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专题 03 函数与导数
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
求得函数的导数 ，令 ，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，可得 ，
所以 ，则 ．
故选：B.
2．（2021·浙江·高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】
对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.故选：D.
3．（2022·全国·高考真题（理））当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】
因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
4．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知点P是曲线 上任意的一点，则点P到直线
的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知，过点 的切线与直线 平行，由此可求出点 的坐标，然后利用点到直线的距离
公式求解即可
【详解】
令 ，则 ，即 ，
所以 ，
故选：D．
5．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数 ，若 时， 在 处取得
最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意 当 时恒成立，整理得 ，当 时， 在
图像的下方，结合图像分析处理．
【详解】
根据题意得 当 时恒成立
则 ，即
∴当 时， 在 图像的下方
，则 ，则
故选：B．
6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知函数 ，设 ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将 化为 ，比较
的大小关系即可得答案.
【详解】
函数 的定义域为 ，
，故 为偶函数，
当 时， ，令 ，则 ，
即 单调递增，故 ，所以 ，则 在 时单调递增，
由于
因为 ，
而 ， ，
即 ，则 ，
故选：B
7．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）设函数 在R上存在导数 ，对于任意的实数 ，有
，当 时， ，若 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数 ，得到 为奇函数， 在 上单调递减，分 和 两种
情况，利用奇偶性和单调性解不等式，求出实数 的取值范围.
【详解】
∵ ，∴ ．
令 ，且 ，
则 在 上单调递减．
又∵ ，
∴ ，
∴ 为奇函数， 在 上单调递减．
∵ ，
∴ ．
当 ，即 时， ，即
即 ，由于 在 上递减，则 ，
解得： ，
∴ ．
当 ，即 时， ，
即 ．
由 在 上递减，则 ，
解得： ，所以 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故选：D．
【点睛】
构造函数，研究出构造的函数的奇偶性和单调性，进而解不等式，是经常考查的一类题目，结合题干信息，
构造出函数是关键.
8．（2022·河南开封·模拟预测（理））若关于x的不等式 对 恒成立，则实数a
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题设有 ，构造 ，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为 在 上
恒成立，再构造 结合导数求参数范围.
【详解】
由题设可得 ，令 ，则 在 上恒成立，
由 ，在 上 ；在 上 ；
所以 在 上递增；在 上递减，且 ，
在 上 ， 上 ，而 ，
所以，只需 在 上恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，即 在 上递增，故 .故a的取值范围为 .
故选：B
【点睛】
关键点点睛：不等式化为 ，构造 研究单调性，进一步将问题转化为研究 在
上恒成立.
二、填空题
9．（2022·全国·高考真题（理））已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小
值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】
由 分别是函数 的极小值点和极大值点，可得 时， ，
时， ，再分 和 两种情况讨论，方程 的两个根为 ，即
函数 与函数 的图象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和
图象变换得到 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】
解： ，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当 时， ，当 时， ，
若 时，当 时， ，则此时 ，与前面矛盾，
故 不符合题意，
若 时，则方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
∵ ,∴函数 的图象是单调递减的指数函数，又∵ ,∴ 的图象由指数函数 向下关于 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横
坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的 倍得到，如图所示：
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，
故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，
则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
综上所述， 的范围为 .
【点睛】
本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
10．（2021·全国·高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点 和点
的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．【答案】
【分析】
结合导数的几何意义可得 ，结合直线方程及两点间距离公式可得 ，
，化简即可得解.
【详解】
由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 ，消去一个变量后，运算即可得解.
11．（2020·天津·高三专题练习）设 ， ，则 的最小值是______.
【答案】
【分析】
由题得 不能同时为零，当 时，先令 ，原式= ，再 ，原
式= ，再利用导数求 的最小值得解.
【详解】
由题得 不能同时为零，当 时， 原式=1,
当 时，可令 ，
原式= ，
令 ，原式= ，当且仅当 时取等.
设 ，所以 ，所以函数 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，所以原式≥ .(当且仅当x=1时取等)所以最小值是 .故答案为
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
和分析推理计算能力.
12．（2021·海南中学高三阶段练习）已知函数 ， ，若函数 有3
个不同的零点x，x，x(x＜x＜x)，则 的取值范围是_________．
1 2 3 1 2 3
【答案】
【分析】
先根据题意，求出 的解得 或 ，然后求出f(x)的导函数，求其单调
性以及最值，在根据题意求出函数 有3个不同的零点x，x，x(x＜x＜x)，分情况讨
1 2 3 1 2 3
论求出 的取值范围.
解：令t=f（x），函数 有3个不同的零点，即 +m=0有两个不同的解，解之
得 即 或 因为 的导函数
，令 ，解得x>e， ，解得0
