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专题 11 分式的运算、整数指数幂、分式方程及应用之九大题型
分式加减乘除混合运算
例题：（2023下·河南郑州·八年级期末）计算： ．
【答案】1
【分析】通分，计算括号内，再将除法变成乘法，约分即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·重庆北碚·八年级统考期末）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通分计算即可；
（2）先通分算减法，再算除法．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，【点睛】此题考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
分式化简求值
例题：（2023上·湖南永州·八年级校考期末）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ， .
【分析】此题主要考查分式的化简求值，先根据分式的运算法则化简，然后代入 求值即可.
【详解】解：
当 时，原式
【变式训练】
1．（2023下·广东佛山·八年级校考期末）先化简 ，再选一个你喜欢的数
作为x的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式
【分析】先计算括号内的，再计算除法，再选择合适的数代入，即可求解．
【详解】解：，
∵ 、2、4时原式无意义，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
2．（2023上·江西赣州·八年级统考期末）先化简 ，再从 ，2，3中任意选择一
个合适的数代入求值．．
【答案】 ，5
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从 ，2，3中选取一个使得原分式
有意义的值代入化简后的式子即可．
【详解】解：
，
∵要使分式有意义， 不能取0和 ，
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和减法的运算法则．
分式加减乘除混合运算错题复原例题：（2023下·河南新乡·八年级统考期末）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并
完成相应任务．
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（第五步）
(1)填空：第一步进行运算的是______．
A.整式乘法 B.因式分解
(2)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(3)请写出该分式化简的正确过程．
【答案】(1)B
(2)三，括号中第二项通分时分子没有乘
(3)见详解
【分析】（1）观察第一步过程，找出进行的运算即可；
（2）找出化简过程中出现的错误，分析其原因即可；
（3）写出正确的化简过程即可．
【详解】（1）解：第一步计算运算是因式分解；
故选： ．
（2）解：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号中第二项通分时分子没有乘 ；
故答案为：三，括号中第二项通分时分子没有乘 ；
（3）解：正确过程为：
原式．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，以及因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）下面是小华同学在笔记本上完成课堂练习的解题过程：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
请你回答下列问题：
(1)小雨看到小华的做法后，问她道：第一步通分根据什么性质？给我讲一讲．
(2)小华一边讲一边仔细检查后发现第三步做错了，请你把这道题的正确计算过程写出来．
【答案】(1)根据分式的基本性质
(2)见解析
【分析】（1）根据分式的基本性质回答即可；
（2）根据分式的基本性质和分式的混和运算法则求解即可．
【详解】（1）解：根据分式的基本性质，给 的分子、分母同乘以 得到
，
故小华的第一步通分根据分式的基本性质；
（2）解：正确的计算过程为：．
【点睛】本题考查分式的混合运算、分式的基本性质，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是
解答的关键．
2．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）老师让同学们化简 ，某同学给出了
如下的解答过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
． 第六步
根据该同学的解答过程，你发现：
(1)第二步的依据是___________________________________________；
(2)从第_______步开始出现错误，该步错误的原因是________________________；
(3)请你给出正确的解答过程（从出现错误的那一步开始）．
【答案】(1)分式的基本性质（或：分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不
变）
(2)四，去括号 没有变号(3)见解析
【分析】（1）（2）根据分式的运算规则，对每一步进行判断即可求解；
（3）根据分式的运算，求解即可．
【详解】（1）解：第二步的依据是：分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）解：从第四步开始出现错误，该步错误的原因是去括号 没有变号．
故答案为：四，去括号 没有变号；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
用科学记数法表示绝对值小于1的数
例题：（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）红细胞系统分为原始红细胞、早幼红细胞、中幼红细
胞、晚幼红细胞、网织红细胞和成熟红细胞．某原始红细胞胞体直径 ，呈圆形或椭圆形，
边缘常有钝角状或瘤状突起．将 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所
使用的是负整数指数幂．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级统考期末）某品牌选用直径为 米桑蚕丝进行加工，则它的直径用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解： ；
故选A．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2023下·四川资阳·八年级统考期末）某植物一粒花粉的质量约为 毫克，将数“
”用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】利用科学记数法表示较小的数即可．
【详解】 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
零指数幂、负整数指数幂运算
例题：（2023下·四川乐山·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据整数指数幂、零指数幂以及负整数指数幂分别进行解答即可得出答案．【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的运算整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂和算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂，零指数幂和算术平
方根的定义．
2．（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）计算：
【答案】
【分析】根据乘方运算法则、零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握乘方运算法则、零指数幂和负整数指数幂的运
算法则，是解题的关键．分式方程的定义
例题：（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．
【详解】解：A.该方程是一元一次方程，不符合；
B.该方程是分式方程，符合；
C.该方程是一元一次方程，不符合；
D.该方程是二元一次方程，不符合；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南开封·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意；
C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
2．（2023上·河北邢台·八年级统考期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式方程定义分析即可．
【详解】解：A.是分式方程，符合题意；
B.是一元二次方程，不是分式方程；
C. 是一元一次方程，不是分式方程；
D. 是二元一次方程，不是分式方程；故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫做分式方程），掌握分式方程的定
义是解题的关键．
解分式方程
例题：（2023上·湖南永州·八年级校考期末）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程．
（1）将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
（2）将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可．
解题的关键是将分式方程转化为整式方程．注意最后要进行检验．
【详解】（1）解：去分母，得： ，
解得： ；
经检验， 是原方程的解；
∴原方程的解为： ；
（2）去分母，得： ，
整理得： ，
解得： ，
当 时： ，分式无意义，
∴ 是原方程的增根，舍掉；
∴原方程无解．
【变式训练】
1．（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）解方程：(1) ； (2) ．
【答案】(1) 是增根，分式方程无解；
(2)
【分析】（1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到原分式方程的解．
【详解】（1）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
经检验 是增根，分式方程无解；
（2）去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
经检验 是原分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式
方程求解．解分式方程一定注意要验根．
2．（2023下·重庆·八年级重庆市南坪中学校校联考期末）解分式方程：
(1) (2)
【答案】(1)原分式方程的解为
(2)原分式方程无解
【分析】（1）根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 ，检
验”即可求解；
（2）根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 ，检验”即可求
解．【详解】（1）解：
等式两边同时乘以 ，去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为 得， ，
检验，当 时，原分式方程的分母为 ， ，即原分式方
程有意义，
∴ 是原分式方程的解，即原分式方程的解为 ．
（2）解：
等式两边同时乘以 ，去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为 得， ，
检验，当 时，原分式方程的分母 ，原分式方程无意义，
∴ 是原分式方程的增根，即原分式方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
列分式方程
例题：（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，
全长 ，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面
装裱前是一个长为 ，宽为 的矩形，装裱后的长与宽的比是 ，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据装裱后的长与宽的比是 ，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可．
【详解】解：由题意，得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数
学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚
钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批橡的价钱为6210文，如果每株
椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买
多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有 株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价
钱，列出方程即可．
【详解】解：∵如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的
价钱，
∴可列方程为： ；
故选D．
【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
2．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）宜宾市与甲、乙两地的距离分别为320千米和250千米，
从宜宾市开往甲地高铁的速度比从宜宾市开往乙地高铁的速度快70千米/时，结果从宜宾市到甲、乙两地所需时间相同．求从宜宾市到甲、乙两地高铁的速度分别是多少千米/时？设从宜宾市开往
乙地高铁的速度为x千米/时，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】设从宜宾市开往乙地列车的速度为x千米/时，则从宜宾市开往甲地列车速度为 千
米/时，根据两车行驶320千米和250千米所用时间相等，列出分式方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设从宜宾市开往乙地列车的速度为x千米/时，则从宜宾市开往甲地列车速度为
千米/时，根据题意可得：
【点睛】此题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系，解题的关键是根据两车的所用时间相
等列出方程．
分式方程的实际应用
例题：（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）临近期末，班级想给优秀的学生准备奖品，奖品分为
甲套餐与乙套餐，已知购买1个甲套餐比购买1个乙套装少用 元，用 元购买甲套餐和用
元购买乙套餐的个数相同．
(1)求这两种套餐的单价分别为多少元．
(2)班级计划用 元经费购进甲套餐与乙套餐两种奖品，要求每种套餐至少购进1种且刚好用完
经费，请你设计进货方案．
【答案】(1)甲种套餐的单价为 元，乙种套餐的单价为 元
(2)见详解
【分析】（1）设甲种套餐的单价为x元，根据用 元购买甲套餐和用 元购买乙套餐的个数相
同得： ，解方程并检验可得答案；
（2）设甲种套餐购进m套，乙种套餐购进n套，可得 ，求出方程的正整数解即可．
【详解】（1）解：解：设甲种套餐的单价为x元，则乙种套餐的单价为 元，根据题意得： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ （元），
∴甲种套餐的单价为 元，乙种套餐的单价为 元；
（2）解：设甲种套餐购进m套，乙种套餐购进n套，
根据题意得 ，
∴
∵m，n为正整数，
∴ 或 或 ，
∴有三种进货方案：甲种套餐购进 套，乙种套餐购进5套或甲种套餐购进 套，乙种套餐购进
套或甲种套餐购进9套，乙种套餐购进 套．
【点睛】本题考查分式方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
【变式训练】
1．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）某服装店老板到厂家选购甲、乙两种品牌的童装准备
进行销售．每套甲品牌的童装比乙品牌的童装进价多25元，用2000元购进甲种品牌的童装数量是
用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍．
(1)求甲、乙两种品牌的童装每套进价分别是多少元？
(2)若甲品牌童装每套的售价为130元，乙品牌童装每套售价为95元，服装店老板去进货时决定购
进甲品牌的童装数量是乙品牌童装数量的2倍还多4套，两种童装全部售出后要使总利润不少于
1230元，至少购进甲品牌的童装多少套？
【答案】(1)甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元
(2)至少购进甲品牌的童装32套
【分析】（1）设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（ ）元，根据“用2000元购进甲
种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍”列出方程，解方程即可；
（2）设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装 套，根据“两种童装全部售出后要使总利润
不少于1230元”可列出不等式，再解不等式即可．【详解】（1）解：设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（ ）元，根据题意得，
，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
（元），
答：甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元；
（2）设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装 套，根据题意得，
，
解得 ，
答：至少购进甲品牌的童装32套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目中的等量关系和不等关系
是解题的关键．
2．（2023上·河南漯河·八年级校考期末）某服装店到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A
品牌服装进价比B品牌服装每套进价多20元，已知用2000元购进A种服装的数量是用900元购进
B种服装数量的 倍．
(1)求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
(2)若A品牌服装每套售价为120元，B品牌服装每套售价为100元，元旦期间服装店老板决定：对
于还未卖出的部分B种服装打七折让利销售，两种服装全部售出后，发现总利润不超过于1500元，
则最少有几套B品牌的服装参与了元旦节的打折优惠活动？
【答案】(1)A、B两种品牌服装每套进价分别为 元、 元；
(2)最少有4套B品牌的服装参与了元旦节的打折优惠活动．
【分析】（1）首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为 元，根据关键
语句“用 元购进A种服装的数量是用 元购进B种服装数量的 倍．”列出分式方程，解
方程即可；
（2）设有a套B品牌的服装参与了元旦节的打折优惠活动，根据“可使总利润不少于1500元”列
出不等式，再解不等式即可．【详解】（1）解：设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，
，
答：A、B两种品牌服装每套进价分别为 元、 元；
（2）解：设有a套B品牌的服装参与了元旦节的打折优惠活动，
由（1）知购进A品牌服装的数量为 套，
购进B品牌服装的数量为 套，
由题意得： ，
解得 ，
因为a取整数，
所以 ，
答：最少有4套B品牌的服装参与了元旦节的打折优惠活动．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A、B两种品牌
服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
一、单选题
1．（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）计算 的值为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则，先通分再加减，最后化简即可．
【详解】解：原式 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，分母不同时，先通分再加减．
2．（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据幂的乘方，非负数的负指数幂的运算法则，非零数的零次幂的运算法则，科学记数法
的定义，即可求解．
【详解】解： 、 ，原选项错误，不符合题意；
、 ，原选项错误，不符合题意；
、 ，原选项正确，符合题意；
、 ，原选项中当 无意义，不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查整式的乘法法则，负指数幂的运算法则，科学记数法的定义，掌握以上计算
法则是解题的关键．
3．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）已知 ， ， ，则这三个数按从
小到大的顺序排列为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
4．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）嘉淇一家自驾游去某地旅行，导航系统推荐了两条线
路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路一的1.8倍，线
路二的用时预计比线路一少半小时．设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为 km/h，
根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
【详解】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为 km/h，
由题意得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找
出合适的等量关系，列出方程．
5．（2023下·河南郑州·八年级校考期末）试卷上一个正确的式子
被莹莹不小心滴上墨汁．被墨汁遮住的部分的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是 ，再根据分式的运算
法则进行计算即可．
【详解】解：由题意可得：
被墨汁遮住部分的代数式是 ，
故选D．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意
运算顺序．
二、填空题
6．（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）化简： ．
【答案】
【分析】根据分式的性质约分计算即可．
【详解】解：故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是掌握约分法则．
7．（2023下·四川达州·八年级校考期末）分式方程 的解是 ．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方
程的解．
【详解】解：方程两边同时乘 得： ，
解得 ，
检验：把 代入得： ，
原分式方程的解是 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．（2023下·云南红河·八年级统考期末）计算： ．
【答案】2
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂化简即可．
【详解】 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据零指数幂和负整数指数幂化简．
9．（2023下·河南驻马店·八年级统考期末）当 时，分式 的值是 ．
【答案】
【分析】根据分式的加法法则把原式化简，把 的值代入计算，得到答案．
【详解】解：原式，
当 时，原式 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加法法则是解题的关键．
10．（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）当 时，解分式方程
会出现增根．
【答案】6
【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程 会出现增根只能是
，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将 代入该分
式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值．
【详解】解：分式方程 会出现增根，
则 即 ，
去分母得，
将 代入得 ，
即当 时，原分式方程会出现增根．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了分式方程增根的概念，增根是使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是
适合去分母后的整式方程．
三、解答题
11．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）解分式方程：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解；
（2）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方
程的解．
【详解】（1）解：由
则去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
经检验： 是原分式方程的解；
（2）解：由 ，
则去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
因为 ，
经检验： 是增根，原分式方程无解．
【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则．
12．（2023下·河南新乡·八年级统考期末）计算
(1)解分式方程： ．
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴原方程的解为 ；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式的混合计算，熟知解分式方程的步骤，分式的混合计算
法则是解题的关键．
13．（2023下·四川达州·八年级校考期末）先化简： ，再从 ， ，0，
1中挑一个自己喜欢的整数代入求值．
【答案】 ，当 时，原式【分析】括号内通分得到 ，括号外除法化为乘法得到 ，化简约分得到
，根据分母不等于0得到 ，或 ，从 ， ，0，1中挑选 ，即得．
【详解】解：
∵ ， ，
∴ ，或 ，
∴从 ， ，0，1中挑选 ，
当 时，原式 ．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，解决问题的关键是熟练掌握分式的运算法则，在代入x
值时，注意分母不为0．
14．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价
格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．甲、
乙两种图书每本价格分别为多少元？
【答案】甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元
【分析】利用用 元单独购买甲图书比用 元单独购买乙图书要少 本，据此得出等式求出答
案；
【详解】解：设乙图书每本价格为 元，则甲图书每本价格是 元，
根据题意可得： ，
解得： ，
经检验得： 是原方程的根，且符合题意．
则 ，答：甲图书每本价格是 元，乙图书每本价格为 元．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
15．（2023下·宁夏银川·八年级校考期末）按要求填空：以下是某同学化简分式
的部分运算过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
…
(1)上面第二步计算中，中括号里的变形是______，其依据是______．
(2)上面的运算过程中第______步出现了错误，请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)通分，分式的基本性质；
(2)三，见解析．
【分析】（1）根据分式的基本性质填写即可．
（2）根据分式的运算法则，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的．
【详解】（1）上面第二步计算中，中括号里的变形是通分，其依据是分式的基本性质．
（2）原式故答案为：三
【点睛】此题考查了分式的运算求解，解题的关键是熟悉分式的运算法则．
16．（2023下·河南新乡·八年级统考期末）某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮
球，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价的2倍少30
元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？
(2)学校要一次性购买足球和篮球共200个，但要求总费用不超过15500元，学校最多可购买多少个
篮球？
【答案】(1)足球的单价为 元，篮球的单价为 元
(2)学校最多可购买116个篮球
【分析】（1）设足球的单价为 元，根据篮球的单价比足球的单价的2倍少30元，用1200元购
买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购买篮球 个，根据总费用不超过15500元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设足球的单价为 元，则篮球的单价为： 元，由题意，得：
，
解得： ；
经检验 ，是原方程的解，
∴ ，
答：足球的单价为 元，篮球的单价为 元；
（2）设购买篮球 个，则购买足球 个，由题意，得：
，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ 的最大值为116；
答：学校最多可购买116个篮球．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列
出方程和不等式．
