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专题突破卷 03 抽象函数及其性质
1.定义域问题
1．已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出 的定义域，再根据 可得 的定义域.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】∵函数 的定义域是 ，即 ，则 ，
∴函数 的定义域是 ，
对于函数 可得 ，解得 ，
故 的定义域是 .
故选：D.
2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求抽象函数的定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可.
【详解】设 ，则 ，
因为函数 的定义域为 ，所以当 时， 有意义，
所以 ，故当且仅当 时，函数 有意义，
所以函数 的定义域为 ，
由函数 有意义可得 ，所以 ，
所以函数 的定义域为 ，
故选：D.
3．（ 2023春·浙江·高二统考学业考试）已知函数 的定义域是R，值域为 ，则下列函数中值
域也为 的是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】根据函数的定义及定义域求解即可.
【详解】根据函数的定义域为 ，值域为 ，
可知， 的值域为 ， 的值域为 ，
的值域为 ， 的值域为 ，
故选：B
4．若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.
【详解】因为 的定义域是 ，所以 ，根据抽象函数定义域求法，
在函数 中， ，解得 或 .
故选：D.
5．已知函数 的定义域为 则 的定义域为_________________
【答案】
【分析】抽象函数定义域求解， 需整体在 范围内，从而 解出 的范围，同时注意需保证
，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知， 的定义域为 ，所以对于
需满足 ,解得
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
2.值域问题
6．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， 的图象如图所示，那么 的值域是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图象得出函数 在区间 上的值域，并得出 ，利用奇函数的性质求出函数
在区间 上的值域，由此可得出函数 的值域.
【详解】由图象可知，当 时， ，
由于函数 是定义在 上的奇函数，则 .
当 时， ，则 ，即 ，解得 .
即函数 在区间 上的值域为 .
因此，函数 的值域为 .
故选D.
【点睛】本题考查奇函数值域的求解，解题时应充分利用奇函数的性质来求解，考查分析问题和解决问题
的能力，属于中等题.
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学科网（北京）股份有限公司7．（1）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，设 ，求 的定义域和值域；
（2）已知 ，且 的定义域为 ，值域为 ，求函数 的定义域和值域.
【答案】（1） 的定义域为 ，值域为 .（2） 的定义域为 ，值域为 .
【解析】（1）根据 得到定义域， 和 值域相同得到答案.
（2）根据 得到 ，得到定义域，再计算值域得到答案.
【详解】（1）因为 ，所以 .值域为 .
因此函数 的定义域为 ，值域为 .
（2）因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因此函数 的定义域为 ，值域为 .
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.
8．定义在R上的函数 对一切实数x、y都满足 ，且 ，已知 在
上的值域为 ，则 在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，可得 ，再令 ，可得 ，得到
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学科网（北京）股份有限公司在 上的值域为 ，即得解.
【详解】因为定义在R上的函数 对一切实数x、y都满足 ，且 ，
令 ，可得 ，
再令 ，可得 ，
又 在 上的值域为 ，因此 在 上的值域为
则 在R上的值域是 .
故选：C
【点睛】本题考查了抽象函数的值域问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较
难题.
9．设 是定义域为 的奇函数， 是定义域为 的偶函数，若函数 的值域为 ，则
函数 的值域为________.
【答案】
【分析】设 ，根据奇偶性的定义得出 ，再根据不等式的性质即可
得出函数 的值域.
【详解】设 ，由于该函数的值域为 ，则函数 的值域也为 ，即
.
函数 是定义域为 的奇函数， 是 上的偶函数，
，则 ，
由不等式的性质得 ，因此，函数 的值域为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为 .
【点睛】本题考查了抽象函数的值域，同时也考查了函数奇偶性的应用以及不等式的性质，考查分析问题
和解决问题的能力，属于中等题.
10．已知函数 ， ， ，对任意 都有 ，且 是增函数，则
用列举法表示函数 的值域是______．
【答案】
【分析】根据题意，令 ，由条件求得而 ，即 而由 知， ，于是得到
的值，将其值域用列举法表示即可得答案．
【详解】解：根据题意，令 ，
对任意 都有 ，故有 ，否则，可得 ，这与 矛盾；
从而 ，而由 ，即得 ．
又由 是增函数，则 ，即 ，于是得到 ．
又 ，从而 ，即 ．
而由 知， ．
于是 ，
则函数 的值域 ；
故答案为 ．
根据题意，令 ，由条件求得而 ，即 而由 知， ，于是得到 的值，
将其值域用列举法表示即可得答案．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的单调性的应用，求出 ，是解题的关键，属于中档题．
11．设函数 对任意实数 ， 都有 ，且 时， ， .
（1）求证 是奇函数；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）详见解析；（2）最小值-1，最大值1.
【分析】（1）利用赋值法,令 , 代入函数式,可求得 ,再令 代入函数式,即可证明函数为
奇函数.
（2）利用定义法,可证明函数 在 上单调递减.再根据 ,用 表示出最大值与
最小值即可求解.
【详解】（1）证明：令 , 代入函数式可得
即
令 ,代入函数式可得
所以
函数定义域为R,所以 是奇函数
（2）先证明函数的单调性,证明过程如下:
任取 ,则
由题意可知
因为
所以
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学科网（北京）股份有限公司即
所以 在 上单调递减,且
所以 在区间 上的 ,
【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,注意在解决此类问题时,赋值法在求值中的应用,
属于中档题.
3.求解析式
12．已知函数 为定义在 上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数x，y恒有 ；
（2） 在 上单调递减.
请写出满足条件的一个 ___________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由（1）（2）可设 ,由 可求 ，从而可求解.
【详解】由（1）（2）可设 ,
由 ，
可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司化简可得 .
故 的解析式可为 .
取 可得满足条件的一个 .
故答案为: .
13．定义在R上的函数f(x)满足 ，并且对任意实数x，y都有 ，求
的解析式.
【答案】
【分析】对 进行赋值，解方程求得 的解析式.
【详解】对任意实数 ， ， ，
令 ，得 ，即 ，
又 ，所以 .
14．定义在实数集上的函数 的图象是一条连绵不断的曲线， ， ，
且 的最大值为1，最小值为0．
(1)求 与 的值；
(2)求 的解析式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用赋值法，令 ，得到 ；令 ，得到 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先由 得到 ，根据 的最大值
为1，最小值为0及
图象连续，写出 的解析式.
（1）
令 ，则 ，得
∴
∴
令 ，则 ，
同理 ；
（2）
由
得 ，即
这说明 ， 至少与1， ， 其中之一相等
∵ 的最大值为1，最小值为0
∴在区间 和 上，一定有
只能在 处取得，因此
又∵函数 的图象是一条连绵不断的曲线
∴ 的解析式为
15．若定义在 上的函数 满足 ，则 的单调递增区间为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】B
【分析】当 可求得 ；当 时， ，由已知关系式可得 ，
进而得到 ；由二次函数性质可得单调递增区间.
【详解】当 时， ，则 ，
在 上单调递增；
当 时， ， ，
，
在 上单调递增；
综上所述： 的单调递增区间为 和 .
故选：B.
16．已知函数 是定义域为 的单调函数，若对任意的 ，都有 ，则
____________.
【答案】
【分析】由 是定义域为 的单调函数及 知 为常数，
设 ，可得 ，从而可求得 值确定 的解析式即可.
【详解】∵对任意 ，均有 ，且 在 上单调，
所以 为常数，
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学科网（北京）股份有限公司∴设 ， ， 为常数，
函数 是定义域为 ，故
又∵ 或 （舍），
∴ ，
故答案为：2023.
17．求下列函数解析式：
(1)已知 ，求 的解析式．
(2)已知 ，求 的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令 ，使用换元法求解析式；
（2）令 得 ，与原式组成方程组求解.
【详解】（1）令 ，则
所以
所以
综上所述，结论是:
（2）令 得 ，
由
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学科网（北京）股份有限公司解得
综上所述，结论是:
4.奇偶性问题
18．（多选）已知 是定义在 上不恒为0的偶函数， 是定义在 上不恒为0的奇函数，则
（ ）
A． 为奇函数 B． 为奇函数
C． 为偶函数 D． 为偶函数
【答案】BCD
【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断.
【详解】由题意可知， ，所以 ，所以 为偶函数，A项错误；
由 ，得 ，所以 为奇函数，B项正确；
因为 ，所以 为偶函数，C项正确；
因为 ，所以 为偶函数，D项正确.
故选：BCD.
19．已知定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， 单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】由题意求出函数的周期，然后根据偶函数的性质判断出函数在[0,2]上的单调性，进而将自变量的
取值转化到区间[0,2]上，利用放缩法判断出它们的大小关系，最后根据单调性求得答案.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 是周期为4的函数，
则 .
因为 ，
所以 ， ， .
因为 为偶函数，且当 时， 单调递增，
所以当 时， 单调递减，故 .
故选：A.
20．（多选）已知 是定义在 上的奇函数， ，设 ，则（ ）
A．函数 的周期为 B．
C． 是偶函数 D．
【答案】ABD
【分析】先由函数是奇函数， ，可判断函数的周期，再根据周期性可将选项B中的函数值
转化，由函数奇偶性的定义判断 是奇函数，根据函数周期性可以推得 ，进而求得
.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A：因为 ，所以 是周期为 的函数，故
A正确；
对于B：因为 的周期为 ，所以 ，所以 ，
，所以 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 是奇函数，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
，
，故D正确.
故选：ABD．
21．已知 为定义在 上的奇函数，当 时， 单调递增，且 ， ，
，则函数 的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性,单调性结合函数值的范围,作图数形结合即可判断.
【详解】当 时， 单调递增，且 ，且 为定义在 上的奇函数,
所以 ,可得 且 在 上单调递增,
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ．
又因为 ， ,可得 ,
为定义在 上的奇函数,又可得 ,
根据题意作出满足要求的 的大致图像,
由图知，直线 与 的图像有4个公共点，
所以 有4个零点．
故选：A.
22．（多选）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，且对于任意 ，都有 ，
则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】BCD
【分析】由题意可得 ，结合 为奇函数可得 ，从而可判断选项A；
由 ，得 ，在 中，令 可判断选项B；由 ，
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学科网（北京）股份有限公司可判断选项C；由 ， 可判断选项D.
【详解】由 为奇函数，可得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ,
所以 ，所以 ，故选项A错误；
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 ，故选项B正确；
由 ， ，得 ，
所以 为偶函数，故选项C正确；
由 ， ，可得 ，
所以 ，
即 ，故 为奇函数，故选项D正确.
故选：BCD
23．（多选）已知 ， 都是定义在 上且不恒为0的函数，则（ ）
A． 为偶函数
B． 为奇函数
C．若 为奇函数， 为偶函数，则 为奇函数
D．若 为奇函数， 为偶函数，则 为非奇非偶函数
【答案】AD
【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断即可.
【详解】选项A：
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学科网（北京）股份有限公司设 ，
因为 是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ，
，所以 为偶函数，故A正确；
选项B：
，
因为 是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ， ，所以 为偶函数，
故B错误；
选项C：
设 ，
因为 ， 都是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ，
因为 为奇函数， 为偶函数，所以 ，
所以 为偶函数，故C错误；
选项D：
设 ，
因为 ， 都是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ，
，
因为 是不恒为0的函数，
所以 不恒成立，所以 不是奇函数，
，
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学科网（北京）股份有限公司因为 是不恒为0的函数，所以 不恒成立，
所以 不是偶函数，所以 是非奇非偶函数，故D正确，
故选：AD.
5.周期性问题
24．若函数 的定义域为 ，且 ，则 ______．
【答案】
【分析】推导出函数 的图象关于点 中心对称，可得出 ，推导出函数 为周期函数，
确定该函数的周期，结合函数的周期性可求得 的值.
【详解】因为 ，所以， ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，
又因为函数 的定义域为 ，所以 ．
由 ，可得 ，即 ，
所以， ，所以函数 的周期是 ，
所以 ．
故答案为： .
25．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数的周期性、代入法进行求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 为奇函数，所以有 ，
因为 为偶函数，所以有 ，
，
所以函数 的周期为 ，
由 ，
由 ，
由 ，
，
，
故选：A
【点睛】关键点睛：根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用赋值法是解题的关键.
26．定义在 上的函数 满足 ，则 ______．
【答案】1012
【分析】先根据题意可得到 ，从而可得到函数的周期性，再通过赋值 和 得到
和 ，进而即可求解．
【详解】由 ，
则 ，
所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 是以4为周期的周期函数．
令 ，得 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ．
故答案为：1012．
27．已知定义在 上的函数 满足： ， ，当 时， ，
则 ______.
【答案】
【分析】根据已知条件推导出函数 是周期为 的周期函数，求得 ，结合
，结合已知条件代值计算即可得解.
【详解】因为定义在 上的函数 满足： ， ，
所以， ，即函数 为奇函数，
则 ，所以， ，
故函数 是周期为 的周期函数，
因为 ，所以， ，
则 ， ，
所以，
.
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
28．（多选）定义在 上的函数 满足 ， ，若 ，
则（ ）
A． 是周期函数 B．
C． 的图象关于 对称 D．
【答案】ACD
【分析】根据 ，可得 ，进而可得 ，从
而可得函数的周期性，即可判断A；结合 ，可得函数的对称性，即可判断C；根据函数
的周期性及对称性计算即可判断BD.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 是周期为4的周期函数，则A正确；
在 中，令 ，得 ，则 ，
因为 ，
所以 的图象关于直线 对称，则C正确；
因为 ，所以 ，所以 ，则B错误；
由函数的对称性与周期性可得 ，
因为 ，即 ，
所以 ，
则
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学科网（北京）股份有限公司，则D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：根据 ，可得 ，进而可得
，从而可得 是周期为4的周期函数，是解决本题的关键.
29．（多选）已知函数 ， 的定义域均为 ，且满足 ， ，
，则（ ）
A． 为奇函数 B．4为 的周期
C． D．
【答案】BD
【分析】对于A，由 得出 的对称中心为 ，再由 和
得出 关于 对称，则 关于 轴对称，为偶函数，判断出A；对于B，由
和 ，得出 的周期为4，再根据 ，即可得出 的
周期；对于C，由 的周期性和奇偶性，求出 ，即可判断C；对于D，根据
和 的周期即可判断D．
【详解】对于A：
因为 ，
所以 的对称中心为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，则 关于 对称，结合 的对称中心为 ，
所以 关于 轴对称，即 为偶函数，故A错误；
对于B：
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 的周期为4，
又 ，
所以 的周期也为4，故B正确；
对于C：
由 对称中心为 ，得 ，
又因为 对称轴为 ，所以 ，所以 关于 对称中心，
所以 和 关于点 对称，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D：
由C得 ，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ， ，
所以
，
又因为 的周期为4，
所以 ，故D正确，
故选：BD．
【点睛】方法点睛：①若函数 是奇函数，则函数 的图像关于点 对称；②若函数
是偶函数，则函数 的图像关于直线 对称；③若函数 是奇函数，则函数 的图像
关于点 对称；④若函数 是偶函数，则函数 的图像关于直线 对称；⑤若函
数 的图像既有对称轴又有对称中心，则对称轴关于对称中心对称的直线仍是函数 图像的对称轴，
对称中心关于对称轴对称的点仍是函数 图像的对称中心；⑥若函数 的图像关于点 对称，且
函数 在 时有意义，则有 ；⑦若函数 的图像具有双对称性，则函数 为周期函数；
若 的图像关于直线 ， 对称，则函数 是以 为周期的周期函数；若 的图像关于
点 和 对称，则函数 是以 为周期的周期函数；若 的图像关于直线 对称，又关
于点 对称，则函数 是以 为周期的周期函数；⑧若函数 的周期为 ，则函数
的周期为 ．
6.对称问题
30．已知函数 是定义域为 的奇函数，满足 ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．2 D．4
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】根据题意求得函数 是以8为周期的周期函数，进而求得 ，结合周
期性，即可求解.
【详解】解：由函数 是定义域为 的奇函数，可得 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，可得 ，
所以函数 是以8为周期的周期函数，且 ，
因为函数 为奇函数，可得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，即 ，
，
所以 ，
所以 .
故选：B.
31．（多选）已知 是定义在R上的函数，函数 图像关于y轴对称，函数 的图像关于
原点对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B．对 ， 恒成立
C．函数 关于点 中心对称 D．
【答案】BCD
【分析】根据条件判断函数的对称性和周期性，利用相关性质判断选项即可．
【详解】∵函数 的图像关于y轴对称，∴函数 的图像关于直线 对称，
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学科网（北京）股份有限公司，则 ，
∵函数 的图像关于原点对称，∴函数 的图像关于点 中心对称， ，
，则 ，C选项正确；
， ，故 ，B选项正确；
，D选项正确；
没有条件能确定 ，A选项错误.
故选：BCD.
32．（多选）已知定义在R上的函数 满足 ，且 为奇函数， ，
.下列说法正确的是（ ）
A．3是函数 的一个周期
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 是偶函数
D．
【答案】AC
【分析】根据已知可推得 ，即可得出A项；由 为奇函数，即可得出
函数的对称性；易知 ，结合 ，即可推得 ，得出C项；
根据函数的奇偶性、周期性求解，即可判断D项.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A项，因为 ，所以 ，所以3是函数 的
一个周期，故A正确；
对于B项，因为， 为奇函数，所以 ，
所以，点 是函数 图象的对称中心，故B错误；
对于C项，因为， 为奇函数，所以 ，
所以 .
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以，函数 是偶函数，故C项正确；
对于D项，由C知，函数 是偶函数，所以 .
又3是函数 的一个周期，
所以 ， ， ，
所以， ，
所以， ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】思路点睛：根据已知条件，变换得出函数的关系式，进而得出函数的对称性、奇偶性以及周期性.
然后根据奇偶性以及周期性求值，即可得出答案.
33．已知函数 的定义域为R， 为奇函数，且对于任意 ，都有 ，则下
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学科网（北京）股份有限公司列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】C
【分析】由 是奇函数，得 即可判断 ，先证明 ，得到
，从而判断 ，证明 的周期为 ，再证明函数 的图象关于 对称，可判
断C，由 结合周期性判断D.
【详解】由 是奇函数，得 ，即 ，选项 错误；
由 ，得 ，所以 ，即 ，则
，B错；
由 可得 可得函数 的周期为 ，
与 可得 ，即函数 的图象关于 对称，
根据周期为2可得函数 的图象关于 对称，即 ，所以 为偶函数，C
正确；
因为 且函数 的周期为 ，所以 ， 为偶函数，，
故选项 错误．
故选： ．
34．定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 恒成立，
设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得函数的对称性以及单调性，结合对数函数以及指数函数的单调性，求得
的大小关系，可得答案.
【详解】因为函数 满足 ，所以函数 的图象关于直线 成轴对称，
因为当 时， ，由 ，则 ，即 ，
所以 在 上单调递增，则 在 上单调递减，
由 ，
由 ，根据函数 在 上单调递增，则 ；
由 ，根据函数 在 上单调递增，则 .
由函数 在 上单调递减，则 ，即 .
故选：B.
35．试写出一个定义域为R，且满足如下三个条件的函数的解析式 __________.① 是偶函数；
② ， ；③ 在区间 上恰有2个零点.
【答案】 （结果不唯一）
【分析】根据给定的三个条件得出函数的对称性，从而找出一个满足条件的函数即可.
【详解】因为 是偶函数，所以 关于 对称；
因为 ， ，所以 关于 对称；
又因为 在区间 上恰有2个零点，
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学科网（北京）股份有限公司所以满足以上三个条件的函数的一个解析式为 .
故答案为： （结果不唯一）
7.求解不等式
36． 为定义在 上的偶函数，对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得函数 在 上单调递增，且为偶函数，进而可得 ，即得.
【详解】对任意的 ，都有 ，则
，
令 ，则 在 上单调递增，
因为 为定义在 上的偶函数，
所以 ，即 为偶函数，
又 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以 ，
所以 的解集为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A.
37．已知 是定义在 上的奇函数， ，且 在 上单调递增，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意不等式 等价于 ，再根据函数的单调性分 和 两种情况
讨论即可得解.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数， ，且 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：A.
38．若函数 对任意实数x，y都有 ，则称其为“保积函数”．若 时，
，且 ， ，则 __________，不等式 的解集为__________．
【答案】
【分析】令 ，可证明函数为偶函数，再根据 即可求得 ，设任意的 ，则
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学科网（北京）股份有限公司，证明 在 上单调递增，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令 ，则 对任意实数x都成立，
所以 是偶函数，
，
因为 ，所以 ，
设任意的 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以不等式 等价于 ，
又 是R上的偶函数，所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
故答案为： ； ．
【点睛】关键点点睛：设任意的 ，则 ，结合 时， ，证明 在
上单调递增，是解决本题的关键.
39．已知 是定义在 上的增函数，且 的图像关于点 对称，则关于x的不等式
的解集为______________.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】观察不等式，结合函数 的性质，构造新函数 ，为 上的增函数和奇函
数，再利用其奇函数和增函数的性质求解不等式即可.
【详解】设函数 ，因为 的图像关于点 对称，所以 的图像关于原点对称，
故 为定义在 上的奇函数，
因为 是定义在 上的增函数，所以 也是定义在 上的增函数，
由 ，得 ，
即 ，即 ，
则
解得 ，即不等式的解集为 .
故答案为: .
40．函数 在 单调递减，且为奇函数. ，则满 的 取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性，奇偶性以及 可解不等式组 或 分别解两
个不等式组即可得出结论.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由已知，使不等式成立的 满足 或 ，
因为 为奇函数.且 ，所以 ，
将 的图象右移 个单位后，由 得 ，
又 得 ，即 ，
所以满足 的 范围为 ，
同理，满足 的 范围为 .
综上， 的取值范围为 ，
故选：A.
【点睛】关键点睛：通过函数的单调性，奇偶性，以及 ，从而解出 得 ，以及
得 ，是解题关键.本题考查函数的基本性质的综合应用，属于较难题.
41．定义在 上 且满足 ，其中 ，在 为增函数，则
（1）不等式 解集为
（2）不等式 解集为
（3） 解集为
（4） 解集为 ，其中成立的是（ ）.
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学科网（北京）股份有限公司A．（1）与（3） B．（1）与（4） C．（2）与（3） D．（2）与（4）
【答案】B
【分析】根据函数满足的性质作出函数的大致图象，进而数形结合，分别求解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知定义在 上 且满足 ，其中 ，在 为增函数，
则函数为偶函数，在 上为减函数，
函数 的图象可由 的图象向左平移1个单位得到，
作出 以即 得大致图象如图，
则不等式 可化为 或 ，
由图象可知 ，故（1）正确，（2）错误；
由于 为偶函数，故 可化为 ，
即 ，解得 ，故（3）错误，（4）正确，
故选：B
1．已知函数 是定义在 上的单调函数，且对任意的 ，都有 恒
成立，则 （ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】由已知，可令 ，即可求得 的值.
【详解】∵函数 的定义域为 且 有意义，
∴令 ，则 ，
又∵ 是 上的单调函数，
∴存在唯一 ，使 ，且 ，
∴由已知，有 ，即 ，
∴ .
故选：D.
2．偶函数 满足： ，且在区间 与 上分别递减和递增，使
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题中所给条件，可画出符合全部条件的函数图象辅助做题.
【详解】根据题目条件，想象函数图象如下:
因为 ， 为偶函数，所以 ，
所以当 和 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
3．（ 2023·陕西·统考一模）函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增， ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质及条件，得到 的单调性，再结合函数的对称性、 和 即可
求出结果.
【详解】因为函数 是奇函数，且在 上单调递增，所以函数 在 上也单调递增，
又因为 ，所以 ，不等式 等价于 或 ，
即 或 ，得到 ．
故选：D．
4．已知函数 定义域为 ，对 ，恒有 ，则下列说法错误的
有（ ）
A． B．
C． D．若 ，则 周期为
【答案】A
【分析】利用赋值法求 判断A；赋值法结合函数奇偶性的定义判断B；赋值法结合换元法判断C；利
用赋值法求得 ，化简得 ，即可判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，
令 ， ，有 ，
可得 或 ，A错；
当 时，令 ，
则 ， ，
函数 既是奇函数又是偶函数， ，
当 时，令 ，
则 ，则 ，
函数 是偶函数， ，
综上，B正确；
令 ，则 ，
故 ，
由于 ，令 ，即 ，
即有 ，C正确；
若 ，令 ，
则 ，
所以 ，
则 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
则 周期为 ，D正确.
故选：A
5．若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意先求得函数 的定义域为 ，然后结合抽象函数定义域与 求解即可；
【详解】由题意可知 ，所以 ，要使函数 有意义，则 解
得 .
故选：D
6．已知定义在 上的函数 满足， ，且当 时， ， ，则
关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得 为 上的奇函数，且为增函数，又由题得 ，令
，得 为 上的偶函数，且在 上单调递增，得 即可解决.
【详解】由题知，定义在 上的函数 满足， ，
且当 时， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
又 ，
所以 为 上的奇函数，
设 ， ，
所以 为 上的增函数，
因为 ，
令 ，
因为 为 上的偶函数，且在 上单调递增， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B．
7．已知 是定义在 上的奇函数， ，若 ， 且 满足 ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定函数 的单调性，再变形不等式，利用单调性分段求解作答.
【详解】因为 ， 且 满足 ，则 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司因为 是定义在R上的奇函数，且 ，则 ， 在 上单调递增，
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，当 时，由 ，得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：A
8．（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，则下列说法
一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 为偶函数 D．函数 的图象关于 对称
【答案】BC
【分析】根据给定的信息，推理论证周期性、对称性判断AB；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义
及对称性意义判断CD作答.
【详解】依题意， 上的函数 ， ，则 ，函数 的周
期为4，A错误；
因为函数 是偶函数，则 ，函数 的图象关于 对称，
且 ，即 ，函数 图象关于 对称，B正确；
由 得 ，则函数 为偶函数，C正确；
由 得 ，由 得 ，
因此 ，函数 的图象关于 对称，D错误.
故选：BC
9．（多选）已知定义在 上的偶函数 ，满足函数 关于点 对称，则下列结论正确的是
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A．
B．
C．若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上单调递增
D．若函数 在区间 上的解析式为 ，则 在区间 上的解析式为
【答案】BC
【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期
性可判断C选项；设 ，利用 即可求解解析式，判断D选项.
【详解】对于A选项，因为函数 关于点 对称，所以 ，A错误；
对于B选项，因为 且函数 为偶函数，
所以 可得 ，所以 ，
所以对任意的 ， ，B正确；
对于C选项，因为函数 在区间 上单调递增，又函数 关于点 对称，
所以函数 在区间 上也单调递增，因为 ，所以函数 的周期为4，
则 在区间 上单调递增，C正确；
对于D选项，当 时， ， ，
所以 ，D错误.
故选：BC.
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学科网（北京）股份有限公司10．（多选）定义在R上的函数 ， 满足 ，且 为偶函
数， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由 为偶函数，结合偶函数定义求解可判断A；由
消去 可判断B；将 代入①式得
，即 ③，由②③消去 可判断C；由②③得 ，
消去 得 ，进而 ，从而 的周期为4，利用赋值法求出 ，
， ， ，结合周期性计算可判断D.
【详解】A项：因为 为偶函数，所以 ，故A正确；
B项：由 ，消去 得 ，故B不正确；
C项：将 代入①式得 ，即 ③，
由 ，消去 得 ，故C正确；
D项：由 ，消去 得
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学科网（北京）股份有限公司，即 ，故 的周期为4；
将 代入①： ；
将 代入②： ，
由 关于 中心对称，且 ；
将 代入： ，
故有 ，故D错误．
故选：AC.
11．已知函数f（x）满足：①对 ， ， ；② ．请写出一个符合上述
条件的函数f（x）＝______．
【答案】 （答案不唯一，符合条件即可）
【分析】由条件对 ， ， 可推测 在 上可能为对数函数，再由
确定其解析式.
【详解】因为对 ， ， ；
所以 在 上可能为对数函数，
故 满足条件①，又 ，
所以 ，
故符合上述条件的函数可能为： ，
故答案为： （答案不唯一）.
12．函数 是定义在 上的减函数，且图象关于点 对称，若 ，
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学科网（北京）股份有限公司则实数 的取值范围为______．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性、单调性可得不等式组，即可得解.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，所以函数 的定义域为 ，
因为函数 图象关于点 对称，
所以函数 的图象关于 对称，即为奇函数，且在 上单调递减，
所以 即 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
13．已知 是在定义域 上的单调函数，且对任意 都满足： ，则满
足不等式 的 的取值范围是________.
【答案】
【分析】由换元法求出 的解析式，再解原不等式
【详解】由题意得 为正常数，令 ，则 ，
且 ，解得 ，
原不等式为 ，可得 ，解得 ，
故答案为：
14．设 为定义在 上的奇函数， 为定义在 上的偶函数，若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司______．
【答案】
【分析】由奇偶函数的定义，将 换成 ，运用函数方程的数学思想，解出 ， ，再求 ，
，即可得到结论．
【详解】 为定义在 上的奇函数，则 ，
为定义在 上的偶函数，则 ，
由于 ，
则 ，即有 ，
由 解得， ，
，
则 ，
，
则 ．
故答案为： ．
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