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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
专题 01 集合
一、单选题
1.已知集合P＝{x N|x≤3}，Q＝{x|x2≤x+2}，则P∩Q＝（ ）
∈
A．{﹣1，0，1，2} B．[0，2] C．{0，1，2} D．{1，2}
【答案】C
【分析】先求出集合P，Q，再利用集合的交集运算求解．
【解答】解：集合P＝{x N|x≤3}＝{0，1，2，3}，Q＝{x|x2≤x+2}＝{x|﹣1≤x≤2}，
∈
∴P∩Q＝{0，1，2}．
故选：C．
【知识点】交集及其运算
2.已知集合A＝{x|y＝ ，x N}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
∈
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算求出A∩B，然后即可得出A∩B中元素的个数．
【解答】解：∵A＝{x|3x≤81，x N}＝{x|x≤4，x N}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，
∈ ∈
∴A∩B＝{0，1，2，3}，
∴A∩B中元素的个数为4．
故选：C．
【知识点】交集及其运算
3.已知集合M＝{x|log （x﹣1）2＜4}，N＝{x|x2+4x+3≤0}，则M∪N＝（ ）
2A．{x|﹣3＜x≤﹣1} B．{x|﹣3≤x＜5}
C．{x|﹣3≤x＜1或1＜x＜5} D．{x|﹣3≤x≤5}
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质解不等式log （x﹣1）2＜4，得到集合M，再解不等式x2+4x+3≤0得到集合
2
N，再利用集合的并集的定义求解即可．
【解答】解：∵log （x﹣1）2＜4，
2
∴（x﹣1）2＜16，且x﹣1≠0，
解得：﹣3＜x＜5且x≠1，
即﹣3＜x＜1或1＜x＜5，
又∵N＝{x|x2+4x+3≤0}＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，
∴M∪N＝{x|﹣3≤x＜1或1＜x＜5}，
故选：C．
【知识点】并集及其运算
4.已知集合M＝{x|﹣4＜x≤2}，N＝{x|y＝ }，则M∩N＝（ ）
A．{2} B．{x|﹣4＜x≤﹣2} C．{x|﹣4＜x≤2} D．{x|﹣2≤x≤2}
【答案】B
【分析】求出函数y＝ 的定义域，得到集合N，再利用集合的交集的定义求解．
【解答】解：集合N＝{x|y＝ }＝{x|（x+2）（x﹣4）≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥4}，
∴M∩N＝{x|﹣4＜x≤2}．
故选：B．
【知识点】交集及其运算
5.已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝ }，则A∩（
∁R
B）＝（ ）
A．[﹣2，1） B．[1，3] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1）【答案】D
【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，
∴
∁R
B＝{x|x＜1}，A∩（
∁R
B）＝（﹣2，1）．
故选：D．
【知识点】交、并、补集的混合运算
6.已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x R|x（x﹣2）≤0}，则M∩N＝（ ）
∈
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}
【答案】B
【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|0≤x≤2}，
∴M∩N＝{0，1}．
故选：B．
【知识点】交集及其运算
7.设函数f（x）＝sin（ x+ ），A＝{（x ，f（x ））|f'（x ）＝0}， ，若存在
0 0 0
ω φ
实数 ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则 （ ＞0）的取值范围是（ ）
φ ω ω
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可知集合A表示函数f（x）的最大值点和最小值点，而f（x）的最大值和最小值在直线y＝±1上，
从而代入 即可解出﹣4≤x≤4，从而得出 ，解出 的范围即可．
ω
【解答】解：∵f′（x）＝0，∴f（x）是f（x）的最大值或最小值，
0 0又f（x）＝sin（ x+ ）的最大值或最小值在直线y＝±1上，
ω φ
∴y＝±1代入 得， ，解得﹣4≤x≤4，
又存在实数 ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，
φ
∴ ，且 ＞0，解得 ，
ω
∴ 的取值范围是 ．
ω
故选：B．
【知识点】交集及其运算
8.已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意实数对（x，y）∈M，存在（x，y）∈M，使xx+yy
1 1 2 2 1 2 1 2
＝0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：
M＝{（x，y）|y＝x3﹣2x2+3}； ②M＝{（x，y）|y＝log （2﹣x）}；
2
①
M＝{（x，y）|y＝2﹣2x}； ④M＝{（x，y）|y＝1﹣sinx}；
③
其中具有∟性的集合的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】条件等价于：对于 M 中任意点 P（x ，y ），在 M 中存在另一个点 P′（x ，y ），使
1 1 2 2
OP⊥OP′．作出函数图象，验证即可．
【解答】解：由题意知：对于 M 中任意点 P（x ，y ），在 M 中存在另一个点 P′（x ，y ），使
1 1 2 2
，即OP⊥OP′，即过原点任作一条直线与函数图象相交，都能过原点作另一条直
线与此直线垂直，经验证①②③④皆满足．
故选：D．
【知识点】集合的表示法、函数的图象与图象的变换二、多选题
9.下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数
D．清华大学2020年入学的全体学生
【答案】BD
【分析】根据集合的定义进行判断即可．
【解答】解：A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不不能，
C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不不能，
∴根据集合元素的确定性可知，B，D，都不能构成集合，
故选：BD．
【知识点】集合的含义
10.已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2， }，若B A，则实数a的值可能是（ ）
⊆
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】ABC
【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．
【解答】解：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2， }，B A，
若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合题意，A⊆对；
若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合题意，B对；
若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合题意，C对；
若a＝1，A＝（﹣∞，1]，不符合题意，D错；故选：ABC．
【知识点】集合的包含关系判断及应用
11.设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（ ）
A．A∩B＝{0，1} B．
∁U
B＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8
【答案】AC
【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．
【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，
∴A∩B＝{0，1}，故A正确，
B＝{2，4}，故B错误，
U
∁
A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，
集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误
故选：AC．
【知识点】交、并、补集的混合运算
12.已知集合A＝{x|x＝3a+2b，a，b Z}，B＝{x|x＝2a﹣3b，a，b Z}，则（ ）
∈ ∈
A．A B B．B A C．A＝B D．A∩B＝∅
⊆ ⊆
【答案】ABC
【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．
【解答】解：已知集合A＝{x|x＝3a+2b，a，b Z}，B＝{x|x＝2a﹣3b，a，b Z}，
∈ ∈
若x属于B，则：x＝2a﹣3b＝3*（2a﹣b）+2*（﹣2a）；
2a﹣b、﹣2a均为整数，x也属于A，所以B是A的子集；
若x属于A，则：x＝3a+2b＝2*（3a+b）﹣3*（a）；
3a+b、a均为整数，x也属于B，所以A是B的子集；
所以：A＝B，故选：ABC．
【知识点】集合的包含关系判断及应用
三、填空题
13.已知集合A＝{﹣2，0，1}，B＝{x|x2﹣1＞0}，则A∩B＝ ﹣ ．
【答案】{-2}
【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{﹣2，0，1}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，
∴A∩B＝{﹣2}．
故答案为：{﹣2}．
【知识点】交集及其运算
14.设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则满足C A，且C∩B≠∅的集合C共有 个．
⊆
【答案】4
【分析】利用集合的包含关系即可求出满足条件的集合C．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，且集合C满足C A，且C∩B≠∅，
⊆
∴集合C＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，
故答案为：4．
【知识点】交集及其运算、集合的包含关系判断及应用
15.已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6}，集合 P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则（
∁U
P）∪Q＝
．
【答案】{1，2，4，6}，
【分析】由已知，先求出C
∪
P，再求（
∁U
P）∪Q．
【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，
集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，
∴C P＝{2，4，6}，
∪∴（
∁U
P）∪Q＝{1，2，4，6}，
故答案为：{1，2，4，6}，
【知识点】交、并、补集的混合运算
16.已知集合M＝{x N|1≤x≤21}，集合A，A，A 满足
1 2 3
∈
①每个集合都恰有7个元素； ②A∪A∪A＝M．集合A中元素的最大值与最小值之和称为集合A的特征
1 2 3 i i
数，记为X（i＝1，2，3），则X+X+X 的最大值与最小值的和为 ．
i 1 2 3
【答案】132
【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．
【解答】解：集合 M＝{x N|1≤x≤21}，由集合 A ，A ，A 满足①每个集合都恰有 7 个元素；
1 2 3
②A∪A∪A ＝M可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的
1 2 3 ∈
元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时X 最小
1
值为22；
15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一个
组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X 最小值为17；
2
9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特征数
最小，这时X 最小值为10；则X+X+X 的最小值为22+17+12＝51．
3 1 2 3
同理可知最大的三个数为21，20，19；
含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34；
含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；
含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；
则X+X+X 的最大值为34+27+20＝81；
1 2 3
所以X+X+X 的最大值与最小值的和为51+81＝132．
1 2 3
故答案为：132．
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
17.已知集合 A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}， ，若
A∩B≠∅，则实数a的取值范围为 ．【分析】集合 A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，可得集合 A＝{（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，
，其（x﹣2a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2﹣ ，由a2﹣
≥0，解得a 或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心， 为半径的圆及其圆
内的点．由A∩B≠∅，利用点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系即可得出．
【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，
∴集合A＝{（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，
，
其（x﹣2a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2﹣ ，由a2﹣ ≥0，解得a 或a≤0．
在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心， 为半径的圆及其圆内的点．
其圆心在直线x﹣2y+2＝0上．
由A∩B≠∅，
a＜0时，由 ≤ ，或 ≤ ，或﹣2≤2a＜0．
①
解得： ≤a≤ ，﹣ ≤a＜0，或﹣1≤a＜0．
即 ≤a＜0．
② 时，由 ＜ ，或 ＜ ，
解得：a ．
∈∅
a＝0时，满足题意．
③
a＝ 时，不满足题意，舍去．
综上可得：实数a的取值范围为 ．故答案为： ．
【知识点】空集的定义、性质及运算
18.已知A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 ．
【答案】a＜4
【分析】由A与B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，且A∩B≠∅，
∴a＜4，
故答案为：a＜4．
【知识点】交集及其运算
19.已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合 B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合 C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}，若 C
（A∩B），试确定实数a的取值范围 ． ⊇
【答案】[1，2]
【分析】先确定集合A，B得到A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，再根据题意分类讨论得出a的
取值范围．
【解答】解：由已知得A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，
所以，A∩B＝{x|2＜x＜3}，
C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，
①当a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，如右图所示：
则C （A∩B）等价为： ，
解得⊇，1≤a≤2，经检验符合题意；
②当a＜0时，C＝{x|3a＜x＜a}；
C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，
因此C （A∩B）是不可能的，故无解；
⊇
③当a＝0时，C＝∅，此时C （A∩B）是不可能的，也无解．
⊇综合以上讨论得，a [1，2]．
∈
故答案为：[1，2]．
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
20用C（A）表示非空集合A中元素的个数，设A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，若C（A）＝5，则实数a
的取值范围 ．
【分析】由题意可得：|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0 有 5 个不同实数解．必然 a＜0，方程化为：|x（x+1）
（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|＝0，可得x＝﹣1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时，化为：|x
（x+3）|＝﹣a|（x﹣1）|，分别作出函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q
．由于函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，当y＝﹣a|（x﹣
1）|的图象经过点Q时，有 ＝﹣a× ，解得a，进而得出．
【解答】解：A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，C（A）＝5，
则|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0有5个不同实数解．
必然a＜0，
方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|＝0，
x＝﹣1是此方程的一个实数根，
x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|＝﹣a|（x﹣1）|，
分别作出函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q ．
由于函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，
当y＝﹣a|（x﹣1）|的图象经过点Q时，有 ＝﹣a× ，解得a＝﹣ ．
∴ 0．∴实数a的取值范围是 ．
故答案为： ．
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
21.已知集合M＝{（x，y）|y＝ }，N＝{（x，y）|y＝x+m}，且M∩N≠∅，则m的取值范围为 ﹣
．
【分析】集合M表示圆心为（0，0），半径为3的半圆，集合N表示直线y＝x+m上的点，根据题意画出
相应的图形，根据两集合交集不为空集得到两函数图象有交点，抓住两个特殊位置，直线与半圆
相切时；直线过（3，0）时，分别求出m的值，即可得到满足题意m的范围．
【解答】解：根据题意画出相应的图形，
当直线y＝x+m与半圆y＝ 相切，且切点在第二象限时，
圆心到直线的距离d＝r，即 ＝3，
解得：m＝3 或m＝﹣3 （不合题意，舍去），
当直线过点（3，0）时，将x＝3，y＝0代入得：3+m＝0，
解得：m＝﹣3，
则m的取值范围为﹣3≤m≤3 ．
故答案为：﹣3≤m≤3【知识点】交集及其运算
22.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19种商品，第二天售出13种商品，第三天售
出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有 种；
②这三天售出的商品最少有 种．
【答案】【第1空】16
【第2空】29
【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少
种数．
【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类
集为C，
如图，
则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；
②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有
18﹣4＝14种，当这14种
商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三
天售出的商品种类最少为29种．
故答案为：①16；②29．
【知识点】集合的包含关系判断及应用、容斥原理
23.设有限集合A＝{a ，a ，..，a}，则a+a+…+a 叫做集合A的和，记作S ，若集合P＝{x|x＝2n﹣1，
1 2 n 1 2 n A
n N*，n≤4}，集合P的含有3个元素的全体子集分别记为P，P，…，P，则P+P+…+P＝ ．
1 2 k 1 2 k
∈【答案】48
【分析】由题意：集合P＝{x|x＝2n﹣1，n N*，n≤4}，求出集合P的含有3个元素的全体子集，求全体子
集之和即可．
∈
【解答】解：由题意：集合P＝{x|x＝2n﹣1，n N*，n≤4}，
∈
那么：集合P＝{1，3，5，7}，集合P的含有3个元素的全体子集为{1，3，5}，{1，3，7}，
{1，5，7}，{3，5，7}，
由新定义可得：P＝9，P＝11，P＝13，P＝15
1 2 3 4
则P+P+P+P＝48．
1 2 3 4
故答案为：48．
【知识点】子集与真子集
24.若对任意的x D，均有f （x）≤f（x）≤f （x）成立，则称函数f（x）为函数f （x）到函数f （x）在
1 2 1 2
区间D上的“∈折中函数”．已知函数f（x）＝（k﹣1）x﹣1，g（x）＝0，h（x）＝（x+1）lnx，且f
（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是 ．
【答案】{2}
【分析】在区间[1，2e]上分g（x）≤f（x）及f（x）≤h（x）两种情况考虑即可．
【解答】解：根据题意，可得0≤（k﹣1）x﹣1≤（x+1）lnx在x [1，2e]上恒成立．
∈
当x [1，2e]时，函数f（x）＝（k﹣1）x﹣1的图象为一条线段，
∈
于是， ，解得k≥2．
另一方面， 在x [1，2e]上恒成立．
∈
令 ＝ ，
则 ．
由于1≤x≤2e，所以 ，
于是函数x﹣lnx为增函数，
从而x﹣lnx≥1﹣ln1＞0，
所以m′（x）≥0，
则函数m（x）为[1，2e]上的增函数．
所以k﹣1≤[m（x）] ＝m（1）＝1，
min
即k≤2．
综上，k＝2．
故答案为：{2}．
【知识点】元素与集合关系的判断
25.记A＝{ |f（x）＝sin（x+ ）为偶函数， 是正整数}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，对任意实数
a，满足θ A∩B 中的元素ω不θ 超过两个，且ω 存在实数 a 使 A∩B 中含有两个元素，则 的值是
． ω
【答案】5、6、7、8、9
【分析】根据正弦型函数的性质，可得A＝{ | ＝ （k + ），k Z， 是正整数}，
θθ π ∈ ω
若对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个， （ + ）≥ ，即 ≤2 ，
π ω π
存在实数a使A∩B中含有两个元素， （ + ）＜1，即 ＞
π ω π
进而得到答案．
【解答】解：B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝（a，a+1），
A＝{ |f（x）＝sin（x+ ）为偶函数， 是正整数}＝{ | ＝k + ，k Z， 是正整数}＝
θ ωθ ω θωθ π ∈ ω
{ | ＝ （k + ），k Z， 是正整数}，
θθ π ∈ ω对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个， （ + ）≥ ，即 ≤3 ，
π ω π
存在实数a使A∩B中含有两个元素， （ + ）＜1，即 ＞ ，
π ω π
故 的值是：5、6、7、8、9
ω
故答案为：5、6、7、8、9
【知识点】交集及其运算
26.设P，Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P Q＝{x|x P∪Q，且x P∩Q}，如果P＝
⊙ ∈ ∉
{y|y＝ }，Q＝{y|y＝4x，x＞0}，则P Q＝ ．
⊙
【答案】[0，1] （2，+∞）
∪
【分析】根据已知得到P、Q中的元素y，然后根据P Q＝{x|x P∪Q，且x P∩Q}求出即可．
⊙ ∈ ∉
【解答】解：P＝{y|y＝ }＝{y|0≤y≤2}，
Q＝{y|y＝4x，x＞0}＝{y|y＞1}，
∵P Q＝{x|x P∪Q，且x P∩Q}．
⊙ ∈ ∉
∴P Q＝[0，1]∪（2，+∞）
⊙
故答案为：[0，1]∪（2，+∞）
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
