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特训05 相似三角形 压轴题（六大题型归纳）
题型1：动点问题
1．某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边 中， ，点 在射线 上运动，
连接 ，以 为一边在 右侧作等边 ．
(1)【问题发现】如图（1），当点 在线段 上运动时 不与点 重合 ,连接 则线段 与 的数量
关系是___________ ；直线 与 的位置关系是___________ ；
(2)【拓展延伸】如图（2），当点 在线段 的延长线上运动时，直线 相交于点 ，请探究
的面积与 的面积之间的数量关系；
(3)【问题解决】当点 在射线 上运动时 点 不与点 重合 ，直线 相交于点 ，若
的面积是 ，请求出线段 的长．
2．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图1，正方形纸片 ，在边 上任意取一点 ，连接 ，过点 作 于点 ，与边 交
于点 ．根据以上操作，请直接写出图1中线段 与线段 的关系．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片 中， ，在边 上任意取一点 ，连接 ，过点 作
于点 ，与边 交于点 ，请求出线段 与 的关系，并说明理由．
1(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片 的边长为2，动点 由点 向终点 做匀速运动，动点 由点 向终点
做匀速运动，动点 、 同时开始运动，且速度相同，连接 、 ，交于点 ，连接 ，则线段
长度的最小值为______，点 的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）
3．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），E是 边上的动
点，过点D作 的垂线交直线 于点F．
【初步感知】
(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】
(2)①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，请写出结论并
证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证
明）
【拓展运用】
(3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的
路径长（用含n的代数式表示）．
题型2：最值、定值问题
24．在 中， ，将 绕点B顺时针旋转得到 ，其中点A，C
的对应点分别为点 ， ．
(1)如图1，当点 落在 的延长线上时，求 的长；
(2)如图2，当点 落在 的延长线上时，连接 ，交 于点M，求 的长；
(3)如图3，连接 ， ，直线 交 于点D，点E为 的中点，连接 ．在旋转过程中，
是否存在最小值？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由．
5．（1）特殊发现：
如图1，正方形 与正方形 的顶B重合， 、 分别在 、 边上，连接 ，则有：
① ______；
②直线 与直线 所夹的锐角等于______度；
（2）理解运用
将图1中的正方形 绕点B逆时针旋转，连接 、 ，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过 边的中点O， ，直接写出 的长等于
______；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形 的 边上一动点（不与A、B重合），连接 ，沿 将 翻折到
位置，连接 并延长，与 的延长线交于点F，连接 ，若 ，则 的值是否是定
值？请说明理由．
6．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
3【观察与猜想】
(1)如图 ，在正方形 中， ， 分别是 ， 上的两点，连接 ， ，若 ，则
的值为___________；
(2)如图 ，在矩形 中， ， ， 是 上的一点，连接 ， ，若 ，则
的值为___________；
【类比探究】
(3)如图 ，在四边形 中， ， 为 上一点，连接 ，过 作 的垂线交 的延
长线于 ，交 的延长线于 ，求证： ；
【拓展延伸】
(4)如图4，在 中， ， ，将 沿 翻折， 落在 处，得到 ，
为线段 上一动点，连接 ，作 ，交 于 ，垂足为 ，连接 ．若 ，则 的最
小值为___________．
7．如图1，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 为线段 上的
动点（不与点 ， 重合），连接 并延长交边 于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)当点 恰好为 的中点时，求证： ；
(2)求线段 的长；
(3)当 为直角三角形时，求 的值；
(4)如图2，作线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，在点 的运动过程中，
的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
8．在平行四边形 中，连接 ，若 ，点 为边 上一点，连接 ，交 于点 ．
4(1)如图1，若点 为 中点，对角线 与 相交于点 ，且 的面积为 ， ，求 的
长；
(2)如图2，若点 在 上，且 ，连接 ，过 作 于点 ，连接 并延长交 于点
，若 ，用等式表示线段 、 、 的数量关系，并证明；
(3)如图3，若 ， ，点 在 边上， ，且 平分 ，线段 （点 在
点 的左侧）在线段 上运动，且 ，连接 ， ，请直接写出 的最小值．
题型3：相似三角形在平面直角坐标系中的应用
9．如图：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点A关
于y轴对称．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图2，点E在线段 上，点D在线段 上，且 ，若点E的横坐标为t，三角形 的面积
为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）问的条件下，点H是点B关于x轴的对称点，连接 ，过点B作 的垂线，交
于点G，交x轴于点F，交 于点K，若 ，求点E的坐标．
10．已知，平面直角坐标系中，直线 经过点 ；
(1)如图 ，求直线 的解析式；
5(2)如图 ，点 为直线 上方一点，连接 ，过 作 的垂线交 轴于点 ，连接 ，设 的
面积为 ，点 的纵坐标为 ，当 时，求 与 的函数解析式；
(3)如图 ，在（ ）的条件下，当点 在第一象限，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，若
，求 的值．
11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线
经过点B，交x轴于点C．
(1)如图l，求点C的坐标；
(2)如图2，点D在线段 的延长线上，过点D作 轴于点H，设 ， 的面积为
，求S与t之间的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下， 与 交于点E，连接 ，且 ，延长 交x轴交于点F，
点M在线段 的延长线上，连接 交x轴于点N，若 ，求线段 的长．
612．如图1，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在 轴的正半轴上．如图2，将正方形 绕
点 逆时针旋转，旋转角为 ， 交直线 于点 ， 交 轴于点 ．
(1)当旋转角 为多少度时， ；（直接写出结果，不要求写解答过程）
(2)若点 ，
①求 的长；
②连接对角线 交直线 于点 ，求 的长；
(3)如图3，对角线 交 轴于点 ，交直线 于点 ，连接 ．将 与 的面积分别记
为 与 ，设 ， ，求 关于 的函数表达式．
题型4：动态几何问题
13．正方形 和正方形 有公共顶点 ．
(1)如图 ，点 、 、 三点共线，若 ， ，点 为 的中点，则 的长为______ ；
(2)将正方形 绕点 顺时针旋转至如图 所示的位置，连接 、 ，求证： ；
7(3)在（1）的条件下，将正方形 绕点 旋转一周的过程中， 的最小值是______ ，此时，
的度数为______ ．
14．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)㩧作猜想
操作一：对折正方形纸片 、使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：继续沿 折叠，使点D落在正方形内部点G处，把纸片展平，连接 、 ；
根据以上操作：在图2中写出一个与 相等的角______．
(2)探究证明
①如图3，延长 与边 交于点 ，连接 ，则 与 的大小关系是______；线段 、
、 之间的数量关系是______；
②判断点 在 上的位置、并说明理由．
(3)拓展延伸
如图4，若正方形的边长为 ，直接写出点 到线段 的距离．
15．在 中， ， ， ，点 是线段 上一动点，连接 ．
(1)如图1，若 ，求 的面积；
(2)如图2，若 ，以 为边在 下方作等腰 ， ，连接 ，若点 是线段
中点，过 作 于点 的延长线交 于点 ，求证： ；
(3)如图3将 沿 翻折 ．连接 ， 是线段 上一点，且 ，直接写出当
取得最小值时 的面积．
16．在 中， ， ，点 在边 上， ，将线段 绕点 顺时针旋转
至 ，记旋转角为 ，连接 ， ，以 为斜边在其一侧作等腰直角三角形 ，连接 ．
8(1)如图1，当 时，请直接写出线段 与线段 的数量关系；
(2)当 时，
①如图2，（1）中线段 与线段 的数量关系是否仍然成立?请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由．
题型5：相似三角形解答证明题
17．（1）如本题图①， 为 的角平分线， ，点E在 上， ．求证： 平
分 ．
（2）如本题图②，在（1）的条件下，F为 上一点，连结 交 于点G．若
，求 的长．
（3）如本题图③，在四边形 中， ，对角线 平分 ，点E
为 上一点， ．若 ，求 的长．
18．菱形 对角线AC与BD交于点O，若 ，过点A作 于点M，交BD于点N．
(1)如图1，若 ，求AN的长度．
(2)如图2，延长AM交DC延长线于点P，求证： ．
(3)如图3，若 ，在线段AB上取一点E，使得 ，连接CE，在CE上任取一点G，R为线
段AC边上动点，当 取最小值时，直接写出四边形 的面积．
19．（1）在 中， ，在 的外部作正方形 ，正方形 和正
方形 的延长线交 于点M， 的延长线分别交 于点K，交 于点Q．
①如图1，求 ；
9②如图2，连接 分别交 于点P，交 于点N，求 ．
（2）如图3，在 中， ，在 的外部作 ，已知
，求 周长之比；
（3）如图4，在五边形 中， ．M是 上一点，
，连接 ； 三等分 ，求 与 周长之比．
题型6：情景探究题
20．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
(1)如图①，在正方形 中，点 、 分别是 、 上的两点，连接 、 ， ，则
的值为＝ ；
(2)如图②，在矩形 中， ， ，点 是 上的一点，连接 ， ，且 ，则
10的值为 ．
[性质探究]
(3)如图③，在四边形 中， ．点 为 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交
的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．求证： ；
[拓展延伸]已知四边形 是矩形， ，
(4)如图④，点 是 上的点，过点 作 ，垂足为 ，点 恰好落在对角线 上．求 的值；
(5)如图⑤，点 是 上的一点，过点 作 ，垂足为 ，点 恰好落在对角线 上，延长 、
交于点 ．当 时， ．
21．综合与实践
问题情境：数学课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在四边形 中， ， ， ， ．请直接写出
图中与 相等的角．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有条件不变的情况下，王老师提出了新问题，请你解答．
“探究线段 与 的数量关系，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出
与 之间的数量关系，则图2中所有已经用字母标记的任意两条线段之间的比值均可求．该小
组提出下面的问题，请你解答．
“如图2，若 ，求 的值．”
22．纸飞机对于每一个孩子而言，都应该是一样不会缺少的童年玩具．随着年龄的增长，学习的知识逐渐
增多，大家对纸飞机的探究也在继续．
(1)“长跑冠军”纸飞机是用正方形 纸张折叠而成， 、 分别是 、 的中点．小明在探究“长
跑冠军”飞机时，发现飞机重心落在正方形 的中心点 （即对角线的交点），他想将重心调整到线
段的黄金分割点（靠近点 ）处，以观察重心的改变对飞机飞行情况的影响，请你用尺规作图的方法，帮
他找到线段 的黄金分割点 （靠近点 ）（保留作图痕迹，不写作法）．
11(2)以下是“英雄号”纸飞机的部分折叠步骤，小明在探究过程中，取矩形纸张 ， ，点
是对角线的交点， 、 为 、 的中点．
第一步：将点 与点 重合，折痕交 于点 ，交 于点 ；
第二步，将点 与点 重合，折痕经过 点，交 于点 ；
第三步，将 、 点分别与点 重合，折痕交 、 、 、 于 、 、 、 四点， 、 、
三点不重合；
第四步，……
①小明在折叠时，认为 ，他说的对吗？请结合图四说明理由；
②若矩形纸张的宽为 ，此时 的值是多少？请你直接写出答案；
③小明在折叠第三步时，发现点 与点 重合、点 与点 重合，此时 的值是多少呢？请你直接写出
答案（结果保留根号）．
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