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考点 03 函数与方程
1．（2022·河南·模拟预测）关于x的一元二次方程 有实数根，则m的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】
利用判别式直接判断.
【详解】
要使关于x的一元二次方程 有实数根，
只需 ，解得： .
对照四个选项，只有A符合题意.
故选：A
2．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数 ， ， 的零点分
别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将 ， ， 的零点看成函数 分别与 ， ， 的交点的横坐标，分别画出
这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.
【详解】
由已知条件得
的零点可以看成 与 的交点的横坐标， 的零点可以看成 与 的交点的横
坐标， 的零点可以看成 与 的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出 ， ， ， 的函数图象，如下图所示,
可知 ，
故选： .3.（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 若 ，则 ___________.
【答案】2
【分析】
由题意结合函数的解析式得到关于 的方程，解方程可得 的值.
【详解】
，故 ，
故答案为：2.
4．（2022·全国·模拟预测）若幂函数 的图像关于y轴对称，则实数 ______．
【答案】
【分析】
根据幂函数的概念和性质计算即可
【详解】
由幂函数可得 ，解得 或 ，
又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以 ．
故答案为：
5．已知函数 有 个不同的零点，则实数 的取值范围为_______．
【答案】
【分析】
当 时，即 恒有1个零点；当 时，得到相切时 的值，即可求解．
【详解】
解：令 ，
当 时， 恒有1个交点，即 恒有1个零点．如图所示，当 时，且 的左半支与 相切时，此时只有2个交点，且 ，解得
，故当 时，两个函数才恒有3个交点，即函数 有3个不同的零点．
综上所述，当 时，函数 有 个不同的零点．
故答案为
【点睛】
本题考查零点个数问题，通常转化为函数的交点个数问题，属于基础题．
6．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数 有唯一零点，则实数
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
设 ，由函数奇偶性定义得到 为偶函数，所以函数 的图象关于直线 对称，
由零点唯一性得到 ，求出 的值.
【详解】
设 ，定义域为R,
∴ ，
故函数 为偶函数，则函数 的图象关于y轴对称，
故函数 的图象关于直线 对称，
∵ 有唯一零点，
∴ ，即 ．
故选：D．7．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知函数 ，若函数 有m个
零点，函数 有n个零点，且 ，则非零实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作出 的函数图像，利用图像列出关于 的不等式，解出 的范围即可
【详解】
与 与 共交7个点
图象如下：
所以：（Ⅰ） ，解得
（Ⅱ） ，解得
综上： ．
故选：C
8．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数 则方程 的解的个
数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个数，结合图像分析．【详解】
令 ，得 ，则函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个数．
作出函数 与函数 的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程 的解的个
数为2个．
故选：C．
9.（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知定义在（0，+ ）上的函数f（x）满足：
，若方程 在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由题意知直线 与函数 的图像有三个交点，利用导数研究函数 的性质，结合数形结合
的数学思想即可求出k的取值范围.
【详解】
方程 在（0，2]上恰有三个根，
即直线 与函数 的图像有三个交点，
当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以f（x）在（0， ）上单调递减，f（x）在（ ，1]上单调递增.
结合函数的“周期现象”得f（x）在（0，2]上的图像如下：由于直线l； 过定点A（0， ）.如图连接A，B（1，0）两点作直线 ，过点A作
的切线l，
2
设切点P（ ， ），其中 ，则斜率
切线 过点A（0， ）.
则 ，即 ，则 ，
当直线 绕点A（0， ）在 与 之间旋转时.
直线 与函数 在[-1，2]上的图像有三个交点，故
故答案为：
10．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知关于x的方程 在区间
上有实根，那么 的最小值为________．
【答案】5
【分析】
，代入 ，可得答案.
【详解】
因为 ，所以
，
当且仅当 ， 时取等号，所以 的最小值为5．
故答案为：5.11．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数 ，若 恰有两个零点，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
函数 ， 均有有两个零点，分类讨论每部分的零点个数，结合零点分
布处理．
【详解】
∵ ，则二次函数 有两个零点
若 恰有两个零点，则 ，得
此时 无零点，则 ，解得
则
若 无零点，则 ，得
此时 有两个零点，则 ，得
则
若 有且仅有一个零点，则 得 ，
或 ，得 或 ，经检验 不合题意
则
此时 有且仅有一个零点，则 ，解得 且
则 且
综上所述：故选：B．
12．（2022·河南安阳·模拟预测（理））关于函数 有下述四个结论：
① 的图象关于直线 对称 ② 在区间 单调递减
③ 的极大值为0 ④ 有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】
根据给定函数，计算 判断①；探讨 在 上单调性判断②；探讨 在 和 上单调
性判断③；求出 的零点判断④作答.
【详解】
函数 的定义域为 ，
对于①， ，则 ，
， 的图象关于直线 对称，①正确；
对于②，当 时， ， 在 单调递增，②不正确；
对于③，当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 单调递增，因此 在 处取极大值 ，③正确；
对于④，由 得： ，即 或 ，解得 或 ，
于是得 有3个零点，④正确，
所以所有正确结论的编号为①③④.
故选：D
【点睛】
结论点睛：函数 的定义域为D， ，存在常数a使得 ，
则函数 图象关于直线 对称.
13．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数 ，若方程
的所有实根之和为4，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题对 取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.
【详解】
令 ，当 时，方程为 ，即 ，
作出函数 及 的图象，
由图象可知方程的根为 或 ，即 或 ，
作出函数 的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；
当 时，方程为 ，即 ，
由图象可知方程的根 ，即 ，
结合函数 的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.
故选：C.14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图像上有且仅有两个不同的点关于直
线 的对称点在 的图像上，则实数k的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
将题设转化为函数 的图像和 的图象有两个交点，求出直线 和
相切时 的值以及直线 过点 时 的值，结合图象即可求解.
【详解】
由 ，解得 ，
又 关于直线 的对称直线为 ，
则题设等价于函数 的图像和 的图象有两个交点.
易得 等价于 ，
画出 和 的图象，设直线 和 相切，
由 ，解得 或 （舍），
又当直线 过点 时， ，
结合图象可知，当 时，
函数 的图像和 的图象有两个交点.
故答案为： .15．（2022·上海·模拟预测）已知函数 存在实数 ，且有 ，使得 ，则
的最小值是________.
【答案】
【分析】
将 变形为 ，然后将 看作变量，从而可知点 在直线 上，
表示点 与 的距离的平方，再利用几何最值以及换元法，对勾函数的单调性即可解出．
【详解】
由于 ，则 ， 点 在直线 上，
表示点 与 的距离的平方．
到直线 距离的平方为 ，
，令 ，
，
由 为增函数， 当 时有最小值 ，当且仅当 时取等号．所以 的
最小值为 .
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查利用几何意义解决代数中的最值问题，根据式子特征联想对应的几何意义，涉及到换元法，
对勾函数单调性的应用，属于较难题．
