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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
考点 06 函数的应用
知识点1:函数的零点问题
例1.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+ ）＝f（﹣x），当 时， ，则函数
π
在区间 上所有零点之和为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
π π π π
练习：
1.已知函数f（x）＝ ，若f（a）＝2，则a＝（ ）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．1或﹣1
2.已知函数f（x）＝ ，若存在x ，x R，x≠x ，使f（x ）＝f（x ）成立，则实数a的
1 2 1 2 1 2
∈
取值范围是（ ）
A．0≤a≤2 B．a≤0 C．a≥2或a≤0 D．a＞2或a≤03.函数f（x）＝ 则满足f（a）＝1的a的值为（ ）
A．1，± B．1，﹣ C．﹣ D．1，
4.函数 的零点是 ．
5.已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x R，a R}只有一个元素，则a＝ ．
∈ ∈
知识点2:函数的最值应用
例1.已知函数 ，若数列{a}满足a＝f（n），且{a}是单调递增数列，则实数
n n n
a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2] D．（2，3）
练习：
1.某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用
为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（ ）
A．10 B．15 C．30 D．45
2.已知函数 ，m，n满足f（m2﹣2n）+f（n2﹣2m）≥0，则|m+7n+4|的取值范围是（ ）A．[2，12] B．[2，22]
C．[12，22] D．
3.设z＝2x+y，其中x，y满足条件 ，则z的最大值为 ．
4.定义：区间[x ，x]（x ＜x ）的长度为x﹣x ，已知函数y＝|log （x+1）|定义域为[a，b]，值域为[0，
1 2 1 2 2 1 0.5
2]，则区间[a，b]的长度的最大值为 ．
知识点3:分段函数的应用
例1.已知函数f（x）＝ ，若存在x （0，+∞），使得f（x）≥f（x ）恒成立，则实数
0 0
∈
a的取值范围是（ ）
A．[2 ﹣2，+∞） B．（2 ﹣2，+∞） C．（0，2 ﹣2） D．（0，2 ﹣2]
练习：
1.已知函数f（x）＝ 若f（f（m））≥5，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．2已知函数f（x）＝ ，若存在x ，x ，x （x ＜x ＜x ），使f（x ）＝f（x ）＝f（x ），
1 2 3 1 2 3 1 2 3
则f（x+x+x）的取值范围是（ ）
1 2 3
A．（0，1] B．[0，1] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）
3.已知函数f（x）＝ ，若f（x）在区间（a，a+3）上既有最大值又有最小值，则实数a
的取值范围为 ．
4.已知函数f（x）＝ ，记A＝{x|f（x）＝0}，若A∩（﹣∞，2）≠∅，则实数a的取
值范围为 ﹣∞ ．
知识点4:函数与方程的综合运用
例1.已知函数f（x）＝2m（x2+1）﹣ ，（m R），g（x）＝ex（其中e为自然数的底数，
∈
e＝2.71828…），若函数f（x）与g（x）的图象只有一个交点，则m的值不可能为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4练习：
1.若函数f（x）＝ 的值域为[﹣4，4]，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C．[1，2] D．[1，+∞）
2.已知函数 ，若关于x的方程f（x）+kx＝0有4个不同的实数解，则k的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
3. 已知m R，函数f（x）＝ ，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4
∈
个零点，则实数m的取值范围是 ．
4.已知函数f（x）＝x ，g（x）＝x﹣1nx，若对任意的x [ ]，存在x [ ]，使得g（x ）≤f
1 2 1
∈ ∈
（x）成立，则实数a的取值范围是 ．
21.已知函数 ，则f（2020）＝（ ）
A．9 B．4 C．1 D．0
2.函数f（x）＝2x﹣3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，0）
3.已知函数f（x）＝lnx+1， ，若f（m）＝g（n）成立，则m﹣n的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数f（x）＝|2x﹣1|，若关于x的方程f2（x）+af（x）+a+2＝0恰有3个不同的实数根，则实数a的
取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（﹣1，﹣ ] C．（﹣1，0） D．（﹣2，﹣ ]5.已知函数 f（x）＝ ，则满足 f（2x+1）＜f（3x﹣1）的实数 x 的取值范围是
（ ）
A．（ ，+∞） B．（2，+∞） C．（ ，2） D．（1，2）
6.已知函数 与函数g（x）＝﹣x3+12x+1图象交点分别为：P （x ，y ），P （x ，y ），
1 1 1 2 2 2
P（x，y），⋅⋅⋅，P（x，y），则（x+x+⋅⋅⋅+x）+（y+y+⋅⋅⋅+y）＝（ ）
3 3 3 k k k 1 2 k 1 2 k
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
7.定义在R上偶函数f（x）满足f（x）＝f（﹣2﹣x），且当x [﹣1，1]时，f（x）＝2|x|．若在区间[﹣3，
3]上，函数g（x）＝f（x）﹣tx﹣2t恰有五个不同的零点，则∈实数t的取值范围是（ ）
A．（0， ] B．（0， ] C．[ ， ] D．[ ，+∞）
8.已知函数f（x）＝x2ex+t﹣a，x [﹣1，1]，若对任意的t [1，3]，该方程f（x）＝0总存在唯一的实数解，
则实数a的取值范围是（ ∈） ∈
A．（2 ，e+1] B．（ ，e+1] C．[1+ ，e] D．（1，e]
9.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且对任意实数x恒有f（x）﹣f（﹣x）＝0，当x [﹣1，
0]时，f（x）＝x2，若g（x）＝f（x）﹣log x在x （0，+∞）上有三个零点，则实数a的取值范∈围为（
a
） ∈
A．（3，5） B．（2，3） C．（3，6） D．（4，5）
10.已知函数 ，函数g（x）＝f（x）﹣a（a R），若g（x）有四个不同的零点
∈x，x，x，x，且满足x＜x＜x＜x，则 的取值范围是（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4
A．（﹣1，+∞） B． C． D．（﹣1，1）
11.已知函数 ，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰
有三个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3） B． C．[﹣3，0） D．
12.已知函数f（x）＝ 若函数g（x）＝[f（x）]2﹣4f（x）+m+1恰有8个零点，则m的
范围为 ．
13.已知函数f（x）＝ ，其中m＞0．若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则m的
取值范围是 ；若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是
．
14.已知函数 若方程f（x）＝m（m R）恰有三个不同的实数解a．b．c（a＜b＜
∈
c），则（a+b）c的取值范围是 ．
15.已知函数 ，g（x）＝ sinx+cosx+4，若对任意 t [﹣3，3]，总存在
∈，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为 ．
16.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml血液中酒精含量
达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 20%的速
度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数 t的值为 （参考数据：lg2≈0.30，
lg3≈0.48）
1.（2018•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝ ，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）
2.（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ ，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则
a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）3.（2019•天津）已知函数f（x）＝ 若关于x的方程f（x）＝﹣ x+a（a R）恰有两
∈
个互异的实数解，则a的取值范围为（ ）
A．[ ， ] B．（ ， ] C．（ ， ]∪{1} D．[ ， ]∪{1}
4.（2019•浙江）设a，b R，函数f（x）＝ 若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰
有3个零点，则（ ∈）
A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0
5.（2019•海南）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x （0，1]时，f（x）＝x（x
∈
﹣1）．若对任意x （﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣ ，则m的取值范围是（ ）
∈
A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．（﹣∞， ] D．（﹣∞， ]
6.（2019•揭阳）已知函数 的图象上存在点P，函数g（x）＝ax﹣3的图象上存
在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣4，0] B． C．[0，4] D．
7.（2020•天津）已知函数f（x）＝ 若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k R）恰有4个零点，
∈
则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣ ）∪（2 ，+∞） B．（﹣∞，﹣ ）∪（0，2 ）
C．（﹣∞，0）∪（0，2 ） D．（﹣∞，0）∪（2 ，+∞）8.（2020•新课标Ⅲ）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建
立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝
，其中 K 为最大确诊病例数．当 I（t*）＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为（ ）
（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
9.（2019•海南）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业
取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为
解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行．L 点是
2 2
平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的
1 2 2
距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： + ＝（R+r） ．
设 ＝ ．由于 的值很小，因此在近似计算中 ≈3 3，则r的近似值为（ ）
α α α
A． R B． R C． R D． R
10.（2017•天津）已知函数f（x）＝ ，设a R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒
成立，则a的取值范围是（ ） ∈
A．[﹣2，2] B． C． D．
11.（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝log （x2+a），若f（3）＝1，则a＝ ﹣ ．
212.（2018•新课标Ⅲ）函数f（x）＝cos（3x+ ）在[0， ]的零点个数为 ．
π
13.（2018•上海）设a＞0，函数f（x）＝x+2（1﹣x）sin（ax），x （0，1），若函数y＝2x﹣1与y＝f
（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是 ∈
14.（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分
别为x，y，z，则 ，当z＝81时，x＝ ，y＝ ．
15.（2018•天津）已知a＞0，函数f（x）＝ ．若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个
互异的实数解，则a的取值范围是 ．
16.（2018•浙江）已知 R，函数f（x）＝ ，当 ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是
λ∈ λ
．若函数f（x）恰有2个零点，则 的取值范围是 ．
λ
17.（2017•上海）设a、b R，若函数 在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取
值范围为 ∈．18.（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）＝ ，其
中集合D＝{x|x＝ ，n N*}，则方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是 ．
∈
