文档内容
专题 03 函数及其性质（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
函数及其性质近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第16题,5分 函数的奇偶性 无
2022年全国甲（文科），第12题,5分 指数函数、对数函数的单调性 不等式比较大小
2023年全国甲（文科），第11题,5分 指数函数、二次函数的单调性 不等式比较大小
2023年全国甲（理科），第13题,5分 函数的奇偶性 三角函数的奇偶性
2023年全国乙（文科），第5题,5分 函数的奇偶性 无
2023年全国乙（理科），第16题,5分 函数的单调性 解一元二次不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，考查函数的奇偶性和单调性；
2.比较大小的题居多，也有通过函数的性质求参数的取值范围；
【备考策略】1.掌握基本初等函数的性质，会判断函数的奇偶性；
2.会使用函数的单调性比较大小；
3.掌握奇、偶函数比较大小的两种常见模型；
4.会求函数的解析式、定义域、值域；
5.会解函数不等式（通过函数单调性）。
【命题预测】1.通过函数的奇偶性求参数；
2.使用函数的单调性及奇偶性比较大小；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1知识讲解
一、函数的概念
一般地,设A,B是两个非空的实数集,如果对于集合A中的 一个数x,按照某种确定的对应关
系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作
y=f(x),x∈A.
二、函数的有关概念
1.函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的 ;与x的值相对应的y值叫作函数值,
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的 .显然,值域是集合B的子集.
2.函数的三要素: 、 和 .
3.相等函数:如果两个函数的 和 完全一致,那么这两个函数相等,这是判断两个函数相等的
依据.
4.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、 、列表法.
几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合.
(2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是使真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合.
(4)若f(x)=x0,则其定义域为{x|x≠0}.
(5)f(x)为指数式时,函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合.
{ π }
x|x≠kπ+ ,k∈Z
2
(6)正切函数y=tan x的定义域为 .
三、分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫作分段函
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.分段函数虽由几
个部分组成,但它表示的是一个函数.
(1)函数的定义中要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以
“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
(2)构成函数的三要素中,若定义域和对应关系相同,则值域一定相同.
四、函数的单调性
1.单调函数的定义
增函数 减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x,x
定 1 2
当xf(x),那么就说函数f(x)在区
义 1 2 1 2 1 2 1 2
间I上是 函数 间I上是 函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫
作函数y=f(x)的单调区间.
五、函数的最值
前提 函数y=f(x)的定义域为D,存在实数M
①对于任意的x∈D,都有f(x)≤M; ①对于任意的x∈D,都有f(x)≥M;
条件
②存在x∈D,使得f(x)=M ②存在x∈D,使得f(x)=M
0 0 0 0
结论 M为函数y=f(x)的最 值 M为函数y=f(x)的最 值
1.函数单调性的两种等价形式
x ,x ∈[a,b]且x ≠x
设任意 1 2 1 2，
f(x )−f(x ) f(x )−f(x )
1 2 1 2
x −x 0⇒f(x)在[a,b] x −x 0⇒f(x)在[a,b]
(1) 1 2 > 上是增函数； 1 2 > 上是减函数.
(2)(x-x )[f(x)-f(x)]>0 f(x)在[a,b]上是增函数;(x-x )[f(x)-f(x)]<0 f(x)在[a,b]上是减函数.
1 2 1 2 1 2 1 2
2.五条常用结论
⇒ ⇒
a
(1)对勾函数y=x+ (a>0)的单调递增区间为(-∞,-√a]和[√a,+∞),单调递减区间为[-√a,0)和(0,√a].
x
(2)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(3)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u),u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.
(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3求简单函数单调区间的常用方法
六、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 关于y轴
偶函数
,那么函数f(x)就叫作偶函数 对称
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 关于原点
奇函数
,那么函数f(x)就叫作奇函数 对称
函数奇偶性的几个重要结论
(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数
集.
(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调
性.
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原
点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
(6)设f(x),g(x)的定义域分别是D,D,那么在它们的公共定义域上:奇+奇= ,奇×奇= ,偶+偶=
1 2
,偶×偶= ,奇×偶= .
(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.
提醒:①(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.
②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明f(-x)与f(x)的关系,只有当各段上的x都满足相同关系
时,才能判断其奇偶性.
七、周期性
1.周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,那么
就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
2.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的
.
八、对称性
1.若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于 对称.特别地,当a=b=0时,f(x)=f(-x),则函
数y=f(x)的图象关于y轴对称,此时函数y=f(x)是偶函数.
2.若函数y=f(x)满足 ,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当a=0,b=0时,f(x)=-f(-x),则函数
y=f(x)的图象关于原点对称,此时函数f(x)是奇函数.
函数图象的对称性
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即 ,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有 ,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即 ,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
考点一、函数的定义域
含约束条件求定义域：
1．（2023年温州市合格考试模拟）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
含约束条件求定义域+解不等式：
2．（2023年宁德市名校模拟）集合 ， ，若 ，
则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
复合函数+含约束条件求定义域：
3．（2023年辽宁省名校联盟联考试题）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
1．集合 ， ， ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合 ， ，则 ______.
3．已知函数 的定义域为 则 的定义域为_________________
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5考点二、函数的解析式
待定系数法：
f (x) f（f(x)）=4x−1 f (x)
1．已知 是一次函数,且 ,则 的解析式为( ).
1
A．
f(x)=2x− 或f(x)=−2x+1
B．
3 f(x)=2x+1或f(x)=−2x−1
1
C．
f(x)=2x−1或f(x)=−2x+
D．
3 f(x)=2x+1或f(x)=2x−1
换元法：
2．已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
列方程组法：
3．已知 ，求 的解析式 .
1．若二次函数 满足 ，且 ，则 的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．若函数 满足方程 且 ，则：（1） ___________；（2）
___________．
考点三、函数的值域
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 61．（河南省创新发展联盟大联考2023届高三预测数学（理科）试题）已知全集 ，
集合 ，则下列区间不是C A的子集的是（ ）
U
A． B． C． D．
2．（河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题）已知集合
，则 =（ ）
A． B．
C． D．
3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科试题）若函数 （ 且 ）的
值域是 ，则实数 的取值范围是__________．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．函数 的值域是______．
3．已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四、分段函数
1．（2023年重庆市名校模拟）已知函数 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．己知函数 满足对任意 ，且 ，都有 成立，则实
数a的取值范围是__________．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 73．（2023年江苏名校模拟）若函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
1．已知函数f(x)= (a∈R)，若 ，则a=（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8考点五、函数单调性
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．记
，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
1．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 ( ，且 )在区间 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增.若实数 满足 ，则
的取值范围是______.
考点六、函数奇偶性
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 91．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
1．已知函数 是奇函数，当 时， ，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
2．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【基础过关】
1
f(x)=In(4x−x2
)+
1．函数
x−2
的定义域为( ).
（0,4） [0,2)∪(2,4] (0,2)∪(2,4) (−∞，0)∪(4，+∞)
A． B． C． D．
3x−1
f(x)=
2． (2023·盐城模拟)已知函数 ax2 +ax−3 的定义域是R ,则实数a的取值范围是( ).
(1 )(1 ) 1
,+∞ ,+∞ (−∞, ]
3 3 (−12,0] (−12,0) 3
A． B． C． D．
f (x) f(f(x))=4x−1 f (x)
3．已知 是一次函数,且 ,则 的解析式为( ).
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 101
f(x)=2x− 或f(x)=−2x+1
3 f(x)=2x+1或f(x)=−2x−1
A． B．
1
f(x)=2x−1或f(x)=−2x+
3 f(x)=2x+1或f(x)=2x−1
C． D．
f(1−sinx)=cos2x f (x)
4．已知 ,则 的解析式为 .
5．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( ).
6．函数 的值域是( ).
A． B．
C． D．
7．（2022年黑龙江省部分名校模拟）设 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2023年北京市部分名校模拟）已知函数 ，若 ，且 ，则 的
最小值为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019年北京市高考数学试卷（文科））下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
10．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且
f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
{g(x),x<0,
f(x)=
2x −3,x>0 f(g(−1))=
11．(2023·厦门模拟)若函数 为奇函数,则 .
k−2x
f (x)=
12．(2023·北京模拟)若函数
1+k⋅2x
在定义域上为奇函数,则实数
k=
.
【能力提升】
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 111．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023年江西省部分名校模拟）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
y=1+x−√1−2x
5．函数 的值域为( ).
( 3) 3 (3 ) 3
−∞， (−∞， ] ，+∞ [ ，+∞)
2 2 2 2
A． B． C． D．
x2 −x+2
y= (x>1)
6．函数
x−1
的值域是 .
7．（2023年陕西省部分名校模拟）已知函数 ,若 ，且 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023江西省部分名校模拟）函数 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．4
9．（2020年新高考全国Ⅰ卷（山东））若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是
（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12C． 是奇函数 D． 是奇函数
11．（【全国百强校】河北省武邑中学模拟）函数 在 单调递增，且为奇函数，若 ，则
满足 的 的取值范围是．
A． B． C． D．
12．（2022吉林省部分名校模拟）若函数 （ 且 ）在区间 内单调递增，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题感知】
1．（2021年浙江省高考数学试题）已知 ，函数 若 ，则
___________.
2．（2008年高考江西卷理科数学试题）若函数 的值域是 ，则函数 的值域
是
A． B． C． D．
3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）若 是奇函数，则 _____， ______．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13
