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专题 11 分式的运算、整数指数幂、分式方程及应用之九大题型
分式加减乘除混合运算
例题：（2023下·河南郑州·八年级期末）计算： ．
【变式训练】
1．（2023下·重庆北碚·八年级统考期末）计算：
(1) ； (2) ．
2．（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）计算
(1) (2)分式化简求值
例题：（2023上·湖南永州·八年级校考期末）先化简，再求值： ，其中
．
【变式训练】
1．（2023下·广东佛山·八年级校考期末）先化简 ，再选一个你喜欢的数
作为x的值代入求值．
2．（2023上·江西赣州·八年级统考期末）先化简 ，再从 ，2，3中任意选择一
个合适的数代入求值．．
分式加减乘除混合运算错题复原
例题：（2023下·河南新乡·八年级统考期末）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并
完成相应任务．
（第一步）
（第二步）
（第三步）（第四步）
（第五步）
(1)填空：第一步进行运算的是______．
A.整式乘法 B.因式分解
(2)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(3)请写出该分式化简的正确过程．
【变式训练】
1．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）下面是小华同学在笔记本上完成课堂练习的解题过程：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
请你回答下列问题：
(1)小雨看到小华的做法后，问她道：第一步通分根据什么性质？给我讲一讲．
(2)小华一边讲一边仔细检查后发现第三步做错了，请你把这道题的正确计算过程写出来．
2．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）老师让同学们化简 ，某同学给出了
如下的解答过程：
解：原式 第一步第二步
第三步
第四步
第五步
． 第六步
根据该同学的解答过程，你发现：
(1)第二步的依据是___________________________________________；
(2)从第_______步开始出现错误，该步错误的原因是________________________；
(3)请你给出正确的解答过程（从出现错误的那一步开始）．
用科学记数法表示绝对值小于1的数
例题：（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）红细胞系统分为原始红细胞、早幼红细胞、中幼红细
胞、晚幼红细胞、网织红细胞和成熟红细胞．某原始红细胞胞体直径 ，呈圆形或椭圆形，
边缘常有钝角状或瘤状突起．将 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级统考期末）某品牌选用直径为 米桑蚕丝进行加工，则它的
直径用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川资阳·八年级统考期末）某植物一粒花粉的质量约为 毫克，将数“”用科学记数法表示为 ．
零指数幂、负整数指数幂运算
例题：（2023下·四川乐山·八年级统考期末）计算： ．
【变式训练】
1．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）计算： ．
2．（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）计算：
分式方程的定义
例题：（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·河南开封·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河北邢台·八年级统考期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）．
A． B． C． D．
解分式方程例题：（2023上·湖南永州·八年级校考期末）解方程：
(1) ； (2) ．
【变式训练】
1．（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）解方程：
(1) ； (2) ．
2．（2023下·重庆·八年级重庆市南坪中学校校联考期末）解分式方程：
(1) (2)
列分式方程
例题：（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，
全长 ，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面
装裱前是一个长为 ，宽为 的矩形，装裱后的长与宽的比是 ，且四周边衬的宽度相等．
设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数
学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批橡的价钱为6210文，如果每株
椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买
多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有 株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）宜宾市与甲、乙两地的距离分别为320千米和250千米，
从宜宾市开往甲地高铁的速度比从宜宾市开往乙地高铁的速度快70千米/时，结果从宜宾市到甲、
乙两地所需时间相同．求从宜宾市到甲、乙两地高铁的速度分别是多少千米/时？设从宜宾市开往
乙地高铁的速度为x千米/时，则可列方程为 ．
分式方程的实际应用
例题：（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）临近期末，班级想给优秀的学生准备奖品，奖品分为
甲套餐与乙套餐，已知购买1个甲套餐比购买1个乙套装少用 元，用 元购买甲套餐和用
元购买乙套餐的个数相同．
(1)求这两种套餐的单价分别为多少元．
(2)班级计划用 元经费购进甲套餐与乙套餐两种奖品，要求每种套餐至少购进1种且刚好用完
经费，请你设计进货方案．
【变式训练】
1．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）某服装店老板到厂家选购甲、乙两种品牌的童装准备
进行销售．每套甲品牌的童装比乙品牌的童装进价多25元，用2000元购进甲种品牌的童装数量是
用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍．
(1)求甲、乙两种品牌的童装每套进价分别是多少元？
(2)若甲品牌童装每套的售价为130元，乙品牌童装每套售价为95元，服装店老板去进货时决定购
进甲品牌的童装数量是乙品牌童装数量的2倍还多4套，两种童装全部售出后要使总利润不少于
1230元，至少购进甲品牌的童装多少套？2．（2023上·河南漯河·八年级校考期末）某服装店到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A
品牌服装进价比B品牌服装每套进价多20元，已知用2000元购进A种服装的数量是用900元购进
B种服装数量的 倍．
(1)求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
(2)若A品牌服装每套售价为120元，B品牌服装每套售价为100元，元旦期间服装店老板决定：对
于还未卖出的部分B种服装打七折让利销售，两种服装全部售出后，发现总利润不超过于1500元，
则最少有几套B品牌的服装参与了元旦节的打折优惠活动？
一、单选题
1．（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）计算 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）已知 ， ， ，则这三个数按从
小到大的顺序排列为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）嘉淇一家自驾游去某地旅行，导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路一的1.8倍，线
路二的用时预计比线路一少半小时．设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程
正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·河南郑州·八年级校考期末）试卷上一个正确的式子
被莹莹不小心滴上墨汁．被墨汁遮住的部分的代数式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）化简： ．
7．（2023下·四川达州·八年级校考期末）分式方程 的解是 ．
8．（2023下·云南红河·八年级统考期末）计算： ．
9．（2023下·河南驻马店·八年级统考期末）当 时，分式 的值是 ．
10．（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）当 时，解分式方程
会出现增根．
三、解答题
11．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）解分式方程：
(1) ；
(2) ．12．（2023下·河南新乡·八年级统考期末）计算
(1)解分式方程： ．
(2)化简： ．
13．（2023下·四川达州·八年级校考期末）先化简： ，再从 ， ，0，
1中挑一个自己喜欢的整数代入求值．
14．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价
格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．甲、
乙两种图书每本价格分别为多少元？
15．（2023下·宁夏银川·八年级校考期末）按要求填空：以下是某同学化简分式
的部分运算过程：
解：原式 第一步
第二步第三步
…
(1)上面第二步计算中，中括号里的变形是______，其依据是______．
(2)上面的运算过程中第______步出现了错误，请你写出完整的解答过程．
16．（2023下·河南新乡·八年级统考期末）某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮
球，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价的2倍少30
元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？
(2)学校要一次性购买足球和篮球共200个，但要求总费用不超过15500元，学校最多可购买多少个
篮球？
