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考点 02 练 简易逻辑
1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））命题“ ，则 ”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命
题中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
首先判断原命题的真假，写出其逆命题，即可判断其真假，再根据互为逆否命题的两个命题同真假，即可
判断；
【详解】
解：因为命题“ ，则 ”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；
其逆命题为： 则 ，显然也为真命题，故其否命题也为真命题；
故命题“ ，则 ”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题有4个；
故选：D
2．（2020·山东·高考真题）已知 ，若集合 ， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
当 时，集合 ， ，可得 ，满足充分性，
若 ，则 或 ，不满足必要性，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2022·新疆·三模（文））一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题 是“甲同学解出试题”，
命题 是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题”可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据“或命题”的定义即可求得答案.
【详解】
“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.
故选：D.4.（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）若命题p： ， 为真命题，则实数a的
取值范围为___________.
【答案】
【分析】
根据二次不等式恒成立进行求解即可.
【详解】
当 时， 不满足题意；
∴ ， ，则 且 ，解得 .
故答案为：[ ，+∞）.
5．已知命题 函数 在 上单调递增；命题 不等式 的解集是 ．若 且 为真
命题，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】
试题分析： 且 为真命题，则 真 ， 真 ，故 .
考点：命题的真假，函数单调性，不等式的解.
6．（2021·黑龙江实验中学高三阶段练习（文））已知下列命题：①若 ，则 ；②若 ，
，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ；其中为真命题的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用不等式的性质判断各项的正误，即可知真命题的个数.
【详解】
①若 ，显然 不成立，错误；
②若 ， ，即 ，则 ，故 ，正确；
③若 ，即 ，则 ，正确；④若 ，即 ，则 ，正确.
故真命题有3个.
故选：C
7．（2022·上海青浦·二模）“ ”成立的一个必要而不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求解 ，再根据必要不充分条件的意义对比选项判断即可
【详解】
由 有 ，解得 ，故“ ”成立的一个必要而不充分条件是“
”
故选：D
8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设命题p： ，(x－1)(x+2)>0，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ， 或
【答案】D
【分析】
根据含有量词命题的否定形式，分析即可得出结果.
【详解】
为 ， ，等价于 ， 或 .
故选：D
9.（2022·全国·高三专题练习（理））已知 ，命题p：函数 在 上单调递减，命
题q：函数 的定义域为 ，若 为假命题， 为真命题，求m的取值范围_____．
【答案】 ．
【分析】
直接利用函数的单调性和定义域，分别求得命题 为真命题时 的取值范围，结合复合命题的真值表，
分类讨论，即可求解.
【详解】命题p：函数 在 上单调递减，
由于 ，设 ，在 上单调递减，
所以 ，解得 ．
命题q：函数 的定义域为 ，
所以 满足 ，解得 ．
由于 为假命题， 为真命题，
故①p真q假， ，故 ；
②p假q真， ，解得 ．
综上所述：参数m的取值范围为 ．
故答案为： ．
10．（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习）已知p： ，q: ，若
p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_______.
【答案】
【分析】
首先化简命题，找到满足命题所对应实数的集合 或 ，命题所对应实数的集合
或 ，再根据 是 的充分不必要条件知， 是 的真子集可求解．
【详解】
已知 ，解得 或 ，命题所对应实数的集合 或 ；
已知 : ，解得 或 ，命题所对应实数的集合 或
，
因为 是 的充分不必要条件， 是 的真子集，
所以 ，当 或 时， ,故 .
故答案为：11.（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得
出结论.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
12．（2019·河北·石家庄市藁城区第一中学高三阶段练习（理））设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间
[－1，1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p且q为假命
题，则实数a的取值范围是
A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2，3)
C．(2，3] D．[3，＋∞)
【答案】B
【分析】根据命题p或q是真命题，p且q为假命题可知，命题p与命题q一真一假．先求得命题p与命题q都为真
命题时a的取值范围，再判断两种情况下a的取值即可．
【详解】
若命题p为真命题：函数f（x）= x3-ax-1在区间[-1，1]上单调递减，则
f′（x）=3x2-a≤0在[-1，1]恒成立，故a≥（3x2） =3，即a≥3
max
若命题q为真命题：函数y=ln（x2+ax+1）的值域是R，
则必须使x2+ax+1能取所有正数，故△=a2-4≥0，解得a≤-2，或a≥2；
因为命题p或q是真命题，p且q为假命题
所以命题p与命题q一真一假
当p为真命题，q为假命题时，可得{a|a≥3}∩{a|-2＜a＜2}= ∅，
当q为真命题，p为假命题时，可得{a|a＜3}∩{a|a≤-2，或a≥2}={a|a≤-2，或2≤a＜3}
综上可知，实数a的取值范围是（-∞，-2]∪[2，3）
所以选B
【点睛】
本题考查了复合命题真假判断及综合应用，注意对两种命题分类讨论，属于中档题．
13．（2022·安徽合肥·高三期末（理））命题 ： ， （ 为自然对数的底数）；命题 ：
， ，则下列命题中，真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
命题可以通过构造函数通过单调性来判断， 命题可以取 得到证明.
然后对选项进行判断即可.
【详解】
对于 设 其导数
若 则
在区间 上， ， 为减函数，
在区间 上， ， 为增函数
则 ，则 恒成立，
故 ， ， 为真命题；
对于 ，当 时， 此时 为真命题；
所以 为真命题,其他选项均为假命题，
故选： B
14．（2021·四川·开江县任市中学高三阶段练习（文））下列说法正确的是___________（填写序号）①命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”；
②“ ”是“ ”的充分不必要条件；
③若 为假命题，则 均为假命题；
④命题 ，使得 ，则 ，均有 .
【答案】①②④
【分析】
根据四种命题之间的关系，可判断①；
根据充分条件与必要条件的概念，可判断②；
根据且命题真假的定义，可判断③；
根据存在性命题的否定形式，可判断④.
【详解】
①根据逆否命题的定义，命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”，
故①正确；
②因为 ，所以 或 ，因此“ ”时“ ”的充分不必要条件；故②正确
③若“ ”为假命题，则 至少有一个是假命题；故③错误；
④含有一个量词的命题的否定，只需改写量词和结论即可；
因此，若命题 “ ，使得 ”，则 “ ，均有 ”，故④正确.
故答案为：①②④
15．（2020·全国·高三专题练习）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2>－ax－1恒成立，命题
q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是
________．
【答案】
【分析】
根据命题p或q是真命题，p且q为假命题可知，命题p与命题q一真一假．先求得命题p与命题q都为真
命题时a的取值范围，再判断两种情况下a的取值即可．
【详解】
若命题p为真命题，则a=0或 ，解得
若命题q为真命题，则 ，即
因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题
所以命题p与命题q一真一假
若命题p为真命题，命题q为假命题，则
若命题q为真命题，命题p为假命题，则
综上可知，a的取值范围为
