）＝3x﹣m，若对∀x [﹣1，5]，∃x [0，2]，f（x ）≥g（x ），则实数
1 2 1 2
m的最小值是 ∈ ∈
【答案】14【分析】根据导数数以及指数函数的性质，分别求出函数 f（x），g（x）的最值，问题转化为求只需f
（x） ≥g（x） 即可．
min min
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣12，
可得f（x）在区间[﹣1，2]递减，在区间[2，5]递增，
∴f（x） ＝f（2）＝﹣13，
min
g（x）＝3x﹣m，是增函数，∴g（x） ＝1﹣m，
min
∴只需f（x） ＞g（x） 即可，解得：m＞14，
min min
故答案为：14．
【知识点】全称量词和全称命题
12.下列四个命题中正确的是 ．
①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），则f（1+x）＝f（1﹣x）；
②若函数y＝f（x），x D，值域为A（A≠D），且存在反函数，则函数y＝f（x），x D与函数x＝f﹣1
（y），y A是两个不同∈的函数； ∈
∈
③已知函数 ，x N*，既无最大值，也无最小值；
④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2∈﹣5（2|x|﹣1）+6的所有零点构成的集合共有4个子集．
【答案】①②
【分析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由f（x）的单调性可判断③；由f
（x）＝0的解的个数和集合的子集个数，可判断④．
【解答】解：①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），设F（x）＝f（1+x），可得F（﹣x）＝F（x），
则f（1+x）＝f（1﹣x），故①正确；
②若函数y＝f（x），x D，值域为A（A≠D），且存在反函数，
则函数y＝f（x），x D与函数x＝f﹣1（y），y A，即y＝f﹣1（x），x A，由于A≠D
∈
是两个不同的函数，故②正确；
∈ ∈ ∈
③已知函数 ，x N*，由f（x）在1≤x＜3递减，x＞3递减，可得x＝2时，f（2）
取得最小值﹣1，
∈
故③错误；
④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6，由f（x）＝0，可得2|x|﹣1＝2或3，解得x＝
±log3或x＝±2，
2
f（x）的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．
故答案为：①②．
【知识点】命题的真假判断与应用
1.（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．则“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”
的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直
线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．
【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l
有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．
而若“m，n，l两两相交”，则“m，n，l在同一平面”成立．
故m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件，
故选：B．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
2.（2020•上海）“ ＝ ”是“sin2 +cos2 ＝1”的（ ）
A．充分非必要条α件β α β B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】容易看出，由 ＝ 可得出 sin2 +cos2 ＝1，而反之显然不成立，从而可得出“ ＝ ”是
“sin2 +cos2 ＝1”的充分不必要条件．
α β α β α β
【解答】解：（1）若 ＝ ，则sin2 +cos2 ＝sin2 +cos2 ＝1，
α β
∴“ ＝ “是“sin2 +cos2 ＝1“的充分条件；
α β α β α α
（2）若sin2 +cos2 ＝1，则sin2 ＝sin2 ，得不出 ＝ ，
α β α β
∴“ ＝ ”不是“sin2 +cos2 ＝1”的必要条件，
α β α β α β
∴“ ＝ ”是“sin2 +cos2 ＝1”的充分非必要条件．
α β α β
故选：A．
α β α β
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
3.（2019•新课标Ⅲ）记不等式组 表示的平面区域为D．命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；命
题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．下面给出了四个命题
p∨q
①②￢p∨q
p∧￢q
③④￢p∧￢q
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【答案】A
【分析】由不等式组 画出平面区域为D．在由或且非逻辑连词连接的命题判断真假即可．【解答】解：作出等式组 的平面区域为D．在图形可行域范围内可知：
命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；是真命题，则￢p假命题；
命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．是假命题，则￢q真命题；
所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：
p∨q真；②￢p∨q假；③p∧￢q真；④￢p∧￢q假；
故答案①③真，正确．
①
故选：A．
【知识点】复合命题及其真假
4.（2019•新课标Ⅰ）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
f（x）是偶函数
①
f（x）在区间（ ， ）单调递增
②f（x）在[﹣ ， ]有4π个零点
③f（x）的最大π值π为2
④其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，
当x （ ， ）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，
则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误，
∈ π
当0≤x≤ 时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，
由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝ ，
π
由f（x）是偶函数，得在[﹣ ，）上还有一个零点x＝﹣ ，即函数f（x）在[﹣ ， ]有3个零
π
点，故③错误，
π π π π
当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，
故正确是①④，
故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用
5.（2019•浙江）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果
【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2 ，
∴2≥ ，∴ab≤4，即a+b≤4 ab≤4，
⇒
若a＝4，b＝ ，则ab＝1≤4，
但a+b＝4+ ＞4，
即ab≤4推不出a+b≤4，
∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件
故选：A．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
6.（2019•北京）设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“| + |＞| |”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】“ 与 的夹角为锐角”⇒“| + |＞| |”，“| + |＞| |”⇒“ 与 的夹角为锐角”，
由此能求出结果．
【解答】解：点A，B，C不共线，
“ 与 的夹角为锐角”⇒“| + |＞| |”，
“| + |＞| |”⇒“ 与 的夹角为锐角”，
∴设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“| + |＞| |”的充分必要条件．
故选：C．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
7.（2019•海南）设 ， 为两个平面，则 ∥ 的充要条件是（ ）
A． 内有无数条α直线β与 平行 α β
B．α内有两条相交直线与β 平行
C．α， 平行于同一条直线β
D．α，β垂直于同一平面
【答案】α Bβ【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论
【解答】解：对于A， 内有无数条直线与 平行， ∩ 或 ∥ ；
对于B， 内有两条相交直线与 平行， ∥ ；
α β α β α β
对于C， ， 平行于同一条直线， ∩ 或 ∥ ；
α β α β
对于D， ， 垂直于同一平面， ∩ 或 ∥ ．
α β α β α β
故选：B．
α β α β α β
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
8.（2019•天津）设x R，则“x2﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的（ ）
A．充分而不必要∈条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果
【解答】解：∵x2﹣5x＜0，∴0＜x＜5，
∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，
∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，
0＜x＜2 0＜x＜5，
∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，
⇒
即x2﹣5x＜0是|x﹣1|＜1的必要不充分条件．
故选：B．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
9.（2018•北京）设 ， 均为单位向量，则“| ﹣3 |＝|3 + |”是“ ⊥ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．
【解答】解：∵“| ﹣3 |＝|3 + |”
∴平方得| |2+9| |2﹣6 • ＝9| |2+| |2+6 • ，
即1+9﹣6 • ＝9+1+6 • ，
即12 • ＝0，
则 • ＝0，即 ⊥ ，
则“| ﹣3 |＝|3 + |”是“ ⊥ ”的充要条件，
故选：C．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件10.（2018•北京）能说明“若a＞b，则 ＜ ”为假命题的一组a，b的值依次为 ﹣ ．
【答案】a=1，b=-1
【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可．
【解答】解：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但 ＜ 为假命题，
故答案可以是a＝1，b＝﹣1，
故答案为：a＝1，b＝﹣1．
【知识点】命题的真假判断与应用
11.（2018•北京）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x （0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”
为假命题的一个函数是 ． ∈
【答案】f（x）=sinx
【分析】本题答案不唯一，符合要求即可．
【解答】解：例如f（x）＝sinx，
尽管f（x）＞f（0）对任意的x （0，2]都成立，
∈
当x [0， ）上为增函数，在（ ，2]为减函数，
故答案为：f（x）＝sinx．
∈
【知识点】命题的否定
12.（2020•新课标Ⅲ）关于函数f（x）＝sinx+ 有如下四个命题：
f（x）的图象关于y轴对称．
①f（x）的图象关于原点对称．
②
f（x）的图象关于直线x＝ 对称．
③f（x）的最小值为2．
④其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
【分析】根据函数奇偶性的定义，对称性的判定，对称轴的求法，逐一判断即可．
【解答】解：对于①，由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠k ，k Z}，故定义域关于原点对称，由f（﹣
π ∈
x）＝sin（﹣x）+ ＝﹣sinx﹣ ＝﹣f（x）；
所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；
对于③，由f（ ﹣x）＝sin（ ﹣x）+ ＝sinx+ ＝f（x），所以该函数f（x）
π π
关于x＝ 对称，③对；
对于④，令t＝sinx，则t [﹣1，0）∪（0，1]，由双勾函数g（t）＝t+ 的性质，可知，g
∈（t）＝t+ （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），所以f（x）无最小值，④错；
故答案为：②③．
∈
【知识点】命题的真假判断与应用
