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第 1 讲 二次函数与一元二次方程、不等式
本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，配合导数的几何意义对学生的逻辑思
维能力要求很高。主要学习用集合语言和对应关系刻画函数概念。通过函数的不同表示方法加深对函数概
念的认识。学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数的基本内容、
过程和方法。
考点一 函数的概念及其表示
1.函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都
有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子
集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的
依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交.
4．常用结论
(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；
(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．
考点二 函数的基本性质
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意
两个自变量的值x，x
1 2
当xf(x)，那
1 2
当x0).
②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
5.对称性的三个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
高频考点一 函数的概念及其表示
例1、下列命题中，正确的有
A. 函数 与函数 表示同一函数
B. 已知函数 ，若 ，则
C. 若函数 ，则
D. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
【答案】BC
【解析】解： 的定义域是 ，
的定义域是 ，或 ，
两函数的定义域不同，故不是同一函数，A错误;
函数 ，若 ，则 ，故B正确；
若函数 ，则 ，故C正确；
若函数 的定义域为 ，则函数 中， ，即函数 的定义域为 ，
故D错误.
【变式训练】
1、若函数 的定义域为 ，则 （ ）
A． 3 B．3 C．1 D． 1
【答案】A
【解析】
由 ，得 ，
由题意可知上式的解集为 ，
所以 为方程 的一个根，
所以 ，得 ，
故选：A
高频考点二 函数的基本性质
例2：已知函数 是奇函数，且在 上是减函数，且在区间 上的值域为 ，
则在区间 上A. 有最大值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
【答案】B
【解析】
解： 函数 是奇函数，在 上是减函数，
在 上也是减函数，
在区间 上的值域为 ，
最大值为 ，最小值为 ，
在区间 上也是减函数，且最大值为 ，
最小值为 ，
故选：
【变式训练】
1．设函数 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1] B．（0，＋∞）
C．（－1，0） D．（－∞，0）
【答案】D
【解析】
解：函数 ，的图象如图：满足 ，
可得： 或 ，
解得 ．
故选：D.
高频考点三 中心对称性质：几个复杂的奇函数
例3、对于定义在 上的函数 ，点 是 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意
都有 ，判断函数 的对称中心______.
【答案】
【分析】根据点 是 图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.
解：因为 ，由于
.即 ， .所以 是 的一个对称中心.
故答案为： .
【变式训练】
1、设函数 ，若 ， 满足不等式 ，则当 时，
的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ,所以函数 为奇函数,又因为为单调减函数,且 所以 为 上减函数,因此
,因为 ,所以可行域为一个三角
形 及其内部,其中 ,因此直线 过点 时取最大值 ,选B.
【基本规律】
1、若 满足 ，则 关于 中心对称
3.
四 轴对称
高频考点
例4：已知函数 有唯一零点，则负实数 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【解析】函数 有有唯一零点，设
则函数 有唯一零点，则 3e|t|-a（2t+2-t）=a2，
设 ∴ 为偶函数，
∵函数 有唯一零点，∴ 与 有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0， 解得 或 （舍去），故选A．
【变式训练】1.已知函数 在区间 的值域为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】解： 在 上为奇函数，图象关于原点对称，
是将上述函数图象向右平移
2个单位，并向上平移3个单位得到，所以 图象关于 对称，则 ，故选 .
【基本规律】
1.函数 对于定义域内任意实数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特别
地当 时，函数 关于直线 对称；
y=f (x) f (a+x)=f (a−x) y=f (x)
2.如果函数 满足 ，则函数 的图象关于直线x=a对称.
a+b
x=
y=f (a−x) y=(x−b) 2
3. 与 关于直线 对称。
五 中心对称和轴对称构造出周期性
高频考点
1 3
例5：已知函数f(x)为定义域为R的偶函数，且满足f( +x)=f( −x)，当x∈[−1，0]时，
2 2
x+4
f(x)=−x.若函数F(x)=f(x)+ 在区间[−9，10]上的所有零点之和为__________．
1−2x
【答案】5
1 3
【详解】∵足f( +x)=f( −x)，∴f (x)=f(2−x)，又因函数f(x)为偶函数，∴
2 2
x+4
f (x)=f (−x)=f(2+x)，即f (x)=f(2+x)，∴T=2，令F(x)=0，f (x)= ，，即求f (x)与
2x−1
9
x+4
y= 交点横坐标之和. x+4 1 2 ，
2x−1 y= = +
2x−1 2 2x−1
作出图象：
由图象可知有10个交点，并且关于(1 1)中心对称，∴其和为10 故答案为：5
， =5
2 2 2【变式训练】
1.定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上单调递减，若方程 在 上有实
数根，则方程 在区间 上所有实根之和是（ ）
A．30 B．14 C．12 D．6
【答案】A
【详解】
由 知函数 的图象关于直线 对称，∵ ， 是R上的奇函数，
∴ ，∴ ，∴ 的周期为4，考虑 的一个周期，例如
，
由 在 上是减函数知 在 上是增函数， 在 上是减函数， 在 上是增函
数，
对于奇函数 有 ， ，故当 时， ，当
时， ，
当 时， ，当 时， ，方程 在 上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为 在 上是单调函数，
则由于 ，故方程 在 上有唯一实数，在 和 上 ，
则方程 在 和 上没有实数根，从而方程 在一个周期内有且仅有两个实数根，
当 ，方程 的两实数根之和为 ，
当 ，方程 的所有6个实数根之和为
.故选：A.
【基本规律】
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。
