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考向 06 函数及其表示
（2021·浙江高考真题）已知 ，函数 若 ，则
___________.
【答案】2
【分析】
由题意结合函数的解析式得到关于 的方程，解方程可得 的值.
【详解】
，故 ，
故答案为：2.
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的
交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变
量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2.函数解析式的常见求法
(1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，
然后用x将h(x)代换．
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设
为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或
f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
3.分段函数
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式
求值．
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，
在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f
(x)，x∈A．
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的
y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那
么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示方法
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．
(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
4．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．
5．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称
为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
1．复合函数：
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函
数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外
层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
2．抽象函数的定义域的求法：
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
1．（2021·福建高三三模）已知函数 ，若 ，则 ___________.
2．（2021·广东高三其他模拟）设函数 的定义域为A，函数 的定义域为B，则
A∩B等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南高三其他模拟（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ，
.已知函数 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．4．（2021·安徽华星学校高三其他模拟（文））已知函数 的定义域为 ，满足
，且当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（2021·福建高三三模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数 定
义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则 ______．
4．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知函数 ，则
______．
5．（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））已知函数 ，则
______．6．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））已知函数 ，若 ，则
______．
7．（2021·山西高三三模（文））已知函数 ，若 ，则 ___________．
8．（2021·山西阳泉市·高三三模（文））已知函数 ， .
设 为实数，若存在实数 ，使得 ，则 的取值范围是___________.
9．（2021·浙江金华市·高三三模）已知函数 ，(a>0，a≠1)，若 ，
则m=___________， ___________.
10．（2021·普宁市第二中学高三其他模拟）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，
称这几个函数为“同域函数”. 函数 的值域为_______，则与 是“同域函数”的一
个解析式为____________.
1．（2019·上海高考真题）下列函数中，值域为 的是
A． B． C． D．
2．（2013·山东高考真题（文））函数 的定义域是
A． B． C． D．3．（2017·山东高考真题（文））设 ,若 ,则
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2016·全国高考真题（文））下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相
同的是
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
5．（2019·天津高考真题（文））已知函数 若关于 的方程
恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为
A． B． C． D．
6．（2018·全国高考真题（文））设函数 ，则满足 的x的取值范
围是
A． B． C． D．
7．（2018·全国高考真题（文））已知函数 ，若 ，则 ________．
8．（2013·江西高考真题（理））设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则 ＝
__________．
9．（2018·江苏高考真题）函数 满足 ，且在区间 上，则 的值为____．
10．（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的
解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
1．【答案】4
【分析】
根据题意，由函数的解析式分 与 两种情况讨论，求出 的值，即可得答案.
【详解】
根据题意，函数 ，
当 时， ，无解；
当 时， ，解可得 ，符合题意，
故 ，
故答案为：4.
2．【答案】C
【分析】
分别求出两个函数的定义域，接着求出两个集合的交集即可.
【详解】函数 的定义域为 ，即 ，
函数 的定义域为 ，则 ，
所以 ，
故选：C.
3．【答案】B
【分析】
由 为奇函数，可先分析函数 时值域，即可得函数在R上值域，利用高斯函数的意义求
解即可.
【详解】
因为 ， ，
所以 是 上的奇函数.
当 时， ，
所以当 时， ，
从而 的值域为 .
故选：B
4．【答案】D
【分析】
根据条件 ，得 ，对于 ，通过迭代变形，得
，再计算出 即可.
【详解】
由 ，得 ，于是.
又当 时， ，所以 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是通过 寻找 与 的关系.
1．【答案】B
【分析】
先利用函数的定义域和值域求出集合 ， ，然后利用集合的补集以及交集的定义求解即可．
【详解】
解：因为集合 ，
集合 ，
所以 ，
则 .
故选：B
2．【答案】A
【分析】
根据抽象函数定义域的求法，列出方程组 ，解得 ，即可知选项A
正确.
【详解】由抽象函数的定义域可知，
，解得 ，
所以所求函数的定义域为 .
故选A.
3．【答案】11
【分析】
根据奇函数性质求出函数的解析式，然后逐层代入即可.
【详解】
， ，当 时， ，
即 ，
， ， ．
故答案为：11.
4．【答案】
【分析】
判断 的范围，然后利用 时， 进行转化，将 转化为 ，
然后再利用分段函数的解析式求解即可．
【详解】
函数 ，
因为 ，且 ，则
．
故答案为： ．
5．【答案】1
【分析】
结合分段函数的表达式，先求出 ，进而可求出 .
【详解】
由题意， ，则 ，
所以 .
故答案为： .
6．【答案】
【分析】
本题首先可根据 得出 ，然后根据 即可得出结果.
【详解】
因为 ，所以 ， ，
则 ，
故答案为： .
7．【答案】0或2
【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.
【详解】
由题意可得 或 ，
∴m＝0或m＝2,
故答案为：0或2.
【点睛】
本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.
8．【答案】
【分析】
首先求得函数 的值域，然后结合题意得到关于 的不等式，求解不等式即可求得最终结果.
【详解】
当 时， ，函数的解析式 ，
结合二次函数的性质可得 的值域为 ，
当 时， ，则 ，
据此可知，函数 的值域为 ，
由 可得 ，
即： ，解得： ，即 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：本题考查学生的是函数的应用问题，属于中档题目.首先求出分段函数的值域，一段根据对数
函数的单调性，另外一段的值域利用二次函数的性质求得，根据题意 ，即方程有解问题，
从而限制b的范围，解出不等式即可.9．【答案】1 2
【分析】
根据函数解析式，由 ，求得m；由 ，则 ，求得 .
【详解】
，解得 ，
由 ，则 ，得 ，
故答案为：1；2.
10．【答案】 ， 或者 （答案不唯一）
【分析】
分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有一定难度，考虑到函数的解析式中包
含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题
意．
【详解】
解：因为 ，所以 且 ，所以函数的定义域为 ， ．
下面求函数 的值域，不妨先求函数 的值域，令 ，
令 ， ， ，所以 ， ，
从而得出 ， ，所以 ， ，即函数的值域为 ， ．
只要满足定义域为 ， ，且值域为 ， 的函数均符合题意，例如 或
， ， 或 ， ，
故答案为： ； 或 ， ， 或 ， ， 或
（答案不唯一）1．【答案】B
【分析】
依次判断各个函数的值域，从而得到结果.
【详解】
选项： 值域为 ，错误
选项： 值域为 ，正确
选项： 值域为 ，错误
选项： 值域为 ，错误
本题正确选项：
【点睛】
本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.
2．【答案】A
【详解】
由题意得 ，
所以
故选A.
3．【答案】C
【详解】
由 时 是增函数可知,若 ,则 ,所以 ,由
得 ,解得 ,则 ,故选C.
【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检
验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
4．【答案】D
【详解】
试题分析:因函数 的定义域和值域分别为 ,故应选D．
考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．
5．【答案】D
【分析】
画出 图象及直线 ，借助图象分析．
【详解】
如图，当直线 位于 点及其上方且位于 点及其下方，
或者直线 与曲线 相切在第一象限时符合要求．
即 ，即 ，
或者 ，得 ， ，即 ，得 ，
所以 的取值范围是 ．
故选D．
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．
6．【答案】D
【分析】
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有 成立，
一定会有 ，从而求得结果.
详解：将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足
的x的取值范围是 ，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，
在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，
从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，
从而求得结果.
7．【答案】-7
【详解】
分析：首先利用题的条件 ，将其代入解析式，得到 ，从而得到 ，
从而求得 ，得到答案.
详解：根据题意有 ，可得 ，所以 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，
需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.8．【答案】
【详解】
试题分析：令 ， ，所以 ， ， ，
所以答案应填： ．
考点：导数的运算．
9．【答案】
【详解】
分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结
果.
详解：由 得函数 的周期为4，所以 因此
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，
当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数
定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变
量的取值范围.
10．【答案】(1,4)
【详解】
分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应
确定二次函数零点的取法，即得参数 的取值范围.
详解：由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式f(x)<0
的解集是当 时， ，此时 ，即在 上有两个零点；当
时， ，由 在 上只能有一个零点得 .综
上， 的取值范围为 .
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
